《函数图像的对称变换》
1、(1)函数y =f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称;
(2)函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称;
(3)函数y =-f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称.
2、奇函数的图像关于 对称,偶函数图像关于 对称.
3、(1)若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =f (b -x ) ,则y =f (x ) 的图像关于直线 对称.
(2)若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =2b -f (a -x ,则y =f (x ) 的图像关于点 )
对称.
4、对a >0且a ≠1,函数y =a x 和函数y =log a x 的图象关于直线对称.
5、要得到y =f (x ) 的图像,可将y =f (x ) 的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.
6、要得到y =f (x ) 的图像,可将y =f (x ) ,x ∈[0, +∞)的部分作出,再利用偶函数的图像关于 的对称性,作出x ∈(-∞,0)时的图像.
2
3、函数y =-e 的图象与函数
4、将函数f (x ) =2
.
5、设函数y =f (x ) 的定义域为R ,则函数y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图像的关系为关于 对称.
6、若函数f (x ) 对一切实数x 都有f (x +2) =f (2-x ) ,且方程f (x ) =0恰好有四个不同实根,求这些实根之和为 .
【例1】填空题:
(1
(2)对于定义在R 上的函数f (x ) ,有下列命题,其中正确的序号为 . x +1x 的图象向右平移一个单位得曲线C ,曲线C '与曲线C 关于直线y =x 对称,则C '的解析式为
) =f (x -1) ①若函数f (x ) 是奇函数,则f (x -1) 的图象关于点A (1,0)对称;②若对x ∈R ,有f (x +1,则y =f (x )
的图象关于直线x =1对称;③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称,则函数f (x ) 是偶函数;④函数 - 1 -
y =f (x +1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称.
(3)将曲线y =lg x 向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到曲线C .如果曲线C '与C 关于原点对称,则曲线C '所对应的函数式是 .
x (4)当a >1时,已知x 1,x 2分别是方程x +a =-1和x +log a x =-1解,则x 1+x 2的值为
⎛1⎫2例2】作出下列函数的图象:(1)y =log 1(-x ) ;(2)y =- ⎪;(3)y =log 2x ;(4)y =x -1. ⎝2⎭2
【例3】(1)将函数y =log 1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位,得图象C ,图象C '与C 关于原点对称,图象C ''与C '
2x
关于直线y =x 对称,求C ''对应的函数解析式; (2)已知函数y =f (x ) 的定义域为R ,并且满足f (2+x ) =f (2-x ) .
①证明函数y =f (x ) 的图象关于直线x =2对称;
②若f (x ) 又是偶函数,且x ∈[0,2]时,f (x ) =2x -1, 求x ∈[-4,0]时f (x ) 的表达式.
1、函数y =(x +1) +1的对称中心是.
2、如果函数y =f (x ) 的图象与函数y =3-2x 的图象关于坐标原点对称,则f (x ) = .
- 2 - 3
3、设f (x ) =3x +a ,若要使f (x ) 的图象关于y 轴对称,则a =.
4、已知函数f (x ) =a sin 2x +cos2x (a ∈R ) 图象的一条对称轴方程为x =π
12,则a = .
+x ) =f (1-x ,) 则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系5、已知函数f (x ) =x 2-bx +c ,f (0)=3,且f (1
为 .
6、函数y =-3x +2在(-∞, a )上单调递减,则实数a 的范围为 . x +1
7、若函数y =f (x ) 的图象过点(1,1),则f (4-x ) 的图象一定过点 .
8、定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于点 -3⎛3⎫对任意实数x 都有f (x ) +f (x +) =0且f (-1) =1,,0⎪成中心对称,2⎝4⎭
f (0)=-2,则f (0)+f (1)+f (2)+
9、设函数f (x ) =sin(+f (2009)= . πx ππx -) -2cos 2+1. 468
(1)求f (x ) 的最小正周期;
(2)若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称,求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最大值.
310、设曲线C 的方程是y =x -x ,将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1. 43
(1)写出曲线C 1的方程;
(2)证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称; t s
22
t 3
(3)如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明:s =-t . 4
- 3 -
《函数图像的对称变换》
1、(1)函数y =f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称;
(2)函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称;
(3)函数y =-f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称.
2、奇函数的图像关于 对称,偶函数图像关于 对称.
3、(1)若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =f (b -x ) ,则y =f (x ) 的图像关于直线 对称.
(2)若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =2b -f (a -x ,则y =f (x ) 的图像关于点 )
对称.
4、对a >0且a ≠1,函数y =a x 和函数y =log a x 的图象关于直线对称.
5、要得到y =f (x ) 的图像,可将y =f (x ) 的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.
6、要得到y =f (x ) 的图像,可将y =f (x ) ,x ∈[0, +∞)的部分作出,再利用偶函数的图像关于 的对称性,作出x ∈(-∞,0)时的图像.
2
3、函数y =-e 的图象与函数
4、将函数f (x ) =2
.
5、设函数y =f (x ) 的定义域为R ,则函数y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图像的关系为关于 对称.
6、若函数f (x ) 对一切实数x 都有f (x +2) =f (2-x ) ,且方程f (x ) =0恰好有四个不同实根,求这些实根之和为 .
【例1】填空题:
(1
(2)对于定义在R 上的函数f (x ) ,有下列命题,其中正确的序号为 . x +1x 的图象向右平移一个单位得曲线C ,曲线C '与曲线C 关于直线y =x 对称,则C '的解析式为
) =f (x -1) ①若函数f (x ) 是奇函数,则f (x -1) 的图象关于点A (1,0)对称;②若对x ∈R ,有f (x +1,则y =f (x )
的图象关于直线x =1对称;③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称,则函数f (x ) 是偶函数;④函数 - 1 -
y =f (x +1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称.
(3)将曲线y =lg x 向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到曲线C .如果曲线C '与C 关于原点对称,则曲线C '所对应的函数式是 .
x (4)当a >1时,已知x 1,x 2分别是方程x +a =-1和x +log a x =-1解,则x 1+x 2的值为
⎛1⎫2例2】作出下列函数的图象:(1)y =log 1(-x ) ;(2)y =- ⎪;(3)y =log 2x ;(4)y =x -1. ⎝2⎭2
【例3】(1)将函数y =log 1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位,得图象C ,图象C '与C 关于原点对称,图象C ''与C '
2x
关于直线y =x 对称,求C ''对应的函数解析式; (2)已知函数y =f (x ) 的定义域为R ,并且满足f (2+x ) =f (2-x ) .
①证明函数y =f (x ) 的图象关于直线x =2对称;
②若f (x ) 又是偶函数,且x ∈[0,2]时,f (x ) =2x -1, 求x ∈[-4,0]时f (x ) 的表达式.
1、函数y =(x +1) +1的对称中心是.
2、如果函数y =f (x ) 的图象与函数y =3-2x 的图象关于坐标原点对称,则f (x ) = .
- 2 - 3
3、设f (x ) =3x +a ,若要使f (x ) 的图象关于y 轴对称,则a =.
4、已知函数f (x ) =a sin 2x +cos2x (a ∈R ) 图象的一条对称轴方程为x =π
12,则a = .
+x ) =f (1-x ,) 则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系5、已知函数f (x ) =x 2-bx +c ,f (0)=3,且f (1
为 .
6、函数y =-3x +2在(-∞, a )上单调递减,则实数a 的范围为 . x +1
7、若函数y =f (x ) 的图象过点(1,1),则f (4-x ) 的图象一定过点 .
8、定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于点 -3⎛3⎫对任意实数x 都有f (x ) +f (x +) =0且f (-1) =1,,0⎪成中心对称,2⎝4⎭
f (0)=-2,则f (0)+f (1)+f (2)+
9、设函数f (x ) =sin(+f (2009)= . πx ππx -) -2cos 2+1. 468
(1)求f (x ) 的最小正周期;
(2)若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称,求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最大值.
310、设曲线C 的方程是y =x -x ,将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1. 43
(1)写出曲线C 1的方程;
(2)证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称; t s
22
t 3
(3)如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明:s =-t . 4
- 3 -