圆与方程
1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆内
d＜r； b.点在圆上
d=r； c.点在圆外
d＞r
(2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2. ①M在圆C内⇔(x0-a)2+(y0-b)2r2 （3）涉及最值：
① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
PBmin=BN=BC-r PBmax=BM=BC+r
② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值
PAmin=AN=r-AC PAmax=AM=r+AC
思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
3. 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 .
⎛DE⎫
(1) 当D+E-4F>0时，方程表示一个圆，其中圆心C -,-⎪，半径r=
22⎝⎭
2
2
D2+E2-4F
.
2
(2) 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点 -
⎛DE⎫
,-⎪. 22⎭⎝
(3) 当D2+E2-4F
注：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且A=C≠0且
D2+E2-4AF 0.
4. 直线与圆的位置关系：
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心到直线的距离d=
Aa+Bb+CA+B
2
2
1）d>r⇔直线与圆相离⇔无交点； 2）d=r⇔直线与圆相切⇔只有一个交点；
3）d
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎨的个数来判断：
（1）当∆>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当∆=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当∆
5. 两圆的位置关系
22
（1）设两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1与圆C2:(x-a2)+(y-b2)=r2，
2
2
⎧Ax+By+C=0
⎩x+y+Dx+Ey+F=0
2
2
求解，通过解
圆心距d=
(a1-a2)2+(b1-b2)2
① d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线； ② d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线； ③ r1-r2
④ d=r1-r2⇔内切⇔1条公切线； ⑤ 0
外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0， 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
则(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
① 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
22
过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F和：C=0x+y+D2x+E2y+F2=0交点的圆系212222
方程为x+y+D1x+E1y+F1+λx+y+D2x+E2y+F2=0（λ≠-1）
()
补充：
① 上述圆系不包括C2；
② 2）当λ=-1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为③ 过直线Ax+By
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎧y1-y0=k(x1-x0)⎪
b-y1-k(a-x1) ⎨R=⎪
R2+1⎩
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
特别地，过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。
7．切点弦
(1)过⊙C：(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
8. 切线长：
2
若圆的方程为(x-a)
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C1：x +y —2x =0和圆C2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，
若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(y-b)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为
22
d=(x0-a)2+(y0-b)2-r2．
圆与方程
1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆内
d＜r； b.点在圆上
d=r； c.点在圆外
d＞r
(2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2. ①M在圆C内⇔(x0-a)2+(y0-b)2r2 （3）涉及最值：
① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
PBmin=BN=BC-r PBmax=BM=BC+r
② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值
PAmin=AN=r-AC PAmax=AM=r+AC
思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
3. 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 .
⎛DE⎫
(1) 当D+E-4F>0时，方程表示一个圆，其中圆心C -,-⎪，半径r=
22⎝⎭
2
2
D2+E2-4F
.
2
(2) 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点 -
⎛DE⎫
,-⎪. 22⎭⎝
(3) 当D2+E2-4F
注：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且A=C≠0且
D2+E2-4AF 0.
4. 直线与圆的位置关系：
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心到直线的距离d=
Aa+Bb+CA+B
2
2
1）d>r⇔直线与圆相离⇔无交点； 2）d=r⇔直线与圆相切⇔只有一个交点；
3）d
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎨的个数来判断：
（1）当∆>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当∆=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当∆
5. 两圆的位置关系
22
（1）设两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1与圆C2:(x-a2)+(y-b2)=r2，
2
2
⎧Ax+By+C=0
⎩x+y+Dx+Ey+F=0
2
2
求解，通过解
圆心距d=
(a1-a2)2+(b1-b2)2
① d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线； ② d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线； ③ r1-r2
④ d=r1-r2⇔内切⇔1条公切线； ⑤ 0
外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0， 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
则(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
① 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
22
过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F和：C=0x+y+D2x+E2y+F2=0交点的圆系212222
方程为x+y+D1x+E1y+F1+λx+y+D2x+E2y+F2=0（λ≠-1）
()
补充：
① 上述圆系不包括C2；
② 2）当λ=-1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为③ 过直线Ax+By
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎧y1-y0=k(x1-x0)⎪
b-y1-k(a-x1) ⎨R=⎪
R2+1⎩
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
特别地，过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。
7．切点弦
(1)过⊙C：(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
8. 切线长：
2
若圆的方程为(x-a)
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C1：x +y —2x =0和圆C2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，
若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(y-b)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为
22
d=(x0-a)2+(y0-b)2-r2．