《函数图像的对称变换》
1、（1）函数y =f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称；
（2）函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称；
（3）函数y =-f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称．
2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．
3、（1）若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =f (b -x ) ，则y =f (x ) 的图像关于直线 对称．
（2）若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =2b -f (a -x ，则y =f (x ) 的图像关于点 )
对称．
4、对a >0且a ≠1，函数y =a x 和函数y =log a x 的图象关于直线对称．
5、要得到y =f (x ) 的图像，可将y =f (x ) 的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．
6、要得到y =f (x ) 的图像，可将y =f (x ) ，x ∈[0, +∞)的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出x ∈(-∞,0)时的图像．
2
3、函数y =-e 的图象与函数
4、将函数f (x ) =2
．
5、设函数y =f (x ) 的定义域为R ，则函数y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图像的关系为关于 对称．
6、若函数f (x ) 对一切实数x 都有f (x +2) =f (2-x ) ，且方程f (x ) =0恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．
【例1】填空题：
（1
（2）对于定义在R 上的函数f (x ) ，有下列命题，其中正确的序号为 ． x +1x 的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y =x 对称，则C '的解析式为
) =f (x -1) ①若函数f (x ) 是奇函数，则f (x -1) 的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x +1，则y =f (x )
的图象关于直线x =1对称；③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，则函数f (x ) 是偶函数；④函数 - 1 -
y =f (x +1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称．
（3）将曲线y =lg x 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．
x （4）当a >1时，已知x 1，x 2分别是方程x +a =-1和x +log a x =-1解，则x 1+x 2的值为
⎛1⎫2例2】作出下列函数的图象：（1）y =log 1(-x ) ；（2）y =- ⎪；（3）y =log 2x ；（4）y =x -1． ⎝2⎭2
【例3】（1）将函数y =log 1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '
2x
关于直线y =x 对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数y =f (x ) 的定义域为R ，并且满足f (2+x ) =f (2-x ) ．
①证明函数y =f (x ) 的图象关于直线x =2对称；
②若f (x ) 又是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x ) =2x -1, 求x ∈[-4,0]时f (x ) 的表达式．
1、函数y =(x +1) +1的对称中心是．
2、如果函数y =f (x ) 的图象与函数y =3-2x 的图象关于坐标原点对称，则f (x ) = ．
- 2 - 3
3、设f (x ) =3x +a ，若要使f (x ) 的图象关于y 轴对称，则a =．
4、已知函数f (x ) =a sin 2x +cos2x (a ∈R ) 图象的一条对称轴方程为x =π
12，则a = ．
+x ) =f (1-x ，) 则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系5、已知函数f (x ) =x 2-bx +c ，f (0)=3，且f (1
为 ．
6、函数y =-3x +2在(-∞, a )上单调递减，则实数a 的范围为 ． x +1
7、若函数y =f (x ) 的图象过点(1,1)，则f (4-x ) 的图象一定过点 ．
8、定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于点 -3⎛3⎫对任意实数x 都有f (x ) +f (x +) =0且f (-1) =1，,0⎪成中心对称，2⎝4⎭
f (0)=-2，则f (0)+f (1)+f (2)+
9、设函数f (x ) =sin(+f (2009)= ． πx ππx -) -2cos 2+1． 468
（1）求f (x ) 的最小正周期；
（2）若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最大值．
310、设曲线C 的方程是y =x -x ，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1． 43
（1）写出曲线C 1的方程；
（2）证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称； t s
22
t 3
（3）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明：s =-t ． 4
- 3 -
《函数图像的对称变换》
1、（1）函数y =f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称；
（2）函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称；
（3）函数y =-f (-x ) 与y =f (x ) 的图像关于 对称．
2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．
3、（1）若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =f (b -x ) ，则y =f (x ) 的图像关于直线 对称．
（2）若对于函数y =f (x ) 定义域内的任意x 都有f (a +x ) =2b -f (a -x ，则y =f (x ) 的图像关于点 )
对称．
4、对a >0且a ≠1，函数y =a x 和函数y =log a x 的图象关于直线对称．
5、要得到y =f (x ) 的图像，可将y =f (x ) 的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．
6、要得到y =f (x ) 的图像，可将y =f (x ) ，x ∈[0, +∞)的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出x ∈(-∞,0)时的图像．
2
3、函数y =-e 的图象与函数
4、将函数f (x ) =2
．
5、设函数y =f (x ) 的定义域为R ，则函数y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图像的关系为关于 对称．
6、若函数f (x ) 对一切实数x 都有f (x +2) =f (2-x ) ，且方程f (x ) =0恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．
【例1】填空题：
（1
（2）对于定义在R 上的函数f (x ) ，有下列命题，其中正确的序号为 ． x +1x 的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y =x 对称，则C '的解析式为
) =f (x -1) ①若函数f (x ) 是奇函数，则f (x -1) 的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x +1，则y =f (x )
的图象关于直线x =1对称；③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，则函数f (x ) 是偶函数；④函数 - 1 -
y =f (x +1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称．
（3）将曲线y =lg x 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．
x （4）当a >1时，已知x 1，x 2分别是方程x +a =-1和x +log a x =-1解，则x 1+x 2的值为
⎛1⎫2例2】作出下列函数的图象：（1）y =log 1(-x ) ；（2）y =- ⎪；（3）y =log 2x ；（4）y =x -1． ⎝2⎭2
【例3】（1）将函数y =log 1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '
2x
关于直线y =x 对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数y =f (x ) 的定义域为R ，并且满足f (2+x ) =f (2-x ) ．
①证明函数y =f (x ) 的图象关于直线x =2对称；
②若f (x ) 又是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x ) =2x -1, 求x ∈[-4,0]时f (x ) 的表达式．
1、函数y =(x +1) +1的对称中心是．
2、如果函数y =f (x ) 的图象与函数y =3-2x 的图象关于坐标原点对称，则f (x ) = ．
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3、设f (x ) =3x +a ，若要使f (x ) 的图象关于y 轴对称，则a =．
4、已知函数f (x ) =a sin 2x +cos2x (a ∈R ) 图象的一条对称轴方程为x =π
12，则a = ．
+x ) =f (1-x ，) 则f (b x ) 与f (c x ) 的大小关系5、已知函数f (x ) =x 2-bx +c ，f (0)=3，且f (1
为 ．
6、函数y =-3x +2在(-∞, a )上单调递减，则实数a 的范围为 ． x +1
7、若函数y =f (x ) 的图象过点(1,1)，则f (4-x ) 的图象一定过点 ．
8、定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于点 -3⎛3⎫对任意实数x 都有f (x ) +f (x +) =0且f (-1) =1，,0⎪成中心对称，2⎝4⎭
f (0)=-2，则f (0)+f (1)+f (2)+
9、设函数f (x ) =sin(+f (2009)= ． πx ππx -) -2cos 2+1． 468
（1）求f (x ) 的最小正周期；
（2）若函数y =g (x ) 与y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，求当x ∈[0,]时y =g (x ) 的最大值．
310、设曲线C 的方程是y =x -x ，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1． 43
（1）写出曲线C 1的方程；
（2）证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称； t s
22
t 3
（3）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明：s =-t ． 4
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