圆的切线的性质和判定

第三节圆的切线的性质和判定

【回顾与思考】

圆的切线的性质--三角形内切圆

应用:d=r

现实情境圆的切线的判定

判定定理

圆的切线性质与判定综合应用

【例题经典】

关于三角形内切圆的问题

例1（2006年宜昌市）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）

A．130° B．100° C．50° D．65°

【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．

圆的切线性质的应用

例2（2006年徐州市）已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B•作BC•∥OP交⊙O于点C，连结AC．

（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，

BC的长．（结果保留根号）

圆的切线的判定

例3（2005年宁夏自治区）已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，•弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．

【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目．解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．

【考点精练】一、基础训练

1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离

2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）

A．

B．

C．

（1）（2）（3）

3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，

•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．

4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．

5．（2005年四川省）如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．

（4）（5）

6．（2005年武汉市）如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，

为半径的圆的位置关系是________． 2

7．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为多少？

8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．

二、能力提升：

9．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．

试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．

（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？•为什么？

① ② 10．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB•的延长线于点C．

求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．

11．（2006年包头市）在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；

（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；

（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．

13．（2006年北京市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=∠CAD=30°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

，2

三、应用与探究：

14．（2006年绵阳市）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．

（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）若AC=3，tanB=

，求⊙O的半径长．

答案：例题经典例1：A

例2：（1）略（2）BC=例3：略考点精练

1．B 2．B 3．4 4．∠B=∠C 5

6．相离 7

8．△DEF•是锐角三角形．连结OD、OE、OF．

综合应用圆的切线性质，四边形内角和定理和圆周角定理．可以证得∠DEF=90°-

111

∠A，∠DFE=90°-∠B，∠EDF=90°-∠C． 222

△DEF的三个内角都是锐角 9．（1）∠D=∠CAB，理由（略）

（2）∠D=∠CAB 作直径AE、连结CE

由（1）可知：•∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB 10．（1）∠ADC的度数为120° （2）9cm 11．（1）解：连结OC，∵AB与⊙O相切于C点，

∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12 在Rt•△ACO中，

=13

（2）作OF⊥AB于点F点，连结OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，

在Rt•△ODF中，

OF=，在Rt△AOF中，tanA=

OF31

 AF124

BCAB

，∴AB·BM=BC·BN

BMBN

12．（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，•

∴△ACB∽△NMB，∴

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，

∵N为OC•中点，•∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°， ∵OM=OB，∴∠B=

∠MON=30°． 2

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

13．（1）证明：如图，连结OA，因为sinB=

， 2

所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，• 所以△ACO是等边三角形，故∠OAC=60°，因为∠CAD=30°，

所以∠OAD=90°，所以AD•是⊙O的切线

（2）解：因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC=BC=5，

所以OA=5，•在△OAD中，∠OAD=90°，由正切定义，有tan∠AOD=

14．略

，所以