2015湖北黄石

2015 年湖北省黄石市中考数学试卷

一. 仔细选一选（每小题 3 分，共 30 分每小题的四个选项中只有一个是正确的）

4．（3 分）（2015•黄石）下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（）

A．①③ B． ①④ C．②③ D．③④

5．（3 分）（2015•黄石）某班组织了一次读书活动，统计了 10 名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这 10 名同学一周内累计读书时间的中位数是（）

A．8 B． 7 C．9 D．10

）

6．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B． A． C． D．

7．在长方形 ABCD 中 AB=16，如图所示裁出一扇形 ABE，将扇形围成一个圆锥（AB 和 AE 重合），则此圆锥的底面半径为（）

A．4 B． 16 C．4 D．8

8．如图，在等腰△ ABC 中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD= （）

A．36° B． 54° C．18° D．64°

9．（3 分）（2015•黄石）当 1≤x≤2 时，ax+2＞0，则 a 的取值范围是（）

A．a＞﹣1 B． a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1 且 a≠0

10．（3 分）（2015•黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆 O 的直径 AB=100，在半圆弧上有一运动员 C 从 B 点沿半圆周匀速运动到 M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到 A 点停止．设运动时间为 t，点 B 到直线 OC 的距离为 d，则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是（）

A． B． C． D．

二.认真填一填（每小题

3 分，共 18 分）

12．反比例函数 y=

____________。的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是

13．九年级（3）班共有 50 名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为 30 分，成绩均为整数）．若将不低于 23 分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是．

14．（3 分）（2015•黄石）如图，圆 O 的直径 AB=8，AC=3CB，过 C 作 AB 的垂线交圆 O 于 M，N 两点，连结 MB，则∠MBA 的余弦值为．

15．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有 A，B 两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有 15 升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于 A 型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金 4 元，则购买盒子所需要最少费用为元．

16．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图 1 所示的形状，R

为 DE 的中点，BR 分别交 AC，CD 于 P，Q，易得 BP：QR：QR=3：1：2．

（1）若取四个直角三角形拼成如图 2 所示的形状，S 为 EF 的中点，BS 分别交 AC，CD， DE 于 P，Q，R，则 BP：PQ：QR：RS=

（2）若取五个直角三角形拼成如图 3 所示的形状，T 为 FG 的中点，BT 分别交 AC，CD， DE，EF 于 P，Q，R，S，则 BP：PQ：QR：RS：ST= ．

解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，

∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，∴BP：PR=BC：CE=1，

∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES．

又∵BC=CE ∴CQ=113SEEF ，∴DQ=EF 244

∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR．

又∵∠BAP=∠QDR，∴△BAP∽△QDR．

∴BP：QR=4：3．∴BP：PQ：QR=4：1：3，

∵DQ∥SE，∴QR：RS=DQ：SE=3：2，

∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．

故答案为：4：1：3：2；

（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形

∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，

BC=CE=EG，∴BP=PR=RT，

∵AC∥DE∥GF，∴△BPC∽△BER∽BTG，

1121FG ，RE= TGFG， 3633

521∴AP= FG，DR=FG ，FT=FG 632∴PC=TG∴AP：DR：FT=5：4：3．∵AC∥DE∥GF，

∴∠BPA=∠QRD=∠STF．

又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，∴△BAP∽△QDR∽△SFT．

∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．

又∵BP：QR：RT=1：1：1，

∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3．

故答案为：5：1：

4：2：3．

三. 解答题（9 个小题，共 72 分） 1

17．（7 分） °++（ ） 2 01

x24x4218．（7 分）先化简，再求值：1，其中 x2． xx

19．（7 分）如图，⊙O 的直径 AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于 D，D 是 BC的中点．

（1）求 BC 的长；

（2）过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，求证：直线 DE 是⊙O 的切线．

2x4y420．（8 分）解方程组．

2y2

21．（8 分）父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．

（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；

（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由．

22．（8 分）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为 30°，看台最低点 A到最高点 B的距离为，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆 DE．在 A，B两点处用仪器测量旗杆顶端 E 的仰角分别为 60°和 15°（仰角即视线与水平线的夹角）

（1）求 AE 的长；

（2）已知旗杆上有一面旗在离地 1 米的 F 点处，这面旗以 0.5 米/秒的速度匀速上升，求这

面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

23．（8 分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40元，售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/件）（x＞0 即售价上涨，x＜0 即售价下降），每月饰品销量为 y（件），月利润为 w（元）．

（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？

24．（9 分）在△ AOB中，C，D 分别是 OA，OB边上的点，将△ OCD 绕点 O顺时针旋转到△ OC′D′．（1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；

②AC′⊥BD′；

（2）如图 2，若△ AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想 ∠AEB=θ 是否成立？请说明理由．

25．（10 分）已知双曲线 y=1 （x＞0）

，直线l1:yk(xk0)过定点 F x

（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 且与双曲线交于 A，B两点，设 A

2 ），直线 l 2 ：y=

﹣x+ ．

（1）若 k=﹣1，求△ OAB的面积 S；

（2）若 AB= ，求 k 的值；

（3）设 N（0，2 ），P 在双曲线上，M 在直线 l 2 上且 PM∥x 轴，求 PM+PN 最小值，并求 PM+PN 取得最小值时 P 的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若 A（x 1 ，y 1 ），B

（x 2 ，y 2 ）则 A，B两点间的距离为 AB= ）

10．（3 分）（2015•黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆 O 的直径

AB=100，在半圆弧上有一运动员 C 从 B点沿半圆周匀速运动到 M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到 A 点停止．设运动时间为 t，点 B到直线 OC 的距离为 d，则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是（）

A． B． C． D．

分析：设运动员 C 的速度为 v，则运动了 t 的路程为 vt，设∠BOC=α，当点 C 从运动到 M 时，当点 C 从 M 运动到 A 时，分别求出 d 与 t 之间的关系即可进行判断．

解答：解：设运动员 C 的速度为 v，则运动了 t 的路程为 vt，

设∠BOC=α，当点 C 从运动到 M 时，

∵vt= = ，

∴α= ，

在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin =50sin t，

∴d 与 t 之间的关系 d=50sin t，

当点 C 从 M 运动到 A 时，d 与 t 之间的关系 d=50sin（180﹣ t），

24．（9 分）（2015•黄石）在△ AOB中，C，D 分别是 OA，OB边上的点，将△ OCD 绕点

O顺时针旋转到△ OC′D′．

（1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图 2，若△ AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想∠AEB=θ 是否成立？请说明理由。

解答：（1）证明：①∵△OCD 旋转到△ OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵OA=OB，C、D 为 OA、OB的中点，

∴OC=OD，

∴OC′=OD′，

在△ AOC′和△ BOD′中，，

∴△AOC′≌△BOD′（SAS），

∴AC′=BD′；

②延长 AC′交 BD′于 E，交 BO 于 F，如图 1 所示：

∵△AOC′≌△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，

∴∠OBD′+∠BFE=90°，

∴∠BEA=90°，

∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ 成立，理由如下：如图 2 所示：

∵△OCD 旋转到△ OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵CD∥AB，

OCODOC'OD'

∴ ，∴ ， OAOBOAOB

OC'OA∴ ， 'ODOB

又∠AOC′=∠BOD′，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE， ∴∠AEB=∠AOB=θ．

2015 年湖北省黄石市中考数学试卷

一. 仔细选一选（每小题 3 分，共 30 分每小题的四个选项中只有一个是正确的）

4．（3 分）（2015•黄石）下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（）

A．①③ B． ①④ C．②③ D．③④

A．8 B． 7 C．9 D．10

）

6．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B． A． C． D．

7．在长方形 ABCD 中 AB=16，如图所示裁出一扇形 ABE，将扇形围成一个圆锥（AB 和 AE 重合），则此圆锥的底面半径为（）

A．4 B． 16 C．4 D．8

8．如图，在等腰△ ABC 中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD= （）

A．36° B． 54° C．18° D．64°

9．（3 分）（2015•黄石）当 1≤x≤2 时，ax+2＞0，则 a 的取值范围是（）

A．a＞﹣1 B． a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1 且 a≠0

A． B． C． D．

二.认真填一填（每小题

3 分，共 18 分）

12．反比例函数 y=

____________。的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是

14．（3 分）（2015•黄石）如图，圆 O 的直径 AB=8，AC=3CB，过 C 作 AB 的垂线交圆 O 于 M，N 两点，连结 MB，则∠MBA 的余弦值为．

16．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图 1 所示的形状，R

为 DE 的中点，BR 分别交 AC，CD 于 P，Q，易得 BP：QR：QR=3：1：2．

（1）若取四个直角三角形拼成如图 2 所示的形状，S 为 EF 的中点，BS 分别交 AC，CD， DE 于 P，Q，R，则 BP：PQ：QR：RS=

（2）若取五个直角三角形拼成如图 3 所示的形状，T 为 FG 的中点，BT 分别交 AC，CD， DE，EF 于 P，Q，R，S，则 BP：PQ：QR：RS：ST= ．

解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，

∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，∴BP：PR=BC：CE=1，

∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES．

又∵BC=CE ∴CQ=113SEEF ，∴DQ=EF 244

∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR．

又∵∠BAP=∠QDR，∴△BAP∽△QDR．

∴BP：QR=4：3．∴BP：PQ：QR=4：1：3，

∵DQ∥SE，∴QR：RS=DQ：SE=3：2，

∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．

故答案为：4：1：3：2；

（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形

∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，

BC=CE=EG，∴BP=PR=RT，

∵AC∥DE∥GF，∴△BPC∽△BER∽BTG，

1121FG ，RE= TGFG， 3633

521∴AP= FG，DR=FG ，FT=FG 632∴PC=TG∴AP：DR：FT=5：4：3．∵AC∥DE∥GF，

∴∠BPA=∠QRD=∠STF．

又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，∴△BAP∽△QDR∽△SFT．

∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．

又∵BP：QR：RT=1：1：1，

∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3．

故答案为：5：1：

4：2：3．

三. 解答题（9 个小题，共 72 分） 1

17．（7 分） °++（ ） 2 01

x24x4218．（7 分）先化简，再求值：1，其中 x2． xx

19．（7 分）如图，⊙O 的直径 AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于 D，D 是 BC的中点．

（1）求 BC 的长；

（2）过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，求证：直线 DE 是⊙O 的切线．

2x4y420．（8 分）解方程组．

2y2

（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；

（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由．

（1）求 AE 的长；

（2）已知旗杆上有一面旗在离地 1 米的 F 点处，这面旗以 0.5 米/秒的速度匀速上升，求这

面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？

②AC′⊥BD′；

（2）如图 2，若△ AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想 ∠AEB=θ 是否成立？请说明理由．

25．（10 分）已知双曲线 y=1 （x＞0）

，直线l1:yk(xk0)过定点 F x

（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 且与双曲线交于 A，B两点，设 A

2 ），直线 l 2 ：y=

﹣x+ ．

（1）若 k=﹣1，求△ OAB的面积 S；

（2）若 AB= ，求 k 的值；

（x 2 ，y 2 ）则 A，B两点间的距离为 AB= ）

10．（3 分）（2015•黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆 O 的直径

A． B． C． D．

解答：解：设运动员 C 的速度为 v，则运动了 t 的路程为 vt，

设∠BOC=α，当点 C 从运动到 M 时，

∵vt= = ，

∴α= ，

在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin =50sin t，

∴d 与 t 之间的关系 d=50sin t，

当点 C 从 M 运动到 A 时，d 与 t 之间的关系 d=50sin（180﹣ t），

24．（9 分）（2015•黄石）在△ AOB中，C，D 分别是 OA，OB边上的点，将△ OCD 绕点

O顺时针旋转到△ OC′D′．

（1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图 2，若△ AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想∠AEB=θ 是否成立？请说明理由。

解答：（1）证明：①∵△OCD 旋转到△ OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵OA=OB，C、D 为 OA、OB的中点，

∴OC=OD，

∴OC′=OD′，

在△ AOC′和△ BOD′中，，

∴△AOC′≌△BOD′（SAS），

∴AC′=BD′；

②延长 AC′交 BD′于 E，交 BO 于 F，如图 1 所示：

∵△AOC′≌△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，

∴∠OBD′+∠BFE=90°，

∴∠BEA=90°，

∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ 成立，理由如下：如图 2 所示：

∵△OCD 旋转到△ OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵CD∥AB，

OCODOC'OD'

∴ ，∴ ， OAOBOAOB

OC'OA∴ ， 'ODOB

又∠AOC′=∠BOD′，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE， ∴∠AEB=∠AOB=θ．

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