高考数学丨MOOK
2016 第31期韩永权
空间向量在立体几何中的应用
应用一 利用空间向量处理空间平行关系
空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题.题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一.
1线线平行的向量应用
2线面平行的向量应用
【评述】对于容易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，求出平面的法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探究性问题，通常先假设结论成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算. 同时要注意点的坐标的范围.
3面面平行的向量应用
【评述】面面平行问题的向量解法有两种思路：（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.
应用2 利用空间向量证明空间垂直问题
利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，难度不大，是高考中的重要得分点.
4线线垂直的向量应用
【评述】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
5线面垂直的向量应用
【评述】本题用几何法证明非常的复杂，并且很难寻找思路，而空间直角坐标系比较容易建立，故空间线面垂直问题可用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.
6面面垂直的向量应用
【评述】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常用向量法，即先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
应用3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题
异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和难点，常与探究性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度中档.
7求异面直线所成的角θ（范围:0θ≤90°）
【评述】对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m,n，再求出m,n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cosθ=|cos〈m,n 〉|，求出异面直线的夹角.
8求线面角θ（范围:0≤θ≤90°）
【评述】线面角的正弦值等于线的方向向量和平面法向量所成角的余弦值的绝对值. 这一点上经常有同学出错，只有搞清原理，才能避免出错.
9求二面角θ（范围:0≤θ≤180°）
【评述】对二面角的大小问题，先求出平面α,β的法向量m，n，再求出m，n的夹角的余弦值，通过观察二面角是锐角还是钝角，确定其符号.
应用四 距离问题
10点到平面的距离的向量应用
【评述】利用向量求点到平面的距离中，最重要的是能表示此点与平面一点组成的向量及其平面的法向量，由于向量有方向，所以要特别注意此点与平面一点组成的向量与其平面的法向量夹角.
总结
以上介绍了空间向量处理立体几何问题的常见类题型及常用方法，空间向量能能有效解决空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和夹角问题.空间向量在一定程度上把需要有良好空间想象能力的几何问题转化为“计算题”.同学们还需做一定数量的题目，总结规律，提炼方法，掌握使用技巧.只要真正掌握了空间的运算法则和解题规律，就一定能在立体几何题目中取得好成绩.
本文版权属于外研众望，未经授权，禁止转载.如有需要，请联系[email protected]
下期预告
《巧用直线恒过定点》
---王应祥
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应用一 利用空间向量处理空间平行关系
空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题.题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一.
1线线平行的向量应用
2线面平行的向量应用
【评述】对于容易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，求出平面的法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探究性问题，通常先假设结论成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算. 同时要注意点的坐标的范围.
3面面平行的向量应用
【评述】面面平行问题的向量解法有两种思路：（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.
应用2 利用空间向量证明空间垂直问题
利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，难度不大，是高考中的重要得分点.
4线线垂直的向量应用
【评述】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
5线面垂直的向量应用
【评述】本题用几何法证明非常的复杂，并且很难寻找思路，而空间直角坐标系比较容易建立，故空间线面垂直问题可用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.
6面面垂直的向量应用
【评述】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常用向量法，即先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
应用3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题
异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和难点，常与探究性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度中档.
7求异面直线所成的角θ（范围:0θ≤90°）
【评述】对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m,n，再求出m,n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cosθ=|cos〈m,n 〉|，求出异面直线的夹角.
8求线面角θ（范围:0≤θ≤90°）
【评述】线面角的正弦值等于线的方向向量和平面法向量所成角的余弦值的绝对值. 这一点上经常有同学出错，只有搞清原理，才能避免出错.
9求二面角θ（范围:0≤θ≤180°）
【评述】对二面角的大小问题，先求出平面α,β的法向量m，n，再求出m，n的夹角的余弦值，通过观察二面角是锐角还是钝角，确定其符号.
应用四 距离问题
10点到平面的距离的向量应用
【评述】利用向量求点到平面的距离中，最重要的是能表示此点与平面一点组成的向量及其平面的法向量，由于向量有方向，所以要特别注意此点与平面一点组成的向量与其平面的法向量夹角.
总结
以上介绍了空间向量处理立体几何问题的常见类题型及常用方法，空间向量能能有效解决空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和夹角问题.空间向量在一定程度上把需要有良好空间想象能力的几何问题转化为“计算题”.同学们还需做一定数量的题目，总结规律，提炼方法，掌握使用技巧.只要真正掌握了空间的运算法则和解题规律，就一定能在立体几何题目中取得好成绩.
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---王应祥