第1章 质点运动学
习 题
一 选择题
1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同
(B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零
(C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小
解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。
1-2 某质点的运动方程为x =2t -3t 3+12(m ) ，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：
1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为，平均速度为，他们之间的关系必定有[ ]
(A)v =v ，= (B)v ≠v ，= (C)v ≠v ，≠ (D)v =v ，≠
解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率=度=
1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ]
∆r
，故≠。答案选D 。 ∆t
∆s
，而平均速∆t
v =
dx dv =2-9t 2a ==-18t
，，故答案选D 。 dt dt
(A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零
解析：质点作圆周运动时，a =a n e n +a t e t =定不为零，答案选D 。
1-5 某物体的运动规律为
dv
=-kv 2t ，式中，k 为大于零的常量。当t =0时，dt
v 2
ρ
e n +
dv
e t ，所以法向加速度一dt
初速为v 0，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ]
121kt 21
(A)v =kt +v 0 (B)=+
2v 2v 0121kt 21
(C)v =-kt +v 0 (D)=-+
2v 2v 0dv
解析：由于=-kv 2t ，所以
dt
⎰
1kt 21
dv =(-kv t ) dt ，得到=+，故答案
v 2v 0v 00
v
⎰
t
2
选B 。
二 填空题
1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为r =4t 2i +(2t+3) j ，则从
t =0到t =1s 时的位移为，t =1s 时的加速度为
d v d 2r
=2=8i 解析：r 10=r 1-r 0=4i +5j -3j =4i +2j , a 1=
dt 1dt 1
1-7 一质点以初速v 0和抛射角θ0作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ，切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 ，合加速度大小为 。
解析：以初速v 0、抛射角θ0作斜抛的运动方程：
r =v 0t cos θ0i +(v 0t sin θ0-
12
gt ) j ， 2
则v =
d r d v =v 0cos θ0i +(v 0sin θ0-gt ) j ，a ==-g j 。 dt dt
到达最高处时，竖直方向上的速度大小v j =v 0sin θ0-gt =0，此时速度大小即为水平方向上的速度值v =v i =v 0cos θ0。切向加速度大小a t =速度大小a n ==g 。
1-8 一飞轮做匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad s 减到10πrad s ，则飞轮在这5s 内总共转过了 圈，飞轮再经过 的时间停止转动。
d ωd 2θ10π-40π
=2==-6π，所以角速度解析：角加速度α=dt dt 5
dv
=0，法向加
dt
ω=ω0+αt =40π-6πt ，角度θ=ω0t +αt 2=40πt -3πt 2。
因此，飞轮在这5s 内总共转过了N =
∆t =
∆ω
∆θθ5-θ0125π===62.5圈，再经过2π2π2π
12
α
=
0-10π-6π
1.67秒后停止转动。
1-9 一质点从静止出发沿半径为3m 的圆周运动，切向加速度为3m s 2并保持不变，则经过 s 后它的总加速度恰好与半径成45角。在此时间内质点经过的路程为 m ，角位移为 rad ，在1s 末总加速度大小为 s 2。
dv v 22
R =3m 、a t ==3m /s 可得，a n ==3t 2。解析：由v 0=0、 v =v 0+a t t =3t ，
dt R
总加速度恰好与半径成45角意味着a n =a t ，可得t =1s 。
121a t 23t 2
在此时间内经过的角位移θ1=(ω0t +αt ) =路程t ==0.5rad ，
22R 12R 11
s =θ1R =1.5m ，在1s
末总加速度大小为a ==4.2m /s 2。
1-10 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5πrad s 的匀角速度转动，则飞
轮边缘上一点在飞轮转过240时的切向加速度a t =，法向加速度
a n =。
5m /s ，所以a t =解析：匀速转动的线速度大小v =ωR =0. 1π
dv
=0，dt
v 2
a n ==0.075π2m /s 2。
R
三 计算题
1-11 一电子的位置由r =3.00t i -4.00t 2j +2.00k 描述，式中t 单位为s , r 的单位为m 。(1)求电子任意时刻的速度v ，(2)在t =2.00s 时，电子速度的大小。
解析：(1)v =
d r
=3i -8t j dt
(2)由于v 2=3i -16j , 所以可以求出在t =2s 时，电子速度的大
小
v ==16. m 3s (。/ )
1-12 质点作直线运动，其运动方程为x =12t -6t 2(式中x 以m 计，，t 以s 计）求：(1)t =4s 时，质点的位置，速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4)作x -t 图，v -t 图，a -t 图。
解析：(1)由运动方程x =12t -6t 2可得，
v =
dx dv
=12-12t a ==-12
，。 dt dt
t =4s 时，x 4=-48m ，v 4=-36m /s ，v 4=-12m /s 2。
(2)质点通过原点时, x =0，所以t =0s 或2s ，得到v =12m /s 或-12m /s 。 (3)质点速度为零时，t =1s ，此时x =6m 。 (4)略。
1-13 一质点沿x 轴运动，加速度a =-2t , t =0时x 0=3m , v 0=1s 。求：（1）（2）速度为零时质点的位置和加速度；（3）从开始t 时刻质点的速度和位置；
（t =0）到速度为零这段时间内质点的位移大小。
dv
=-2t ，解析：(1)a =所以v t =v 0+v 0=1s ，dt dx
=1-t 2，x 0=3m ，所以x t =x 0+又因为v =dt
⎰
t
(-2t ) dt =1-2
⎰
t
tdt =1-t 2。
⎰
1
(1-t 2) dt =3+t -t 3。
30
t
111
(2)v =0时，t =1s ，此时x 1=3+1-=m ，a 1=-2m /s 2。
33
112
(3)∆x =x 1-x 0=-3=m 。
33
1-14 质点沿直线运动，速度v =t 3+3t 2+2(式中v 以m /s 计，t 以s 计) ，如果当t =2s 时，质点位于x =4m 处，求t =3s 是时质点的位置、速度和加速度。
解析：由v =
dx 3
=t +3t 2+2得： dt
t
11
x =x 2+(t 3+3t 2+2) dt =4+(t 4+t 3+2t ) =t 4+t 3+2t -12，
4422
⎰
t
a =
dv
=3t 2+6t ， dt
所以，x 3=41.25m ，v 3=56m /s ，x 3=45m /s 2。
1-15 质点沿直线运动, 加速度a =4-t 2 (式中a 以m /s 2计，t 以s 计），如果当t =3s 时，质点位于x =9m 处，v =2m /s ，求质点的运动方程。
dv
=4-t 2得，解析：由a =v =v 3+dt dx
又因为v =，所以x =x 3+
dt
⎰
11
(4-t ) dt =2+(4t -t 3) =-t 3+4t -1。
3333
2
t
t
⎰
113
(-t 3+4t -1) dt =-t 4+2t 2-t +。 31243
t
1-16 一个质点自原点开始沿抛物线2y =x 2运动，它在x 轴上的分速度为一常量，其值为4.0m /s ，求质点在x =2m 处的速度和加速度。
解析：x 轴：v x =
x t dx 1
=4⇒⎰dx =⎰4dt ⇒x =4t ，y 轴：y =x 2=8t 2。
00dt 2
质点在x =2m 处，t =0.5s 。
dv y dy
=16t ，a y ==16m /s 2，a x =0，所以v y 因为v y =dt dt
=8m /s 。
x =2
故v 2=4i +8j (m /s ) ，a 2=16j (m /s 2) 。
1-17 （1）若已知一质点的位置由x =4-12t +3t 2 (式中t 的单位为s , x 的单位为m ) 给出，它在t =1s 末的速度为何值？（2）该时刻质点正在向x 的正方向还是负方向运动？（3）该时刻质点速率为何值？（4） t =3s 后，质点是否在某一时刻向x 轴负方向运动？
解析：(1)v =
dx
=-12+6t ，所以v 1=-12+6=-6m /s ，即v =-6i (m /s ) 。 dt
(2)负方向。 (3)v =-6i =6m /s 。
(4)因为v =-12+6t ，若负向运动则v
1-18 已知质点的运动方程为：x =2t , y =2-t 2 (x ，y 以m 为单位，t 以s 为单位) 。（1）求质点运动运动的轨道方程；（2）写出t =1s 和t =2s 时质点的位置矢量，并计算1s 到2s 的平均速度；（3）计算1s 末和2s 末的瞬时速度；（4）计算
1s 末和2s 末的瞬时加速度。
解析：(1)x =2t , y =2-t 2，所以y =2-(2)r 1=2i +j (m ), r 2=4i -2j (m ), v =(3)v x =(4)a x =
12
x 。 4
∆r
=2i -3j (m /s ) 。 ∆t
dx dy =2, v y ==-2t ，所以v 1=2i -2j (m /s ), v 2=2i -4j (m /s ) 。 dt dt
dv dv x
=0, a y =y =-2，所以a 1=-2j (m /s 2), a 2=-2j (m /s 2) 。 dt dt
1-19 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v 0，刹车后其加速度与速度成正
比而反向，即a =-kv ，k 为已知的大于零的常量。试求：（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系；（2）刹车后轿车最多能行多远？
解析：(1)a =-kv =(2)v =
dv 1v
⇒-kdt =dv ⇒-kt =ln v v ⇒v =v 0e -kt 。
dt v
t dx dx k
⇒v 0e -kt =⇒⎰e -kt d (-kt ) =-
0dt dt v 0
⎰
x
dx ⇒x =
v 0
(1-e -kt ) ， k
当t →∞时，x =x max =
v 0
。 k
1-20 一质点沿Ox 轴作速直线运动，加速度为a =-kx ，k 为一正的常量，假定质点在x 0处的速度是u 0，试求质点速度的大小v 与坐标x 的函数关系。
解析：因为v =
v x dx dx dv dx dx
==a =-kx ，所以⎰vdv =⎰(-kx ) dx ，两边积
u 0x 0dt dv dt dv dv
分后可以得到v =
1-21 一飞轮以n =1500r min 的转速运动，受到制动后均匀地减速，经
t =50s 后静止。试求：（1）角加速度α：（2）制动后t =25s 时飞轮的角速度，
以及从制动开始到停转，飞轮的转数N ；（3）设飞轮的半径R =1m ，则t =25s 时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。
解析：(1)因为n =1500r min =50πrad /s =ω，所以α=(2)ωt =ω0+αt =50π-25π=25πrad /s ，
11250π
=6250r 。 因为θ=ω0t +αt 2=1250πrad ，所以N =
22π
d ω
=-πrad /s 2。 dt
(3)v =ωt R =25πm /s , a =ωt 2R =625π2m /s 2。
1-22 一质点沿半径为R 的圆周运动，质点所经过的孤长与时间的关系为
1
s =bt +ct 2，其中b 、c 为常量，且Rc >b 2，求切向加速度与法向加速度大小
2
相等之前所经历的时间。
ds dv v 2(b +ct ) 2
=b +ct ，所以a t ==c ，a n ==解析：因为v =。 dt dt R R
(b +ct ) 2
若a t =a n ，则c =
，即=b +ct 。
R
又因为Rc >
b 2b =
ct ，即t =
b 。 c
1-23 一质点做半径r =10m 的圆周运动，其角加速度α=πrad s 2，若质点由静止开始运动，求（1）质点在第一秒末的角速度，法向加速度和切向加速度；（2）总加速度的大小和方向。
ω1d ω
⇒⎰d ω=α-⎰dt ⇒ω=πrad /s , 解析：(1)α=
00dt
所以a n =ω2r =10π2m /s 2, a t =r α=10πm /s 2。
(2)a ==10/s 2， 由tg θ=
1-24 以初速度v 0与地面成θ角向斜上抛出一物体，如果物体达到的最大高度为3m ，且在最高点时运动轨道的半径亦为3m ，忽略空气阻力，求v 0与θ的值。
a n
=π可知，与切向夹角为θ=arctg π。 a t
⎧02-(v 0sin θ) 2=-2g ⨯3
⎧v 02sin 2θ=6g ⎪
解析：联立⎨得：⎨2，
(v 0cos θ) 22
g =⎩v 0cos θ=3g ⎪
3⎩所以v 0=
9.4m /s , θ=5444'。
第1章 质点运动学
习 题
一 选择题
1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同
(B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零
(C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小
解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。
1-2 某质点的运动方程为x =2t -3t 3+12(m ) ，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：
1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为，平均速度为，他们之间的关系必定有[ ]
(A)v =v ，= (B)v ≠v ，= (C)v ≠v ，≠ (D)v =v ，≠
解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率=度=
1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ]
∆r
，故≠。答案选D 。 ∆t
∆s
，而平均速∆t
v =
dx dv =2-9t 2a ==-18t
，，故答案选D 。 dt dt
(A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零
解析：质点作圆周运动时，a =a n e n +a t e t =定不为零，答案选D 。
1-5 某物体的运动规律为
dv
=-kv 2t ，式中，k 为大于零的常量。当t =0时，dt
v 2
ρ
e n +
dv
e t ，所以法向加速度一dt
初速为v 0，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ]
121kt 21
(A)v =kt +v 0 (B)=+
2v 2v 0121kt 21
(C)v =-kt +v 0 (D)=-+
2v 2v 0dv
解析：由于=-kv 2t ，所以
dt
⎰
1kt 21
dv =(-kv t ) dt ，得到=+，故答案
v 2v 0v 00
v
⎰
t
2
选B 。
二 填空题
1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为r =4t 2i +(2t+3) j ，则从
t =0到t =1s 时的位移为，t =1s 时的加速度为
d v d 2r
=2=8i 解析：r 10=r 1-r 0=4i +5j -3j =4i +2j , a 1=
dt 1dt 1
1-7 一质点以初速v 0和抛射角θ0作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ，切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 ，合加速度大小为 。
解析：以初速v 0、抛射角θ0作斜抛的运动方程：
r =v 0t cos θ0i +(v 0t sin θ0-
12
gt ) j ， 2
则v =
d r d v =v 0cos θ0i +(v 0sin θ0-gt ) j ，a ==-g j 。 dt dt
到达最高处时，竖直方向上的速度大小v j =v 0sin θ0-gt =0，此时速度大小即为水平方向上的速度值v =v i =v 0cos θ0。切向加速度大小a t =速度大小a n ==g 。
1-8 一飞轮做匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad s 减到10πrad s ，则飞轮在这5s 内总共转过了 圈，飞轮再经过 的时间停止转动。
d ωd 2θ10π-40π
=2==-6π，所以角速度解析：角加速度α=dt dt 5
dv
=0，法向加
dt
ω=ω0+αt =40π-6πt ，角度θ=ω0t +αt 2=40πt -3πt 2。
因此，飞轮在这5s 内总共转过了N =
∆t =
∆ω
∆θθ5-θ0125π===62.5圈，再经过2π2π2π
12
α
=
0-10π-6π
1.67秒后停止转动。
1-9 一质点从静止出发沿半径为3m 的圆周运动，切向加速度为3m s 2并保持不变，则经过 s 后它的总加速度恰好与半径成45角。在此时间内质点经过的路程为 m ，角位移为 rad ，在1s 末总加速度大小为 s 2。
dv v 22
R =3m 、a t ==3m /s 可得，a n ==3t 2。解析：由v 0=0、 v =v 0+a t t =3t ，
dt R
总加速度恰好与半径成45角意味着a n =a t ，可得t =1s 。
121a t 23t 2
在此时间内经过的角位移θ1=(ω0t +αt ) =路程t ==0.5rad ，
22R 12R 11
s =θ1R =1.5m ，在1s
末总加速度大小为a ==4.2m /s 2。
1-10 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5πrad s 的匀角速度转动，则飞
轮边缘上一点在飞轮转过240时的切向加速度a t =，法向加速度
a n =。
5m /s ，所以a t =解析：匀速转动的线速度大小v =ωR =0. 1π
dv
=0，dt
v 2
a n ==0.075π2m /s 2。
R
三 计算题
1-11 一电子的位置由r =3.00t i -4.00t 2j +2.00k 描述，式中t 单位为s , r 的单位为m 。(1)求电子任意时刻的速度v ，(2)在t =2.00s 时，电子速度的大小。
解析：(1)v =
d r
=3i -8t j dt
(2)由于v 2=3i -16j , 所以可以求出在t =2s 时，电子速度的大
小
v ==16. m 3s (。/ )
1-12 质点作直线运动，其运动方程为x =12t -6t 2(式中x 以m 计，，t 以s 计）求：(1)t =4s 时，质点的位置，速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4)作x -t 图，v -t 图，a -t 图。
解析：(1)由运动方程x =12t -6t 2可得，
v =
dx dv
=12-12t a ==-12
，。 dt dt
t =4s 时，x 4=-48m ，v 4=-36m /s ，v 4=-12m /s 2。
(2)质点通过原点时, x =0，所以t =0s 或2s ，得到v =12m /s 或-12m /s 。 (3)质点速度为零时，t =1s ，此时x =6m 。 (4)略。
1-13 一质点沿x 轴运动，加速度a =-2t , t =0时x 0=3m , v 0=1s 。求：（1）（2）速度为零时质点的位置和加速度；（3）从开始t 时刻质点的速度和位置；
（t =0）到速度为零这段时间内质点的位移大小。
dv
=-2t ，解析：(1)a =所以v t =v 0+v 0=1s ，dt dx
=1-t 2，x 0=3m ，所以x t =x 0+又因为v =dt
⎰
t
(-2t ) dt =1-2
⎰
t
tdt =1-t 2。
⎰
1
(1-t 2) dt =3+t -t 3。
30
t
111
(2)v =0时，t =1s ，此时x 1=3+1-=m ，a 1=-2m /s 2。
33
112
(3)∆x =x 1-x 0=-3=m 。
33
1-14 质点沿直线运动，速度v =t 3+3t 2+2(式中v 以m /s 计，t 以s 计) ，如果当t =2s 时，质点位于x =4m 处，求t =3s 是时质点的位置、速度和加速度。
解析：由v =
dx 3
=t +3t 2+2得： dt
t
11
x =x 2+(t 3+3t 2+2) dt =4+(t 4+t 3+2t ) =t 4+t 3+2t -12，
4422
⎰
t
a =
dv
=3t 2+6t ， dt
所以，x 3=41.25m ，v 3=56m /s ，x 3=45m /s 2。
1-15 质点沿直线运动, 加速度a =4-t 2 (式中a 以m /s 2计，t 以s 计），如果当t =3s 时，质点位于x =9m 处，v =2m /s ，求质点的运动方程。
dv
=4-t 2得，解析：由a =v =v 3+dt dx
又因为v =，所以x =x 3+
dt
⎰
11
(4-t ) dt =2+(4t -t 3) =-t 3+4t -1。
3333
2
t
t
⎰
113
(-t 3+4t -1) dt =-t 4+2t 2-t +。 31243
t
1-16 一个质点自原点开始沿抛物线2y =x 2运动，它在x 轴上的分速度为一常量，其值为4.0m /s ，求质点在x =2m 处的速度和加速度。
解析：x 轴：v x =
x t dx 1
=4⇒⎰dx =⎰4dt ⇒x =4t ，y 轴：y =x 2=8t 2。
00dt 2
质点在x =2m 处，t =0.5s 。
dv y dy
=16t ，a y ==16m /s 2，a x =0，所以v y 因为v y =dt dt
=8m /s 。
x =2
故v 2=4i +8j (m /s ) ，a 2=16j (m /s 2) 。
1-17 （1）若已知一质点的位置由x =4-12t +3t 2 (式中t 的单位为s , x 的单位为m ) 给出，它在t =1s 末的速度为何值？（2）该时刻质点正在向x 的正方向还是负方向运动？（3）该时刻质点速率为何值？（4） t =3s 后，质点是否在某一时刻向x 轴负方向运动？
解析：(1)v =
dx
=-12+6t ，所以v 1=-12+6=-6m /s ，即v =-6i (m /s ) 。 dt
(2)负方向。 (3)v =-6i =6m /s 。
(4)因为v =-12+6t ，若负向运动则v
1-18 已知质点的运动方程为：x =2t , y =2-t 2 (x ，y 以m 为单位，t 以s 为单位) 。（1）求质点运动运动的轨道方程；（2）写出t =1s 和t =2s 时质点的位置矢量，并计算1s 到2s 的平均速度；（3）计算1s 末和2s 末的瞬时速度；（4）计算
1s 末和2s 末的瞬时加速度。
解析：(1)x =2t , y =2-t 2，所以y =2-(2)r 1=2i +j (m ), r 2=4i -2j (m ), v =(3)v x =(4)a x =
12
x 。 4
∆r
=2i -3j (m /s ) 。 ∆t
dx dy =2, v y ==-2t ，所以v 1=2i -2j (m /s ), v 2=2i -4j (m /s ) 。 dt dt
dv dv x
=0, a y =y =-2，所以a 1=-2j (m /s 2), a 2=-2j (m /s 2) 。 dt dt
1-19 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v 0，刹车后其加速度与速度成正
比而反向，即a =-kv ，k 为已知的大于零的常量。试求：（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系；（2）刹车后轿车最多能行多远？
解析：(1)a =-kv =(2)v =
dv 1v
⇒-kdt =dv ⇒-kt =ln v v ⇒v =v 0e -kt 。
dt v
t dx dx k
⇒v 0e -kt =⇒⎰e -kt d (-kt ) =-
0dt dt v 0
⎰
x
dx ⇒x =
v 0
(1-e -kt ) ， k
当t →∞时，x =x max =
v 0
。 k
1-20 一质点沿Ox 轴作速直线运动，加速度为a =-kx ，k 为一正的常量，假定质点在x 0处的速度是u 0，试求质点速度的大小v 与坐标x 的函数关系。
解析：因为v =
v x dx dx dv dx dx
==a =-kx ，所以⎰vdv =⎰(-kx ) dx ，两边积
u 0x 0dt dv dt dv dv
分后可以得到v =
1-21 一飞轮以n =1500r min 的转速运动，受到制动后均匀地减速，经
t =50s 后静止。试求：（1）角加速度α：（2）制动后t =25s 时飞轮的角速度，
以及从制动开始到停转，飞轮的转数N ；（3）设飞轮的半径R =1m ，则t =25s 时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。
解析：(1)因为n =1500r min =50πrad /s =ω，所以α=(2)ωt =ω0+αt =50π-25π=25πrad /s ，
11250π
=6250r 。 因为θ=ω0t +αt 2=1250πrad ，所以N =
22π
d ω
=-πrad /s 2。 dt
(3)v =ωt R =25πm /s , a =ωt 2R =625π2m /s 2。
1-22 一质点沿半径为R 的圆周运动，质点所经过的孤长与时间的关系为
1
s =bt +ct 2，其中b 、c 为常量，且Rc >b 2，求切向加速度与法向加速度大小
2
相等之前所经历的时间。
ds dv v 2(b +ct ) 2
=b +ct ，所以a t ==c ，a n ==解析：因为v =。 dt dt R R
(b +ct ) 2
若a t =a n ，则c =
，即=b +ct 。
R
又因为Rc >
b 2b =
ct ，即t =
b 。 c
1-23 一质点做半径r =10m 的圆周运动，其角加速度α=πrad s 2，若质点由静止开始运动，求（1）质点在第一秒末的角速度，法向加速度和切向加速度；（2）总加速度的大小和方向。
ω1d ω
⇒⎰d ω=α-⎰dt ⇒ω=πrad /s , 解析：(1)α=
00dt
所以a n =ω2r =10π2m /s 2, a t =r α=10πm /s 2。
(2)a ==10/s 2， 由tg θ=
1-24 以初速度v 0与地面成θ角向斜上抛出一物体，如果物体达到的最大高度为3m ，且在最高点时运动轨道的半径亦为3m ，忽略空气阻力，求v 0与θ的值。
a n
=π可知，与切向夹角为θ=arctg π。 a t
⎧02-(v 0sin θ) 2=-2g ⨯3
⎧v 02sin 2θ=6g ⎪
解析：联立⎨得：⎨2，
(v 0cos θ) 22
g =⎩v 0cos θ=3g ⎪
3⎩所以v 0=
9.4m /s , θ=5444'。