考点4.5 周期性磁场问题
周期性磁场问题：粒子在磁场或含有磁场的复合场中运动时，磁场周期性变化，有方向周期性变化，也有大小周期性变化，不论是哪种周期性变化，最终引起的都是粒子轨迹周期性变化。有效地区分与联系粒子运动周期与磁场变化周期是解题的关键。
【例题】如图甲所示，在直角坐标系0≤x ≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L, 0) 为圆心、半径为L 的圆形区域，圆形区域与x 轴的交点分别为M 、N . 现有一质量为m 、带电荷量为e 的电子，从y 轴上的A 点以速度v 0沿x 轴正方向射入电场，飞出电场后从M 点进入圆形区域，速度方向与x 轴夹角为30°. 此时在圆形区域有如图乙所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从N 飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同(与x 轴夹角为30°) ．求：
(1) 电子进入圆形磁场区域时的速度大小； (2) 0≤x ≤L 区域内匀强电场场强E 的大小；
(3) 写出圆形磁场区域磁感应强度B 0的大小、磁场变化周期T 各应满足的表达式． 解析 (1)电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图所示．
v 由速度关系：＝cos 30°
v 2解得v ＝
30
(2)由速度关系得v y ＝v 0tan 30°eE 在竖直方向a m eE L
v y ＝at m v 03
mv
2
解得E ＝
3eL
3v 30
(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x 轴方向上的位移恰好等于R ，如图所示．粒子到达N 点而且速度符合要求的空间条件是：2nR ＝2L
mv 2mv nmv 电子在磁场内做圆周运动的轨道半径R 解得B 0＝(n ＝1、2、3…)
eB 03eB 03eL 1
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过MN 间运动时间是磁场变化周期的
61
整数倍时，可使粒子到达N 点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：2n T 0＝nT ，
62πm T 0＝
eB 0解得：T ＝
3πL
n ＝1、2、3…) 3nv 0
2
233mv 3nmv 3πL 【答案】v 0 (2) (3)B 0＝n ＝1、2、3…) T ＝(n ＝1、2、3…)
33eL 3eL 3nv 0
1. 图(a)所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy 平面(纸面) 垂直，磁感应强度B
随时间t 变化的周期为T ，变化图线如图(b)所示．当B 为＋B 0时，磁感应强度方向指向2π
纸外．在坐标原点O 有一带正电的粒子P . 不计重
TB 0力．设P 在某时刻t 0以某一初速度沿y 轴正向从O 点开始运动，将它经过时间T 到达的点记为A .
(a)
(b)
(1) 若t 0＝0，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？ T
(2) 若t 0OA 与x 轴的夹角是多少？
4
π
【答案】(1)0 2
2. 如图甲所示，在xOy 平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规
律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y 轴正方向电场强度为正). 在t ＝0时刻由原点O 发射初速度大小为v 0、方向沿y 轴正方向的带负电粒子.
π
已知v 0、t 0、B 0，粒子的比荷为，不计粒子的重力. 求：
B 0t 01
(1) t ＝t 0时，求粒子的位置坐标；
2
(2) 若t ＝5t 0时粒子回到原点，求0～5t 0时间内粒子距x 轴的最大距离.
v t v t 32
【答案】（1） ( v 0t 0.
ππ2π
3. 如图甲所示，在坐标系xOy 中，y 轴左侧有沿x 轴正向的匀强电场，场强大小为E ；y
轴右侧有如图乙所示，大小和方向周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小B 0已知．磁场方向垂直纸面向里为正．t ＝0时刻，从x 轴上的P 点无初速度释放一带正电的粒子，质量为m ，电荷量为q (粒子重力不计) ，粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等．求：
(1) P 点到O 点的距离；
(2) 粒子经一个周期沿y 轴发生的位移；
(3) 粒子能否再次经过O 点，若不能说明理由．若能，求粒子再次经过O 点的时刻； (4) 粒子第4n (n ＝1、2、3…)次经过y 轴时的纵坐标． mE π2πmE 15πm 【答案】 (2)(3)2qB 0 qB 0 qB 0
4. 如图a 所示的平面坐标系xOy ，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，
磁感应强度B 随时间变化的关系如图b 所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图) ，t ＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力) 从坐标原点O 沿x 轴正方向进入磁场，初速度为q
v 0＝2×103 m/s.已知该带电粒子的比荷为1.0×104 C/kg.试求：
m
(1) t 1＝
4π－
104 s时粒子所处位置的坐标(x 1，y 1) ； 3
(2) 带电粒子进入磁场运动后第一次到达y 轴时离出发点的距离h .
3
【答案】 m,0.6 m) (2)1.6 m
5
5. 在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy ，x 轴沿水平方向，如图甲所示。第二象限内
有一水平向右的匀强电场，场强为E 1。坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E 2=1/2E 1，匀强磁场方向垂直纸面。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个比荷q =102 C/kg的带正电
m
的粒子（可视为质点），该粒子以v 0=4 m/s的速度从-x 上的A 点进入第二象限，并以v 1=8 m/s速度从＋y 上的C 点沿水平方向进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），g =10 m/s2。试求：
(1) 带电粒子运动到C 点的纵坐标值h 及电场强度E
1
；
(2) ＋x 轴上有一点D ，OD =OC ，若带电粒子在通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，要使其恰能沿x 正方向通过D 点，求磁感应强度B 0及其磁场的变化周期T 0为多少？ (3) 要使带电粒子通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，求交变磁场磁感应强度B 0和变化周期T 0的乘积B 0T 0应满足的关系？
【答案】（1）0.8m 0.2N/C （2）B 0=0.2n （T ）（n =1,2,3……）T 0=（3）B 0T 0≤
π
20n
s ）（n =1,2,3）
π
60
（kg/C）
考点4.5 周期性磁场问题
周期性磁场问题：粒子在磁场或含有磁场的复合场中运动时，磁场周期性变化，有方向周期性变化，也有大小周期性变化，不论是哪种周期性变化，最终引起的都是粒子轨迹周期性变化。有效地区分与联系粒子运动周期与磁场变化周期是解题的关键。
【例题】如图甲所示，在直角坐标系0≤x ≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L, 0) 为圆心、半径为L 的圆形区域，圆形区域与x 轴的交点分别为M 、N . 现有一质量为m 、带电荷量为e 的电子，从y 轴上的A 点以速度v 0沿x 轴正方向射入电场，飞出电场后从M 点进入圆形区域，速度方向与x 轴夹角为30°. 此时在圆形区域有如图乙所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从N 飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同(与x 轴夹角为30°) ．求：
(1) 电子进入圆形磁场区域时的速度大小； (2) 0≤x ≤L 区域内匀强电场场强E 的大小；
(3) 写出圆形磁场区域磁感应强度B 0的大小、磁场变化周期T 各应满足的表达式． 解析 (1)电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图所示．
v 由速度关系：＝cos 30°
v 2解得v ＝
30
(2)由速度关系得v y ＝v 0tan 30°eE 在竖直方向a m eE L
v y ＝at m v 03
mv
2
解得E ＝
3eL
3v 30
(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x 轴方向上的位移恰好等于R ，如图所示．粒子到达N 点而且速度符合要求的空间条件是：2nR ＝2L
mv 2mv nmv 电子在磁场内做圆周运动的轨道半径R 解得B 0＝(n ＝1、2、3…)
eB 03eB 03eL 1
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过MN 间运动时间是磁场变化周期的
61
整数倍时，可使粒子到达N 点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：2n T 0＝nT ，
62πm T 0＝
eB 0解得：T ＝
3πL
n ＝1、2、3…) 3nv 0
2
233mv 3nmv 3πL 【答案】v 0 (2) (3)B 0＝n ＝1、2、3…) T ＝(n ＝1、2、3…)
33eL 3eL 3nv 0
1. 图(a)所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy 平面(纸面) 垂直，磁感应强度B
随时间t 变化的周期为T ，变化图线如图(b)所示．当B 为＋B 0时，磁感应强度方向指向2π
纸外．在坐标原点O 有一带正电的粒子P . 不计重
TB 0力．设P 在某时刻t 0以某一初速度沿y 轴正向从O 点开始运动，将它经过时间T 到达的点记为A .
(a)
(b)
(1) 若t 0＝0，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？ T
(2) 若t 0OA 与x 轴的夹角是多少？
4
π
【答案】(1)0 2
2. 如图甲所示，在xOy 平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规
律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y 轴正方向电场强度为正). 在t ＝0时刻由原点O 发射初速度大小为v 0、方向沿y 轴正方向的带负电粒子.
π
已知v 0、t 0、B 0，粒子的比荷为，不计粒子的重力. 求：
B 0t 01
(1) t ＝t 0时，求粒子的位置坐标；
2
(2) 若t ＝5t 0时粒子回到原点，求0～5t 0时间内粒子距x 轴的最大距离.
v t v t 32
【答案】（1） ( v 0t 0.
ππ2π
3. 如图甲所示，在坐标系xOy 中，y 轴左侧有沿x 轴正向的匀强电场，场强大小为E ；y
轴右侧有如图乙所示，大小和方向周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小B 0已知．磁场方向垂直纸面向里为正．t ＝0时刻，从x 轴上的P 点无初速度释放一带正电的粒子，质量为m ，电荷量为q (粒子重力不计) ，粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等．求：
(1) P 点到O 点的距离；
(2) 粒子经一个周期沿y 轴发生的位移；
(3) 粒子能否再次经过O 点，若不能说明理由．若能，求粒子再次经过O 点的时刻； (4) 粒子第4n (n ＝1、2、3…)次经过y 轴时的纵坐标． mE π2πmE 15πm 【答案】 (2)(3)2qB 0 qB 0 qB 0
4. 如图a 所示的平面坐标系xOy ，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，
磁感应强度B 随时间变化的关系如图b 所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图) ，t ＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力) 从坐标原点O 沿x 轴正方向进入磁场，初速度为q
v 0＝2×103 m/s.已知该带电粒子的比荷为1.0×104 C/kg.试求：
m
(1) t 1＝
4π－
104 s时粒子所处位置的坐标(x 1，y 1) ； 3
(2) 带电粒子进入磁场运动后第一次到达y 轴时离出发点的距离h .
3
【答案】 m,0.6 m) (2)1.6 m
5
5. 在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy ，x 轴沿水平方向，如图甲所示。第二象限内
有一水平向右的匀强电场，场强为E 1。坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E 2=1/2E 1，匀强磁场方向垂直纸面。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个比荷q =102 C/kg的带正电
m
的粒子（可视为质点），该粒子以v 0=4 m/s的速度从-x 上的A 点进入第二象限，并以v 1=8 m/s速度从＋y 上的C 点沿水平方向进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），g =10 m/s2。试求：
(1) 带电粒子运动到C 点的纵坐标值h 及电场强度E
1
；
(2) ＋x 轴上有一点D ，OD =OC ，若带电粒子在通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，要使其恰能沿x 正方向通过D 点，求磁感应强度B 0及其磁场的变化周期T 0为多少？ (3) 要使带电粒子通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，求交变磁场磁感应强度B 0和变化周期T 0的乘积B 0T 0应满足的关系？
【答案】（1）0.8m 0.2N/C （2）B 0=0.2n （T ）（n =1,2,3……）T 0=（3）B 0T 0≤
π
20n
s ）（n =1,2,3）
π
60
（kg/C）