复旦大学基础物理实验—用扭摆法测物体的转动惯量
将金属滑块（以下称为金属圆筒）穿在金属杆上验证平行轴定理时，如果把金属圆筒当质点看待，我觉得误差太大，计算圆筒对过质心且与中心轴垂直的轴的转动惯量也没那么复杂。下面我提供两种算法，大家看看有没有问题。
以对y 轴的转动惯量为例
金属圆筒的质量为m, 外半径为R 2，内半径为R 1，高度为h ，则
m
其体密度ρ=π(R−R) ℎ
2
1
方法一：采用柱坐标计算该积分（不嫌烦的话可以采用直角坐标） I=∭(r2cos2θ+z2) ρrdrdθdz
=ρ∫dθ∫rdr∫(r2cos2θ+z2) dz
13
=ρ∫dθ∫+ℎr)dr
0R1
2π
1132
4422) =ρ∫[ℎ(R2−R1) cosθ+ℎ(R2−R1]dθ 0mππ3m21244222() () =π(R−R) ℎ [4ℎR2−R1+12ℎR2−R1]=4(R2+R1+3ℎ)
(r3ℎcos2θ
2
1
2π
R2
ℎ
02π
R1R2
ℎ−
方法二：先计算一个无限薄圆环对某一条直径的转动惯量，圆筒可视作由无限薄圆环堆叠而来，故再采用平行轴定理进行积分运算即可。
设该无限薄圆环的质量为m ’，内半径为R 1，外半径为R 2，则其面
密度为σ=
m′
该圆环对y 轴的转动惯量为 I ’=∬r2cos2θσrdrdθ
2π
π(R2−R1)
，
=σ∫=
m′π
cos2θdθ∫r3dr
1
R1
4−R4) (R21
R2
mℎ
m
单位长度圆筒的质量（也就是质量线密度）为ℎ , 在上式中以dz代替m’ ,应用平行轴定理并对z 在[−2, 2上积分
ℎ1ℎ−4
π(R2−R1) 4
12+R2) =’(R214
ℎℎ
22) I =∫[(R2+R1dz+ℎm
mmℎ
22
z2dz]=4(R2+R1+3ℎ2)
1
m1
再取两种特殊情形检验一下这个公式对不对，令h=0,得
22
I=4R2+R1) ，与之前的计算吻合；取R 1=R2=0,得I=122, 与已知
结论也是吻合的。
有没有发现，其实这两种方法上完全一样，在第一种方法中，先对r 、θ积分，最后对z 积分，那第一种就变成第二种了。这正好加深对平行轴定理的理解。
By 复旦大学蒋力夫
复旦大学基础物理实验—用扭摆法测物体的转动惯量
将金属滑块（以下称为金属圆筒）穿在金属杆上验证平行轴定理时，如果把金属圆筒当质点看待，我觉得误差太大，计算圆筒对过质心且与中心轴垂直的轴的转动惯量也没那么复杂。下面我提供两种算法，大家看看有没有问题。
以对y 轴的转动惯量为例
金属圆筒的质量为m, 外半径为R 2，内半径为R 1，高度为h ，则
m
其体密度ρ=π(R−R) ℎ
2
1
方法一：采用柱坐标计算该积分（不嫌烦的话可以采用直角坐标） I=∭(r2cos2θ+z2) ρrdrdθdz
=ρ∫dθ∫rdr∫(r2cos2θ+z2) dz
13
=ρ∫dθ∫+ℎr)dr
0R1
2π
1132
4422) =ρ∫[ℎ(R2−R1) cosθ+ℎ(R2−R1]dθ 0mππ3m21244222() () =π(R−R) ℎ [4ℎR2−R1+12ℎR2−R1]=4(R2+R1+3ℎ)
(r3ℎcos2θ
2
1
2π
R2
ℎ
02π
R1R2
ℎ−
方法二：先计算一个无限薄圆环对某一条直径的转动惯量，圆筒可视作由无限薄圆环堆叠而来，故再采用平行轴定理进行积分运算即可。
设该无限薄圆环的质量为m ’，内半径为R 1，外半径为R 2，则其面
密度为σ=
m′
该圆环对y 轴的转动惯量为 I ’=∬r2cos2θσrdrdθ
2π
π(R2−R1)
，
=σ∫=
m′π
cos2θdθ∫r3dr
1
R1
4−R4) (R21
R2
mℎ
m
单位长度圆筒的质量（也就是质量线密度）为ℎ , 在上式中以dz代替m’ ,应用平行轴定理并对z 在[−2, 2上积分
ℎ1ℎ−4
π(R2−R1) 4
12+R2) =’(R214
ℎℎ
22) I =∫[(R2+R1dz+ℎm
mmℎ
22
z2dz]=4(R2+R1+3ℎ2)
1
m1
再取两种特殊情形检验一下这个公式对不对，令h=0,得
22
I=4R2+R1) ，与之前的计算吻合；取R 1=R2=0,得I=122, 与已知
结论也是吻合的。
有没有发现，其实这两种方法上完全一样，在第一种方法中，先对r 、θ积分，最后对z 积分，那第一种就变成第二种了。这正好加深对平行轴定理的理解。
By 复旦大学蒋力夫