坐标系与参数方程高考常考题型及解析
随着高考改革的不但深入，考试内用也在不但改革，分为必修和选修两部分，选修部分又分为高考必考部分和选考部分，这是对部分学生的兴趣和爱好加上了不等式选讲及几何证明选讲坐标系与参数方程，矩阵及变换等等选讲部分，笔者以多年送高考的经验将坐标系与参数方程选讲部分高考常考题型及解析总结如下，供同行们商榷。
类型一：求直线或圆锥曲线的参数或极坐标方程问题。
例题1：（2013年高考陕西卷）以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则x 2+y 2-x =0的参数
方程为_____
112122解析 ：圆的方程⇒ ⇒圆的半径r =（x -) +y =() 222
⇒OP =cos θ⋅2r =cos θ⇒x =OP ⋅cos θ=cos 2θ, y =OP ⋅sin θ=cos θ⋅sin θ。
⎧x =cos 2θ所以圆的参数方程为⎨, θ∈R y =cos θ⋅sin θ⎩
⎧x =t 变式：（2013年高考江西卷）设曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数), 若以直角坐标系的2y =t ⎩
原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则曲线c 的极坐标方程为__________ 解析：本题考查参数方程与极坐标方程的转化。曲线C 的普通方程为y =x 。将2⎧x =ρcos θ2222代入y =x ，得ρsin θ=ρcos θ，即ρcos θ-sin θ=0。所以曲线c 的⎨⎩y =ρsin θ
极坐标方程为ρcos θ-sin θ=0
点评：求极坐标方程与参数方程是坐标系与参数方程是高考常考的题型，记住参数方程与极坐标方程的转化结合直线与圆的方程形式，解决起来比较容易，是中档题目。 类型二; 考查在极坐标系下求两点距离或者点到直线距离问题。
例题2：（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中, 曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共
点到极点的距离为__________
解析：
联立方程组得ρ(ρ-1) =1⇒ρ=2，又ρ≥
0． 变式：（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中, 点(2,
_________.
解析：在极坐标系中，点
角坐标方程为y=2，（
π) 到直线ρsin θ=2的距离等于6，1），直线ρsinθ=2化为直到直线ρsinθ=2化为直角坐标为（
，1），到y=2的距离1，即为点
的距离1。
点评：在极坐标系下就两点间的距离其中ρ的几何意义就是距离，注意求值取非负数值即可，
点到直线的距离要通过把点和直线化成直角坐标系下的点的坐标及直线方程，然后通过直角坐标系下的点到直线的距离解决即可。 类型三：考查参数方程与极坐标方程互化问题。
⎧x =4+5cos t 例题3：（2013年高考新课标1） 已知曲线C 1的参数方程为⎨(t 为参数), 以坐y =5+5sin t ⎩
标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (Ⅰ) 把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ) 求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ
⎧x =4+5cos t 22解析：(Ⅰ) 将⎨消去参数t , 化为普通方程(x -4) +(y -5) =25, ⎩y =5+5sin t
即C 1:x +y -8x -10y +16=0, 将⎨22⎧x =ρcos θ22代入x +y -8x -10y +16=0得, ⎩y =ρsin θ
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,
∴C 1的极坐标方程为ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0;
(Ⅱ) C 2的普通方程为x +y -2y =0,
22⎧⎧x =1⎧x =0⎪x +y -8x -10y +16=0由⎨解得⎨或⎨,∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为
22y =1y =2⎪⎩⎩⎩x +y -2y =0222
(π4), (2,π
2) .
点评：参数方程与极坐标方程互化问题是通过普通方程作为桥梁，从而实现参数方程与极坐标方程的互化，求曲线交点问题也需要把参数方程及极坐标方程化为普通方程来解决。可见一定要记住极坐标方程及参数方程话普通方程的方法及化法。
类型四：以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题。
例题4：（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的参数方程为⎧x =a cos θϕ为参数，a >b >0). 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, (⎨⎩y =b sin θ
且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 直线l 与圆O 的极坐标方程分别
为ρsin θ+⎛
⎝π⎫=(m 为非零常数)与ρ=b . 若直线l 经过椭圆C 的焦点, 且与圆O ⎪4⎭相切, 则椭圆C 的离心率为___________
x 2y 2
解析：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化。椭圆的标准方程为2+2=1。
a b 由ρsin(θ+π
4) =
2m 得ρsin θ+ρcos θ) =m ，即直线方程为x +y -m =0。2222222222由ρ=b ，得ρ=b ，即x +y =b ，所以圆的标准方程为x +y =b 。因为直线
x +y -m =0过椭圆的焦点，代入得m =±c 。直线x +y -m =0与圆x 2+y 2=b 2相切，
=b ，
即m =。
所以c =，
解得a =，
所以离心率e =c ==。 a 点评：以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题，这部分知识考查参数方程，极坐标方程化普通方程，然后通过有关直线与圆锥曲线的有关知识来解决，是高考的重点知识。 类型五：以参数方程为载体考查直线方程及直线与圆锥曲线位置关系问题。
例题5：（2013年高考福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系. 已知点A
的极坐标为π
4) , 直线的极坐标方程为
πρcos(θ-) =a , 且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程; 4
(2)圆c 的参数方程为⎨
解析：
(Ⅰ)由点A ⎧x =1+cos α,(α为参数), 试判断直线与圆的位置关系. ⎩y =sin απ) 在直线ρcos(θ-) =a 上,
可得a =所以直线的方程可化44π
为ρcos θ+ρsin θ=2 从而直线的直角坐标方程为x +y -2=0
(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x -1) +y =1 ，所以圆心为(1,0), 半径r =1 ，因
22
为圆心到直线的距离d =
总之，坐标系与参数方程是高考的选讲内用，考查题型重点是求直线与圆锥曲线的参数方程或极坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化问题，通过普通方程为桥梁，从而实现了极参的互化，在极坐标系下求两点间的距离或者点到直线的距离问题往往需要理解ρ的几何意义以及将极坐标下的点直线方程化为直角坐标系下的点及直线方程，在直角坐标系下解决就方便了，以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题以及求直线方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题，是坐标系与参数方程常考的重点题型，只要掌握这些方面，高考中学生对这部分知识答起来才会得心应手。
坐标系与参数方程高考常考题型及解析
随着高考改革的不但深入，考试内用也在不但改革，分为必修和选修两部分，选修部分又分为高考必考部分和选考部分，这是对部分学生的兴趣和爱好加上了不等式选讲及几何证明选讲坐标系与参数方程，矩阵及变换等等选讲部分，笔者以多年送高考的经验将坐标系与参数方程选讲部分高考常考题型及解析总结如下，供同行们商榷。
类型一：求直线或圆锥曲线的参数或极坐标方程问题。
例题1：（2013年高考陕西卷）以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则x 2+y 2-x =0的参数
方程为_____
112122解析 ：圆的方程⇒ ⇒圆的半径r =（x -) +y =() 222
⇒OP =cos θ⋅2r =cos θ⇒x =OP ⋅cos θ=cos 2θ, y =OP ⋅sin θ=cos θ⋅sin θ。
⎧x =cos 2θ所以圆的参数方程为⎨, θ∈R y =cos θ⋅sin θ⎩
⎧x =t 变式：（2013年高考江西卷）设曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数), 若以直角坐标系的2y =t ⎩
原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则曲线c 的极坐标方程为__________ 解析：本题考查参数方程与极坐标方程的转化。曲线C 的普通方程为y =x 。将2⎧x =ρcos θ2222代入y =x ，得ρsin θ=ρcos θ，即ρcos θ-sin θ=0。所以曲线c 的⎨⎩y =ρsin θ
极坐标方程为ρcos θ-sin θ=0
点评：求极坐标方程与参数方程是坐标系与参数方程是高考常考的题型，记住参数方程与极坐标方程的转化结合直线与圆的方程形式，解决起来比较容易，是中档题目。 类型二; 考查在极坐标系下求两点距离或者点到直线距离问题。
例题2：（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中, 曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共
点到极点的距离为__________
解析：
联立方程组得ρ(ρ-1) =1⇒ρ=2，又ρ≥
0． 变式：（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中, 点(2,
_________.
解析：在极坐标系中，点
角坐标方程为y=2，（
π) 到直线ρsin θ=2的距离等于6，1），直线ρsinθ=2化为直到直线ρsinθ=2化为直角坐标为（
，1），到y=2的距离1，即为点
的距离1。
点评：在极坐标系下就两点间的距离其中ρ的几何意义就是距离，注意求值取非负数值即可，
点到直线的距离要通过把点和直线化成直角坐标系下的点的坐标及直线方程，然后通过直角坐标系下的点到直线的距离解决即可。 类型三：考查参数方程与极坐标方程互化问题。
⎧x =4+5cos t 例题3：（2013年高考新课标1） 已知曲线C 1的参数方程为⎨(t 为参数), 以坐y =5+5sin t ⎩
标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (Ⅰ) 把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ) 求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ
⎧x =4+5cos t 22解析：(Ⅰ) 将⎨消去参数t , 化为普通方程(x -4) +(y -5) =25, ⎩y =5+5sin t
即C 1:x +y -8x -10y +16=0, 将⎨22⎧x =ρcos θ22代入x +y -8x -10y +16=0得, ⎩y =ρsin θ
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,
∴C 1的极坐标方程为ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0;
(Ⅱ) C 2的普通方程为x +y -2y =0,
22⎧⎧x =1⎧x =0⎪x +y -8x -10y +16=0由⎨解得⎨或⎨,∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为
22y =1y =2⎪⎩⎩⎩x +y -2y =0222
(π4), (2,π
2) .
点评：参数方程与极坐标方程互化问题是通过普通方程作为桥梁，从而实现参数方程与极坐标方程的互化，求曲线交点问题也需要把参数方程及极坐标方程化为普通方程来解决。可见一定要记住极坐标方程及参数方程话普通方程的方法及化法。
类型四：以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题。
例题4：（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的参数方程为⎧x =a cos θϕ为参数，a >b >0). 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, (⎨⎩y =b sin θ
且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 直线l 与圆O 的极坐标方程分别
为ρsin θ+⎛
⎝π⎫=(m 为非零常数)与ρ=b . 若直线l 经过椭圆C 的焦点, 且与圆O ⎪4⎭相切, 则椭圆C 的离心率为___________
x 2y 2
解析：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化。椭圆的标准方程为2+2=1。
a b 由ρsin(θ+π
4) =
2m 得ρsin θ+ρcos θ) =m ，即直线方程为x +y -m =0。2222222222由ρ=b ，得ρ=b ，即x +y =b ，所以圆的标准方程为x +y =b 。因为直线
x +y -m =0过椭圆的焦点，代入得m =±c 。直线x +y -m =0与圆x 2+y 2=b 2相切，
=b ，
即m =。
所以c =，
解得a =，
所以离心率e =c ==。 a 点评：以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题，这部分知识考查参数方程，极坐标方程化普通方程，然后通过有关直线与圆锥曲线的有关知识来解决，是高考的重点知识。 类型五：以参数方程为载体考查直线方程及直线与圆锥曲线位置关系问题。
例题5：（2013年高考福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系. 已知点A
的极坐标为π
4) , 直线的极坐标方程为
πρcos(θ-) =a , 且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程; 4
(2)圆c 的参数方程为⎨
解析：
(Ⅰ)由点A ⎧x =1+cos α,(α为参数), 试判断直线与圆的位置关系. ⎩y =sin απ) 在直线ρcos(θ-) =a 上,
可得a =所以直线的方程可化44π
为ρcos θ+ρsin θ=2 从而直线的直角坐标方程为x +y -2=0
(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x -1) +y =1 ，所以圆心为(1,0), 半径r =1 ，因
22
为圆心到直线的距离d =
总之，坐标系与参数方程是高考的选讲内用，考查题型重点是求直线与圆锥曲线的参数方程或极坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化问题，通过普通方程为桥梁，从而实现了极参的互化，在极坐标系下求两点间的距离或者点到直线的距离问题往往需要理解ρ的几何意义以及将极坐标下的点直线方程化为直角坐标系下的点及直线方程，在直角坐标系下解决就方便了，以参数方程为载体考查圆锥曲线有关几何量问题以及求直线方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题，是坐标系与参数方程常考的重点题型，只要掌握这些方面，高考中学生对这部分知识答起来才会得心应手。