2017-2018学年度高二期中考试数学（理）卷
时间：120分钟；满分120分
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A. 假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度 2. 函数y =x 2sin x 的导数为（ ）
A ．y '=2x sin x +x 2cos x B．y '=2x sin x -x 2cos x C ．y '=x 2sin x +2x cos x D．y '=x 2sin x -2x cos x
3. 一物体的运动方程为s =t 2-2t +5，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ）
A 米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒
4. 函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在这点取极值的（ ）
A ．充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D.既不充分也不必要
A. 4+4i B.2+4i C.2+2i D.1+2i 7. 曲线y =
17
-x 上一点P (4, -) 处的切线方程是( ) x 4
A ．5x +
16y +8=0 B.5x -16y +8=0 C. 5x +16y -8=0 D.5x -16y -8=0 8. 如右图, 阴影部分面积为（ ）
b
A ．⎰a [f (x ) -g (x )]dx
B ．⎰a [g (x ) -f (x )]dx +⎰c [f (x ) -g (x )]dx C ．⎰a [f (x ) -g (x )]dx +⎰c [g (x ) -f (x )]dx D ．⎰a [g (x ) -f (x )]dx
b
c b
c b
9. 函数y =x 3-2x 2+2x 共有（ ）个极值.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．函数f (x ) 的定义域为区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如右，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点( )
A ．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题, 每题4分, 共16分）
13. 设曲线y =
1
在点(2，1) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = x -1
14. 将有曲线有y =x 和y =x 2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为 .
⎡a b ⎤⎡1＋i －1⎤
15．定义一种运算如下：⎢⎥＝ad －bc ，则复数⎢⎥的共轭复数是__________．
⎣c d ⎦⎣ 2 3i ⎦14. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2。若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．（本小题满分10分）已知复数z =(m 2+5m +6) +(m 2-2m -15) i ，当实数m 为何值时， （1）z 为实数； （2）z 为虚数； （3）z 为纯虚数．
18．（本小题满分10分）已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y =x -2．
（1）求y =f (x ) 的解析式； （2）求y =f (x ) 的单调递增区间．
19. （本小题满分12分）已知a 为实数，
2
()f x =(x -4)(x -a )
)； （1）求导数f '(x
()-1=0（2）若f '，求f (x )在[-2，2]上的最大值和最小值；
20. （本小题满分12分） 数列{a n }满足S n =2n -a （。 n n ∈N *）（Ⅰ）计算a 1，a 2，a 3，a 4；
（Ⅱ）猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明。
渭阳中学2011-2012学年度第二学期高二期中考试数学（理）
答 题 纸
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
11. . 12. . 13. . 14. .
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．（本小题满分10分）已知复数z =(m 2+5m +6) +(m 2-2m -15) i ，当实数m 为何值时，（1）
z 为实数； （2）z 为虚数； （3）z 为纯虚数．
18．（本小题满分10分）已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y =x -2．
（1）求y =f (x ) 的解析式； （2）求y =f (x ) 的单调递增区间．
19. （本小题满分12分）已知a 为实数，
2
()f x =(x -4)(x -a )
)； （1）求导数f '(x
()-1=0（2）若f '，求f (x )在[-2，2]上的最大值和最小值；
20. （本小题满分12分） 数列{a n }满足S n =2n -a （。 n n ∈N *）
（Ⅰ）计算a 1，a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明。
参 考 答 案
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题, 每题4分, 共16分）
2
π . 15
2222
=++S ∆BCD S ∆ABC S ∆ACD S ∆ABD
13. -1-3i . 14. .
11. -1 . 12.
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．解：（1）若z 为实数，则m 2-2m -15=0，解得m =-3或m =5； „„„„3分 （2）若z 为虚数，则m 2-2m -15≠0，解得m ≠-3或m ≠5； „„„„„„6分
2
⎧⎪m +5m +6=0，
（3）若z 为纯虚数，则⎨2解得m =-
2．„„„„„„„„„10分
⎪⎩m -2m -15≠0，
18．解：（1）f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，则c =1，
f ' (x ) =4ax 3+2
bx , k =f ' (1)=4a +2b =1,
切点为(1,-1) ，则f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(1,-1)
59
得a +b +c =-1, 得a =, b =-
22f (x ) =
5492
x -x +1； „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 22
（2）f ' (x ) =10x 3-9x >0, 单调递增区间为(+∞) ． „„„„„„„„„„„10分
19. 解：（1）
22()f ' x =2x (x -a ) +(x -4) =3x -2ax -4 „„„„„3分
()-1=0（2）由f '得a =
1
， 2
13122
(x ) =(x -4) =x -4x +2„„„„„„„„„„„„6分 故f
22
42
()f ' x =3x -x -4⇒x =-1, „„„„„„„„„„„„„„8分
3
[1**********]
由f ，f (-1) =，) ) (-2) =f (2) =0
[1**********]0
故f max „„„„„„„„„„„„„„„„12分 (x ) =，f min (x ) =227 3715
20. 解：（Ⅰ）a 1=1，a 2=，a 3=，a 4=„„„„„„„„„„„4分
248
2n -1
（Ⅱ）猜想a n =n -1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
2
证明：
① 当n=1 时，a 1=1猜想显然成立；„„„„„„„„„„„7分 ② 假设当n=k(n ≥1且n ∈N *)) 时，猜想成立，
2k -1
即a k =k -1, S k =a 1+a 2+... +a k =2k -a k ，
2
那么，n =k +1时，a k +1=S k +1-S k =2(k +1) -a k +1-， （2k -a k ）
2k -1
2+k -1
2+a k 2k +1-1===, 222k
∴a k +1
∴当n =k +1时猜想成立；„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
2017-2018学年度高二期中考试数学（理）卷
时间：120分钟；满分120分
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A. 假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度 2. 函数y =x 2sin x 的导数为（ ）
A ．y '=2x sin x +x 2cos x B．y '=2x sin x -x 2cos x C ．y '=x 2sin x +2x cos x D．y '=x 2sin x -2x cos x
3. 一物体的运动方程为s =t 2-2t +5，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ）
A 米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒
4. 函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在这点取极值的（ ）
A ．充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D.既不充分也不必要
A. 4+4i B.2+4i C.2+2i D.1+2i 7. 曲线y =
17
-x 上一点P (4, -) 处的切线方程是( ) x 4
A ．5x +
16y +8=0 B.5x -16y +8=0 C. 5x +16y -8=0 D.5x -16y -8=0 8. 如右图, 阴影部分面积为（ ）
b
A ．⎰a [f (x ) -g (x )]dx
B ．⎰a [g (x ) -f (x )]dx +⎰c [f (x ) -g (x )]dx C ．⎰a [f (x ) -g (x )]dx +⎰c [g (x ) -f (x )]dx D ．⎰a [g (x ) -f (x )]dx
b
c b
c b
9. 函数y =x 3-2x 2+2x 共有（ ）个极值.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．函数f (x ) 的定义域为区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如右，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点( )
A ．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题, 每题4分, 共16分）
13. 设曲线y =
1
在点(2，1) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = x -1
14. 将有曲线有y =x 和y =x 2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为 .
⎡a b ⎤⎡1＋i －1⎤
15．定义一种运算如下：⎢⎥＝ad －bc ，则复数⎢⎥的共轭复数是__________．
⎣c d ⎦⎣ 2 3i ⎦14. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2。若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．（本小题满分10分）已知复数z =(m 2+5m +6) +(m 2-2m -15) i ，当实数m 为何值时， （1）z 为实数； （2）z 为虚数； （3）z 为纯虚数．
18．（本小题满分10分）已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y =x -2．
（1）求y =f (x ) 的解析式； （2）求y =f (x ) 的单调递增区间．
19. （本小题满分12分）已知a 为实数，
2
()f x =(x -4)(x -a )
)； （1）求导数f '(x
()-1=0（2）若f '，求f (x )在[-2，2]上的最大值和最小值；
20. （本小题满分12分） 数列{a n }满足S n =2n -a （。 n n ∈N *）（Ⅰ）计算a 1，a 2，a 3，a 4；
（Ⅱ）猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明。
渭阳中学2011-2012学年度第二学期高二期中考试数学（理）
答 题 纸
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
11. . 12. . 13. . 14. .
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．（本小题满分10分）已知复数z =(m 2+5m +6) +(m 2-2m -15) i ，当实数m 为何值时，（1）
z 为实数； （2）z 为虚数； （3）z 为纯虚数．
18．（本小题满分10分）已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y =x -2．
（1）求y =f (x ) 的解析式； （2）求y =f (x ) 的单调递增区间．
19. （本小题满分12分）已知a 为实数，
2
()f x =(x -4)(x -a )
)； （1）求导数f '(x
()-1=0（2）若f '，求f (x )在[-2，2]上的最大值和最小值；
20. （本小题满分12分） 数列{a n }满足S n =2n -a （。 n n ∈N *）
（Ⅰ）计算a 1，a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明。
参 考 答 案
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题, 每题4分, 共16分）
2
π . 15
2222
=++S ∆BCD S ∆ABC S ∆ACD S ∆ABD
13. -1-3i . 14. .
11. -1 . 12.
三、解答题（本大题共4小题，总分44分）
17．解：（1）若z 为实数，则m 2-2m -15=0，解得m =-3或m =5； „„„„3分 （2）若z 为虚数，则m 2-2m -15≠0，解得m ≠-3或m ≠5； „„„„„„6分
2
⎧⎪m +5m +6=0，
（3）若z 为纯虚数，则⎨2解得m =-
2．„„„„„„„„„10分
⎪⎩m -2m -15≠0，
18．解：（1）f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，则c =1，
f ' (x ) =4ax 3+2
bx , k =f ' (1)=4a +2b =1,
切点为(1,-1) ，则f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(1,-1)
59
得a +b +c =-1, 得a =, b =-
22f (x ) =
5492
x -x +1； „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 22
（2）f ' (x ) =10x 3-9x >0, 单调递增区间为(+∞) ． „„„„„„„„„„„10分
19. 解：（1）
22()f ' x =2x (x -a ) +(x -4) =3x -2ax -4 „„„„„3分
()-1=0（2）由f '得a =
1
， 2
13122
(x ) =(x -4) =x -4x +2„„„„„„„„„„„„6分 故f
22
42
()f ' x =3x -x -4⇒x =-1, „„„„„„„„„„„„„„8分
3
[1**********]
由f ，f (-1) =，) ) (-2) =f (2) =0
[1**********]0
故f max „„„„„„„„„„„„„„„„12分 (x ) =，f min (x ) =227 3715
20. 解：（Ⅰ）a 1=1，a 2=，a 3=，a 4=„„„„„„„„„„„4分
248
2n -1
（Ⅱ）猜想a n =n -1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
2
证明：
① 当n=1 时，a 1=1猜想显然成立；„„„„„„„„„„„7分 ② 假设当n=k(n ≥1且n ∈N *)) 时，猜想成立，
2k -1
即a k =k -1, S k =a 1+a 2+... +a k =2k -a k ，
2
那么，n =k +1时，a k +1=S k +1-S k =2(k +1) -a k +1-， （2k -a k ）
2k -1
2+k -1
2+a k 2k +1-1===, 222k
∴a k +1
∴当n =k +1时猜想成立；„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分