2014届高三数学应用题专题
1、某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均有1 km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．
（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？
2如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．
甲
乙
3．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x ≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
4、如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E 、F 分别在BC 、CD 上），根据规划要求∆ECF 的周长为2km ． A （1）试求∠EAF 的大小；
（2）欲使∆EAF 的面积最小，试确定点E 、F 的位置．
B
D
F
C
5、如图，∆ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2． ⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； ⑵求
S 1
的最小值. S 2
6、如图某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知AB =2km , BC =6km , AE =BF =4km , 其中AF 是以A 为顶点、
AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
7、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排l 1，在路南侧沿直线排l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 603m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为α．矩形区域内的排管费用为W ． （1）求W 关于α的函数关系式；
（2）求W 的最小值及相应的角α． l 1
8、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． 于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入万元作为固定宣传费用，投入
l 2
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低
12
(x -600) 万元作为技改费用，投入506
1
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 5
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时．．．．．．商品的每件定价．
9、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米) 的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK
2⎫2⎛1
是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数y ＝ x ≤⎪的图象，另外的边缘是平行于正
3⎭9x ⎝3
方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l (宽度不计) ，直线l 与曲线段MN 相切(切点记为P ) ，并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，f (t ) 表示该地块在直路l 左下部分的面积． (1)求f (t ) 的解析式；
(2)求面积S ＝f (t ) 的最大值．
10、已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为S 1，草坪的面积为S 2，取∠ABC =θ． （1）用θ及R 表示S 1和S 2； （2）求
S 1
的最小值． S 2
BD BC CD sin(120︒-α)
==1、（1）在△BCD 中，∵，
∴BD =，．则CD =sin 60︒sin αsin(120︒-α) n s i αsin α
AD =1-
n s i 1(20) ︒-αn s i α
．
sin(120︒-α) cos α-4π2π
S
＝400⋅+100⋅[1-
．其中≤α≤． ]＝50-sin αsin αsin α33
（2
）S '=-
-sin α⋅sin α-(cosα-4)cos α1-4cos α
＝． sin 2αsin 2α11
．当cos α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数； 44
令S '＝0，得cos α=当cos α
1
时，S '＞0，S 是α的单调增函数． 4
∴当cos α=
1
时，S
取得最小值．此时，sin α=4
1
α+sin αsin(120︒-α) 1AD =1-=1-=
sin αsin α2
1
11＝ =22
2、解（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，
S △RST =
1
SH ⋅RT ． 2
由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离； RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2， 当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
1
此时，场地面积的最大值为S △RST =⨯4⨯2=4（km 2）．
2
T
S
P
Q
甲
乙
R
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有
S 四边形ABCD =1⨯2⨯2⨯sin θ⨯2+1⨯2⨯2⨯sin(π-2θ) =4(sinθ+sin θcos θ) 0
()
令y =sin θ+sin θcos θ，则y '=cos θ+cos θcos θ+sin θ(-sin θ) =2cos 2θ+cos θ-1．
若y '=0，cos θ=1，θ=π，又θ∈0π时，y '>0，θ∈ππ时，y '
故θ=
π时，场地面积取得最大值为km 2）．
3、解：（1）设商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获
利为f (x ) ，则依题意有f (x ) =(30-x -9)(432+kx 2) =(21-x )(432+kx 2) ，
()()
·22，于是有k =6， 又由已知条件，24=k
所以f (x ) =-6x 3+126x 2-432x +9072，x ∈[0，30]．
（2）根据（1），我们有f '(x ) =-18x 2+252x -432=-18(x -2)(x -12) ． 当x 变化时，f '(x ) 与f (x ) 的变化如下表：
故x =12时，f (x ) 达到极大值．因为f (0)=9072，f (12)=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．
4、解：（1）设∠BAE =α, ∠DAF =β，CE =x , CF =y (0
=2，即2(x +y ) -xy =2
tan α+tan β1-x +1-y 2-(x +y ) 2-(x +y )
tan(α+β) =====1
1-tan αtan β1-(1-x )(1-y ) x +y -xy x +y +[2-2(x +y )]
0
π
2
, ∴α+β=
π
4
，即∠EAF =
π
4
.
（2）由（1）知，
1111
S ∆AEF =AE ⋅AF sin ∠EAF =AE ⋅AF =⋅=244cos αcos β4cos αcos β
=
1111===
cos αcos(-α) 2cos α(sinα+cos α) sin 2α+2cos 2αsin 2α+cos 2α+1
4
=
1
α+) +1
4ππππ
0
AEF 1．
4428
π2tan π, ∴tan π=1，故此时BE =DF =1 tan =
41-
tan 28
8
所以，当BE =DF 1时，∆AEF 的面积最小．
5解：⑴
．
E 为AC 中点时，则AE =EC =
3, 233
+3
AB 上，则AE +AF =3-AE +4-AF +3, ∴AE +AF =5.
∴AF =
72
在三角形AEF 中，EF 2=AE 2+AF 2-2AE ⋅AF cos A
=, ∴EF =
2 即小路一端E 为AC 15
. ⑵若小路的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE =x , CF =y , 则x +y =5
S 1S ABC -S CEF S ABC
==S 2S CEF S CEF =
1
CA ∙CB sin c -1=1
CE ∙CF sin c 2
99115
x =y =，当时取等号. -1≥-1=2
2xy 25⎛x +y ⎫
⎪⎝2⎭
F 分别在一腰若小路的端点E 、（不妨设腰AC ）上和底上，设AE =x , AF =y , 则x +y =5
S 1S ABC -S AEF S ABC 1212235
x =y =, 当时取等号. ==-1=-1≥-1=2
2S 2S AEF S AEF xy 25⎛x +y ⎫
⎪⎝2⎭
答：最小值为
11. 25
6、解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则A (0,0),F (2,4)，
2
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y =ax 2(a >0) ，由4=a ⨯2得，a =1，
∴AF 所在抛物线的方程为y =x 2，又E , 40, ) (62) , (
C ，∴EC 所在直线的方程为y =x +4，
设P (x ，x 2)(0
2232
∴工业园区的面积S =(4-x +4+x -x ) ⋅x =-x +x +4x (0
1212
∴S '=-3x +x +4, 令S '=0得x =
2
4
或x =-1（舍去负值）， 34(, 2) 3
-
当x 变化时，S '和S 的变化情况如下表：
x
4(0,) 3'
+
4 3
0 极大值
↑
104
27
↓
4104时，S 取得最大值． 327
104
答：该高科技工业园区的最大面积．
27
由表格可知，当x =
7、解：（1）如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意得∠MEF =α(0≤α≤
π
3
) ，
60
， AE +FC =-60tan α， cos α
60sin α-2
⨯2=603-60所以W=(603-60tan α) ⨯1+。 cos αcos α
sin α-2π
（2）设f (α) =，(0≤α≤)
cos α3
cos αcos α-(-sin α)(sinα-2) 1-2sin α
=则f '(α) =．
cos 2αcos 2α
1π
令f '(α) =0得1-2sin α=0，即sin α=，得α=．
26
故有MF =60tan α，EF =
列表
所以当α=
6
时有f (α) max =W min =
答：排管的最小费用为万元，相应的角α=8、解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有(8-
π
6
．
x -25
⨯0.2) x ≥25⨯8， 1
2
整理得x
-65x +1000≤0，解得25≤x ≤40．
121
(x -600) +x 有解, 等价于x >25时，65
∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′
（2）依题意，x >25时，
不等式ax ≥25⨯8+50+
a ≥
15011
+x +有解, x 65∴a ≥10.2.
1501+x ≥10(当且仅当x =30时，等号成立) , x 6∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于
原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′
22
9、解：(1)因为y ＝，所以y ′＝－2
9x 9x
2224
所以过点P 的切线方程为y －＝－(x －t ) ，即y ＝－分)
9t 9t 9t 9t
4
令x ＝0，得y ＝y ＝0，得x ＝2t .
9t
4⎛所以切线与x 轴交点E (2t, 0) ，切线与y 轴交点F 0，.(4分) ⎝9t ⎭
⎧4⎪1，①当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，⎧4⎪1，
②当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，
2t ≤1，
41
即≤t ≤ 92
144
所以f (t ) ＝×2t ×＝(6分)
29t 9
2t ＞1，
12
＜t ≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 23
144t －24t －1f (t ) ＝2·1＝；(8分) 9t ⎭2⎝9t 9t ⎧4⎪1，③当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，2t ≤1，
214≤t ＜时，切线左下方的区域为一直角梯形， 3914t －9t 92＋2t ⎫所以f (t ) ＝·1＝2t －t . ⎪2⎝24⎭⎧⎪441综上f (t ) ＝⎨≤t ≤，2⎭9⎝924t －11⎪t ≤⎩9t ⎝23⎭. 4⎫92⎛12t －t ≤t ＜⎪，9⎭4⎝3 (10分)
149294⎫244(2)t ＜时，f (t ) ＝2t －t －⎪＋＜(12分) 3944⎝9⎭99
124t －11⎛1⎫244当＜t ≤时，f (t ) ＝2 2⎪＋，(14分) 239t 9⎝t ⎭99
4所以S max ＝分)
10、（1）为∠ABC =θ，则AC =2R sin θ, BC =2R cos θ， 1AC ⋅BC =2R 2sin θcos θ=R 2sin 2θ． 2
设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则MO ⊥AC , NO ⊥BC ． 则S 2=
易得三角形AMC 的面积为R 2sin θ(1-cos θ) ，三角形BNC 的面积为R 2cos θ(1-sin θ) ， ∴S 1=R 2sin θ(1-cos θ) +R 2sin θ(1-cos θ) =R 2(s i θn +c o θs -． s ) 2θs i n θc o
S 1R 2(sinθ+cos θ-2sin θcos θ) sin θ+cos θ（2）∵==-1，
S 22R 2sin θcos θ2sin θcos θ
S t 12令sin θ+cos θ=t ∈(1，则2sin θcos θ=t -1．∴1=2-1=-1． 1S 2t -1t -t
S ∴11． S
2
11
2014届高三数学应用题专题
1、某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均有1 km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．
（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？
2如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．
甲
乙
3．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x ≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
4、如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E 、F 分别在BC 、CD 上），根据规划要求∆ECF 的周长为2km ． A （1）试求∠EAF 的大小；
（2）欲使∆EAF 的面积最小，试确定点E 、F 的位置．
B
D
F
C
5、如图，∆ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2． ⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； ⑵求
S 1
的最小值. S 2
6、如图某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知AB =2km , BC =6km , AE =BF =4km , 其中AF 是以A 为顶点、
AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
7、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排l 1，在路南侧沿直线排l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 603m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为α．矩形区域内的排管费用为W ． （1）求W 关于α的函数关系式；
（2）求W 的最小值及相应的角α． l 1
8、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． 于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入万元作为固定宣传费用，投入
l 2
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低
12
(x -600) 万元作为技改费用，投入506
1
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 5
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时．．．．．．商品的每件定价．
9、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米) 的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK
2⎫2⎛1
是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数y ＝ x ≤⎪的图象，另外的边缘是平行于正
3⎭9x ⎝3
方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l (宽度不计) ，直线l 与曲线段MN 相切(切点记为P ) ，并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，f (t ) 表示该地块在直路l 左下部分的面积． (1)求f (t ) 的解析式；
(2)求面积S ＝f (t ) 的最大值．
10、已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为S 1，草坪的面积为S 2，取∠ABC =θ． （1）用θ及R 表示S 1和S 2； （2）求
S 1
的最小值． S 2
BD BC CD sin(120︒-α)
==1、（1）在△BCD 中，∵，
∴BD =，．则CD =sin 60︒sin αsin(120︒-α) n s i αsin α
AD =1-
n s i 1(20) ︒-αn s i α
．
sin(120︒-α) cos α-4π2π
S
＝400⋅+100⋅[1-
．其中≤α≤． ]＝50-sin αsin αsin α33
（2
）S '=-
-sin α⋅sin α-(cosα-4)cos α1-4cos α
＝． sin 2αsin 2α11
．当cos α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数； 44
令S '＝0，得cos α=当cos α
1
时，S '＞0，S 是α的单调增函数． 4
∴当cos α=
1
时，S
取得最小值．此时，sin α=4
1
α+sin αsin(120︒-α) 1AD =1-=1-=
sin αsin α2
1
11＝ =22
2、解（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，
S △RST =
1
SH ⋅RT ． 2
由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离； RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2， 当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
1
此时，场地面积的最大值为S △RST =⨯4⨯2=4（km 2）．
2
T
S
P
Q
甲
乙
R
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有
S 四边形ABCD =1⨯2⨯2⨯sin θ⨯2+1⨯2⨯2⨯sin(π-2θ) =4(sinθ+sin θcos θ) 0
()
令y =sin θ+sin θcos θ，则y '=cos θ+cos θcos θ+sin θ(-sin θ) =2cos 2θ+cos θ-1．
若y '=0，cos θ=1，θ=π，又θ∈0π时，y '>0，θ∈ππ时，y '
故θ=
π时，场地面积取得最大值为km 2）．
3、解：（1）设商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获
利为f (x ) ，则依题意有f (x ) =(30-x -9)(432+kx 2) =(21-x )(432+kx 2) ，
()()
·22，于是有k =6， 又由已知条件，24=k
所以f (x ) =-6x 3+126x 2-432x +9072，x ∈[0，30]．
（2）根据（1），我们有f '(x ) =-18x 2+252x -432=-18(x -2)(x -12) ． 当x 变化时，f '(x ) 与f (x ) 的变化如下表：
故x =12时，f (x ) 达到极大值．因为f (0)=9072，f (12)=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．
4、解：（1）设∠BAE =α, ∠DAF =β，CE =x , CF =y (0
=2，即2(x +y ) -xy =2
tan α+tan β1-x +1-y 2-(x +y ) 2-(x +y )
tan(α+β) =====1
1-tan αtan β1-(1-x )(1-y ) x +y -xy x +y +[2-2(x +y )]
0
π
2
, ∴α+β=
π
4
，即∠EAF =
π
4
.
（2）由（1）知，
1111
S ∆AEF =AE ⋅AF sin ∠EAF =AE ⋅AF =⋅=244cos αcos β4cos αcos β
=
1111===
cos αcos(-α) 2cos α(sinα+cos α) sin 2α+2cos 2αsin 2α+cos 2α+1
4
=
1
α+) +1
4ππππ
0
AEF 1．
4428
π2tan π, ∴tan π=1，故此时BE =DF =1 tan =
41-
tan 28
8
所以，当BE =DF 1时，∆AEF 的面积最小．
5解：⑴
．
E 为AC 中点时，则AE =EC =
3, 233
+3
AB 上，则AE +AF =3-AE +4-AF +3, ∴AE +AF =5.
∴AF =
72
在三角形AEF 中，EF 2=AE 2+AF 2-2AE ⋅AF cos A
=, ∴EF =
2 即小路一端E 为AC 15
. ⑵若小路的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE =x , CF =y , 则x +y =5
S 1S ABC -S CEF S ABC
==S 2S CEF S CEF =
1
CA ∙CB sin c -1=1
CE ∙CF sin c 2
99115
x =y =，当时取等号. -1≥-1=2
2xy 25⎛x +y ⎫
⎪⎝2⎭
F 分别在一腰若小路的端点E 、（不妨设腰AC ）上和底上，设AE =x , AF =y , 则x +y =5
S 1S ABC -S AEF S ABC 1212235
x =y =, 当时取等号. ==-1=-1≥-1=2
2S 2S AEF S AEF xy 25⎛x +y ⎫
⎪⎝2⎭
答：最小值为
11. 25
6、解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则A (0,0),F (2,4)，
2
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y =ax 2(a >0) ，由4=a ⨯2得，a =1，
∴AF 所在抛物线的方程为y =x 2，又E , 40, ) (62) , (
C ，∴EC 所在直线的方程为y =x +4，
设P (x ，x 2)(0
2232
∴工业园区的面积S =(4-x +4+x -x ) ⋅x =-x +x +4x (0
1212
∴S '=-3x +x +4, 令S '=0得x =
2
4
或x =-1（舍去负值）， 34(, 2) 3
-
当x 变化时，S '和S 的变化情况如下表：
x
4(0,) 3'
+
4 3
0 极大值
↑
104
27
↓
4104时，S 取得最大值． 327
104
答：该高科技工业园区的最大面积．
27
由表格可知，当x =
7、解：（1）如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意得∠MEF =α(0≤α≤
π
3
) ，
60
， AE +FC =-60tan α， cos α
60sin α-2
⨯2=603-60所以W=(603-60tan α) ⨯1+。 cos αcos α
sin α-2π
（2）设f (α) =，(0≤α≤)
cos α3
cos αcos α-(-sin α)(sinα-2) 1-2sin α
=则f '(α) =．
cos 2αcos 2α
1π
令f '(α) =0得1-2sin α=0，即sin α=，得α=．
26
故有MF =60tan α，EF =
列表
所以当α=
6
时有f (α) max =W min =
答：排管的最小费用为万元，相应的角α=8、解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有(8-
π
6
．
x -25
⨯0.2) x ≥25⨯8， 1
2
整理得x
-65x +1000≤0，解得25≤x ≤40．
121
(x -600) +x 有解, 等价于x >25时，65
∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′
（2）依题意，x >25时，
不等式ax ≥25⨯8+50+
a ≥
15011
+x +有解, x 65∴a ≥10.2.
1501+x ≥10(当且仅当x =30时，等号成立) , x 6∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于
原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′
22
9、解：(1)因为y ＝，所以y ′＝－2
9x 9x
2224
所以过点P 的切线方程为y －＝－(x －t ) ，即y ＝－分)
9t 9t 9t 9t
4
令x ＝0，得y ＝y ＝0，得x ＝2t .
9t
4⎛所以切线与x 轴交点E (2t, 0) ，切线与y 轴交点F 0，.(4分) ⎝9t ⎭
⎧4⎪1，①当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，⎧4⎪1，
②当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，
2t ≤1，
41
即≤t ≤ 92
144
所以f (t ) ＝×2t ×＝(6分)
29t 9
2t ＞1，
12
＜t ≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 23
144t －24t －1f (t ) ＝2·1＝；(8分) 9t ⎭2⎝9t 9t ⎧4⎪1，③当⎨9t
12t ≤⎪⎩33，2t ≤1，
214≤t ＜时，切线左下方的区域为一直角梯形， 3914t －9t 92＋2t ⎫所以f (t ) ＝·1＝2t －t . ⎪2⎝24⎭⎧⎪441综上f (t ) ＝⎨≤t ≤，2⎭9⎝924t －11⎪t ≤⎩9t ⎝23⎭. 4⎫92⎛12t －t ≤t ＜⎪，9⎭4⎝3 (10分)
149294⎫244(2)t ＜时，f (t ) ＝2t －t －⎪＋＜(12分) 3944⎝9⎭99
124t －11⎛1⎫244当＜t ≤时，f (t ) ＝2 2⎪＋，(14分) 239t 9⎝t ⎭99
4所以S max ＝分)
10、（1）为∠ABC =θ，则AC =2R sin θ, BC =2R cos θ， 1AC ⋅BC =2R 2sin θcos θ=R 2sin 2θ． 2
设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则MO ⊥AC , NO ⊥BC ． 则S 2=
易得三角形AMC 的面积为R 2sin θ(1-cos θ) ，三角形BNC 的面积为R 2cos θ(1-sin θ) ， ∴S 1=R 2sin θ(1-cos θ) +R 2sin θ(1-cos θ) =R 2(s i θn +c o θs -． s ) 2θs i n θc o
S 1R 2(sinθ+cos θ-2sin θcos θ) sin θ+cos θ（2）∵==-1，
S 22R 2sin θcos θ2sin θcos θ
S t 12令sin θ+cos θ=t ∈(1，则2sin θcos θ=t -1．∴1=2-1=-1． 1S 2t -1t -t
S ∴11． S
2
11