・学术撷英・
阶乘不等式的应用
王继成
ｎ→∞
证明由推论１知，０＜
１＜
(１
(
ｎ
ｎ
（）＝
(
。而ｌｉｍ
（绥化学院数学与计算科学系黑龙江绥化１５２０６１）
(
＝０，所以ｌｉｍ１＝０。
ｎ→∞ｎ(例２设α是任意实数，求证ｌｉｍａ＝０。
ｎ→∞证明当ａ＝０时，结论成立。当ａ≠０时，由推论１知，０＜
ｎ２
阶乘是一个重要的数据，在数学分析、数论及组合数学中都有重要的应用。本文给出的变动上界与下界不等式，借此导出几个有趣的结论，并利用这些结论可解决较为繁难分母含有
ｎ！的数列极限问题。（ｎ）
记［ｘ］为不大于的最大整数，是自然数集。
ｎ
１１ａ（ｎ），ｎ∈Ｎ，若存在自然数ｎ０＞１，当时ｎ" 定理１设函数! ，而ｌｉｍ＝０，所以ｌｉｍ＝０。ｎ→∞ｎ→∞（ｎ）（ｎ）（ｎ）（ｎ）#ｎ，则对ｎ" ｎ０，有ｎ！＞［! （ｎ）］! 。ｎ０，有０＜!
２ａ２ａ
证明对ｎ" ｎ０，１ｎｎ例３求证ｌｉｍ＝０。ｎ→∞若０＜! （ｎ）＜１，则结论显然成立。(（ｎ！）
若１#! （ｎ）#ｎ，则ｎ－［! （ｎ）］" ｎ" １，! （ｎ）#ｎ－［! （ｎ）］＜ｎ
证明由推论２知，当ｎ" ４时，有１ｎｎ１ｎｎ所以，ｎ！＝ｎ・（ｎ－１）……（ｎ－［! （ｎ）］・（ｎ－［! （ｎ）］－１）……３・・２１０＜＜＝１ｎｎ，（ｎ）］＋１
(・（ｎ－１）……（［ｎ－［! （ｎ）］）＞［ｎ－$］［! （ｎ）%" ｎ! (((（ｎ！）$%（(（ｎ）］＋１（ｎ）
［! （ｎ）］［! ［! （ｎ）］! " "
１ｎｎ（ｎ）
而ｌｉｍ１ｎｎ＝０，故ｌｉｍ＝０。故当ｎ" ｎ０时，有ｎ！＞［! （ｎ）］! 。ｎ→∞ｎ→∞
((ｎ
（ｎ！）ｎ
推论１设Ｐ" ２，Ｐ是实常数，则ｎ！＞。（１ｎｎ）例４当ｎ＞１时，求证ｌｉｍ１ｎ＝０。ａ
ｎ
＜
ａ
(
（２ａ）
ｎ
＝
’
ｎ
若取Ｐ＝２，３…，可得出一系列有趣不等式：ｎ！＞
’，ｎ！＞
１ｎｎ→∞
（ｎ！）
证明由推论３知，当ｎ＞１时，
’，……。
ｎ推论２设实数α＞１，当ｎ" ２
αｎ
（１ｎｎ）有０＜１ｎ＜（ｎ！）
时，有ｎ！＞ｎ
’。若取
１１ｎｎ
ｎ
（１ｎｎ），而ｌｉｍ１ｎ（１ｎｎ）（１ｎｎ）１ｎ＝０，故ｌｉｍ１ｎ＝０。ｎ→∞ｎ→∞（ｎ！）
例５求证ｌｉｍｎ！＝０ｎ→∞
（(）。α＝２，当ｎ" ４时，有ｎ！＞
推论３设实常数ａ" ｅ，ｅ是自然对数的底，则当ｎ＞１时，有ｎ！＞（ｌｏｇａｎ）
ｌｏｇａｎ
(ｎ
。若取ａ＝ｅ，当ｎ＞１时，有ｎ！（１ｎｎ）
ｎ
。
定理２设ｎ∈Ｎ，则ｎ！＜ｅ（ｎ）
ｎ
（ｎ）ｅ证明由定理２可知，０＜ｎ！＜＝ｅ，而ｌｉｍｅ＝０，ｎ→∞
ｎｎ２２
（ｎ－ｋ）ｎ，两边#ｋ＋证明因为当１＜ｋ＜ｎ时，(＝
取对数得，
$（１ｎｋ＋１ｎ
所以ｌｉｍｎ！＝０。ｎ→∞
ｎ
通过以上各例可以看出，在解决此类较为繁难数列极限问题时，利用本文的结论，免除了特别心思的设计。
１$
（ｎ－ｋ）%#１ｎｎ，所以，１ｎｋ＋１ｎ
ｋ＝１
) １ｎｋ＝) １
ｋ＝１
ｎ－１ｎ－１
参考文献：
［１］Ｗ．Ｒｕｄｉｎ．数学分析原理［Ｍ］．（上、下中译本），人民教育出版社，１９７９
［２］方企勤．数学分析（第一册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６
（ｎ－１）１ｎｎ，ｎ－ｋ）%#
ｎｎｎ－１
即（ｎ－１）！#（ｎ），所以ｎ！#２（ｎ）＜ｅ（ｎ）
例１求证ｌｉｍｎ１＝０。
ｎ→∞
(［责任编辑莫海平］
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・学术撷英・
阶乘不等式的应用
王继成
ｎ→∞
证明由推论１知，０＜
１＜
(１
(
ｎ
ｎ
（）＝
(
。而ｌｉｍ
（绥化学院数学与计算科学系黑龙江绥化１５２０６１）
(
＝０，所以ｌｉｍ１＝０。
ｎ→∞ｎ(例２设α是任意实数，求证ｌｉｍａ＝０。
ｎ→∞证明当ａ＝０时，结论成立。当ａ≠０时，由推论１知，０＜
ｎ２
阶乘是一个重要的数据，在数学分析、数论及组合数学中都有重要的应用。本文给出的变动上界与下界不等式，借此导出几个有趣的结论，并利用这些结论可解决较为繁难分母含有
ｎ！的数列极限问题。（ｎ）
记［ｘ］为不大于的最大整数，是自然数集。
ｎ
１１ａ（ｎ），ｎ∈Ｎ，若存在自然数ｎ０＞１，当时ｎ" 定理１设函数! ，而ｌｉｍ＝０，所以ｌｉｍ＝０。ｎ→∞ｎ→∞（ｎ）（ｎ）（ｎ）（ｎ）#ｎ，则对ｎ" ｎ０，有ｎ！＞［! （ｎ）］! 。ｎ０，有０＜!
２ａ２ａ
证明对ｎ" ｎ０，１ｎｎ例３求证ｌｉｍ＝０。ｎ→∞若０＜! （ｎ）＜１，则结论显然成立。(（ｎ！）
若１#! （ｎ）#ｎ，则ｎ－［! （ｎ）］" ｎ" １，! （ｎ）#ｎ－［! （ｎ）］＜ｎ
证明由推论２知，当ｎ" ４时，有１ｎｎ１ｎｎ所以，ｎ！＝ｎ・（ｎ－１）……（ｎ－［! （ｎ）］・（ｎ－［! （ｎ）］－１）……３・・２１０＜＜＝１ｎｎ，（ｎ）］＋１
(・（ｎ－１）……（［ｎ－［! （ｎ）］）＞［ｎ－$］［! （ｎ）%" ｎ! (((（ｎ！）$%（(（ｎ）］＋１（ｎ）
［! （ｎ）］［! ［! （ｎ）］! " "
１ｎｎ（ｎ）
而ｌｉｍ１ｎｎ＝０，故ｌｉｍ＝０。故当ｎ" ｎ０时，有ｎ！＞［! （ｎ）］! 。ｎ→∞ｎ→∞
((ｎ
（ｎ！）ｎ
推论１设Ｐ" ２，Ｐ是实常数，则ｎ！＞。（１ｎｎ）例４当ｎ＞１时，求证ｌｉｍ１ｎ＝０。ａ
ｎ
＜
ａ
(
（２ａ）
ｎ
＝
’
ｎ
若取Ｐ＝２，３…，可得出一系列有趣不等式：ｎ！＞
’，ｎ！＞
１ｎｎ→∞
（ｎ！）
证明由推论３知，当ｎ＞１时，
’，……。
ｎ推论２设实数α＞１，当ｎ" ２
αｎ
（１ｎｎ）有０＜１ｎ＜（ｎ！）
时，有ｎ！＞ｎ
’。若取
１１ｎｎ
ｎ
（１ｎｎ），而ｌｉｍ１ｎ（１ｎｎ）（１ｎｎ）１ｎ＝０，故ｌｉｍ１ｎ＝０。ｎ→∞ｎ→∞（ｎ！）
例５求证ｌｉｍｎ！＝０ｎ→∞
（(）。α＝２，当ｎ" ４时，有ｎ！＞
推论３设实常数ａ" ｅ，ｅ是自然对数的底，则当ｎ＞１时，有ｎ！＞（ｌｏｇａｎ）
ｌｏｇａｎ
(ｎ
。若取ａ＝ｅ，当ｎ＞１时，有ｎ！（１ｎｎ）
ｎ
。
定理２设ｎ∈Ｎ，则ｎ！＜ｅ（ｎ）
ｎ
（ｎ）ｅ证明由定理２可知，０＜ｎ！＜＝ｅ，而ｌｉｍｅ＝０，ｎ→∞
ｎｎ２２
（ｎ－ｋ）ｎ，两边#ｋ＋证明因为当１＜ｋ＜ｎ时，(＝
取对数得，
$（１ｎｋ＋１ｎ
所以ｌｉｍｎ！＝０。ｎ→∞
ｎ
通过以上各例可以看出，在解决此类较为繁难数列极限问题时，利用本文的结论，免除了特别心思的设计。
１$
（ｎ－ｋ）%#１ｎｎ，所以，１ｎｋ＋１ｎ
ｋ＝１
) １ｎｋ＝) １
ｋ＝１
ｎ－１ｎ－１
参考文献：
［１］Ｗ．Ｒｕｄｉｎ．数学分析原理［Ｍ］．（上、下中译本），人民教育出版社，１９７９
［２］方企勤．数学分析（第一册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６
（ｎ－１）１ｎｎ，ｎ－ｋ）%#
ｎｎｎ－１
即（ｎ－１）！#（ｎ），所以ｎ！#２（ｎ）＜ｅ（ｎ）
例１求证ｌｉｍｎ１＝０。
ｎ→∞
(［责任编辑莫海平］
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