第3章 离散时间信号与系统时域分析
3．1画出下列序列的波形
n -1
x (n ) =0.5u (n -1) （2）
n=0:8; x=(1/2).^n;
x (n )
n1=n+1; stem(n1,x);
axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');
(3) x (n ) n=0:8; x=(-1/2).^n;
n
=（-0.5）u (n )
n
axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');
x (n )
stem(n,x);
n
⎧1, ⎪0, ⎪
3.8 已知x (n ) =⎨
⎪2, ⎪⎩0,
查结果。 解：
0≤n ≤23≤n ≤6
⎧n ,
, h (n ) =⎨
7≤n ≤8⎩0other .. n
1≤n ≤4other .. n
，求卷积y (n ) =x (n )*h (n ) 并用Matlab 检
竖式乘法计算线性卷积：
1 1 1 0 0 0 0 2 2）0
1 2 3 4）1
4 4 4 0 0 0 0 8 8
3 3 3 0 0 0 0 6 6
2 2 2 0 0 0 0 4 4
1 1 1 0 0 0 0 2 2
1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 8）1
Matlab 程序:
x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);
N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);
ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：
x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 8
3.12 (1) x （n ）=5sin(3π7
n) 解：
2πw =2π143=3
，所以N=14 7
(2) x （n ）=sin(3πn -2)-sin(π
6
n)
解：
T 1=
2πw 1=2π3π=2，N 1=2T 2=2π2π3w 2==12, N 2=12
所以N =126
(6) x （n ）=5sin(3π
8
n -2)-cos(2n) 解：
T 1=
2πw 1=2π3=163
，N 1=16T 2=2π=28π=π所以x w (n 2) 不是周期序列2
为无理数，所以不是周期序列
3.20 已知差分方程2y (n ) -3y (n -1) +y (n -2) =2x (n ) ，x (n ) =4u (n ) ，y (-1) =4，
-n
y (-2) =10, 用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。
解：
Z 变换法求全响应：
由于系统起始状态非零，所以对方程的两端求z 变换，得：
2Y (Z ) -3z -1[Y (Z ) +zy (-1)]+z -2[Y (Z ) +z 2y (-2) +zy (-1)]=2X (Z ) 2Y (Z ) -3z -1Y (Z ) -3y (-1) +z -2Y (Z ) +y (-2) +z -1y (-1) =2X (Z )
Y (Z )(2-3z -1+z -2) =2X (Z ) +3y (-1) -y (-2) -z -1y (-1)
2X (Z ) +3y (-1) -y (-2) -z -1y (-1)
Y (Z ) =
2-3z -1+z -2
2
Y (Z ) =
z
+2-4z -1
2-3z -1+z -2
(1)
x (n ) =4-n u (n ) z
∴X (Z ) =
z -1/4
2
∴Y (Z ) =
2
z
+2-4z -1
2-3z -1+z -2
z
+2-4z -1
Y (Z ) ∴=Z (2-3z -1+z -2) Z
对
(2)
Y (Z )
进行部分分式展开得 Z Y (Z ) k 1k 2k 3
=++
11z -1Z z -z -42
把上式打代入（2）可得
12
k 1=; k 2=1; k 3=
33
1⎛1⎫2⎛1⎫
y (n ) =⨯ ⎪u (n ) + ⎪u (n ) +u (n )
3⎝4⎭3⎝2⎭
(2) Z变换法求系统零状态响应：
因为是求零状态，所以其初始状态为零，对其求单边Z 变换可得如下：
n
n
2Y (z ) -3z -1Y (z ) +z -2
Y (z ) =2X (z )
Y (z ) z 2
z =
(z -1/4)(z -1/2)(z -1)
Y (z ) k 1k 2k z =(z -1/4) +(z -1/2) +
3
(z -1)
k 1=13; k 2=-2; k 3=8
3
; 由Z 反变换可得：
y n ) =13⨯⎛ 1⎫n
⎝4⎪⎭u (n ) +83u (n ) -2⨯⎛ 1⎫
n
zs (⎝2⎪⎭
u (n );
程序： clc; clear; n=0:20; x=(1/4).^n;
a=[2,-3,1]; % 输出及输出移位项的系数 b=[2]; %输入及输入移位项的系数 Y=[4,10]; %起始状态
xic=filtic(b,a,Y); %系统等效初始状态输入的数组 y=filter(b,a,x,xic); %求全响应 subplot(2,1,1); stem(n,y); ylabel('y(n)');
y1=filter(b,a,x); %零状态响应 subplot(2,1,2); stem(n,y1);
ylabel('g(n)');
第4章 离散时间信号与系统频域分析
-3z -1
4.5 已知X ，求出收敛域分别为0.52时对应的序列。 （z ）=
2-5z -1+2z -2
解：留数法求解 1、0.5
-3z -1⋅z n -1-3z n -2-3z n -3z n
X （z ）z ====
2-5z -1+2z -22-5z -1+2z -22z 2-5z +2(z -2)(2z -1)
n -1
（1）当n ≥0时，X （z ）z
n -1
只有z1=2、z2=1/2两个单极点，且只有z1=1/2在围线C 内，则：
x (n ) =Re s [X (z ) z n -1]z =1/2=[(z -1/2) X (z ) z n -1]z =1/2=(1/2) n
-3z n -3
（z ）z ==-n （2）当n
(z -2)(2z -1) z (z -2)(2z -1)
n -1
X （z ）z n -1除有z1=2、z2=1/2两个单极点，还有一个（-n ）阶的重极点z=0，由于此时X （z ）z n -1满足
分母多项式比分子多项式z 的阶次高2阶或2阶以上的条件，可用围线C 外部的极点z2=2的留数来计算。即：
x (n ) =-Re s [X (z ) z n -1]z =2=-[(z -2) X (z ) z n -1]z =2=(2)n
（1/2）u (n ) +（2）u (-n -1) 综上可得：x (n ) =
2、z >2时：
n n
-3z -1⋅z n -1-3z n -2-3z n -3z n
X （z ）z ====
2-5z -1+2z -22-5z -1+2z -22z 2-5z +2(z -2)(2z -1)
n -1
（1）当n ≥0时，X （z ）z
n -1
只有z1=2、z2=1/2两个单极点，且都在围线C 内，则：
x (n ) =Re s [X (z ) z n -1]z =1/2+Re s [X (z ) z n -1]z =2=[(z -1/2) X (z ) z n -1]z =1/2+[(z -2) X (z ) z n -1]z =2=(1/2) n -(2)n
-3z n -3
（z ）z ==-n （2）当n
(z -2)(2z -1) z (z -2)(2z -1)
n -1
X （z ）z n -1有z1=2、z2=1/2两个单极点，还有一个（-n ）阶的重极点z=0，由于此时X （z ）z n -1满足分
母多项式比分子多项式z 的阶次高2阶或2阶以上的条件，而围线C 外部没有极点，所以，求围线C 外部极点的留数：
x (n ) =0
综上可得：x (n ) =[(1/2) -(2)]u (n )
4.10已知x a (t ) =2*cos(2πf 0t ) 式中f 0=100Hz ，以采样频率fs =400Hz 对x a (t ) 进行等间隔采样，得到采样信号x a (t ) 和系列x (n ) ，要求：
（1） 写出x a (t ) 的傅里叶变换表达式X a (j Ω) （2） 写出x s (t ) 和x (n ) 的表达式
（3） 分别求出x s (t ) 的傅里叶变换和x (n ) 的系列的傅里叶变换 解：（1）
n n
x a (t ) =2cos(2πf 0t ) =2cos(200πt )
∴X a (j Ω) =2πδ(Ω-200π) +2πδ(Ω+200π)
（2）根据公式P.114
x s (t ) =
∑x a (nT ) ⋅δ(t -nT );
-∞
∞
T =
11
f s 400
∴x s (t ) =
=
∑2cos(
-∞∞-∞
∞
200πn
⋅n ) ⋅δ(t -) 400400
n
∑2cos(2⋅n ) ⋅δ(t -400)
π
2⋅n )
π
x (n ) =x a (nT )
=2cos(
(3)进行傅里叶变换得:
1∞
X s (j Ω) =∑X a (j Ω-jk Ωs );
T k =-∞
∞k =-∞
Ωs =
2π
=800πT
k =-∞
=400∑X a (j Ω-jk 800π)=800π
=800π
∑[δ(Ω-800πk +200π) +δ(Ω-800πk -200π) ]
∞
∞
k =-∞
∑
δ(Ω-400πk -200π)
z 2
x (n ) =2cos(⋅n ) 2=X (Z )
2z +1
π
∴X （e ）=X(Z)/z =e jw
jw
e 2jw =2jw e +1
4.17 改变a 值，用matlab 画出相应的零极点和幅频、相频响应曲线，验证系统的滤波特性与系数a 的关系。 clear; x=0.8; y=-0.8; b=[1,0]; a1=[1,-x]; a2=[1,-y];
figure(1);
subplot(3,1,1); zplane(b,a1);
[H1,w1]=freqz(b,a1,512,'whole'); Hf_1=abs(H1); Hx_1=angle(H1); subplot(3,1,2); plot(w1,Hf_1);
title('幅频响应曲线'); subplot(3,1,3); plot(w1,Hx_1);
title('相频响应曲线');
figure(2);
subplot(3,1,1); zplane(b,a2);
[H2,w2]=freqz(b,a2,512,'whole'); Hf_2=abs(H2); Hx_2=angle(H2); subplot(3,1,2); plot(w2,Hf_2);
title('幅频响应曲线'); subplot(3,1,3); plot(w2,Hx_2);
title('相频响应曲线');
图（a ）a=0.8
图（a ）a=-0.8
滤波特性与系数a 的关系：当0
第5章 离散时间信号与系统数字频域分析
5.3计算下列有限长序列x (n ) 的N 点DFT 。 （1）x (n ) =δ(n -n 0),0
（2）x (n ) =a ,0
（3）x (n ) =nR N (n )
解：直接计算上式比较困难，可根据循环移位性质来求解。
因为
x (n ) =nR N (n ) 有
x (n ) -x ((n -1)) N ⋅R N (n ) =R N (n ) -N δ(n ) 等式两边进行DFT ，得
n
∑δ(n -n ) W
n =0
N -1
nk N n 0k =W N
k =0,1, , N -1
∑a W
n n =0
N -1
nk N
k N
1-(aW N ) 1-a N
=∑(aW ) ==k k
1-aW 1-aW N n =0N N -1
k n
N
k =0,1, , N -1
X (k ) -X (k ) W =∑W N kn -N
k N
n =0
N -1
1-W N kN
-N =-N 即 X (k ) -X (k ) W =k
1-W N
k N
∴X (k ) =
-N 1-W N k
k =1, 2, , N -1
当k =0时，可直接计算出X (0)
X (0)=因此，X (k ) 可写为
∑nW =∑n =
0N
n =0
n =0
N -1N -1
N (N -1)
2
⎧N (N -1) ⎪2⎪
X (k ) =⎨
⎪-N k ⎪⎩1-W N
k =0
k =1, 2, , N -1
5.6 已知序列x(n)=[0 1 2 3 4],h(n)=[1 1 1 1 2], 求其线性卷积和以及5点、8点、9点、10点圆周卷积和，并用Matlab 验证结果。
解：线性卷积略；
5点圆周卷积:
⎡1 1 1 1 2⎤⎢21 1 1 1⎥⎢⎥
[0 1 2 3 4]* ⎢121 1 1⎥=[11 12 13 14 10]
⎢⎥1121 1⎢⎥⎢⎣11121⎥⎦
5点圆周卷积的Matlab 程序： clc clear N=5;
xn=[0 1 2 3 4]; hn=[1 1 1 1 2];
c1=fft(xn,N).*fft(hn,N); y1=ifft(c1,N); k=0:N-1; stem(k,y1);
8点圆周卷积：
x (n ) ⑧h (n ) =[8 1 3 6 10 11 11 10];
9点圆周卷积：
x (n ) ⑨h (n ) =[0 1 3 6 10 11 11 10 8];
10点圆周卷积：
x (n ) ⑩h (n ) =[0 1 3 6 10 11 11 10 8 0];
N =16时, 画出基-2按时间抽取法及按频率抽取法的 FFT 流图(时间抽取采用输入倒位序, 输出自然数顺序, 频率抽取采用输入自然顺序, 输出倒位序) 。
下图是N=16按时间抽取的蝶形图：
以下是N=16按频率抽取的蝶形图：
s(t)=cos(2π⨯100t )cos(2π⨯1000t )
（1）DSB 调制信号：
11
=cos 2200πt +cos1800πt
22
所以信号在频域的两个频率分量为：
f 1=2200π/2π=1100Hz →最高频率f m f 2=1800π/2π=900Hz →最低频率
即频率分辨力F 0≤1100-900=200Hz ⇒T 0=
1
≥(1/200) =0.005=5ms F 0
（2）因为f s ≥2f m ，所以最低采样频率fs=2fm=2200Hz （3）最少采样点：N =
f s 2200==11 F 0200
23
5.16 此题目有问题，所以我们认为题目给出的“信号最高频率为4KHz ”即为采样频率f s ，有些同学把信号最高频率作为f m =4KHz也判对。 解： （1）
最小记录时间T 0=
11
==0.1s F 010
（2）允许处理的信号最高频率f m =f s /2=2KHz （3）最少采样点：N =
f s 4000==400 F 010
28
第6章 IIR 数字滤波器设计
16z 2-40+16
6.1（1）已知IIR 数字滤波器的系统函数为 (1) H (z ) =3 试写出滤波器的差分方程，并
8z -10z 2+6z -1
分别画出直接I 型、直接Ⅱ型、转置直接Ⅱ型、级联型和并联型结构图。
2z -1-5z -2+2z -3
解:经化解，原式可得：H (z ) =
5-13-21-31-z +z -z 448
直接I 型：
直接Ⅱ型:
级联型：
注意，对于级联型，一定要化成负幂次，再写系数！
经对原式进行分解得：
2z -11-2.5z -1+z -2
H (z ) =⨯ -1
-21-0.25z -1
1-z +z
2
并联型：
16z 2-40z +16
H (z ) =3
8z -10z 2+6z -1H (z ) 16z -40+16z -1则=3
z 8z -10z 2+6z -1
11.24.8-5.6z -1
部分分式展开后得：H (z ) =-16++-1
1-0.25z 1-z -1+0.5z -2
Matlab 程序求解部分分式的系数： 注意：系数b,a 是Clc;
Clear;
b=[0,0,16,-40,16]; a=[8,-10,6,-1,0]; [K,z,d]=residue(b,a) KK1=[K(1),K(2)]; zz1=[z(1),z(2)];
[b2,a2]=residue(KK1,zz1,0) 返回值：K =
2.4000 + 3.2000i 2.4000 - 3.2000i 11.2000 -16.0000 z =
0.5000 + 0.5000i 0.5000 - 0.5000i 0.2500 0 d = [] b2 =
H (z )
的系数！ z
4.8000 -5.6000 a2 =
1.0000 -1.0000 0.5000
并联型结构流图：
6.1（2）略 6.4
Matlab 程序： clear; fp=5000; wp=2*pi*fp; fs=10000; ws=2*pi*fs; ap=3; as=30;
[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s'); [B,A]=cheby1(N,ap,wc,'s') freqs(B,A);
1.2205⨯1017
系统函数：H (s ) =4
s +18271s 3+1.1539⨯109s 2+1.255⨯1013s +1.724⨯1017
图：
6.7 解：
T =0.1s ; H a (s ) =
s +1-12
; =+
(s +2)(s +3) s +2s +3
∴s 1=-2; s 2=-3;
所以相应的H (z ) 的极点为z 1=e -2T , z 2=e -3T , -T 2T
∴H (z ) =+
1-e -2T Z -11-e -3T Z -1
Matlab 程序： clear; b=[1,1]; a=[1,5,6]; Fs=10;
[B,A]=impinvar(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A,'whole'); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));
6．8试用双线性变换法设计一个巴特沃斯型低通数字滤波器，并用matlab ，验证结果，给定技术指标为
f p =100Hz , f s =300Hz , αp =3dB , αs =20dB , 采样频率为1000Hz 。
解： (1) 数字低通滤波器的技术指标要求为
w p =
2πf p f T
=
2πf s 600π200π
=0.2πrad /s ; w s ===0.6πrad /s ; αp =3dB ; αs =20dB ; T =1ms ; 1000f T 1000
采用双线性变换法，相应的模拟低通滤波器的技术指标为：
w p 20.2πtan =2⨯1000⨯tan =649.84rad /s ; T 22
w 20.6π
Ωs =tan s =2⨯1000⨯tan =2752.764rad /s ;
T 22αp =3dB ; αs =20dB ; Ωp =
（1） 设计对应摸拟滤波器并求其指标
⎛100. α1p -1⎫lg s ⎪10-1⎭=1.593; 所以 N=2;N ≥⎝
⎛Ω⎫2lg p ⎪
⎝Ωs ⎭
Ωc =Ωs 10
(
0. α1s
-1
)
-
1
2N
=872.69rad /s ;
查表得 Han (u)=
（3）H a (s ) =H an (u )
1
;
1+1.4142u
s Ωc
u =
=
1
s
1+1.4142872.69
=
872.69
1.4142s +872.69
（4）H (z ) =H a (s )
21-z -1s =⋅
T 1+z
Matlab 程序： clear; clc;
Fs=1000;
wp=2*pi*100/Fs; ws=2*pi*300/Fs; ap=3; as=20;
Wap=2*Fs*tan(wp/2); Was=2*Fs*tan(ws/2);
[N,wc]=buttord(Wap,Was,ap,as,'s') [b,a]=butter(N,wc,'s'); [B,A]=bilinear(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A); plot(w*Fs/2/pi,abs(H));
第7章 FIR 数字滤波器设计
7.1解： H (Z ) =
1
(1+0.9z -1+2.1z -2+0.9z -3+z -4) 10
(0≤n ≤4)
∴h (n ) =
1
[1,0.9,2.1,0.9,1]10
由上式可知h （n ）为偶对称实序列，所以满足第一类线性相位的条件 所以：
1
(2cos2ω+1.8cos ω+2.1) （根据P .222式7.2.15可得） 10N -1
相频函数：θ(ω) =-τ=-2ω
2
幅度函数：H (ω) =
直接型结构：
-1
线性相位型结构：
-1-1-1y(n)
x (n )
z
-1
z
-1
y (n )
7.3若一个FIR 线性相位数字滤波器的单位采样响应h(n)是实数，且n6,h(n)=0。如果h(0)=1且系统函数在z=0.5exp(i*pi/3)和z=3各有一个零点，写出H(z)的表达式。 解：H (z ) =h (0)+h (1)z
-1
+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+h (5)z -5
由于h (n ) =h (N -n -1), N =6∴h (0)=h (5)=1
（1）h(n)为偶对称时，
H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+z -5 h (1)=h (4),h (2)=h (3)
∴H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (2)z -3+h (1)z -4+z -5
11111
H （3）=0 即 1+h(1)+2h(2)+3h(2)+4h(1)+5=0
33333
H(0.5ej π/3)=0 即（略）
解上面这两个方程即可得到h(1)、h(2) （2）h(n)为奇对称时，
H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+z -5 h (0)=-h (5)，h (1)=-h (4),h (2)=-h (3)∴H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2-h (2)z -3-h (1)z -4-z -5
11111
H （3）=0 即 1+h(1)+2h(2)-3h(2)-4h(1)-5=0
33333
H(0.5ej π/3)=0 即（略）
解上面这两个方程即可得到h(1)、h(2)
7.6解：
（1）确定理想高通滤波器的频率响应
求h d (n)：
(2)加矩形窗， h (n ) =h d (n ) R N (n )=
1
（n-τ）]-sin[w （]}R N (n ) {sin[πc n-τ）
π（n-τ）
τ=
N -1
。 2
3）N 的取值受到过渡带带宽的限制，即0.9⨯(2πN )应小于等于过渡带带宽∆ω， ⇒N ≥
1.8π
∆w
7.7 解：（海明窗）
w =wp -ws =0.2π查表得 w =6.6π/N ⇒N =33
Matlab 程序： N=33;
wp=0.6*pi; ws=0.4*pi; wc=(wp+ws)/2;
hn=fir1(N,wc/pi,hamming(34)); [H,w]=freqz(hn);
plot(w,20*log10(abs(H)))；
第3章 离散时间信号与系统时域分析
3．1画出下列序列的波形
n -1
x (n ) =0.5u (n -1) （2）
n=0:8; x=(1/2).^n;
x (n )
n1=n+1; stem(n1,x);
axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');
(3) x (n ) n=0:8; x=(-1/2).^n;
n
=（-0.5）u (n )
n
axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');
x (n )
stem(n,x);
n
⎧1, ⎪0, ⎪
3.8 已知x (n ) =⎨
⎪2, ⎪⎩0,
查结果。 解：
0≤n ≤23≤n ≤6
⎧n ,
, h (n ) =⎨
7≤n ≤8⎩0other .. n
1≤n ≤4other .. n
，求卷积y (n ) =x (n )*h (n ) 并用Matlab 检
竖式乘法计算线性卷积：
1 1 1 0 0 0 0 2 2）0
1 2 3 4）1
4 4 4 0 0 0 0 8 8
3 3 3 0 0 0 0 6 6
2 2 2 0 0 0 0 4 4
1 1 1 0 0 0 0 2 2
1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 8）1
Matlab 程序:
x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);
N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);
ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：
x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 8
3.12 (1) x （n ）=5sin(3π7
n) 解：
2πw =2π143=3
，所以N=14 7
(2) x （n ）=sin(3πn -2)-sin(π
6
n)
解：
T 1=
2πw 1=2π3π=2，N 1=2T 2=2π2π3w 2==12, N 2=12
所以N =126
(6) x （n ）=5sin(3π
8
n -2)-cos(2n) 解：
T 1=
2πw 1=2π3=163
，N 1=16T 2=2π=28π=π所以x w (n 2) 不是周期序列2
为无理数，所以不是周期序列
3.20 已知差分方程2y (n ) -3y (n -1) +y (n -2) =2x (n ) ，x (n ) =4u (n ) ，y (-1) =4，
-n
y (-2) =10, 用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。
解：
Z 变换法求全响应：
由于系统起始状态非零，所以对方程的两端求z 变换，得：
2Y (Z ) -3z -1[Y (Z ) +zy (-1)]+z -2[Y (Z ) +z 2y (-2) +zy (-1)]=2X (Z ) 2Y (Z ) -3z -1Y (Z ) -3y (-1) +z -2Y (Z ) +y (-2) +z -1y (-1) =2X (Z )
Y (Z )(2-3z -1+z -2) =2X (Z ) +3y (-1) -y (-2) -z -1y (-1)
2X (Z ) +3y (-1) -y (-2) -z -1y (-1)
Y (Z ) =
2-3z -1+z -2
2
Y (Z ) =
z
+2-4z -1
2-3z -1+z -2
(1)
x (n ) =4-n u (n ) z
∴X (Z ) =
z -1/4
2
∴Y (Z ) =
2
z
+2-4z -1
2-3z -1+z -2
z
+2-4z -1
Y (Z ) ∴=Z (2-3z -1+z -2) Z
对
(2)
Y (Z )
进行部分分式展开得 Z Y (Z ) k 1k 2k 3
=++
11z -1Z z -z -42
把上式打代入（2）可得
12
k 1=; k 2=1; k 3=
33
1⎛1⎫2⎛1⎫
y (n ) =⨯ ⎪u (n ) + ⎪u (n ) +u (n )
3⎝4⎭3⎝2⎭
(2) Z变换法求系统零状态响应：
因为是求零状态，所以其初始状态为零，对其求单边Z 变换可得如下：
n
n
2Y (z ) -3z -1Y (z ) +z -2
Y (z ) =2X (z )
Y (z ) z 2
z =
(z -1/4)(z -1/2)(z -1)
Y (z ) k 1k 2k z =(z -1/4) +(z -1/2) +
3
(z -1)
k 1=13; k 2=-2; k 3=8
3
; 由Z 反变换可得：
y n ) =13⨯⎛ 1⎫n
⎝4⎪⎭u (n ) +83u (n ) -2⨯⎛ 1⎫
n
zs (⎝2⎪⎭
u (n );
程序： clc; clear; n=0:20; x=(1/4).^n;
a=[2,-3,1]; % 输出及输出移位项的系数 b=[2]; %输入及输入移位项的系数 Y=[4,10]; %起始状态
xic=filtic(b,a,Y); %系统等效初始状态输入的数组 y=filter(b,a,x,xic); %求全响应 subplot(2,1,1); stem(n,y); ylabel('y(n)');
y1=filter(b,a,x); %零状态响应 subplot(2,1,2); stem(n,y1);
ylabel('g(n)');
第4章 离散时间信号与系统频域分析
-3z -1
4.5 已知X ，求出收敛域分别为0.52时对应的序列。 （z ）=
2-5z -1+2z -2
解：留数法求解 1、0.5
-3z -1⋅z n -1-3z n -2-3z n -3z n
X （z ）z ====
2-5z -1+2z -22-5z -1+2z -22z 2-5z +2(z -2)(2z -1)
n -1
（1）当n ≥0时，X （z ）z
n -1
只有z1=2、z2=1/2两个单极点，且只有z1=1/2在围线C 内，则：
x (n ) =Re s [X (z ) z n -1]z =1/2=[(z -1/2) X (z ) z n -1]z =1/2=(1/2) n
-3z n -3
（z ）z ==-n （2）当n
(z -2)(2z -1) z (z -2)(2z -1)
n -1
X （z ）z n -1除有z1=2、z2=1/2两个单极点，还有一个（-n ）阶的重极点z=0，由于此时X （z ）z n -1满足
分母多项式比分子多项式z 的阶次高2阶或2阶以上的条件，可用围线C 外部的极点z2=2的留数来计算。即：
x (n ) =-Re s [X (z ) z n -1]z =2=-[(z -2) X (z ) z n -1]z =2=(2)n
（1/2）u (n ) +（2）u (-n -1) 综上可得：x (n ) =
2、z >2时：
n n
-3z -1⋅z n -1-3z n -2-3z n -3z n
X （z ）z ====
2-5z -1+2z -22-5z -1+2z -22z 2-5z +2(z -2)(2z -1)
n -1
（1）当n ≥0时，X （z ）z
n -1
只有z1=2、z2=1/2两个单极点，且都在围线C 内，则：
x (n ) =Re s [X (z ) z n -1]z =1/2+Re s [X (z ) z n -1]z =2=[(z -1/2) X (z ) z n -1]z =1/2+[(z -2) X (z ) z n -1]z =2=(1/2) n -(2)n
-3z n -3
（z ）z ==-n （2）当n
(z -2)(2z -1) z (z -2)(2z -1)
n -1
X （z ）z n -1有z1=2、z2=1/2两个单极点，还有一个（-n ）阶的重极点z=0，由于此时X （z ）z n -1满足分
母多项式比分子多项式z 的阶次高2阶或2阶以上的条件，而围线C 外部没有极点，所以，求围线C 外部极点的留数：
x (n ) =0
综上可得：x (n ) =[(1/2) -(2)]u (n )
4.10已知x a (t ) =2*cos(2πf 0t ) 式中f 0=100Hz ，以采样频率fs =400Hz 对x a (t ) 进行等间隔采样，得到采样信号x a (t ) 和系列x (n ) ，要求：
（1） 写出x a (t ) 的傅里叶变换表达式X a (j Ω) （2） 写出x s (t ) 和x (n ) 的表达式
（3） 分别求出x s (t ) 的傅里叶变换和x (n ) 的系列的傅里叶变换 解：（1）
n n
x a (t ) =2cos(2πf 0t ) =2cos(200πt )
∴X a (j Ω) =2πδ(Ω-200π) +2πδ(Ω+200π)
（2）根据公式P.114
x s (t ) =
∑x a (nT ) ⋅δ(t -nT );
-∞
∞
T =
11
f s 400
∴x s (t ) =
=
∑2cos(
-∞∞-∞
∞
200πn
⋅n ) ⋅δ(t -) 400400
n
∑2cos(2⋅n ) ⋅δ(t -400)
π
2⋅n )
π
x (n ) =x a (nT )
=2cos(
(3)进行傅里叶变换得:
1∞
X s (j Ω) =∑X a (j Ω-jk Ωs );
T k =-∞
∞k =-∞
Ωs =
2π
=800πT
k =-∞
=400∑X a (j Ω-jk 800π)=800π
=800π
∑[δ(Ω-800πk +200π) +δ(Ω-800πk -200π) ]
∞
∞
k =-∞
∑
δ(Ω-400πk -200π)
z 2
x (n ) =2cos(⋅n ) 2=X (Z )
2z +1
π
∴X （e ）=X(Z)/z =e jw
jw
e 2jw =2jw e +1
4.17 改变a 值，用matlab 画出相应的零极点和幅频、相频响应曲线，验证系统的滤波特性与系数a 的关系。 clear; x=0.8; y=-0.8; b=[1,0]; a1=[1,-x]; a2=[1,-y];
figure(1);
subplot(3,1,1); zplane(b,a1);
[H1,w1]=freqz(b,a1,512,'whole'); Hf_1=abs(H1); Hx_1=angle(H1); subplot(3,1,2); plot(w1,Hf_1);
title('幅频响应曲线'); subplot(3,1,3); plot(w1,Hx_1);
title('相频响应曲线');
figure(2);
subplot(3,1,1); zplane(b,a2);
[H2,w2]=freqz(b,a2,512,'whole'); Hf_2=abs(H2); Hx_2=angle(H2); subplot(3,1,2); plot(w2,Hf_2);
title('幅频响应曲线'); subplot(3,1,3); plot(w2,Hx_2);
title('相频响应曲线');
图（a ）a=0.8
图（a ）a=-0.8
滤波特性与系数a 的关系：当0
第5章 离散时间信号与系统数字频域分析
5.3计算下列有限长序列x (n ) 的N 点DFT 。 （1）x (n ) =δ(n -n 0),0
（2）x (n ) =a ,0
（3）x (n ) =nR N (n )
解：直接计算上式比较困难，可根据循环移位性质来求解。
因为
x (n ) =nR N (n ) 有
x (n ) -x ((n -1)) N ⋅R N (n ) =R N (n ) -N δ(n ) 等式两边进行DFT ，得
n
∑δ(n -n ) W
n =0
N -1
nk N n 0k =W N
k =0,1, , N -1
∑a W
n n =0
N -1
nk N
k N
1-(aW N ) 1-a N
=∑(aW ) ==k k
1-aW 1-aW N n =0N N -1
k n
N
k =0,1, , N -1
X (k ) -X (k ) W =∑W N kn -N
k N
n =0
N -1
1-W N kN
-N =-N 即 X (k ) -X (k ) W =k
1-W N
k N
∴X (k ) =
-N 1-W N k
k =1, 2, , N -1
当k =0时，可直接计算出X (0)
X (0)=因此，X (k ) 可写为
∑nW =∑n =
0N
n =0
n =0
N -1N -1
N (N -1)
2
⎧N (N -1) ⎪2⎪
X (k ) =⎨
⎪-N k ⎪⎩1-W N
k =0
k =1, 2, , N -1
5.6 已知序列x(n)=[0 1 2 3 4],h(n)=[1 1 1 1 2], 求其线性卷积和以及5点、8点、9点、10点圆周卷积和，并用Matlab 验证结果。
解：线性卷积略；
5点圆周卷积:
⎡1 1 1 1 2⎤⎢21 1 1 1⎥⎢⎥
[0 1 2 3 4]* ⎢121 1 1⎥=[11 12 13 14 10]
⎢⎥1121 1⎢⎥⎢⎣11121⎥⎦
5点圆周卷积的Matlab 程序： clc clear N=5;
xn=[0 1 2 3 4]; hn=[1 1 1 1 2];
c1=fft(xn,N).*fft(hn,N); y1=ifft(c1,N); k=0:N-1; stem(k,y1);
8点圆周卷积：
x (n ) ⑧h (n ) =[8 1 3 6 10 11 11 10];
9点圆周卷积：
x (n ) ⑨h (n ) =[0 1 3 6 10 11 11 10 8];
10点圆周卷积：
x (n ) ⑩h (n ) =[0 1 3 6 10 11 11 10 8 0];
N =16时, 画出基-2按时间抽取法及按频率抽取法的 FFT 流图(时间抽取采用输入倒位序, 输出自然数顺序, 频率抽取采用输入自然顺序, 输出倒位序) 。
下图是N=16按时间抽取的蝶形图：
以下是N=16按频率抽取的蝶形图：
s(t)=cos(2π⨯100t )cos(2π⨯1000t )
（1）DSB 调制信号：
11
=cos 2200πt +cos1800πt
22
所以信号在频域的两个频率分量为：
f 1=2200π/2π=1100Hz →最高频率f m f 2=1800π/2π=900Hz →最低频率
即频率分辨力F 0≤1100-900=200Hz ⇒T 0=
1
≥(1/200) =0.005=5ms F 0
（2）因为f s ≥2f m ，所以最低采样频率fs=2fm=2200Hz （3）最少采样点：N =
f s 2200==11 F 0200
23
5.16 此题目有问题，所以我们认为题目给出的“信号最高频率为4KHz ”即为采样频率f s ，有些同学把信号最高频率作为f m =4KHz也判对。 解： （1）
最小记录时间T 0=
11
==0.1s F 010
（2）允许处理的信号最高频率f m =f s /2=2KHz （3）最少采样点：N =
f s 4000==400 F 010
28
第6章 IIR 数字滤波器设计
16z 2-40+16
6.1（1）已知IIR 数字滤波器的系统函数为 (1) H (z ) =3 试写出滤波器的差分方程，并
8z -10z 2+6z -1
分别画出直接I 型、直接Ⅱ型、转置直接Ⅱ型、级联型和并联型结构图。
2z -1-5z -2+2z -3
解:经化解，原式可得：H (z ) =
5-13-21-31-z +z -z 448
直接I 型：
直接Ⅱ型:
级联型：
注意，对于级联型，一定要化成负幂次，再写系数！
经对原式进行分解得：
2z -11-2.5z -1+z -2
H (z ) =⨯ -1
-21-0.25z -1
1-z +z
2
并联型：
16z 2-40z +16
H (z ) =3
8z -10z 2+6z -1H (z ) 16z -40+16z -1则=3
z 8z -10z 2+6z -1
11.24.8-5.6z -1
部分分式展开后得：H (z ) =-16++-1
1-0.25z 1-z -1+0.5z -2
Matlab 程序求解部分分式的系数： 注意：系数b,a 是Clc;
Clear;
b=[0,0,16,-40,16]; a=[8,-10,6,-1,0]; [K,z,d]=residue(b,a) KK1=[K(1),K(2)]; zz1=[z(1),z(2)];
[b2,a2]=residue(KK1,zz1,0) 返回值：K =
2.4000 + 3.2000i 2.4000 - 3.2000i 11.2000 -16.0000 z =
0.5000 + 0.5000i 0.5000 - 0.5000i 0.2500 0 d = [] b2 =
H (z )
的系数！ z
4.8000 -5.6000 a2 =
1.0000 -1.0000 0.5000
并联型结构流图：
6.1（2）略 6.4
Matlab 程序： clear; fp=5000; wp=2*pi*fp; fs=10000; ws=2*pi*fs; ap=3; as=30;
[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s'); [B,A]=cheby1(N,ap,wc,'s') freqs(B,A);
1.2205⨯1017
系统函数：H (s ) =4
s +18271s 3+1.1539⨯109s 2+1.255⨯1013s +1.724⨯1017
图：
6.7 解：
T =0.1s ; H a (s ) =
s +1-12
; =+
(s +2)(s +3) s +2s +3
∴s 1=-2; s 2=-3;
所以相应的H (z ) 的极点为z 1=e -2T , z 2=e -3T , -T 2T
∴H (z ) =+
1-e -2T Z -11-e -3T Z -1
Matlab 程序： clear; b=[1,1]; a=[1,5,6]; Fs=10;
[B,A]=impinvar(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A,'whole'); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));
6．8试用双线性变换法设计一个巴特沃斯型低通数字滤波器，并用matlab ，验证结果，给定技术指标为
f p =100Hz , f s =300Hz , αp =3dB , αs =20dB , 采样频率为1000Hz 。
解： (1) 数字低通滤波器的技术指标要求为
w p =
2πf p f T
=
2πf s 600π200π
=0.2πrad /s ; w s ===0.6πrad /s ; αp =3dB ; αs =20dB ; T =1ms ; 1000f T 1000
采用双线性变换法，相应的模拟低通滤波器的技术指标为：
w p 20.2πtan =2⨯1000⨯tan =649.84rad /s ; T 22
w 20.6π
Ωs =tan s =2⨯1000⨯tan =2752.764rad /s ;
T 22αp =3dB ; αs =20dB ; Ωp =
（1） 设计对应摸拟滤波器并求其指标
⎛100. α1p -1⎫lg s ⎪10-1⎭=1.593; 所以 N=2;N ≥⎝
⎛Ω⎫2lg p ⎪
⎝Ωs ⎭
Ωc =Ωs 10
(
0. α1s
-1
)
-
1
2N
=872.69rad /s ;
查表得 Han (u)=
（3）H a (s ) =H an (u )
1
;
1+1.4142u
s Ωc
u =
=
1
s
1+1.4142872.69
=
872.69
1.4142s +872.69
（4）H (z ) =H a (s )
21-z -1s =⋅
T 1+z
Matlab 程序： clear; clc;
Fs=1000;
wp=2*pi*100/Fs; ws=2*pi*300/Fs; ap=3; as=20;
Wap=2*Fs*tan(wp/2); Was=2*Fs*tan(ws/2);
[N,wc]=buttord(Wap,Was,ap,as,'s') [b,a]=butter(N,wc,'s'); [B,A]=bilinear(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A); plot(w*Fs/2/pi,abs(H));
第7章 FIR 数字滤波器设计
7.1解： H (Z ) =
1
(1+0.9z -1+2.1z -2+0.9z -3+z -4) 10
(0≤n ≤4)
∴h (n ) =
1
[1,0.9,2.1,0.9,1]10
由上式可知h （n ）为偶对称实序列，所以满足第一类线性相位的条件 所以：
1
(2cos2ω+1.8cos ω+2.1) （根据P .222式7.2.15可得） 10N -1
相频函数：θ(ω) =-τ=-2ω
2
幅度函数：H (ω) =
直接型结构：
-1
线性相位型结构：
-1-1-1y(n)
x (n )
z
-1
z
-1
y (n )
7.3若一个FIR 线性相位数字滤波器的单位采样响应h(n)是实数，且n6,h(n)=0。如果h(0)=1且系统函数在z=0.5exp(i*pi/3)和z=3各有一个零点，写出H(z)的表达式。 解：H (z ) =h (0)+h (1)z
-1
+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+h (5)z -5
由于h (n ) =h (N -n -1), N =6∴h (0)=h (5)=1
（1）h(n)为偶对称时，
H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+z -5 h (1)=h (4),h (2)=h (3)
∴H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (2)z -3+h (1)z -4+z -5
11111
H （3）=0 即 1+h(1)+2h(2)+3h(2)+4h(1)+5=0
33333
H(0.5ej π/3)=0 即（略）
解上面这两个方程即可得到h(1)、h(2) （2）h(n)为奇对称时，
H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2+h (3)z -3+h (4)z -4+z -5 h (0)=-h (5)，h (1)=-h (4),h (2)=-h (3)∴H (z ) =1+h (1)z -1+h (2)z -2-h (2)z -3-h (1)z -4-z -5
11111
H （3）=0 即 1+h(1)+2h(2)-3h(2)-4h(1)-5=0
33333
H(0.5ej π/3)=0 即（略）
解上面这两个方程即可得到h(1)、h(2)
7.6解：
（1）确定理想高通滤波器的频率响应
求h d (n)：
(2)加矩形窗， h (n ) =h d (n ) R N (n )=
1
（n-τ）]-sin[w （]}R N (n ) {sin[πc n-τ）
π（n-τ）
τ=
N -1
。 2
3）N 的取值受到过渡带带宽的限制，即0.9⨯(2πN )应小于等于过渡带带宽∆ω， ⇒N ≥
1.8π
∆w
7.7 解：（海明窗）
w =wp -ws =0.2π查表得 w =6.6π/N ⇒N =33
Matlab 程序： N=33;
wp=0.6*pi; ws=0.4*pi; wc=(wp+ws)/2;
hn=fir1(N,wc/pi,hamming(34)); [H,w]=freqz(hn);
plot(w,20*log10(abs(H)))；