最优化方法习题1答案

《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案

二.简答题

min -5y19y2, s.t. 4y13y2 3, -2y1 y22, 1．

3y14y28, y1,y20;

x3 x40, （以x1为源行生成的割平面方程） 2．

注意：在x1为整数的情况下，因为x3,x40，该方程自然满足，这是割平面的退化情形

1

656

111

x3 x4, （以x2为源行生成的割平面方程）

442

3．

a10,b13

1a10.382(b1a1)00.382*31.146

1a10.618(b1a1)00.618*31.854 (1)(1.146)32*1.14610.2131(1)(1.854)32*1.85413.6648

事实上,不经计算也可以看出

(1)(1)，所以a20,b21.854。

即：初始的保留区间为[0，1.854]。近似的最优解：x*

01.854

0.927.2

f1(x)x1ex2*(1)2.7x1ex22.7

4．令

f2(x)x1ex2*(0)1x11f1(x)x1e

x2*(1)

0.4x1e

x2

0.4

f1(x)x1ex2*(2)0.1x1e2x20.1

拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：min

(f(x))

i

i1

4

2

三.计算题

1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 minf(x)x14x2。 取初始点x

2

2

1

T

2,2，0.1.

解：f2x1

在初始点x1

2,2T

8x2，

，

f4

16

从而最速下降法的搜索方向为：d14



16

.

最优步长*满足f(x(1)*d1)min

f(x(1)d1)

其中

f(x(1)d1)f(24,216)(24)24(216)2.

求解得到：17/130, 从而

x22,2T

17/130*(-4,-16)T(96/65,6/65)T

在x2

96/65,6/65T

，f192/65-48/65，



从而最速下降法的搜索方向为：d1192/65

48/65

.

继续迭代,直至满足精度。

在初始点x12,2T

，

G201

1/2008,G01/8

从而修正的牛顿法的搜索方向为：

d1G1f1/204-2

01/816 -2

最优步长*满足

f(x(1)*d1)minf(x(1)d1

)

f(x(1)d1)f(22,22)5(22)2.1, 从而x222,22T

(0,0)T

在x20,0T

，f00，显然满足精度。



2

f20x

(2)正定，08

x(2)即为所求的极小点。(1分)

易见：

min

2．讨论约束极值问题

2

f(x)x12x26x16x28

s.t.

x1x24xx0

21

x10x02

的Kuhn-Tucker点。

f(x)[2x16,2x26]T

g1(x)x1x24, g1(x)[1,1]T g2(x)x1x2, g2(x)[1,1]T

g3(x)x1, g3(x)[1,0]T。 g4(x)x2, g4(x)[0,1]T

所以该约束问题的Kuhn-Tucker条件为

2x161110121304102x61

2

(xx4)0

2

11

2(x1x2)0

3x10

4x20

x1x240xx0

2

1

x10x021,2,3,40

若x10,x20,则x1x2440, 从而10。

代入第一个式子得到62306240

从而2460,矛盾。

若x10,x20,则x1x20从而20。又由于x20,从而40

代入第一个式子得到61302x2610

从而136,2x26362x230,与x20,30矛盾。

若x10,x20,则x1x20则20,30

代入第一个式子得到2x16106140

从而146,2x16462x140,与x10,40矛盾。

若x10,x20,且x1x20则20。又由于x10,x20从而30, 40,

代入第一个式子得到2x16102x2610

从而x1x2,与x1x20矛盾。

若x10,x20,x1x2,但x1x24则10。又由于x10,x20从而30, 40,

代入第一个式子得到2x16202x2620从而12,

x1x23,这与x1x24矛盾。

x10,

x20,x1x24,

讨论了所有的情况后,我们可以得出结论,从而(2,2)为该问题的一个KuhnTucker点.

3．构造増广函数

x)(x1)2(x)22

123k(x1x22)若x1x220

k((x2(x2

11)23)

若x1x220若x1x220,则

由2(x11)0

k(x)2(x3)

20，可得

x11,x23,与x1x220矛盾.若x1x220,则

由2(x11)2k(x1x22)0

k(x)2(x3)2k(x1x22)

20，可得

x11

2x12,x112.从而x22

k12k这是对于固定的k，minxR

2

k(x)的解.lim x1k

lim

1

120

kk

x2 x122从而

x*(0,2)为原问题的最优解。

minf(x)x2

16x192x2

4．用内点法求解非线性规划

s.t. g1(x)x130 g2(x)x230

构造増广函数

2k(x)x16x192x2k(

1x1

3

)13x2

2xk16由(x213)k(x)0k，可得20(x

23)2xk

13k

2x23

2

这是对于固定的k，min

xR

2

k(x)的解.limk3

k0

x1lim0

3k2

k

lim1k0

xlim3

k0

2

3从而

x*(3,3)为原问题的最优解。

(4分)

(2分)

(4分)

(4分)

(2分)

(4分)

5. 构造増广函数

1212

x1x2vk(x1x21)k(x1x21)226

x1vk2k(x1x21)0

由k(x)10，可得xv2(xx1)2kk12

3

2vk3(2kvk)

x23x1,x1k.从而x2

18k18k

k(x)

(4分)

(2分)

这是对于固定的k，mink(x)的解.2

xR

k

lim x1lim

2kvk1

k184k

(注意vk是一个数)

(4分)

3

x23x1

4从而

6．解：首先化成标准形式

13

x*(,)为原问题的最优解。

44

minZ3x12x2x3Mx7Mx8

x1x2x3x46

x3x5x74x1

x2x3x6x83x,x,x,x,x,x,x,x0

以x1为换入变量，根据最小比值原则确定x7为换出变量。

以x2为换入变量，根据最小比值原则确定x4为换出变量。

检验数全部为正，但人工变量没有完全换出，说明此优化问题没有可行解（可以验证原问题中包含矛盾的条件），此最优单纯形表的最优基是

1101101

B(p2,p1,p8)010 ，B010

101111

四.应用题

解：设x1,x2 分别为该厂生产甲乙两种产品的数量。该问题的目标规划模型为： (2分)



minzP1d1P2d2P3(2d35d4)

(3分)

12x130x2d1d12400



x12x2d2d2200

(5分)

x1d3d360 x2d4d480

x1,x2,di,di0

(i1,2,3,4)

其中在P3级目标中，因甲产品的利润与乙产品利润的比值为2：5，故取权系数为2：5. 求解过程见图.

(5分)

满足P1,P2目标的解空间为三角形ABC区域，考虑P3的目标要求时，因d3的权系数小于d4 的权系数，故先取d40，这时解空间为ACD区域，在此区域中，只有D点使d3取

值最小，故取D点为满意解，其坐标为（40,80），即该厂每年应生产甲产品40个单位，乙产品80个单位.

(5分)

《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案

二.简答题

min -5y19y2, s.t. 4y13y2 3, -2y1 y22, 1．

3y14y28, y1,y20;

x3 x40, （以x1为源行生成的割平面方程） 2．

注意：在x1为整数的情况下，因为x3,x40，该方程自然满足，这是割平面的退化情形

1

656

111

x3 x4, （以x2为源行生成的割平面方程）

442

3．

a10,b13

1a10.382(b1a1)00.382*31.146

1a10.618(b1a1)00.618*31.854 (1)(1.146)32*1.14610.2131(1)(1.854)32*1.85413.6648

事实上,不经计算也可以看出

(1)(1)，所以a20,b21.854。

即：初始的保留区间为[0，1.854]。近似的最优解：x*

01.854

0.927.2

f1(x)x1ex2*(1)2.7x1ex22.7

4．令

f2(x)x1ex2*(0)1x11f1(x)x1e

x2*(1)

0.4x1e

x2

0.4

f1(x)x1ex2*(2)0.1x1e2x20.1

拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：min

(f(x))

i

i1

4

2

三.计算题

1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 minf(x)x14x2。 取初始点x

2

2

1

T

2,2，0.1.

解：f2x1

在初始点x1

2,2T

8x2，

，

f4

16

从而最速下降法的搜索方向为：d14



16

.

最优步长*满足f(x(1)*d1)min

f(x(1)d1)

其中

f(x(1)d1)f(24,216)(24)24(216)2.

求解得到：17/130, 从而

x22,2T

17/130*(-4,-16)T(96/65,6/65)T

在x2

96/65,6/65T

，f192/65-48/65，



从而最速下降法的搜索方向为：d1192/65

48/65

.

继续迭代,直至满足精度。

在初始点x12,2T

，

G201

1/2008,G01/8

从而修正的牛顿法的搜索方向为：

d1G1f1/204-2

01/816 -2

最优步长*满足

f(x(1)*d1)minf(x(1)d1

)

f(x(1)d1)f(22,22)5(22)2.1, 从而x222,22T

(0,0)T

在x20,0T

，f00，显然满足精度。



2

f20x

(2)正定，08

x(2)即为所求的极小点。(1分)

易见：

min

2．讨论约束极值问题

2

f(x)x12x26x16x28

s.t.

x1x24xx0

21

x10x02

的Kuhn-Tucker点。

f(x)[2x16,2x26]T

g1(x)x1x24, g1(x)[1,1]T g2(x)x1x2, g2(x)[1,1]T

g3(x)x1, g3(x)[1,0]T。 g4(x)x2, g4(x)[0,1]T

所以该约束问题的Kuhn-Tucker条件为

2x161110121304102x61

2

(xx4)0

2

11

2(x1x2)0

3x10

4x20

x1x240xx0

2

1

x10x021,2,3,40

若x10,x20,则x1x2440, 从而10。

代入第一个式子得到62306240

从而2460,矛盾。

若x10,x20,则x1x20从而20。又由于x20,从而40

代入第一个式子得到61302x2610

从而136,2x26362x230,与x20,30矛盾。

若x10,x20,则x1x20则20,30

代入第一个式子得到2x16106140

从而146,2x16462x140,与x10,40矛盾。

若x10,x20,且x1x20则20。又由于x10,x20从而30, 40,

代入第一个式子得到2x16102x2610

从而x1x2,与x1x20矛盾。

若x10,x20,x1x2,但x1x24则10。又由于x10,x20从而30, 40,

代入第一个式子得到2x16202x2620从而12,

x1x23,这与x1x24矛盾。

x10,

x20,x1x24,

讨论了所有的情况后,我们可以得出结论,从而(2,2)为该问题的一个KuhnTucker点.

3．构造増广函数

x)(x1)2(x)22

123k(x1x22)若x1x220

k((x2(x2

11)23)

若x1x220若x1x220,则

由2(x11)0

k(x)2(x3)

20，可得

x11,x23,与x1x220矛盾.若x1x220,则

由2(x11)2k(x1x22)0

k(x)2(x3)2k(x1x22)

20，可得

x11

2x12,x112.从而x22

k12k这是对于固定的k，minxR

2

k(x)的解.lim x1k

lim

1

120

kk

x2 x122从而

x*(0,2)为原问题的最优解。

minf(x)x2

16x192x2

4．用内点法求解非线性规划

s.t. g1(x)x130 g2(x)x230

构造増广函数

2k(x)x16x192x2k(

1x1

3

)13x2

2xk16由(x213)k(x)0k，可得20(x

23)2xk

13k

2x23

2

这是对于固定的k，min

xR

2

k(x)的解.limk3

k0

x1lim0

3k2

k

lim1k0

xlim3

k0

2

3从而

x*(3,3)为原问题的最优解。

(4分)

(2分)

(4分)

(4分)

(2分)

(4分)

5. 构造増广函数

1212

x1x2vk(x1x21)k(x1x21)226

x1vk2k(x1x21)0

由k(x)10，可得xv2(xx1)2kk12

3

2vk3(2kvk)

x23x1,x1k.从而x2

18k18k

k(x)

(4分)

(2分)

这是对于固定的k，mink(x)的解.2

xR

k

lim x1lim

2kvk1

k184k

(注意vk是一个数)

(4分)

3

x23x1

4从而

6．解：首先化成标准形式

13

x*(,)为原问题的最优解。

44

minZ3x12x2x3Mx7Mx8

x1x2x3x46

x3x5x74x1

x2x3x6x83x,x,x,x,x,x,x,x0

以x1为换入变量，根据最小比值原则确定x7为换出变量。

以x2为换入变量，根据最小比值原则确定x4为换出变量。

检验数全部为正，但人工变量没有完全换出，说明此优化问题没有可行解（可以验证原问题中包含矛盾的条件），此最优单纯形表的最优基是

1101101

B(p2,p1,p8)010 ，B010

101111

四.应用题

解：设x1,x2 分别为该厂生产甲乙两种产品的数量。该问题的目标规划模型为： (2分)



minzP1d1P2d2P3(2d35d4)

(3分)

12x130x2d1d12400



x12x2d2d2200

(5分)

x1d3d360 x2d4d480

x1,x2,di,di0

(i1,2,3,4)

其中在P3级目标中，因甲产品的利润与乙产品利润的比值为2：5，故取权系数为2：5. 求解过程见图.

(5分)

满足P1,P2目标的解空间为三角形ABC区域，考虑P3的目标要求时，因d3的权系数小于d4 的权系数，故先取d40，这时解空间为ACD区域，在此区域中，只有D点使d3取

值最小，故取D点为满意解，其坐标为（40,80），即该厂每年应生产甲产品40个单位，乙产品80个单位.

(5分)


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