二次根式.勾股定理.四边形

二次根式、勾股定理、四边形习题

【二次根式】 1. 定义： 2. 性质：

≥0（a ≥0）；

（a ≥0）；

3.计算：

4.最简二次根式：【学以致用】

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）． A ．

B ． C ． D ．5a 2

x 的取值范围是3. 已知a 、b

为两个连续的整数，且a

4. 若实数x 、

y y +2=0，则x +y 的值为. 5.

比较大小：6.

）

D ．27

7．下面计算正确的是（）

．3= B

=3 C

= D

8. 计算：2(

)

9. 观察规律：

=-2

=（n ≥1的整数）；

++ +

【勾股定理】： 1. 勾股定理：

2. 判定直角三角形的方法： 3. 勾股数：【学以致用】

1=____________；

)

1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．．．

A ．1

2 B ．1，2

C ．5，12，13 D ． 1

2. 若一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为（）

A.13 B. C.13或 D. 无法确定

3. 在直线l 上摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、 3正放置的四

个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4

4. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

5. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形. 如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，那么(a +b ) 的值为（）（A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1

6. 已知：△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AB=2，求BC 的长.

7. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF =EC =b ﹣a ． ∵ S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =b 2+ab ．又∵ S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =c 2+a （b ﹣a ） ∴

b 2

+ab =c 2+a （b ﹣a ） ∴ a 2+b 2=c 2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°．求证：a 2+b 2=c 2.

【各类四边形的定义、性质与判定】【学以致用】

1. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是( )

A. 一组对边相等

B. 一组对角相等 C. 两条对角线相等

D. 两条对角线互相平分

2. 对角线相等且互相平分的四边形一定是（）．

A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3．下列命题中不正确的是（）．．．

A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．平行四边形的面积等于底乘以这底上的高 C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4. 已知，□ABCD 的周长是44，对角线AC 、BD 相交于点O ，且△OAB 的周长比△OBC 的周长小4，则AB 的长为（）

A ．4 B.9 C.10 D.12

5. 如图，把矩形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD=6，则AF 等于（） A

. B

. C

. D . 8

6. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB

C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）

B. 2 C. 3

7. 在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=（）

A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°

8. 如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°, AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（） A ．2 B ．25 C ．42 D ．

9．如图， ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAC=30°，AE=3，则AC 的长等于 10．如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，∠ABC=60°，E 是AB 的中点，点P 是BD 上的一动点，则PA+PE的最小值为___________.

11．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA ⊥AF ．

12．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．

13．已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F 。求证：AE=BE+DF．

14．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE =AC ，CF ∥AE ，求∠BAE 的度数。

D E

【作业与检测】：

一、选择题

1．下列各式中，最简二次根式是（） A ．

B ． C ．a 2+1 D ．a 2 4

2．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）

A ．1，2，2 B ．1，1

C ．4，5，6 D ．1，，2 3．下列计算正确的是（） A

=2 B

．2=4 C

4． ①平行四边形的两组对边分别相等；②正方形的四个角相等；③菱形的两组对角线互相垂直；④依次连接对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是矩形。上述定理中，其逆命题正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．菱形ABCD 的对角线AC =5，BD =10，则该菱形的面积为（） A. 50 B. 25 C.

3 D.12.5 2

6．如图，△ABC 中，BC ＝18，若BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别为BC 、DE 的中点，若

ED ＝10，则FG 的长为（）

A. 2 B. 9 C. 10 D. 无法确定

二、填空题（每小题3分，共24分） 1．当x

_____时，式子

有意义。

x -4

2．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝120°，点M 、N 、P 分别为线段AB 、AD 、BD 上的任意一点，则PM ＋PN 的最小值为__________。

3．设a =7+6，b =7-，则a 2014b 2015的值是______。

4．在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，

若AC =DE 的长为 .

三、解答题

．计算：

2. 如图，在△ABC 中，AB =10，△ABC 的角平分线AD 的长为8，BD ＝6，求AC 的长.

3. 如图，P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点E 在BC 上，且PE=PB. （1）求证：PE=PD ；

（2）连接DE ，试判断∠PED 的度数，并证明你的结论.

4. 如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，联结BP 、BH 。

（1）求证：∠APB ＝∠BPH ；（2）求证：AP ＋HC ＝PH ；（3）当AP ＝1时，求PH 的长。