概率公式整理
1．随机事件及其概率
A ⋃Ω=ΩA ⋂Ω=A
吸收律：A ⋃∅=A A ⋂∅=∅
A ⋃(AB ) =A A ⋂(A ⋃B ) =A
P (a
=F (b ) -F (a )
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布
P (X =k ) =p k (1-p ) 1-k , k =0, 1
(2) 二项分布 B (n , p )
A -B =A =A -(AB )
反演律：A ⋃B = AB =⋃
若P ( A ) = p
k k
P (X =k ) =C n p (1-p ) n -k , k =0, 1, , n
A = A A = A
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n n
*Possion 定理
2．概率的定义及其计算
lim np n =λ>0
n →∞
P () =1-P (A )
若A ⊂B ⇒P (B -A ) =P (B ) -P (A )
对任意两个事件A , B , 有 P (B -A ) =P (B ) -P (AB ) 加法公式：对任意两个事件A , B , 有
有
l i m C p (1-p n )
n →∞
k
n k n
n -k
k !
k =0, 1, 2,
=e
-λ
λk
(3) Poisson 分布 P (λ)
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) P (A ⋃B ) ≤P (A ) +P (B )
P (X =k ) =e
-λ
λk
k !
, k =0, 1, 2,
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b ) n -1
P (A A A ) + +(-1) P (A ∑i j k 1A 2 A n )
n
P ( A i ) =∑P (A i ) -
i =1
i =1
n n
1≤i
∑P (A i A j ) +
P (AB )
P (A )
1≤i
3．条件概率 P B A = 乘法公式
()
⎧1
, a
f (x ) =⎨b -a
⎪0, 其他⎩
⎧0, ⎪⎪x -a F (x ) =⎨,
⎪b -a ⎪1⎩
(2) 指数分布 E (λ)
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
P (A ) =∑P (AB i ) =∑P (B i ) ⋅P (A B i )
i =1
i =1
n n
Bayes 公式
-λx ⎧⎪λe , x >0f (x ) =⎨
⎪其他⎩0,
P (B k ) P (A B k ) P (AB k )
=n P (B k A ) =
P (A )
∑P (B i ) P (A B i )
i =1
x
F (x ) =⎨-λx
1-e , x ≥0⎩
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
-1
e 2σ
(x -μ) 22σ2
4．随机变量及其分布 分布函数计算
f (x ) =-∞
1
F (x ) =
2πσ
⎰
x
-∞
e
-
(t -μ) 22σd t
f X Y (x y ) f Y (y ) f (x , y ) = f Y X (y x ) =
f X (x ) f X (x )
10. 随机变量的数字特征
数学期望
*N (0,1) — 标准正态分布
ϕ(x ) =
Φ(x ) =
1
e 2-
x 22
-∞
-t 22
E (X ) =∑x k p k
k =1
+∞
12π
⎰
x
-∞
e d t -∞
E (X ) =⎰xf (x ) dx
-∞
+∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩E (X k ) X 的 k 阶绝对原点矩E (|X |) X 的 k 阶中心矩E ((X -E (X )) k ) X 的 方差E ((X -E (X )) 2) =D (X ) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E (X k Y l ) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
k
F (x , y ) =⎰F X (x ) =⎰
x
x
-∞-∞
⎰
y
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
-∞-∞
⎰
+∞
f (u , v ) dvdu
f X (x ) =⎰f (x , v ) dv
-∞y
+∞
F Y (y ) =⎰
-∞-∞+∞
⎰
+∞
f (u , v ) dudv
f Y (y ) =⎰f (u , y ) du
-∞
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
E (X -E (X )) k (Y -E (Y )) l
X ,Y 的 二阶混合原点矩E (XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()
⎧1
⎪, (x , y ) ∈G
f (x , y ) =⎨A
⎪其他⎩0,
(2)二维正态分布
⎡(x -μ1) 2(x -μ1)(y -μ2) ⎤
-2ρ⎢⎥1σ1σ2σ⎢⎥1-2⎥2(1-ρ2) ⎢(y -μ2)
⎢+⎥σ2⎢⎥⎣⎦
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
f (x , y ) =
12πσ1σ2-ρ
2
⨯e
⎛(X -E (X ))(Y -E (Y )) ⎫
⎪=ρXY E
⎪D (X ) D (Y ) ⎝⎭
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
-∞
9. 二维随机变量的 条件分布
D (X ) =E (X 2) -E 2(X )
协方差
f (x , y ) =f X (x ) f Y X (y x )
=f Y (y ) f X (x y )
+∞
+∞
-∞
-∞
f X (x ) >0 f Y (y ) >0
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y ) =±
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰f X (x y ) f Y (y ) dy
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎰f Y X (y x ) f X (x ) dx
-∞
-∞
+∞+∞
1
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) ) 2
f X (x y ) =
f Y X (y x ) f X (x ) f (x , y ) = f Y (y ) f Y (y )
相关系数ρXY =
cov(X , Y )
D (X ) D (Y )
概率公式整理
1．随机事件及其概率
A ⋃Ω=ΩA ⋂Ω=A
吸收律：A ⋃∅=A A ⋂∅=∅
A ⋃(AB ) =A A ⋂(A ⋃B ) =A
P (a
=F (b ) -F (a )
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布
P (X =k ) =p k (1-p ) 1-k , k =0, 1
(2) 二项分布 B (n , p )
A -B =A =A -(AB )
反演律：A ⋃B = AB =⋃
若P ( A ) = p
k k
P (X =k ) =C n p (1-p ) n -k , k =0, 1, , n
A = A A = A
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n n
*Possion 定理
2．概率的定义及其计算
lim np n =λ>0
n →∞
P () =1-P (A )
若A ⊂B ⇒P (B -A ) =P (B ) -P (A )
对任意两个事件A , B , 有 P (B -A ) =P (B ) -P (AB ) 加法公式：对任意两个事件A , B , 有
有
l i m C p (1-p n )
n →∞
k
n k n
n -k
k !
k =0, 1, 2,
=e
-λ
λk
(3) Poisson 分布 P (λ)
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) P (A ⋃B ) ≤P (A ) +P (B )
P (X =k ) =e
-λ
λk
k !
, k =0, 1, 2,
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b ) n -1
P (A A A ) + +(-1) P (A ∑i j k 1A 2 A n )
n
P ( A i ) =∑P (A i ) -
i =1
i =1
n n
1≤i
∑P (A i A j ) +
P (AB )
P (A )
1≤i
3．条件概率 P B A = 乘法公式
()
⎧1
, a
f (x ) =⎨b -a
⎪0, 其他⎩
⎧0, ⎪⎪x -a F (x ) =⎨,
⎪b -a ⎪1⎩
(2) 指数分布 E (λ)
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
P (A ) =∑P (AB i ) =∑P (B i ) ⋅P (A B i )
i =1
i =1
n n
Bayes 公式
-λx ⎧⎪λe , x >0f (x ) =⎨
⎪其他⎩0,
P (B k ) P (A B k ) P (AB k )
=n P (B k A ) =
P (A )
∑P (B i ) P (A B i )
i =1
x
F (x ) =⎨-λx
1-e , x ≥0⎩
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
-1
e 2σ
(x -μ) 22σ2
4．随机变量及其分布 分布函数计算
f (x ) =-∞
1
F (x ) =
2πσ
⎰
x
-∞
e
-
(t -μ) 22σd t
f X Y (x y ) f Y (y ) f (x , y ) = f Y X (y x ) =
f X (x ) f X (x )
10. 随机变量的数字特征
数学期望
*N (0,1) — 标准正态分布
ϕ(x ) =
Φ(x ) =
1
e 2-
x 22
-∞
-t 22
E (X ) =∑x k p k
k =1
+∞
12π
⎰
x
-∞
e d t -∞
E (X ) =⎰xf (x ) dx
-∞
+∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩E (X k ) X 的 k 阶绝对原点矩E (|X |) X 的 k 阶中心矩E ((X -E (X )) k ) X 的 方差E ((X -E (X )) 2) =D (X ) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E (X k Y l ) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
k
F (x , y ) =⎰F X (x ) =⎰
x
x
-∞-∞
⎰
y
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
-∞-∞
⎰
+∞
f (u , v ) dvdu
f X (x ) =⎰f (x , v ) dv
-∞y
+∞
F Y (y ) =⎰
-∞-∞+∞
⎰
+∞
f (u , v ) dudv
f Y (y ) =⎰f (u , y ) du
-∞
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
E (X -E (X )) k (Y -E (Y )) l
X ,Y 的 二阶混合原点矩E (XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()
⎧1
⎪, (x , y ) ∈G
f (x , y ) =⎨A
⎪其他⎩0,
(2)二维正态分布
⎡(x -μ1) 2(x -μ1)(y -μ2) ⎤
-2ρ⎢⎥1σ1σ2σ⎢⎥1-2⎥2(1-ρ2) ⎢(y -μ2)
⎢+⎥σ2⎢⎥⎣⎦
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
f (x , y ) =
12πσ1σ2-ρ
2
⨯e
⎛(X -E (X ))(Y -E (Y )) ⎫
⎪=ρXY E
⎪D (X ) D (Y ) ⎝⎭
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
-∞
9. 二维随机变量的 条件分布
D (X ) =E (X 2) -E 2(X )
协方差
f (x , y ) =f X (x ) f Y X (y x )
=f Y (y ) f X (x y )
+∞
+∞
-∞
-∞
f X (x ) >0 f Y (y ) >0
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y ) =±
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰f X (x y ) f Y (y ) dy
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎰f Y X (y x ) f X (x ) dx
-∞
-∞
+∞+∞
1
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) ) 2
f X (x y ) =
f Y X (y x ) f X (x ) f (x , y ) = f Y (y ) f Y (y )
相关系数ρXY =
cov(X , Y )
D (X ) D (Y )