如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）. 先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。
2）. 定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
3）. 证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A 、B 、C
过B 作BD ⊥OA 于D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，
令OD ＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。
林浩南
如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）. 先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。
2）. 定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
3）. 证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A 、B 、C
过B 作BD ⊥OA 于D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，
令OD ＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。
林浩南
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