专题X 整体法和隔离法
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。合理选择研究对象会使问题简化，反之，会使问题复杂化，甚至使问题无法解决。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个研究对象可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从其全过程中隔离出来。
整体法是将几个物体看作一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程作为一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去相互对立，但两者在本质上是统一的，因为将几个物体看作一个整体之后，还是要将它们与周围的环境隔离开来的。
这两种方法广泛地应用在受力分析、动量定理、动量守恒、动能定理、机械能守恒等问题中。
对于连结体问题，通常用隔离法，但有时也可采用整体法。如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法。对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。
一、静力学中的整体与隔离
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。
【例1】 在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b 和c ，如图所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）
A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右
B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左
C ．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定
D ．没有摩擦力的作用
【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D ．
【点评】本题若以三角形木块a 为研究对象，分析b 和c 对它的弹力和摩擦力，再求其合力来求解，则把问题复杂化了．此题可扩展为b 、c 两个物体均匀速下滑，想一想，应选什么？
【例2】有一个直角支架 AOB，AO 水平放置，表面粗糙，OB
竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环 Q，两环
质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，
并在某一位置平衡，如图。现将P
环向左移一小段距离，两环再
O A Q
次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）
A ．N 不变，T 变大 B．N 不变，T 变小
C ．N 变大，T 变大 D．N 变大，T 变小
【解析】隔离法：设PQ 与OA 的夹角为α，对P 有：
mg ＋Tsin α=N
对Q 有：Tsin α=mg
所以 N=2mg， T=mg/sinα 故N 不变，T 变大．答案为B
整体法：选P 、Q 整体为研究对象，在竖直方向上受到的合外力为零，直接可得N=2mg，再选P 或Q 中任一为研究对象，受力分析可求出T=mg/sinα
【点评】为使解答简便，选取研究对象时，一般优先考虑整体，若不能解答，再隔离考虑．
【例3】如图所示，设A 重10N ，B 重20N ，A 、B 间的
动摩擦因数为0.1，B 与地面的摩擦因数为0.2．问：（1）
至少对B 向左施多大的力，才能使A 、B 发生相对滑动？（2）
若A 、B 间μ1=0.4，B 与地间μ2=0.l，则F 多大才能产生
相对滑动？
【解析】（1）设A 、B 恰好滑动，则B 对地也要恰好滑
动，选A 、B 为研究对象，受力如图，由平衡条件得：
F=fB +2T
选A 为研究对象，由平衡条件有
T=fA f A =0.1×10=1N fB =0.2×30=6N F=8N。
（2）同理F=11N。
【例4】将长方形均匀木块锯成如图所示的三部分，其中B 、
C 两部分完全对称，现将三部分拼在一起放在粗糙水平面上，当
用与木块左侧垂直的水平向右力F 作用时，木块恰能向右匀速运
动，且A 与B 、A 与C 均无相对滑动，图中的θ角及F 为已知，
求A 与B 之间的压力为多少？
【解析】以整体为研究对象，木块平衡得F=f合
又因为 mA =2mB =2mC 且动摩擦因数相同，
所以 fB =F/4
再以B 为研究对象，受力如图所示，因B 平衡，所以
F 1=fB sin θ 即：F 1=Fsinθ/4
【点评】本题也可以分别对A 、B 进行隔离研究，其解答过程相当繁杂。
【例5】如图所示，在两块相同的竖直木板间，有质量均
为m 的四块相同的砖，用两个大小均为F 的水平力压木板，使
砖静止不动，则左边木板对第一块砖，第二块砖对第三块砖的
摩擦力分别为
B f
1
A ．4mg 、2mg B．2mg 、0 C．2mg 、mg D．4mg 、mg
【解析】设左、右木板对砖摩擦力为f1，第 3块砖对第2块砖摩擦为f2，则对四块砖作整体有：2f1=4mg，∴ f1=2mg。
对1、2块砖平衡有：f1+f2=2mg，∴ f2=0，故B 正确。
【例6】如图所示，两个完全相同的重为G 的球，两球与水平地面间的动摩擦因市委都是μ，一根轻绳两端固接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F 至少多大时，两球将发生滑动？
【解析】首先选用整体法，由平衡条件得
F ＋2N=2G ①
再隔离任一球，由平衡条件得
Tsin(θ/2)=μN ② 2·Tcos(θ/2)=F ③
①②③联立解之
。
【例7】如图所示，重为8N 的球静止在与水平面成37角的
光滑斜面上，并通过定滑轮与重4N 的物体A 相连，光滑挡板与水
平而垂直，不计滑轮的摩擦，绳子的质量，求斜面和挡板所受的
压力（sin37=0.6）。
【解析】分别隔离物体A 、球，并进行受力分析，如图所示：
由平衡条件可得： T=4N
Tsin37+N2cos37=8
N2sin37=N1+Tcos37
得 N1=1N N2=7N。
【例8】如图所示，光滑的金属球B 放在纵截面为等边三角
形的物体A 与坚直墙之间，恰好匀速下滑，已知物体A 的重力是
B 重力的6倍，不计球跟斜面和墙之间的摩擦，问：物体A 与水
平面之间的动摩擦因数μ是多少？
【解析】首先以B 为研究对象，进行受力分析如图
由平衡条件可得： N2=mB gcot30 ①
再以A 、B 为系统为研究对象．受力分析如图。
由平衡条件得：N 2=f， f=μ(mA +mB )g ②
解得 μ=√3/7
【例9】如图所示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度
系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统
处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这
过程中下面木块移动的距离为
0000000
【分析】本题主要是胡克定律的应用，同时要求考生能形成正确的物理图景，合理选择研究对象，并能进行正确的受力分析。求弹簧2原来的压缩量时，应把m 1、m 2看做一个整体，2的压缩量x 1=(m1+m2)g/k2。m 1脱离弹簧后，把m 2作为对象，2的压缩量x 2=m2g/k2。d=x1-x 2=m1g/k2。答案为C 。
【例10】如图所示，有两本完全相同的书A 、B ，书重均为5N ，若将两本书等分成若干份后，交叉地叠放在一起置于光滑桌面上，并将书A 固定不动，用水平向右的力F 把书B 匀速抽出。观测得一组数据如下：
根据以上数据，试求：
（1）若将书分成32份，力 F应为多大？
（2）该书的页数。
（3）若两本书任意两张纸之间的动摩擦因数μ相等，则μ为多少？
【解析】（l ）从表中可看出，将书分成 2，4，8，16，„是2倍数份时，拉力F 将分别增加6N ，12N ，24N ，„，增加恰为2的倍数，故将书分成32份时，增加拉力应为 48N，故力 F=46．5＋48=94.5N；
（2）逐页交叉时，需拉力F=190．5N ，恰好是把书分成 64份时，增加拉力 48×2=96N，需拉力 F=94.5＋96=190.5N
可见，逐页交叉刚好分为64份，即该书有64页；
（3）两张纸之间动摩擦因数为μ，则
F=190．5=μG/64+μ2G/64+μ3G/64+„„+μ128G/64=μG/64·(1+2+3+„„+128)=129μ×5
∴ μ=190.5/(129×5)=0.3。
【点评】请注意，将书分成份数不同，有所不同。
二、牛顿运动定律中的整体与隔离
当系统内各物体具有相同的加速度时，应先把这个系统当作一个整体（即看成一个质点），分析受到的外力及运动情况，利用牛顿第二定律求出加速度．如若要求系统内各物体相互作用的内力，则把物体隔离，对某个物体单独进行受力分析，再利用牛顿第二定律对该物体列式求解．隔离物体时应对受力少的物体进行隔离比较方便。
【例11】如图所示的三个物体A 、B 、C ，其质量分别为m 1、
m 2、m 3，带有滑轮的物体B 放在光滑平面上，滑轮和所有接触
面间的摩擦及绳子的质量均不计．为使三物体间无相对运动，
则水平推力的大小应为F ＝__________。
【解析】以F 1
表示绕过滑轮的绳子的张力，为使三物体间
无相对运动，则对于物体C 有：F 1＝m 3g ，以a 表示物体A 在拉力F 1作用下的加速度，则a =
有F 1m 3=g m 1m 1，由于三物体间无相对运动，则上述的a 也就是三物体作为一个整物
m 3
m 体运动的加速度，故得F ＝（m 1＋m 2＋m 3）a ＝1（m 1＋m 2＋m 3）g
【例12】如图，底座A 上装有一根直立竖杆，其总质量为M ，
杆上套有质量为m 的环B ，它与杆有摩擦。当环从底座以初速向上
飞起时（底座保持静止），环的加速度为a ，求环在升起的过程中，
底座对水平面的压力分别是多大？
【解析】采用隔离法：选环为研究对象，则 f+mg=ma (1)
选底座为研究对象，有F+f’-Mg=0 (2)
又f=f’ (3)
联立（1）（2）（3）解得：F=Mg-m(a-g)
采用整体法：选A 、B 整体为研究对象，其受力如图，A 的加速度
为a ，向下；B 的加速度为0．选向下为正方向，有：
(M+m)g-F=ma
解之：F=Mg-m(a-g)
【例13】如图，质量M=10kg的木楔ABC 静置于粗糙水平
地面上，与地面动摩擦因数μ=0.02．在木楔的倾角θ为300
) g 2的斜面上，有一质量为m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。在这个过程中木楔
22
没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（重力加速度g=10m/s） 【解析】由匀加速运动的公式v =vo +2as，得物块沿斜面下滑的加速度为
v 21. 42
a ===0. 722s 2⨯1. 4m/s (1)
2由于a
块受力，它受三个力，如图．对于沿斜面的方向和垂直于斜面的方向，由牛顿定律，有 C
mg sin θ-f 1=ma （2） mg cos θ-F 1=0 (3) 分析木楔受力，它受五个力作用，如图．对于水平方向，由牛顿定律，有
f 2+f 1cos θ-F 1sin θ=0 (4)
由此可解的地面对木楔的摩擦力
f 2=F 1sin θ-f 1cos θ=mg cos θsin θ-(mg sin θ-ma ) cos θ
=ma cos θ=0. 61N
此力方向与图中所设的一致（由C 指向B 的方向）．
上面是用隔离法解得，下面我们用整体法求解
（1）式同上。选M 、m 组成的系统为研究对象，系统受到的
外力如图．将加速度a 分解为水平的acos θ和竖直的asin θ，
对系统运用牛顿定律（M 加速度为0），有
水平方向：f =-ma cos θ=-0. 61N
“-”表示方向与图示方向相反
竖直方向：(M +m ) g -F =ma sin θ可解出地面对M 的支持力。
【点评】从上面两个例题中可看出，若系统内各物体加速度不相同而又不需要求系统内物体间的相互作用力时，只对系统分析外力，不考虑物体间相互作用的内力，可以大大简化数学运算．运用此方法时，要抓住两点(1)只分析系统受到的外力．(2)分析系统内各物体的加速度的大小和方向。
三、连接体中的整体与隔离
【例14】如图所示，木块A 、B 质量分别为m 、M ，用一
轻绳连接，在水平力F 的作用下沿光滑水平面加速运动，求
A 、B 间轻绳的张力T 。
为研究对象。对整体 F=（M+m）a 对木块A T=ma
【点评】当处理两个或两个以上物体的情况时可以取整体为研究对象，也可以以个体为研究对象，特别是在系统有相同运动状态时
【例15】如图所示，五个木块并排放在
水平地面上，它们的质量相同，与地面的摩
擦不计。当用力F 推第一块使它们共同加速
运动时，第2块对第3块的推力为__________。
【解析】五个木块具有相同的加速度，可以把它们当作一个整体。这个整体在水平
a cos θ a
C g 【分析】A 、B 有相同的运动状态，可以以整体为研究对象。求A 、B 间作用力可以A
a =
方向受到的合外力为F ，则F=5ma．所以F 5m 。要求第2块对第3块的作用力F 23，要在2于3之间隔离开。把3、4、5当成一个小整体，可得这一小整体在水平方向只受2对3的推力F 23，则F 23=(3m ) a =3F
5。
【点评】此题隔离后也可把1和2当成一小整体考虑，但稍繁些。
【例16】如图所示，物体M 、m 紧靠着置于摩擦系数为
μ的斜面上，斜面的倾角为θ，现施加一水平力F 作用于M ，
M 、m 共同向上作加速运动，求它们之间相互作用力的大小。
【解析】两个物体具有相同的沿斜面向上的加速度，可
以把它们当成一个整体（看作一个质点），其受力如图所示，
建立坐标系，则：F 1=(M +m ) g cos θ+F sin θ (1)
F cos θ-f 1-(M +m ) g sin θ=(M +m ) a （2）
且：f 1=μF 1 （3）
要求两物体间的相互作用力，应把两物体隔离开．对m
受力如图所示，则 F 2-mg cos θ=0 (4) F ' -f 2-mg sin θ=ma （5）
且：f 2=μF 2 （6） F ' =
联立以上方程组，解之：(cosθ-μsin θ) mF (M +m ) 。
【点评】此题也可分别隔离M 、m 进行受力分析，列方程组求解；或者先用整体法求解加速度，再对M 进行隔离，但这两种方法求解过程要繁杂一些。
四、动量、能量问题中的整体与隔离
【例17】质量分别为M 、m 的铁块、木块在水中以速度v 匀速下沉，某时刻细绳突然断裂，当木块速度为0时，求铁块的速度。
【分析】以铁块、木块组成的系统为研究对象，在绳断前、断后所受合外力均为零，所以系统动量守恒。根据题意有：（M+m）v=Mv’。
【变化】上题中如系统以加速度a 加速下沉，当速度为v 时细绳突然断裂，过时间t 后木块速度为0，求此时铁块的速度。
【分析】以系统为研究对象，在绳断前、断后系统所受合外力不变，为：(M+m)a 根据动量定理有： (M+m)at=Mv’-(m+M)v。
【例18】质量为m 、带电量为+q的甲乙两小球，静止于水平面上，相距L 。某时刻由静止释放，且甲球始终受一恒力F 作用，过t 秒后两球距离最短。（1）求此时两球的速度（2）若甲球速度达到最大时，两球相距L/2，求开始运动时甲乙两球的加速度之比。
【分析】（1）以系统为研究对象，根据动量定理有：Ft=2mv
（2）以甲球为研究对象，甲球速度最大时其所受合力为0，所以，此时两球间库仑力F ’=F，则开始时两球间库仑力为F ’/4。分别以甲、乙两球为研究对象，甲球所受合
外力为F-F/4=3F/4，乙球所受合外力为F/4，由此可得：开始时两球加速度之比为：3/1。
【例19】两根足够长的固定的平行金
属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距
离为ｌ．导轨上面横放着两根导体棒ａｂ
和ｃｄ，构成矩形回路，如图所示．两根
导体棒的质量皆为ｍ，电阻皆为Ｒ，回路
中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平
面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为Ｂ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒ｃｄ静止，棒ａｂ有指向棒ｃｄ的初速度ｖ０（见图）．若两导体棒在运动中始终不接触，求在运动中产生的焦耳热最多是多少?
【分析】从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有
ｍｖ０＝2ｍｖ，
根据能量守恒，整个过程中产生的总热量为
Ｑ＝（1／2）ｍｖ０－（1／2）（2ｍ）ｖ＝（1／4）ｍｖ０。
五、物理过程的整体与隔离
对于某些由多个过程组合起来的总过程的问题，若不要求解题过程的全部细节，而只是需求出过程的初末状态或者是过程的某一总的特征，则可以把多个过程总合为一个整体过程来处理。
【例20】质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为v 0时拖车突然
与汽车脱钩，到拖车停
下瞬间司机才发现。若
汽车的牵引力一直未
变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
【分析】以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为(M +m )a ，该过程经历时间为v 0/μg ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得： / ２２２(M +m )a ⋅v 0(M +m )(a +μg )v =M v '-(M +m )v 0, ∴v '=0μg μMg
【点评】这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是(M +m )a 。
【例21】一个质量为m ，带有电荷为－q 的小物体
可在水平轨道Ox 上运动，O 端有一与轨道垂直的固定墙，
场强大小为E ，方向沿x 正方向，如图．今小物体以初
速度v 0从x 0点沿Ox 轨道运动，运动中受到大小不变的
摩擦阻力f 作用，且f ＜Eq ．设小物体与墙碰撞时不损
失机械能且其电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s 。
【解析】由于Eq ＞f ，故小物体在任何一个x≠0的位置，其受力均不可能平衡，则小物体最后静止只可能是靠在墙上，即位于x ＝0处，比较小物体的初末两态，知其动能
和电势能都减少了，从能量的转化和守恒关系看，其损失的动能和电势能都是由于小物12mv 0+qEx 0=fs
体在运动中克服摩擦阻力做功而转化成了内能，这一关系为：2，
22qEx 0+mv 0s =2f 。
【点评】小物体在电场力qE 和摩擦力f 两力作用下的运动是匀变速运动，其沿＋x 方向运动时为匀减速运动，加速度
速度a +=qE +f m ，沿－x 方向运动时为匀加速运动．加a -=qE -f
m 。若根据匀变速运动的规律，可求得小物体将无限多次的与墙壁相碰，
且每次碰墙后反弹离开墙的最远距离将成等比数列减小。将这些往返的路程按无穷递减等比数列求和公式求和，可得出本题的答案。
显然可见，这种详细讨论全过程的每一子过程的解法要比上述的整体法的解法复杂得多。
【例22】充电后平行板电容器水平放置，如图所示。两班间距
离5cm ，在距下板2cm 处有一质量2kg 的不带电小球由静止开始下
落，小球与下板碰撞时获得2×10C 的负电荷，并能反跳到距下板
4cm 高处，设小球与下板的碰撞无机械能损失，已知上板带电量为
+1×10C ，试求板间场强E 的大小及电容器的电容C 。
【解析】此题看似一道属于二个过程的过程隔离问题，但是由于小球与下板的碰撞无机械能损失，所以可用运动整体法研究小球运动的全过程。
设小球下落高度h1，上升高度h2，则根据机械能守恒定律，在全过程中 -6-8+
m
E =
qEh2-mg(h2-h1)=0 mg (h 2-h 1) =500qh 2(V/m) E =根据U Q C ==4⨯108d U=Ed=25(V) U (F)
【点评】看似较复杂的多过程问题，使用整体研究运动过程，而使问题得到了简化。
【例23】有一电源，其内电阻甚大，但不知其具体数值．有两只电压表V A 和V B ，已知此两表的量程均大于上述电源的电动势，但不知此两电压表的内电阻的大小。要求只用这两只电压表和若干导线、开关组成电路，测出此电源的电动势，试说明你的办法。
【解析】测量办法如下：设两电压表的内电阻分别为R A 和R B
电源内电阻为r ，电动势为ε，将两电压表串联以后接于电源两
极之间组成如图所示的电路，记下此时两表的读数U A 和U B ，则
ε＝U A ＋U B ＋Ir ①
I =
由于此时电路中的电流大小为：U A U B =R A R B ε=U A +U B +
故有r U A R A ②
再将电压表V A 单独接于电源两极之间，如图。记下此时电压表的示数，令其为U A ' ，则有ε＝U A ' ＋I'r ③ ε=U A ' +
同上有r U A ' R A ④ r R 联立②④两式，将A 视为一个未知数消去，即可解得
' U A U ε=' B U A -U A ，将实验中测得的U 、U 、U ' 代入上式，便可解得此电源电动势之值。 A B A
【点评】在解题时，有时根据物理规律列出方程后，出现方程个数少于未知量个数的情况，这便成了不定方程而无法得到确定的解，在这种情况中，如果方程中的几个不是所要求的未知量，在各个方程中以相同的形式出现时，便可把这几个未知量组合当作一个整体量来看待，从而使方程中的未知量减少而把不定方程转化为有确定解的方程．例如本题以上的解答中，如仅能列出方程①和③，则此两方程中有ε、I 、I' 、r 四个未知I =
量，可以说此时还是在“山穷水尽疑无路”的境界，而如果能利用U A R A 这一转化关系将方程①和③变形为②和④，则到达“柳岸花明又一村”之处已是确定无疑的了。
整体法与隔离法在牛顿定律中的应用
1．整体法：在研究物理问题时，在应用牛顿第二定律解题时，有时为了方便，可以取一组物体（一组质点）为研究对象。这一组物体一般具有相同的速度和加速度，但也可以有不同的速度和加速度。以质点组为研究对象的好处是可以不考虑组内各物体间的相互作用，这往往给解题带来很大方便。使解题过程简单明了。
把所研究的对象作为一个整体来处理的方法称为整体法。采用整体法时不仅可以把几个物体作为整体，也可以把几个物理过程作为一个整体，采用整体法可以避免对整体内部进行繁琐的分析，常常使问题解答更简便、明了。
运用整体法解题的基本步骤： ①明确研究的系统或运动的全过程.
②画出系统的受力图和运动全过程的示意图.
③寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解
2．隔离法：把所研究对象从整体中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。可以把整个物体隔离成几个部分来处理，也可以把整个过程隔离成几个阶段来处理，还可以对同一个物体，同一过程中不同物理量的变化进行分别处理。采用隔离物体法能排除与研究对象无关的因素，使事物的特征明显地显示出来，从而进行有效的处理。
运用隔离法解题的基本步骤：
①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象. 选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少.
②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.
③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图.
④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解. 3．整体和局部是相对统一的，相辅相成的。
隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成. 所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用. 无论哪种方法均以尽可能避免或减少非待求量（即中间未知量的出现，如非待求的力，非待求的中间状态或过程等）的出现为原则
应用例析 【例1】
如图所示，A 、B 两木块的质量分别为m A 、m B ，在水平推力F 作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A 、B 间的弹力F N 。
解析：这里有a 、F N 两个未知数，需要要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B 、（A +B ）为对象较为简单（它们在水平方向上都只受到一个力作用）。可得F N =
m B
F
m A +m B
点评：这个结论还可以推广到水平面粗糙时（A 、B 与水平面间μ相同）；也可以推广到沿斜面方向推A 、B 向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。
【例2】
如图所示，质量为2m 的物块A 和质量为m 的物块B 与地面的摩擦均不计. 在已知水平推力F 的作用下，A 、B 做加速运动. A 对B 的作用力为多大?
解析：取A 、B 整体为研究对象，其水平方向只受一个力F 的作用 根据牛顿第二定律知：F ＝（2m ＋m ）a a ＝F ／3m
取B 为研究对象，其水平方向只受A 的作用力F 1，根据牛顿第二定律知： F 1＝ma
故F 1＝F ／3
点评：对连结体（多个相互关联的物体）问题，通常先取整体为研究对象，然后再根据要求的问题取某一个物体为研究对象.
【例3】
如图，倾角为α的斜面质量为M 与水平面间、斜面与质量为m 的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。
1 2
求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。 求出这时水平面对斜面的支持力大小。
解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。可以先求出木块的加速度a =g (sin α-μcos α)，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到：F f =mg (sinα-μcos α) cos α
如果给出斜面的质量M ，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为： F N =Mg +mg （cos α+μsin α）sin α，这个值小于静止时水平面对斜面的支持力。 【例4】
如图所示，m A =1kg，m B =2kg，A 、B 间静摩擦力的最大值是5N ，水平面光滑。用水平力F 拉B ，当拉力大小分别是F =10N和F =20N时，A 、B 的加速度各多大？
解析：先确定临界值，即刚好使A 、B 发生相对滑动的F 值。当A 、B 间的静摩擦力达到5N 时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A 在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以A 为对象得到a =5m/s2；再以A 、B 系统为对象得到 F =（m A +m B ）a =15N
（1）当F =10N
F
=3.3m/s2
m A +m B
（2）当F =20N>15N时，A 、B 间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：F =m A a A +m B a B ，而a A =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2
【例5】如图所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的下滑的过程中，木箱对地面的
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的
能力.B 级要求.
错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连续体问题难以对其隔离，列出正确方程. （2）思维缺乏创新，对整体法列出的方程感到疑惑.
解题方法与技巧：
解法一：（隔离法）木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.
取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f ，如图2-4，据牛顿第二定律得： mg -F f =ma
①
11
，即a =g ，则小球在22
取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′如图. 据物体平衡条件得： F N -F f ′-Mg =0 且F f =F f ′
② ③
由①②③式得F N =
2M +m
g
2
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为
F N ′=F N =
2M +m
g . 2
解法二：（整体法）对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式：
（mg +Mg ）-F N = ma +M ×0
故木箱所受支持力：F N =
2M +m
g ，由牛顿第三定律知： 22M +m
g . 2
木箱对地面压力F N ′=F N =
牛顿第二定律——连接体问题（整体法与隔离法）
一、连接体：当两个或两个以上的物体通过绳、杆、弹簧相连，或多个物体直接叠放在一起的系统
二、处理方法——整体法与隔离法
系统运动状态相同
整体法
问题不涉及物体间的内力 使用原则
系统各物体运动状态不同 隔离法
三、连接体题型：
1【例1】A 、B m B =6kg ，今用水平力F A =6N 推A ，用水平力F B =3间的作用力有多大？
【练1】如图所示，质量为M 的斜面A
与斜面间无摩擦。在水平向左的推力F 对滑动。已知斜面的倾角为θ，物体B （ ）
A. a =g sin θ, F =(M +m ) g (
μ+
B. a =g cos θ, F =(M +m ) g cos θC. a =g tan θ, F =(M +m ) g (μ+D. a =g cot θ, F =μ(M +m ) g
【练2】如图所示，质量为m 2的物体2相连接的绳与竖直方向成θ角，则（ A. 车厢的加速度为g sin θ m 1g
B. 绳对物体1的拉力为cos θ
C. 底板对物体2的支持力为(m 2-m 1) g D. 物体2所受底板的摩擦力为m 2g tan θ
2、连接体整体内部各部分有不同的加速度：【例2套有一个环，箱和杆的总质量为M 动，当加速度大小为a 时（a ＜g A. Mg + mg B. Mg—ma
【练3】如图所示，一只质量为m 不变。则杆下降的加速度为（ ）
m M +m g g g M M A. B. C. 【练4将一个重4 N而增加的读数是（ ）
A.4 N
B.2 N
C.0 N D.3 N
O 【练5】如图所示，A 、B 的质量分别为m A =0.2kg，m B =0.4kg，盘C 的质量m C =0.6kg，现悬挂于天花板O 处，处于静止状态。当用火柴烧断O 处的细线瞬间，木块A 的加速度a A 多大？木块B 对盘C 的压力F BC 多大？（g 取10m/s2）
连接体作业
1、如图所示，小车质量均为M ，光滑小球P 的质量为m ，绳的质量不计，水平地面光滑。要使小球P 随车一起匀加速运动（相对位置如图所示），则施于小车的水平拉力F 各是多少？（θ已知）
球刚好离开斜面 球刚好离开槽底
2、如图所示，A 、B 质量分别为m1，m2，它们在水平力F 的作用下均一起加速运动，甲、乙中水平面光滑，两物体间动摩擦因数为μ，丙中水平面光滑，丁中两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，求A 、B 间的摩擦力和弹力。
F=
F AB F AB F 3、如图所示，在光滑水平桌面上，叠放着三个质量相同的物体，用力推物体a ，使三个物体保持静止，一起作加速运动，则各物体所受的合外力 （ ） A ．a 最大 B ．c 最大 C ．同样大 D ．b 最小 4、如图所示, 小车的质量为M, 正在向右加速运动, 一个质量为m 的木块紧靠在车的前端相对于车保持静止,
A. 在竖直方向上, B. 在水平方向上, C. 若车的加速度变小, D. 若车的加速度变大, 5、物体A 、B 叠放在斜面体C 力为（
b
a c
F f 1，水平地面给斜面体F f 2≠0），则（ ）
A. C.
F f 1=0 B. F f 2F f 1水平向左 D. F f 26、如图3所示，质量为M 上、下滑动的整个过程中（ ）
A. 地面对物体M B. 地面对物体M C. 物块m D. 地面对物体M 7、如图所示，质量M ＝8kg 8N ，当小车速度达到1.5m/s体，物体与小车间的动摩擦因数μ1.5s 通过的位移大小.(g取10m/s2)
8、如图6所示，质量为m A 的物体A
与水平面成θ作用于地面凸出部分的水平压力的大小。
9、如图10所示，质量为M 的滑块C 绳连接，A 平放在滑块上，保持相对静止，F 至少应为多大？
10、在粗糙的水平面上有一质量为M 块的两个粗糙斜面上，有两个质量为m 1、m 2的物体分别以a 1、a 2的加速度沿斜面下滑。三角形木块始终是相对地面静止，求三角形木块受到静摩擦力和支持力？
《牛顿运动定律》练习题 姓名——
一、如（图一），位于水平面上质量为m 的木块，在大小为F ，方向与水平方向成α角
的拉力作用下沿地面做加速运动。若木筷与地面之间的滑动摩擦力因数为μ，则木块的加速度为： （ ） A ．D ．
B ．
F cos αm
C ．
F cos α-μmg
m
F cos α-μ（mg -F sin α）
m
木块滑到底部需要时间t ，与传送带不动所需的时间t 0相比较（两次木块从同一高度下滑）： （ ）
二、如（图二）。静止的倾斜传送带上有一木块加速下滑，现使传送带突然向上开动，
A ．t =t0 B ．t> t0 C ．t
三、如（图三）。质量为m 的物体在水平力F 为作用下由静止开始沿水平面向右运动，
已知该物体与水平面间动摩擦因素为μ，经过一段时间后，撤去力F ，物体再滑动一段时间停下，物体运动整个过程历时为t ，则该物体运动的总位移为—————————
———
四、如（图四）。一质量为m 的小球，由高h 处落下一个原长为15cm 的，质量不计的
弹簧上，当弹簧被压缩至12cm 时，小球的加速度刚好为0，当小球继续向下压缩2cm 时，小球的加速度是————————————
五、如（图五）。长l=75cm的静止直筒中有不计大小的小球，筒与小球总质量为4kg ，
现对筒施加一个竖直向下，大小为21N 的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s小球恰好跃出筒口，求小球的质量。
六、如（图六）。质量为6.6kg 物体在与水平或37的大小为F=30斜面上的拉力作用
下在水平面上做匀速直线运动，现将力变为大小F ’=44N，方向沿水平拉力作用，求
（1）此时物体的加速度大小
（2）由此时，经过10s 撤去F ’后物体的加速度大小和方向。
。。
七、如（图七）。底座A 上装有长0.5cm 的直立杆，总质量为0.2kg ，杆上套有质量为
0.05kg 繁荣小环B ，它与杆有摩擦，当环从底座上以4 m ∕s 速度升起时，则如能达到顶端，求
（1）环在升起过程中，底座对水平面压力多大？
（2）小环从杆落回底座需要多少时间？
八、如（图八），木块以v 0=6m ∕s 的水平速度滑上l=18m的水平静止的传送带，经t=6s
能由A 端运动到B 端，求：
（1）木块与传送带之间动摩擦力因数；
（2）若传送带以v 1=4m ∕s 顺时针转动，木块无水平初速度轻放到传送带上，说明木块运动情况；
（3）求第（2）问中木块用多长时间到达B
九、一个大木箱，水平放在手板车的后部，到驾驶室的极力L=1.6m，如（图九）。木箱
与车底板间动摩擦力因数为μ=0.48φ，平板车以恒定速度v 0=22.0m ∕s 匀速行驶，突然驾驶员刹车，使车均匀减速，为不让木箱撞出驾驶室，从开始刹车到车完全停止，至少要经过多少时间？
专题X 整体法和隔离法
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。合理选择研究对象会使问题简化，反之，会使问题复杂化，甚至使问题无法解决。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个研究对象可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从其全过程中隔离出来。
整体法是将几个物体看作一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程作为一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去相互对立，但两者在本质上是统一的，因为将几个物体看作一个整体之后，还是要将它们与周围的环境隔离开来的。
这两种方法广泛地应用在受力分析、动量定理、动量守恒、动能定理、机械能守恒等问题中。
对于连结体问题，通常用隔离法，但有时也可采用整体法。如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法。对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。
一、静力学中的整体与隔离
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。
【例1】 在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b 和c ，如图所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）
A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右
B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左
C ．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定
D ．没有摩擦力的作用
【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D ．
【点评】本题若以三角形木块a 为研究对象，分析b 和c 对它的弹力和摩擦力，再求其合力来求解，则把问题复杂化了．此题可扩展为b 、c 两个物体均匀速下滑，想一想，应选什么？
【例2】有一个直角支架 AOB，AO 水平放置，表面粗糙，OB
竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环 Q，两环
质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，
并在某一位置平衡，如图。现将P
环向左移一小段距离，两环再
O A Q
次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）
A ．N 不变，T 变大 B．N 不变，T 变小
C ．N 变大，T 变大 D．N 变大，T 变小
【解析】隔离法：设PQ 与OA 的夹角为α，对P 有：
mg ＋Tsin α=N
对Q 有：Tsin α=mg
所以 N=2mg， T=mg/sinα 故N 不变，T 变大．答案为B
整体法：选P 、Q 整体为研究对象，在竖直方向上受到的合外力为零，直接可得N=2mg，再选P 或Q 中任一为研究对象，受力分析可求出T=mg/sinα
【点评】为使解答简便，选取研究对象时，一般优先考虑整体，若不能解答，再隔离考虑．
【例3】如图所示，设A 重10N ，B 重20N ，A 、B 间的
动摩擦因数为0.1，B 与地面的摩擦因数为0.2．问：（1）
至少对B 向左施多大的力，才能使A 、B 发生相对滑动？（2）
若A 、B 间μ1=0.4，B 与地间μ2=0.l，则F 多大才能产生
相对滑动？
【解析】（1）设A 、B 恰好滑动，则B 对地也要恰好滑
动，选A 、B 为研究对象，受力如图，由平衡条件得：
F=fB +2T
选A 为研究对象，由平衡条件有
T=fA f A =0.1×10=1N fB =0.2×30=6N F=8N。
（2）同理F=11N。
【例4】将长方形均匀木块锯成如图所示的三部分，其中B 、
C 两部分完全对称，现将三部分拼在一起放在粗糙水平面上，当
用与木块左侧垂直的水平向右力F 作用时，木块恰能向右匀速运
动，且A 与B 、A 与C 均无相对滑动，图中的θ角及F 为已知，
求A 与B 之间的压力为多少？
【解析】以整体为研究对象，木块平衡得F=f合
又因为 mA =2mB =2mC 且动摩擦因数相同，
所以 fB =F/4
再以B 为研究对象，受力如图所示，因B 平衡，所以
F 1=fB sin θ 即：F 1=Fsinθ/4
【点评】本题也可以分别对A 、B 进行隔离研究，其解答过程相当繁杂。
【例5】如图所示，在两块相同的竖直木板间，有质量均
为m 的四块相同的砖，用两个大小均为F 的水平力压木板，使
砖静止不动，则左边木板对第一块砖，第二块砖对第三块砖的
摩擦力分别为
B f
1
A ．4mg 、2mg B．2mg 、0 C．2mg 、mg D．4mg 、mg
【解析】设左、右木板对砖摩擦力为f1，第 3块砖对第2块砖摩擦为f2，则对四块砖作整体有：2f1=4mg，∴ f1=2mg。
对1、2块砖平衡有：f1+f2=2mg，∴ f2=0，故B 正确。
【例6】如图所示，两个完全相同的重为G 的球，两球与水平地面间的动摩擦因市委都是μ，一根轻绳两端固接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F 至少多大时，两球将发生滑动？
【解析】首先选用整体法，由平衡条件得
F ＋2N=2G ①
再隔离任一球，由平衡条件得
Tsin(θ/2)=μN ② 2·Tcos(θ/2)=F ③
①②③联立解之
。
【例7】如图所示，重为8N 的球静止在与水平面成37角的
光滑斜面上，并通过定滑轮与重4N 的物体A 相连，光滑挡板与水
平而垂直，不计滑轮的摩擦，绳子的质量，求斜面和挡板所受的
压力（sin37=0.6）。
【解析】分别隔离物体A 、球，并进行受力分析，如图所示：
由平衡条件可得： T=4N
Tsin37+N2cos37=8
N2sin37=N1+Tcos37
得 N1=1N N2=7N。
【例8】如图所示，光滑的金属球B 放在纵截面为等边三角
形的物体A 与坚直墙之间，恰好匀速下滑，已知物体A 的重力是
B 重力的6倍，不计球跟斜面和墙之间的摩擦，问：物体A 与水
平面之间的动摩擦因数μ是多少？
【解析】首先以B 为研究对象，进行受力分析如图
由平衡条件可得： N2=mB gcot30 ①
再以A 、B 为系统为研究对象．受力分析如图。
由平衡条件得：N 2=f， f=μ(mA +mB )g ②
解得 μ=√3/7
【例9】如图所示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度
系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统
处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这
过程中下面木块移动的距离为
0000000
【分析】本题主要是胡克定律的应用，同时要求考生能形成正确的物理图景，合理选择研究对象，并能进行正确的受力分析。求弹簧2原来的压缩量时，应把m 1、m 2看做一个整体，2的压缩量x 1=(m1+m2)g/k2。m 1脱离弹簧后，把m 2作为对象，2的压缩量x 2=m2g/k2。d=x1-x 2=m1g/k2。答案为C 。
【例10】如图所示，有两本完全相同的书A 、B ，书重均为5N ，若将两本书等分成若干份后，交叉地叠放在一起置于光滑桌面上，并将书A 固定不动，用水平向右的力F 把书B 匀速抽出。观测得一组数据如下：
根据以上数据，试求：
（1）若将书分成32份，力 F应为多大？
（2）该书的页数。
（3）若两本书任意两张纸之间的动摩擦因数μ相等，则μ为多少？
【解析】（l ）从表中可看出，将书分成 2，4，8，16，„是2倍数份时，拉力F 将分别增加6N ，12N ，24N ，„，增加恰为2的倍数，故将书分成32份时，增加拉力应为 48N，故力 F=46．5＋48=94.5N；
（2）逐页交叉时，需拉力F=190．5N ，恰好是把书分成 64份时，增加拉力 48×2=96N，需拉力 F=94.5＋96=190.5N
可见，逐页交叉刚好分为64份，即该书有64页；
（3）两张纸之间动摩擦因数为μ，则
F=190．5=μG/64+μ2G/64+μ3G/64+„„+μ128G/64=μG/64·(1+2+3+„„+128)=129μ×5
∴ μ=190.5/(129×5)=0.3。
【点评】请注意，将书分成份数不同，有所不同。
二、牛顿运动定律中的整体与隔离
当系统内各物体具有相同的加速度时，应先把这个系统当作一个整体（即看成一个质点），分析受到的外力及运动情况，利用牛顿第二定律求出加速度．如若要求系统内各物体相互作用的内力，则把物体隔离，对某个物体单独进行受力分析，再利用牛顿第二定律对该物体列式求解．隔离物体时应对受力少的物体进行隔离比较方便。
【例11】如图所示的三个物体A 、B 、C ，其质量分别为m 1、
m 2、m 3，带有滑轮的物体B 放在光滑平面上，滑轮和所有接触
面间的摩擦及绳子的质量均不计．为使三物体间无相对运动，
则水平推力的大小应为F ＝__________。
【解析】以F 1
表示绕过滑轮的绳子的张力，为使三物体间
无相对运动，则对于物体C 有：F 1＝m 3g ，以a 表示物体A 在拉力F 1作用下的加速度，则a =
有F 1m 3=g m 1m 1，由于三物体间无相对运动，则上述的a 也就是三物体作为一个整物
m 3
m 体运动的加速度，故得F ＝（m 1＋m 2＋m 3）a ＝1（m 1＋m 2＋m 3）g
【例12】如图，底座A 上装有一根直立竖杆，其总质量为M ，
杆上套有质量为m 的环B ，它与杆有摩擦。当环从底座以初速向上
飞起时（底座保持静止），环的加速度为a ，求环在升起的过程中，
底座对水平面的压力分别是多大？
【解析】采用隔离法：选环为研究对象，则 f+mg=ma (1)
选底座为研究对象，有F+f’-Mg=0 (2)
又f=f’ (3)
联立（1）（2）（3）解得：F=Mg-m(a-g)
采用整体法：选A 、B 整体为研究对象，其受力如图，A 的加速度
为a ，向下；B 的加速度为0．选向下为正方向，有：
(M+m)g-F=ma
解之：F=Mg-m(a-g)
【例13】如图，质量M=10kg的木楔ABC 静置于粗糙水平
地面上，与地面动摩擦因数μ=0.02．在木楔的倾角θ为300
) g 2的斜面上，有一质量为m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。在这个过程中木楔
22
没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（重力加速度g=10m/s） 【解析】由匀加速运动的公式v =vo +2as，得物块沿斜面下滑的加速度为
v 21. 42
a ===0. 722s 2⨯1. 4m/s (1)
2由于a
块受力，它受三个力，如图．对于沿斜面的方向和垂直于斜面的方向，由牛顿定律，有 C
mg sin θ-f 1=ma （2） mg cos θ-F 1=0 (3) 分析木楔受力，它受五个力作用，如图．对于水平方向，由牛顿定律，有
f 2+f 1cos θ-F 1sin θ=0 (4)
由此可解的地面对木楔的摩擦力
f 2=F 1sin θ-f 1cos θ=mg cos θsin θ-(mg sin θ-ma ) cos θ
=ma cos θ=0. 61N
此力方向与图中所设的一致（由C 指向B 的方向）．
上面是用隔离法解得，下面我们用整体法求解
（1）式同上。选M 、m 组成的系统为研究对象，系统受到的
外力如图．将加速度a 分解为水平的acos θ和竖直的asin θ，
对系统运用牛顿定律（M 加速度为0），有
水平方向：f =-ma cos θ=-0. 61N
“-”表示方向与图示方向相反
竖直方向：(M +m ) g -F =ma sin θ可解出地面对M 的支持力。
【点评】从上面两个例题中可看出，若系统内各物体加速度不相同而又不需要求系统内物体间的相互作用力时，只对系统分析外力，不考虑物体间相互作用的内力，可以大大简化数学运算．运用此方法时，要抓住两点(1)只分析系统受到的外力．(2)分析系统内各物体的加速度的大小和方向。
三、连接体中的整体与隔离
【例14】如图所示，木块A 、B 质量分别为m 、M ，用一
轻绳连接，在水平力F 的作用下沿光滑水平面加速运动，求
A 、B 间轻绳的张力T 。
为研究对象。对整体 F=（M+m）a 对木块A T=ma
【点评】当处理两个或两个以上物体的情况时可以取整体为研究对象，也可以以个体为研究对象，特别是在系统有相同运动状态时
【例15】如图所示，五个木块并排放在
水平地面上，它们的质量相同，与地面的摩
擦不计。当用力F 推第一块使它们共同加速
运动时，第2块对第3块的推力为__________。
【解析】五个木块具有相同的加速度，可以把它们当作一个整体。这个整体在水平
a cos θ a
C g 【分析】A 、B 有相同的运动状态，可以以整体为研究对象。求A 、B 间作用力可以A
a =
方向受到的合外力为F ，则F=5ma．所以F 5m 。要求第2块对第3块的作用力F 23，要在2于3之间隔离开。把3、4、5当成一个小整体，可得这一小整体在水平方向只受2对3的推力F 23，则F 23=(3m ) a =3F
5。
【点评】此题隔离后也可把1和2当成一小整体考虑，但稍繁些。
【例16】如图所示，物体M 、m 紧靠着置于摩擦系数为
μ的斜面上，斜面的倾角为θ，现施加一水平力F 作用于M ，
M 、m 共同向上作加速运动，求它们之间相互作用力的大小。
【解析】两个物体具有相同的沿斜面向上的加速度，可
以把它们当成一个整体（看作一个质点），其受力如图所示，
建立坐标系，则：F 1=(M +m ) g cos θ+F sin θ (1)
F cos θ-f 1-(M +m ) g sin θ=(M +m ) a （2）
且：f 1=μF 1 （3）
要求两物体间的相互作用力，应把两物体隔离开．对m
受力如图所示，则 F 2-mg cos θ=0 (4) F ' -f 2-mg sin θ=ma （5）
且：f 2=μF 2 （6） F ' =
联立以上方程组，解之：(cosθ-μsin θ) mF (M +m ) 。
【点评】此题也可分别隔离M 、m 进行受力分析，列方程组求解；或者先用整体法求解加速度，再对M 进行隔离，但这两种方法求解过程要繁杂一些。
四、动量、能量问题中的整体与隔离
【例17】质量分别为M 、m 的铁块、木块在水中以速度v 匀速下沉，某时刻细绳突然断裂，当木块速度为0时，求铁块的速度。
【分析】以铁块、木块组成的系统为研究对象，在绳断前、断后所受合外力均为零，所以系统动量守恒。根据题意有：（M+m）v=Mv’。
【变化】上题中如系统以加速度a 加速下沉，当速度为v 时细绳突然断裂，过时间t 后木块速度为0，求此时铁块的速度。
【分析】以系统为研究对象，在绳断前、断后系统所受合外力不变，为：(M+m)a 根据动量定理有： (M+m)at=Mv’-(m+M)v。
【例18】质量为m 、带电量为+q的甲乙两小球，静止于水平面上，相距L 。某时刻由静止释放，且甲球始终受一恒力F 作用，过t 秒后两球距离最短。（1）求此时两球的速度（2）若甲球速度达到最大时，两球相距L/2，求开始运动时甲乙两球的加速度之比。
【分析】（1）以系统为研究对象，根据动量定理有：Ft=2mv
（2）以甲球为研究对象，甲球速度最大时其所受合力为0，所以，此时两球间库仑力F ’=F，则开始时两球间库仑力为F ’/4。分别以甲、乙两球为研究对象，甲球所受合
外力为F-F/4=3F/4，乙球所受合外力为F/4，由此可得：开始时两球加速度之比为：3/1。
【例19】两根足够长的固定的平行金
属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距
离为ｌ．导轨上面横放着两根导体棒ａｂ
和ｃｄ，构成矩形回路，如图所示．两根
导体棒的质量皆为ｍ，电阻皆为Ｒ，回路
中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平
面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为Ｂ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒ｃｄ静止，棒ａｂ有指向棒ｃｄ的初速度ｖ０（见图）．若两导体棒在运动中始终不接触，求在运动中产生的焦耳热最多是多少?
【分析】从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有
ｍｖ０＝2ｍｖ，
根据能量守恒，整个过程中产生的总热量为
Ｑ＝（1／2）ｍｖ０－（1／2）（2ｍ）ｖ＝（1／4）ｍｖ０。
五、物理过程的整体与隔离
对于某些由多个过程组合起来的总过程的问题，若不要求解题过程的全部细节，而只是需求出过程的初末状态或者是过程的某一总的特征，则可以把多个过程总合为一个整体过程来处理。
【例20】质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为v 0时拖车突然
与汽车脱钩，到拖车停
下瞬间司机才发现。若
汽车的牵引力一直未
变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
【分析】以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为(M +m )a ，该过程经历时间为v 0/μg ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得： / ２２２(M +m )a ⋅v 0(M +m )(a +μg )v =M v '-(M +m )v 0, ∴v '=0μg μMg
【点评】这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是(M +m )a 。
【例21】一个质量为m ，带有电荷为－q 的小物体
可在水平轨道Ox 上运动，O 端有一与轨道垂直的固定墙，
场强大小为E ，方向沿x 正方向，如图．今小物体以初
速度v 0从x 0点沿Ox 轨道运动，运动中受到大小不变的
摩擦阻力f 作用，且f ＜Eq ．设小物体与墙碰撞时不损
失机械能且其电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s 。
【解析】由于Eq ＞f ，故小物体在任何一个x≠0的位置，其受力均不可能平衡，则小物体最后静止只可能是靠在墙上，即位于x ＝0处，比较小物体的初末两态，知其动能
和电势能都减少了，从能量的转化和守恒关系看，其损失的动能和电势能都是由于小物12mv 0+qEx 0=fs
体在运动中克服摩擦阻力做功而转化成了内能，这一关系为：2，
22qEx 0+mv 0s =2f 。
【点评】小物体在电场力qE 和摩擦力f 两力作用下的运动是匀变速运动，其沿＋x 方向运动时为匀减速运动，加速度
速度a +=qE +f m ，沿－x 方向运动时为匀加速运动．加a -=qE -f
m 。若根据匀变速运动的规律，可求得小物体将无限多次的与墙壁相碰，
且每次碰墙后反弹离开墙的最远距离将成等比数列减小。将这些往返的路程按无穷递减等比数列求和公式求和，可得出本题的答案。
显然可见，这种详细讨论全过程的每一子过程的解法要比上述的整体法的解法复杂得多。
【例22】充电后平行板电容器水平放置，如图所示。两班间距
离5cm ，在距下板2cm 处有一质量2kg 的不带电小球由静止开始下
落，小球与下板碰撞时获得2×10C 的负电荷，并能反跳到距下板
4cm 高处，设小球与下板的碰撞无机械能损失，已知上板带电量为
+1×10C ，试求板间场强E 的大小及电容器的电容C 。
【解析】此题看似一道属于二个过程的过程隔离问题，但是由于小球与下板的碰撞无机械能损失，所以可用运动整体法研究小球运动的全过程。
设小球下落高度h1，上升高度h2，则根据机械能守恒定律，在全过程中 -6-8+
m
E =
qEh2-mg(h2-h1)=0 mg (h 2-h 1) =500qh 2(V/m) E =根据U Q C ==4⨯108d U=Ed=25(V) U (F)
【点评】看似较复杂的多过程问题，使用整体研究运动过程，而使问题得到了简化。
【例23】有一电源，其内电阻甚大，但不知其具体数值．有两只电压表V A 和V B ，已知此两表的量程均大于上述电源的电动势，但不知此两电压表的内电阻的大小。要求只用这两只电压表和若干导线、开关组成电路，测出此电源的电动势，试说明你的办法。
【解析】测量办法如下：设两电压表的内电阻分别为R A 和R B
电源内电阻为r ，电动势为ε，将两电压表串联以后接于电源两
极之间组成如图所示的电路，记下此时两表的读数U A 和U B ，则
ε＝U A ＋U B ＋Ir ①
I =
由于此时电路中的电流大小为：U A U B =R A R B ε=U A +U B +
故有r U A R A ②
再将电压表V A 单独接于电源两极之间，如图。记下此时电压表的示数，令其为U A ' ，则有ε＝U A ' ＋I'r ③ ε=U A ' +
同上有r U A ' R A ④ r R 联立②④两式，将A 视为一个未知数消去，即可解得
' U A U ε=' B U A -U A ，将实验中测得的U 、U 、U ' 代入上式，便可解得此电源电动势之值。 A B A
【点评】在解题时，有时根据物理规律列出方程后，出现方程个数少于未知量个数的情况，这便成了不定方程而无法得到确定的解，在这种情况中，如果方程中的几个不是所要求的未知量，在各个方程中以相同的形式出现时，便可把这几个未知量组合当作一个整体量来看待，从而使方程中的未知量减少而把不定方程转化为有确定解的方程．例如本题以上的解答中，如仅能列出方程①和③，则此两方程中有ε、I 、I' 、r 四个未知I =
量，可以说此时还是在“山穷水尽疑无路”的境界，而如果能利用U A R A 这一转化关系将方程①和③变形为②和④，则到达“柳岸花明又一村”之处已是确定无疑的了。
整体法与隔离法在牛顿定律中的应用
1．整体法：在研究物理问题时，在应用牛顿第二定律解题时，有时为了方便，可以取一组物体（一组质点）为研究对象。这一组物体一般具有相同的速度和加速度，但也可以有不同的速度和加速度。以质点组为研究对象的好处是可以不考虑组内各物体间的相互作用，这往往给解题带来很大方便。使解题过程简单明了。
把所研究的对象作为一个整体来处理的方法称为整体法。采用整体法时不仅可以把几个物体作为整体，也可以把几个物理过程作为一个整体，采用整体法可以避免对整体内部进行繁琐的分析，常常使问题解答更简便、明了。
运用整体法解题的基本步骤： ①明确研究的系统或运动的全过程.
②画出系统的受力图和运动全过程的示意图.
③寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解
2．隔离法：把所研究对象从整体中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。可以把整个物体隔离成几个部分来处理，也可以把整个过程隔离成几个阶段来处理，还可以对同一个物体，同一过程中不同物理量的变化进行分别处理。采用隔离物体法能排除与研究对象无关的因素，使事物的特征明显地显示出来，从而进行有效的处理。
运用隔离法解题的基本步骤：
①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象. 选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少.
②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.
③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图.
④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解. 3．整体和局部是相对统一的，相辅相成的。
隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成. 所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用. 无论哪种方法均以尽可能避免或减少非待求量（即中间未知量的出现，如非待求的力，非待求的中间状态或过程等）的出现为原则
应用例析 【例1】
如图所示，A 、B 两木块的质量分别为m A 、m B ，在水平推力F 作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A 、B 间的弹力F N 。
解析：这里有a 、F N 两个未知数，需要要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B 、（A +B ）为对象较为简单（它们在水平方向上都只受到一个力作用）。可得F N =
m B
F
m A +m B
点评：这个结论还可以推广到水平面粗糙时（A 、B 与水平面间μ相同）；也可以推广到沿斜面方向推A 、B 向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。
【例2】
如图所示，质量为2m 的物块A 和质量为m 的物块B 与地面的摩擦均不计. 在已知水平推力F 的作用下，A 、B 做加速运动. A 对B 的作用力为多大?
解析：取A 、B 整体为研究对象，其水平方向只受一个力F 的作用 根据牛顿第二定律知：F ＝（2m ＋m ）a a ＝F ／3m
取B 为研究对象，其水平方向只受A 的作用力F 1，根据牛顿第二定律知： F 1＝ma
故F 1＝F ／3
点评：对连结体（多个相互关联的物体）问题，通常先取整体为研究对象，然后再根据要求的问题取某一个物体为研究对象.
【例3】
如图，倾角为α的斜面质量为M 与水平面间、斜面与质量为m 的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。
1 2
求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。 求出这时水平面对斜面的支持力大小。
解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。可以先求出木块的加速度a =g (sin α-μcos α)，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到：F f =mg (sinα-μcos α) cos α
如果给出斜面的质量M ，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为： F N =Mg +mg （cos α+μsin α）sin α，这个值小于静止时水平面对斜面的支持力。 【例4】
如图所示，m A =1kg，m B =2kg，A 、B 间静摩擦力的最大值是5N ，水平面光滑。用水平力F 拉B ，当拉力大小分别是F =10N和F =20N时，A 、B 的加速度各多大？
解析：先确定临界值，即刚好使A 、B 发生相对滑动的F 值。当A 、B 间的静摩擦力达到5N 时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A 在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以A 为对象得到a =5m/s2；再以A 、B 系统为对象得到 F =（m A +m B ）a =15N
（1）当F =10N
F
=3.3m/s2
m A +m B
（2）当F =20N>15N时，A 、B 间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：F =m A a A +m B a B ，而a A =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2
【例5】如图所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的下滑的过程中，木箱对地面的
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的
能力.B 级要求.
错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连续体问题难以对其隔离，列出正确方程. （2）思维缺乏创新，对整体法列出的方程感到疑惑.
解题方法与技巧：
解法一：（隔离法）木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.
取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f ，如图2-4，据牛顿第二定律得： mg -F f =ma
①
11
，即a =g ，则小球在22
取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′如图. 据物体平衡条件得： F N -F f ′-Mg =0 且F f =F f ′
② ③
由①②③式得F N =
2M +m
g
2
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为
F N ′=F N =
2M +m
g . 2
解法二：（整体法）对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式：
（mg +Mg ）-F N = ma +M ×0
故木箱所受支持力：F N =
2M +m
g ，由牛顿第三定律知： 22M +m
g . 2
木箱对地面压力F N ′=F N =
牛顿第二定律——连接体问题（整体法与隔离法）
一、连接体：当两个或两个以上的物体通过绳、杆、弹簧相连，或多个物体直接叠放在一起的系统
二、处理方法——整体法与隔离法
系统运动状态相同
整体法
问题不涉及物体间的内力 使用原则
系统各物体运动状态不同 隔离法
三、连接体题型：
1【例1】A 、B m B =6kg ，今用水平力F A =6N 推A ，用水平力F B =3间的作用力有多大？
【练1】如图所示，质量为M 的斜面A
与斜面间无摩擦。在水平向左的推力F 对滑动。已知斜面的倾角为θ，物体B （ ）
A. a =g sin θ, F =(M +m ) g (
μ+
B. a =g cos θ, F =(M +m ) g cos θC. a =g tan θ, F =(M +m ) g (μ+D. a =g cot θ, F =μ(M +m ) g
【练2】如图所示，质量为m 2的物体2相连接的绳与竖直方向成θ角，则（ A. 车厢的加速度为g sin θ m 1g
B. 绳对物体1的拉力为cos θ
C. 底板对物体2的支持力为(m 2-m 1) g D. 物体2所受底板的摩擦力为m 2g tan θ
2、连接体整体内部各部分有不同的加速度：【例2套有一个环，箱和杆的总质量为M 动，当加速度大小为a 时（a ＜g A. Mg + mg B. Mg—ma
【练3】如图所示，一只质量为m 不变。则杆下降的加速度为（ ）
m M +m g g g M M A. B. C. 【练4将一个重4 N而增加的读数是（ ）
A.4 N
B.2 N
C.0 N D.3 N
O 【练5】如图所示，A 、B 的质量分别为m A =0.2kg，m B =0.4kg，盘C 的质量m C =0.6kg，现悬挂于天花板O 处，处于静止状态。当用火柴烧断O 处的细线瞬间，木块A 的加速度a A 多大？木块B 对盘C 的压力F BC 多大？（g 取10m/s2）
连接体作业
1、如图所示，小车质量均为M ，光滑小球P 的质量为m ，绳的质量不计，水平地面光滑。要使小球P 随车一起匀加速运动（相对位置如图所示），则施于小车的水平拉力F 各是多少？（θ已知）
球刚好离开斜面 球刚好离开槽底
2、如图所示，A 、B 质量分别为m1，m2，它们在水平力F 的作用下均一起加速运动，甲、乙中水平面光滑，两物体间动摩擦因数为μ，丙中水平面光滑，丁中两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，求A 、B 间的摩擦力和弹力。
F=
F AB F AB F 3、如图所示，在光滑水平桌面上，叠放着三个质量相同的物体，用力推物体a ，使三个物体保持静止，一起作加速运动，则各物体所受的合外力 （ ） A ．a 最大 B ．c 最大 C ．同样大 D ．b 最小 4、如图所示, 小车的质量为M, 正在向右加速运动, 一个质量为m 的木块紧靠在车的前端相对于车保持静止,
A. 在竖直方向上, B. 在水平方向上, C. 若车的加速度变小, D. 若车的加速度变大, 5、物体A 、B 叠放在斜面体C 力为（
b
a c
F f 1，水平地面给斜面体F f 2≠0），则（ ）
A. C.
F f 1=0 B. F f 2F f 1水平向左 D. F f 26、如图3所示，质量为M 上、下滑动的整个过程中（ ）
A. 地面对物体M B. 地面对物体M C. 物块m D. 地面对物体M 7、如图所示，质量M ＝8kg 8N ，当小车速度达到1.5m/s体，物体与小车间的动摩擦因数μ1.5s 通过的位移大小.(g取10m/s2)
8、如图6所示，质量为m A 的物体A
与水平面成θ作用于地面凸出部分的水平压力的大小。
9、如图10所示，质量为M 的滑块C 绳连接，A 平放在滑块上，保持相对静止，F 至少应为多大？
10、在粗糙的水平面上有一质量为M 块的两个粗糙斜面上，有两个质量为m 1、m 2的物体分别以a 1、a 2的加速度沿斜面下滑。三角形木块始终是相对地面静止，求三角形木块受到静摩擦力和支持力？
《牛顿运动定律》练习题 姓名——
一、如（图一），位于水平面上质量为m 的木块，在大小为F ，方向与水平方向成α角
的拉力作用下沿地面做加速运动。若木筷与地面之间的滑动摩擦力因数为μ，则木块的加速度为： （ ） A ．D ．
B ．
F cos αm
C ．
F cos α-μmg
m
F cos α-μ（mg -F sin α）
m
木块滑到底部需要时间t ，与传送带不动所需的时间t 0相比较（两次木块从同一高度下滑）： （ ）
二、如（图二）。静止的倾斜传送带上有一木块加速下滑，现使传送带突然向上开动，
A ．t =t0 B ．t> t0 C ．t
三、如（图三）。质量为m 的物体在水平力F 为作用下由静止开始沿水平面向右运动，
已知该物体与水平面间动摩擦因素为μ，经过一段时间后，撤去力F ，物体再滑动一段时间停下，物体运动整个过程历时为t ，则该物体运动的总位移为—————————
———
四、如（图四）。一质量为m 的小球，由高h 处落下一个原长为15cm 的，质量不计的
弹簧上，当弹簧被压缩至12cm 时，小球的加速度刚好为0，当小球继续向下压缩2cm 时，小球的加速度是————————————
五、如（图五）。长l=75cm的静止直筒中有不计大小的小球，筒与小球总质量为4kg ，
现对筒施加一个竖直向下，大小为21N 的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s小球恰好跃出筒口，求小球的质量。
六、如（图六）。质量为6.6kg 物体在与水平或37的大小为F=30斜面上的拉力作用
下在水平面上做匀速直线运动，现将力变为大小F ’=44N，方向沿水平拉力作用，求
（1）此时物体的加速度大小
（2）由此时，经过10s 撤去F ’后物体的加速度大小和方向。
。。
七、如（图七）。底座A 上装有长0.5cm 的直立杆，总质量为0.2kg ，杆上套有质量为
0.05kg 繁荣小环B ，它与杆有摩擦，当环从底座上以4 m ∕s 速度升起时，则如能达到顶端，求
（1）环在升起过程中，底座对水平面压力多大？
（2）小环从杆落回底座需要多少时间？
八、如（图八），木块以v 0=6m ∕s 的水平速度滑上l=18m的水平静止的传送带，经t=6s
能由A 端运动到B 端，求：
（1）木块与传送带之间动摩擦力因数；
（2）若传送带以v 1=4m ∕s 顺时针转动，木块无水平初速度轻放到传送带上，说明木块运动情况；
（3）求第（2）问中木块用多长时间到达B
九、一个大木箱，水平放在手板车的后部，到驾驶室的极力L=1.6m，如（图九）。木箱
与车底板间动摩擦力因数为μ=0.48φ，平板车以恒定速度v 0=22.0m ∕s 匀速行驶，突然驾驶员刹车，使车均匀减速，为不让木箱撞出驾驶室，从开始刹车到车完全停止，至少要经过多少时间？