构造异面直线所成角的几种方法

浙江周宇美

异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．

一、抓异面直线上的已知点

过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．

例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）

A．D1

B．

510 5

 4 2

C．D．

解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B

1GF中，由余弦定理，得

B1G2GF2B1F2222

cosB1

＝0， 

2B1GGF 故∠B1G F＝90°，应选(D)．

评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决．

二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点

考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.

例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

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图1

图2

解：取AE中点G, 连结GM、BG ∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ ∴ GM∥BN，且GM＝BN． ∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG ∵A的射影为B． ∴AB⊥面BCDE． ∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．

∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．

三、平移(或构造)几何体

有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.

例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA平面ABC，ACB90且

ED，BN＝ED． 22

PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____． P

解：将此多面体补成正方体DBCAD'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△

． PDB中，即tanDBADB

点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCAD'B'C'P，从而将

问题简化．

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一、抓异面直线上的已知点

过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．

例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）

A．D1

B．

510 5

 4 2

C．D．

解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B

1GF中，由余弦定理，得

B1G2GF2B1F2222

cosB1

＝0， 

2B1GGF 故∠B1G F＝90°，应选(D)．

评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决．

二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点

考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.

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图1

图2

∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．

三、平移(或构造)几何体

有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.

例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA平面ABC，ACB90且

ED，BN＝ED． 22

PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____． P

解：将此多面体补成正方体DBCAD'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△

． PDB中，即tanDBADB

点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCAD'B'C'P，从而将

问题简化．

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