学士学位论文
致密性定理的应用研究
学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研究方向 学生姓名 学
号
函数论 章 翔 [1**********] 王建军 讲师
指导教师姓名 指导教师职称
年 月 日
淮北师范大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书
本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计）《 致密性定理的应用研究 》，是在指导教师 王建军 的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的．本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明．本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任．
承诺人：2012年级数学与应用数学 专业
签 名：
年 月 日
致密性定理的应用研究
摘要
致密性定理是数学分析中实数基本定理的其中一个，在实数研究中占据特殊的地位，与有限覆盖定理，区间套定理，单调有界定理，柯西收敛定理，确界定理，聚点定理等定理一起构成实数完备性整个系统，这几个定理相互可以等价证明．故本文开始先对其进行研究讨论，在致密性定理与其他几个实数基本定理的循环证明中，采用了多种数学证明中的常见方法，主要以反证法为主，还有就是对区间进行分割讨论．对极限的求证和数列性质的理解具有很重要的意义．
接着以致密性的应用为重点研究对象，考察其在证明连续函数的一些性质上的应用，以有界性，最值性为基础，一些具体例题更能体现，比如连续函数的一致连续的证明等等．致密性定理作为实数完备性的一个基础构成，在整个数分的学习上都是既基础又至关重要，需要不断探讨研究，加深理解，方便运用．
关键词：致密性定理；完备性；连续性
The Application and Research of the Compactness Theorem
ABSTRACT
Compactness theorem is one of the real number fundamental theorem in mathematical analysis ．It occupies an important position in real number research，composing the integrated system of completeness of real number with finite coveringtheorem ，nested sequencetheorem ，bounded monotonic principle，Cauchy convergence theorem，definite bound theorem and accumulation point theorem ．These therorems can be proven equivalently ，so which requires further discussion and study ．There are many methods of mathematical proof adopted in the circular demonstration between c ompactness theorem and other real number fundamental principles ，including reduction and segmentation discussion ，which is crucial to the proof of limit and understanding of property of number sequence．
Then great emphasis will be put on the application of compactness in proving some properties of continuous function，with boundedness and extremum as the base．Some other specific cases also demonstrate it well，such as the consistent and continuous confirmation of continuous function．As the basic element of real number completeness，compactnesstheorem ia of great significance to the study of mathematical analysis，which requires futher research and understanding so as to be used in a convenient way．
Key words： compactness theorem；the integrated system of completeness of real number；the continuity of real number
目录
摘要 ....................................................................................................................................................... I
ABSTRACT . ..................................................................................................................................... II 目录 . ............................................................................................................................................. III 一、引言 . ...................................................................................................................................... 1 二、基础知识 . .............................................................................................................................. 1 三、致密性定理的研究 . .............................................................................................................. 2 （一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理 ................................................... 2 1、利用聚点定理证明致密性定理 . .................................................................................... 2 2、利用确界定理证明致密性定理[4] .................................................................................. 3 3、利用闭区间套定理证明致密性定理 . ............................................................................ 3 4、利用有限覆盖定理证明致密性定理[5] .......................................................................... 4 5、利用单调有界定理证明致密性定理[6] .......................................................................... 4 6、利用柯西收敛准则证明致密性定理 . ............................................................................ 5 （二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理 . ...................................................... 5 1、致密性定理证明单调有界定理 . .................................................................................... 5 2、致密性定理证明聚点定理 . ............................................................................................ 6 3、致密性定理证明确界定理 . ............................................................................................ 6 4、致密性定理证明有限覆盖定理 . .................................................................................... 6 5、致密性定理证明确界定理 . ............................................................................................ 7 6、致密性定理证明柯西收敛准则 . .................................................................................... 7 四、致密性定理的应用 . .............................................................................................................. 8
1、证明连续函数的性质[7] . ................................................................................................. 8 2、致密性定理的实例应用 . .............................................................................................. 10 五、总结 . .................................................................................................................................... 14
参考文献 ............................................................................................................................. 15
一、引言
致密性定理是研究实数性质的重要定理，也是聚点定理的推论，同时又称维尔斯特拉斯定理，内容是有界数列就会有收敛子列．在十七世纪的时候，大数学家Newton 、Leibniz 发明了微积分，这种工具极大的推动了数学的发展，在一方面，微积分作为数学工具应用十分广泛，极大的推动了数学乃至社会的进步与发展．可是在另一方面，它又存在巨大的逻辑问题．为了解决这些矛盾，众多数学家前赴后继，终于提出来实数完备性的几个基本定理，致密性定理就是其中之一．致密性定理不仅仅在理论上解决了实数完备性的问题，还在极限论，连续函数的具体应用上有着重要研究价值．
为了更深入的掌握致密性定理，以便更好的运用它，这篇论文先从如何证明致密性定理出发，分别用了闭区间套定理，聚点定理，确界原理，单调有界定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则来证明致密性定理，在此过程可以看到一些在数学分析中常见的证明方法，接着这篇论文试着用致密性定理去回证上述的那几个实数完备性定理，其中反证法是最为常用的．如果对其他定理也验证的话，就能得到一整个等价的循环证明．经过这两部分的证明，大致上可以初步掌握致密性定理的相关知识．本文研究的重点放在了致密性定理的应用上，毕竟定理是要拿来用的，开始先讨论了有关连续函数在闭区间上的有界性和最值性，最后的部分体现了本文独立探究的成果，有关如何验证连续函数的一致连续，以及函数列和其子列进一步的研究等等，这些均属于本文独立探究的成果，也是致密性定理具体应用的实例．
二、基础知识
本文开始先介绍几个与致密性定理有重要联系的定理，这些定理在一般教科书上都能找到．
（1）确界定理[1]：有界数列必有确界． （2）单调有界定理[1]：单调有界数列必有极限． （3）区间套定理[2]：一闭区间列
{[a , b ]}满足以下条件：1）
n
n n →∞
n →∞
∀n ∈N +，
a n ≤a n +1≤b n +1≤b n ；2）lim (a n -b n )=0．则lim a n =lim b n =ζ，且ζ是所有区间的公共
n →∞
点．
（4）致密性定理[1]：有界数列必有收敛子列．
（5）聚点定理[1]：有界无限点集必有聚点． （6）有限覆盖定理[1]：设S 是覆盖
[a , b ]的一个开覆盖，则在S 中必可选出有限个开区间来
[a , b ]．
{x n }收敛的充分必要条件是{x n }柯西列，即
（7）柯西收敛准则：数列
，有x n -x m 0, ∃N ∈Z +, ∀m , n >N
了解了这几个实数的基本定理，接下来便是对致密性定理的探究．第一步，先探究如何用致密性定理证明其他几个基本定理．
三、致密性定理的研究
（一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理 1、利用聚点定理证明致密性定理[3]
设{s n }是有界无穷数列，那么对该数列进行讨论．
若{s n }是由有限个数重复出现无数次构成，不妨设α就是这有限个数中的某一个数，就是说α在{s n }中重复出现无数次，假设α在该数列中出现的项数为n 1, , n k …显然有s n k 为常数列，同时有lim s n k =α．即可证明 s n k 是{s n }的某一个收敛子列．
k →∞
{}
{}
如果{s n }是由无穷多个不同的数构成的，因为点集是有界无穷点集，那么由聚点定理，可以得到有界无穷点列必有聚点，不妨记为β．取{s n }中的一个子列s n k ，使其收敛于β；
因为α是{s n }的聚点，由聚点定理可知，对于∀k ∈N, β-
{}
⎛
⎝11⎫
, β+⎪中，必有{s n }的k k ⎭
无穷项，则存在s n k ∈ β-
⎛
⎝11⎫
, β+⎪，使得s n k ≠β．又由于k 为任意自然数，那么必有{s n }k k ⎭
-β
1
, ，当k →∞时，k
的一个子列s n k ，因为s n k
{}
k →∞
11⎫β-, β+{}∈⎛ ⎪，所以有s
k k ⎭⎝
n k
s n k =β．即lim s n k =β．也就是说，{s n }必有收敛子列，命题得证．
2、利用确界定理证明致密性定理[4]
不妨设{x n }是有界数列．令S =x n {x n }中大于x 的数有无数个．
因为{x n }有界，那么S 显然非空且有界，则由确界定理，有界必有确界．即存在η，使得η=sup S ．那么对任意ε>0，使得η-ε不是S 的上界．这就意味着在{x n }中比η-ε大的项有无数个．
{}
η+ε是S 的上界．∴{x n }中比η+ε大的项只有有限个，在(η-ε, η+ε)中有{x n }的
无穷多项．
就是说，对于∀ε>0, ∀N ∈N +，∃n >N ， s .. t x n ∈(η-ε, η+ε)． 对ε=1，∃n 1，x n 1∈(η-ε, η+ε) s .. t ，即x n 1-η
11
，∃n 2>n 1，有x n 2-ηn k -1，有x n k -η
k →∞
…… 取ε=
当k →∞时，有lim x n k =η．即{x n }存在子列x n k 且该子列收敛．则致密性定理得证．
{}
3、利用闭区间套定理证明致密性定理
首先给出闭区间套的定义；设
（1）{[a , b ]}为一系列闭区间，若满足以下两个条件；
n
n
（2）lim (b n -a n )=0．则称{[a n , b n ]}为闭区间套． [a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，n =1,2,3.... ；
n →∞
设{x n }仍为有界无穷数列，现已知∃a , b ，使得a ≤x n ≤b ．假设[a , b ]没有E 的有限子覆盖，不妨令[a , b ]=[a 1, b 1]，将其二等分．那么必有一个区间含有{x n }的无穷项．记该区间为[a 2, b 2]，同样对其二等分，保留含有{x n }的那部分区间，记为[a 3, b 3]…如此重复下去，可以得到闭区间套[a n , b n ]．满足：∀n ∈N ，[a n , b n ]有包含{x n }的无穷多项，由闭区间套
+
定理，有且仅有一个η∈[a n , b n ]，n =1, 2,3... ，使得lim a n =lim b n =η．
n →∞
n →∞
因此，不妨取ε=1，存在n 1，使得η-1
x n ∈⎡⎣a n 1, b n 1⎤⎦；
取ε=
111，存在n 2，使得η-
11
，存在n k ，使得η-
……．
归纳可得，∀k >1，取ε=
由于[a n , b n ]含有{x n }的无穷多项，可以得到，存在x n k ∈⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦．又a n k ≤η≤b n k ，由闭区间套定理，有lim x n k =η．即{x n }存在收敛子列，换句话说，致密性定理得证．
k →∞
4、利用有限覆盖定理证明致密性定理[5]
首先取{x n }为有界无穷数列，设对∀n ∈N +，x n ∈[a , b ]．那么可证，∃x 0∈[a , b ]对
∀δ>0，(x 0-δ，x 0+δ)必然有包含{x n }的无限项．
若不然，则对x ∈[a , b ]，∃δx >0，使得(x -δx , x +δx )含{x n }的有限项．下证此假设不成立：设E =
{(x -δ, x +δ
x
x
)x ∈[a , b ], δx 来自假设之中}是[a , b ]一个覆盖．由有限覆
盖定理可知，闭区间的任意覆盖E 必然存在有限个子覆盖．那么E 中存在有限个[a , b ]开区间
(x 1-δ1, x 1+δ1), (x 2-δ2, x 2+δ2), (x 3-δ3, x 3+δ3)…(x n -δn , x n +δn )，其中任意开区间(x i -δi , x i +δi )(i =1,2,3.... )都只含有{x n }的有限项．然而，在前面我们已经定义了，
∀n ∈N +，x n ∈[a , b ]．这就产生矛盾了．所以上述假设不成立，那么就是说，∃x 0∈[a , b ]，
对∀δ>0，必然有(x 0-δ，x 0+δ)包含{x n }的无限项．在此情况下，不妨令δj =
1
，j >0，j
则，x n j ∈x 0-δj , x 0+δj ，同时有n j >n j -1．显然这就可以说明x n j 是{x n }的子列，并收敛于x 0．综上述，命题得证．
()
{}
5、利用单调有界定理证明致密性定理[6]
首先有∀n ∈N +，x ∈
[a , b ]．设{x n }是有界无穷数列，那么[a , b ]包含{x n }的无限项．记
1=
[a , b ]=[a 1, b 1]，将其二等分，取中点c
a 1+b 1
，若[a 1, c 1]包含{x n }的无限项，那么取 2
a +b
a 2=a 1，b 2=c 1．否则取b 2=b 1，a 2=c 1…以此进行下去，取c k =k k ，若[a k , c k ]包含
2
{x n }的无穷多项，则令a k +1=a k , b k +1=c k ，否则取a k +1=c k , b k +1=b k ，不论哪种情况下，都
有a k ≤a k +1
[a k +1, b k +1]含有{x n }的无穷多项，每一次分割都对应一
个x n k ，因此，得到{x n }的子列x n k 以及数列{a n }、由单调有界定理可知，{b n }．{a n }和{b n }必然收敛．同时有lim b n =lim a n +
n →∞
{}
⎛
n →∞
⎝b 1+a 1⎫
=lim a n ．又≤x n k ≤b n ，那么由迫敛性可知，n -1⎪2⎭n →∞
{x }收敛，即致密性定理得证．
n k
6、利用柯西收敛准则证明致密性定理
一个数列{x n }收敛的充要条件是∀ε>0，∃N ∈N +，∀m , n >N ，都有x m -x n 0， ∀N 0∈N ，当m , n >N 0时，有x m -x n >ε0．这里，我们不妨取ε0=1，
+
N 0=1．任意取一个单调递增子列{x n k }，x n k -x n k -1>0，n k >1，k =1,2,3.... 那么显然有
∑(x
k =1
m
n k +1
-x n k >m ，则x n m >m -x n 1，又由m 的任意性，可以看出，x n k 无上界，这与前
){}
文一开始的假设数列{x n }是有界数列矛盾．所以，该数列必然存在收敛子列，即致密性定理得证．
通过这部分的内容，我们可以掌握致密性定理是如何被证明的，下面我们尝试用致密性定理回证这几个定理．
（二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理 1、致密性定理证明单调有界定理
假设{x n }是单调递增的有界数列，那么由致密性定理可知，{x n }必存在收敛子列x n k ，不妨设其收敛于α，即lim x n k =α．由定义，对∀ε>0，∃N ∈N +，当k >N 时，有
k →∞
{}
α-εn k ，有x n >x n ，所以有
k
k
x n >α-ε．显然可得α也是{x n }的极限，即单调有界有极限．命题得证．
同理易证当是{x n }单调递减有界数列的情形．
2、致密性定理证明聚点定理
设S 是有界无穷点集，那么取其中互异点组成数列{x n }，由致密性定理，{x n }存在收敛
+
子列x n k ，记其极限为α，即lim x n k =α．由定义，∀ε>0，∃k 0∈N ，当k >k 0时，有
k →∞
{}
因为{x n }是由互异点组成的，那么由聚点的定义可知，α-ε
k
所以聚点定理得证．
3、致密性定理证明确界定理
{[a , b ]}是闭区间套，则有∀n ∈N
n
n
+
，a 1≤a 2≤... ≤a n ≤a n +1≤b n +1≤b n ≤... ≤b 2≤b 1，
显然{a n }和{b n }分别为单调递增，单调递减数列，同时仍然是有界数列，那么由单调有界定理，这两个数列必然收敛有极限，又由致密性定理，两个数列都存在收敛子列，不妨设{a n }的收敛子列为a n k ，并假设其极限为α，即lim a n k =α．显然子列收敛极限必然跟原数列一
k →∞
{}
样，由闭区间套定义，得lim (a n -b n )=0，进而有lim a n k =lim a n =lim b n =lim b n k =α．显
n →∞
k →∞
n →∞
n →∞
k →∞
+
⎤a b 然子列的单调性跟原数列保持一致，由a n k 和b n k 的单调性， α∈⎡．即，∀k ∈Z n , n ⎣k k ⎦+++
有α∈⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦．又∀n ∈Z ，∃k ∈Z ，使得⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦⊂[a n , b n ]．那么∀n ∈Z ，有
{}{}
α∈[a n , b n ]．
下证α的唯一性． 假设还存在β，使得β∈
n
n
[a n , b n ]．即∀n ∈Z
n
+
，有0≤
α-β≤(b n -a n )．又因为
{[a , b ]}是闭区间套，那么有lim (b
n →∞
-a n )=0．即得α=β．所以闭区间套定理得证．
4、致密性定理证明有限覆盖定理
设[a , b ]为一闭区间，S 为其一开覆盖，假设有限覆盖定理不成立，也就是说任意取S 的开区间，都无法构成[a , b ]的开覆盖．
接下来推翻该假设，不妨将其二等分，得到两个区间⎢a ,
⎡
⎣a +b ⎤⎡a +b ⎤
，⎢, b ⎥．这两个闭⎥2⎦⎣2⎦⎡⎣
a +b ⎤
为定理结论对其不2⎥⎦
区间肯定存在某一个使得定理结论对其不成立，不妨记[a 1, b 1]=⎢a ,
成立的那个区间．再对[a 1, b 1]二等分，同样得到上述过程．如此进行下去，可以得到闭区间套[a n , b n ]，且每个[a n , b n ]都不能被S 有限覆盖．由{a n }有界，根据致密性定理，{a n }有收敛子列a n k ，记lim a n k =η，又由闭区间套的性质，显然可得lim a n k -b n k =0．则有
k →∞
{}
{}
k →∞
()
lim b n k =η．易知η∈[a , b ]．因为S 是[a , b ]的覆盖，所以存在(c , d )∈S ，且使得
k →∞
又lim a n =lim b n =η．则能够找到一个足够大的k ，使得⎡这η∈[a , b ]．⎣a n , b n ⎤⎦⊂(c , d )．k →∞k →∞
k
k
k
k
与⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦不能被S 覆盖矛盾，故原定理成立，即有限覆盖定理得证．
5、致密性定理证明确界定理
设S 非空有上界，∃a ∈S , b ∈R 使得S [a , b ]≠∅．将
[a , b ]二等分，得到两个闭区间
⎡a +b ⎤⎡a +b ⎤⎡a +b ⎤
S ，．这两个区间必然有一个含有的点，若为这个包含S 的a , , b a , ⎢⎥⎢⎥⎢⎥222⎦⎣⎦⎣⎣⎦
点的区间，则记其为
a +b ⎤
[a 1, b 1]．否则，记⎡⎢2, b ⎥为[a 1, b 1]．对[a 1, b 1]再均分，记含有S 中
⎣
⎦
n
n
点的那部分为
[a 2, b 2]，按照这个步骤重复下去得到一个闭区间套{[a , b ]}，其中任意闭区间
[a n , b n ]均包含S 的点．显然数列{b n }有上界，由致密性定理可知， {b n }必然存在收敛子列
{b }，且假设lim b
n k
k →∞
n k
=α．则易证α即为S 的上确界．事实上，∀x ∈S ，由∀b n ≥xk , ∈Z
k →∞
+
，
得到x ≤α．又由闭区间套定义lim b n k -a n k =0以及lim b n k =α．所以lim a n k =α．那么
k →∞
k →∞
()
+
有，∀ε>0, lim a n k =α>α-ε．对上述ε，同时∃k 0∈Z ，使得a n >α-ε．又存在
k
k →∞
x 0=⎡a n k , b n k ⎤ S ，使得x 0>α-ε．由确界定义可知，α即为S 的上确界．于是，确界定
⎣00⎦
理得证．
6、致密性定理证明柯西收敛准则
只用证充分性即可．
{x n }为柯西列，∴∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀n , m >N , 有x n -x m N ，则x n
{x n }为有界数列，由致密性定理，{x n }必然存在收敛子列{x n }．
k
令lim x n k =α．由定义∀ε>0, ∃N >0, ∀n k >N ，有x n k -αN ，有
k →∞
x n -α≤x n -x n k +x n k -α
这样，我们初步掌握了致密性定理是如何证明其他几个定理，再结合第一部分，致密性定理在实数完备性中的作用也得以看出．而且，我们在数学分析中的学习，不仅仅是定理本身的证明，还有定理的运用，接下来我们就探究致密性定理是怎么证明连续函数的性质的．
四、致密性定理的应用
1、证明连续函数的性质[7]
有界性：若f (x )是闭区间证明 反证法．假设
[a , b ]上的连续函数，则f (x )在[a , b ]必有界．
f (x )在[a , b ]上无界，那么∀n ∈N +，总能找到对应的x n ∈[a , b ]，
使得f (x )>n ，n =1, 2,3... 这样，对应得到一个数列{x n }．显然，这是个有界数列．由致密性定理可知，{x n }必有收敛子列x n k ．进一步假设其极限为x 0，即lim x n k =x 0．因为由
k →∞
{}
假设
f (x )无界，所以有lim f (x n )=∞．
n →∞
k →∞
根据子列的性质，很容易得到，lim f x n k =lim f (x n )=∞．但是又因为
n →∞
()
f (x )是连续
函数，所以有l i m f (x )
x →x 0
=f (x 0)．而子列
{x }
n k
的极限是x 0，则
l i m f n x =k
k →∞
()
x 0→x
l (i f m )=x x f (x )在[a , b ]上有界． (0)f ．这就与假设矛盾了，所以可知
最值性（最大值，最小值）[8]：如果f (x )在[a , b ]上连续，那么f (x )在[a , b ]一定有最大值和最小值．
证明 由上述性质，f 合S =
(x )在闭区间[a , b ]上有界，那么由确界定理，有界必有确界，则集
{f (x )x ∈[a , b ]}有确界，不妨设α和β分别为S 的上下确界，在这里，我们先证最
f (x )在[a , b ]取得的最小值为β．
小值，即证
因为β是S 的下确界，那么对于任意的自然数n ，存在x n ∈
[a , b ]，使得f (x )
n
n
必然成立．又因为β是
f (x )在[a , b ]上的下确界，所以有f (x n )≥β，由迫敛性可知
lim f (x n )=β．又因为n 取任意自然数，每个n 对应一个x n ，这样我们得到有界数列{x n }．由
n →∞
致密性定理可知，{x n }有收敛子列x n k ，设其极限为x 0，即l i m x n k =x 0．由题设，f
k →∞
{}
(x )在
x 0连续，则lim f (x n )=f (x 0)．所以有β=lim f x n k =lim f (x )=f (x 0)．这样也就证
x →x 0
k →∞
()
x →x 0
明了β是
f (x )在[a , b ]的最小值．
f (x )在[a , b ]的最大值．因为α是f (x )在[a , b ]上的上确界，那么对于
1
且使得f (x )>α-成立．同时由于α是f (x )在[a , b ][a , b ]，
n
i
同理可证α是
任意自然数i ，总能找到x i ∈的上确界，故有
f (x i )≥α．继而由迫敛性，得到lim f (x i )=α．由于每个自然数i 对应一
i →∞
个x i ，则有有界数列{x i }．根据致密性定理，我们可以得到{x i }存在一个收敛子列x i j ，并设其极限为x '，即lim x i j =x '．因为
j →∞
{}
f (x )在x '连续，则有lim 'f (x )=f (x ')．进一步有
x →x
α=lim f x i =lim f (x )．即证α是f (x )在[a , b ]上的最大值．
j →∞
j
()
x →x '
综上述，连续函数在闭区间上的最值性得证．
一致连续性[9]：如果f (x )在闭区间[a , b ]连续，那么f (x )在[a , b ]上一致收敛． 证明 反证法．假设f (x )在[a , b ]上非一致收敛，也就是说，存在ε0>0，任意δ>0，在[a , b ]存在x 1、x 2，尽管存在x 1-x 2
2
2
2
2
()()
11
δ=，对应存在x '，x ''，尽管x '-x ''
22
2
2
… δ=
111，对应存在x n '，x n ''，尽管x n '-x n ''
()()
如此进行下来，我们可以得到两个数列x n '，x n ''．显然，这两个数列被[a , b ]包含，以x n '为研究对象，即该数列有界，那么由致密性定理得知， x n '必定存在收敛子列
n k
{}{}
k →∞
{}{}
{x '}．设其极限为x ，即lim x '=x ．同理也有lim x ''=x ．另一方面，有f (x )在x
k →∞
n k
n k
00
()()
得到lim(f (x ')-f (x '')) =0．然而，这与f (x ')-f (x '')≥ε矛盾．故假设不成立，
连续，即lim f (x )=f (x 0)．于是有lim f x n '=lim f x n ''=lim f (x )=f (x 0)．这样
k k
x →x 0
k →∞k →∞
x →x 0
k →∞
n k n k n k n k
即函数在闭区间[a , b ]上一致连续．
2、致密性定理的实例应用
首先，我们先引入这样一个命题：
命题１ 如果数列{x n }无界，那么必有子列x n k ，使得lim x n k =∞．称此定理为下文
k →∞
{}
中的引理．下证此引理．
证明 因为{x n }无界，那么对任意正整数k ，总能找到某个正整数n k ，使得当n k >k 时，有x n k >k ．现取k =1，当n 1>1时，有x n 1>1．继续取k =2，存在正整数n 2>n 1．．（如果不存在这样的n 2>n 1，使得x n 2>2，这就与{x n }相矛盾．）…一直进行下去，我们可以得到{x n }的一个子列x n k ，使得x n k >k ，即lim x n k =∞．
k →∞
{}
进一步，我们可以得到，如果说{x n }无上界，那么就有lim x n k =+∞，如果{x n }无下界，
k →∞
那么就有lim x n k =-∞．
k →∞
由上述定理再加上致密性定理，我们可以证明接下来的几个结论．
１） 如果{x n }是一个无界且非无穷大的数列，那么它必然存在两个子列x n '，x n ''，
k k
使得lim x n k '=α．（α是常数），lim x n k ''=∞．
k →∞
k →∞
{}{}
证明 由已知，{x n }是一个非无穷大的数列，那么总能找到M >0，对任意自然数N ，存在自然数P >N ，使得x p ≤M ．不妨先取N =1，当p 1>1时，有x p 1≤M ．再取N =p 1，当p 2>p 1时，有x p 2≤M ．如此进行下去，我们得到一个{x n }的子列x p k ，该子列满足
{}
x p k ≤M ．在这里，由致密性定理，我们很容易看到x p k 存在一个收敛子列x n k '，记其极
限为α，则lim x n k '=α．显然x p k 的子列x n k '仍然是{x n }的子列，那么结论一半已经证
k →∞
{}
{}
{}
{}
明了．再来证明另一半．我们从{x n }抽掉了子列x p k ，那么它剩下来的子列肯定是无界的，
{}
p k ，若不然，则称x p k 有界，又x p k 有界，而题设{x n }是一个无界记其剩下的子列为x
{}
{}{}
p k 必然无界，由上述引理可知， x p k 存在子列x n k ''，数列，这就相互矛盾了．所以子列x
使得lim x n k ''=∞．
k →∞
{}
{}
{}
综上述，结论得证．
2） 如果{x n }是一个有界但是不收敛的数列，那么它必有两个收敛子列x n '，x n ''k k
极限不同，即lim x n k '=α，lim x n k ''=β，α≠β．
k →∞
k →∞
{}{}
证明 因为{x n }有界，那么由致密性定理，必然存在收敛子列x n '，令l i m x n k '=α．又
k
k →∞
{}
因为{x n }是以个不收敛的数列，那么就是存在ε>0，对任意η>0，当n >η时，有
x n -α≥ε．那么在(α-ε, α+ε)这个区间之外还有无穷个点，记这无穷个点组成的数列为
}，因为{x }有界，那么显然{x }也有界，由致密性定理很容易得到lim x {x
p k
n
p k
k →∞
n k
''=β，在
这里，显然α≠β．
3） 设
f :[0,1]→[0,1]为连续映射， x 1∈[0,1]．令x n +1=f (x n )，n ∈N ．证明：数
n →∞
列{x n }收敛的充分必要条件是lim (x n +1-x n )=0．
证明 在这里，我们主要讨论致密性定理的应用．故只证充分性．下用反证法．
1 如果{x }⊂○n
x n '=α，[0,1]是发散数列，那么存在{x n '}，{x n ''}⊂{x n }使得lim k →∞
k
k
k
lim x n k ''=β，且α≠β．（由上题的结论可知）．不妨设0≤α
k →∞
知
f (α)=α，f (β)=β．
往证对∀x ∈
[α, β]均有f (x )=x ．倘若不然，则存在x 0∈(α, β)，使得f (x 0)≠x 0，
不妨设使得
f (x 0)x 0，同理可证）．因为f (x )在x 0点连续，所以存在δ>0，
f (x )
都成立．
由条件lim (x n +1-x n )=0，对上述
n →∞
δ>0，存在M ∈N ，使得∀n >M 有
f n (x )-f n +1(x )
注意到β是{x n }子列的极限，故总∃n >M 使得
f n (x )=x n +1>x 0．记n 0是满足上述条
件的最小正整数，则有
现在因为f 矛盾．
2 再说明○1中结论的不合理性． ○
f n 0
-1
o
-1
(x )=x n
-1
n 0
(x )-f n (x )
(x )=x n
>f n 0(x )．这与（*）
如果对任意的x ∈就会有
则∀x M ∈{x n }(M ∈N )必有x M ∉[α, β]否则[α, β]都有f (x )=x ，
x n +1=f (x n )=x N , ∀n >M
这与α, β分别为{x n }子列的极限矛盾．因此必定是{x n }⊂
往证当n 充分大时，只能有∀x n ∈
[0, α) (β,1]．
（或者∀x n ∈(β,1]）．倘若不然，则[0, α)与[0, α)．
，使得
(β,1]均含有{x n }中无穷多项，于是对∀M ∈N , ∃n >M x n ∈[0, α)而
x n +1∈(β,1]．（或者是x n ∈[0, α)而x n +1∈(β,1]），如此便有x n +1-x n ≥β-α．
这与题设条件lim (x n +1-x n )=0矛盾．
n →∞
现不妨设当n 充分大的时候，∀x n ∈矛盾．
[0, α)，但这又与β是{x n }的某一个子列的极限相
综上所述，在题设条件下数列{x n }必定收敛． 4）设
f (x )在[a , b ]上连续，又有{x n }⊂[a , b ]，使得lim f (x n )=A ，证明：存在
n →∞
x 0∈[a , b ]，使得f (x 0)=A ．
证明 因为{x n }⊂
[a , b ]，所以{x n }是一个有界数列，由致密性定理， {x n }存在收敛子
列x n k ，且设lim x n k =x 0．因为
k →∞
{}
[a , b ]是闭区间，则有x 0∈[a , b ]．由于lim f (x )=A ，
n →∞
n
又因为归结原则，可得到lim f x n k =A ．因为
k →∞
()
f (x )是[a , b ]上的连续函数，从而仍由归结
原则得
lim f x n k =f lim x n k =f (x 0)=lim f (x )=A ．
k →∞
k →∞
x →x 0
()
()
5）如果
f (x )是定义在[a , b ]上每一点都局部有界的函数，那么f (x )在整个闭区间[a , b ]
也有界．
证明 反证法．假设
f (x )在[a , b ]上无界，即对M 1>0，存在x 1∈[a , b ]，使得
f (x 1)>M 1；对M 2>M 1，存在x 2∈[a , b ]，使得f (x 2)>M 2…对M n >M n -1，存在
x n ∈[a , b ]，使得f (x n )>M n ．这样得到[a , b ]的一个子列{x n }．
6）设函数
f (x )在[a , b ]上连续，且有唯一的最值点x 0∈[a , b ]，若有数列{x n }⊂[a , b ]
n →∞
且lim f (x n )=f (x 0)．证明：lim x n =x 0．
n →∞
证明 反证法．如果lim x n ≠x 0，则存在ε0>0以及x n k ⊂{x n }，使得x n k -x 0≥ε0，
n →∞
{}
∀k ∈Z +．由此可知，x n k ⊂[a , b ]为有界数列，由致密性定理可知x n k 必有收敛子列．为
了方便，不妨记其子列为x n k 其本身，并记lim x n k =x 1∈[a , b ]．由x n k 的构造可知
k →∞
{}{}
{}
{}
x 1≠x 0．又f (x )在[a , b ]上连续，故f (x 0)=lim f (x n )=lim f x n k =f (x 1)．这与x 0是
n →∞
k →∞
()
唯一的最值点矛盾，从而必有lim x n =x 0．
n →∞
7）数列{x n }有界的充要条件是{x n }的任意子列x n k 均有收敛子列．
证明 先证必要性．因为是{x n }有界的，所以它的子列肯定也是有界的．那么由致密性定理，子列x n k 必然存在收敛子列．
再证充分性，反证法．假设{x n }为无界，那么由引理，必然存在子列x n k ，使得
{}
{}
{}
{
lim x n k =∞．与题设的x n k 的子列均收敛相矛盾．所以{x n }有界．即充分性得证．
k →∞
{}
8） 函数f (x )在有界区间I 上一致连续⇔当{x n }为I 上任意一个柯西列时，f (x n )也是柯西列．
证明 由于本论文主要研究致密性定理，故对该题只证充分性，用反证法即可． 如果f (x )在I 非一致连续，由定义，则存在ε0>0，取δn =
}
1
相应地存在x n '，n ∈N )，(n
1⎫⎛
x n '' x n '-x n ''
n ⎭⎝
f x n '-f x n ''≥ε0，∀n ∈N ．
()()
因为x n '⊂I （有界），由致密性定理可以得到x n '必有收敛子列x
{}{}{}，记
n k '
lim x n k '=x 0∈I ．由
k →∞
x n ''-x 0≤x n ''-x n '+x n k '-x 0
k
k
k
1
+x n '-x 0→0(k →∞)
k n k
故又有lim x n ''=x 0．
k →∞
k
将两收敛子列x
{}，{x }的项交替取出构成新数列{x
n k '
n k ''n k '
, x n ''，显然此数列仍收敛于
k
}
x 0，故它必为柯西列．但是又因为
()()
显然可见{f (x ), f (x )}不是柯西列，这样就矛盾了．所以充分性得证．
f x n ' -f x n '' ≥ε0，∀k ∈N ，
k
k
n k 'n k ''
五、总结
到此，本文的主要部分都已经结束．有关致密性性质的一些探讨基本告一段落．在本文中，我们先是介绍了若干关于实数完备性的定理，作为基础知识，来为下文的探究做准备．接下来本文主要研究如何用其他几个实数基本定理来证明致密性定理，然后，反过来我们利用致密性定理来证明其他几个实数基本定理，这样便构成了一个整体．最后也是本文最能体现独立探究的部分，我们主要探究致密性定理在数学分析学习过程中的应用．从闭区间上连续函数的性质着手，探讨有界性和最值性的证明．进一步探究其在更广范围上的应用，比如数列极限的证明以及连续函数的一致连续问题，在上述的探究过程中，本文采用了反证法，分割区间等等常见的数学证明方法，有些方法值得借鉴思考．
综上所述，致密性定理在数学分析中具有很高的实用价值，值得我们把握学习．
数学科学学院本科毕业论文
参考文献
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．第4版，北京：高等教育出版社，2010．
[2] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（上册）[M]．第2版，北京：高等教育出版社，2004．
[3] 罗敬，段汕．实数连续性九个等价命题的证明[J]．武汉纺织大学学报，2012，5（3）：23-26．
[4] 王桦．实数完备性基本定理的等价证明[J]．数学大世界（教师适用），2012，20（5）：
50-52．
[5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]．第2版，北京：高等教育出版社，2006．
[6] 胡永生．浅谈致密性定理的不同证明方法[J]．中国校外教育，2008，34（3）：69-71．
[7] 庄陵，唐贤伦，王东，张金荣．实数系完备性基本定理的循环证明[J]．重庆工商大学学
报，2006，23（3）：219-223．
[8] 彭培让．致密性定理证明其他实数连续性基本定理[J]．河南教育学报学报，2009，18（3）：
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[9] 郑敏．试图单调有界定理及其应用[J]．时代教育：教育教学刊，2012，9（5）：277．
[10] 杨云苏，万冰蓉．一类数列收敛性的证明[J]．高等数学刊，2004，7（5）：37-38．
— 15 —
学士学位论文
致密性定理的应用研究
学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研究方向 学生姓名 学
号
函数论 章 翔 [1**********] 王建军 讲师
指导教师姓名 指导教师职称
年 月 日
淮北师范大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书
本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计）《 致密性定理的应用研究 》，是在指导教师 王建军 的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的．本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明．本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任．
承诺人：2012年级数学与应用数学 专业
签 名：
年 月 日
致密性定理的应用研究
摘要
致密性定理是数学分析中实数基本定理的其中一个，在实数研究中占据特殊的地位，与有限覆盖定理，区间套定理，单调有界定理，柯西收敛定理，确界定理，聚点定理等定理一起构成实数完备性整个系统，这几个定理相互可以等价证明．故本文开始先对其进行研究讨论，在致密性定理与其他几个实数基本定理的循环证明中，采用了多种数学证明中的常见方法，主要以反证法为主，还有就是对区间进行分割讨论．对极限的求证和数列性质的理解具有很重要的意义．
接着以致密性的应用为重点研究对象，考察其在证明连续函数的一些性质上的应用，以有界性，最值性为基础，一些具体例题更能体现，比如连续函数的一致连续的证明等等．致密性定理作为实数完备性的一个基础构成，在整个数分的学习上都是既基础又至关重要，需要不断探讨研究，加深理解，方便运用．
关键词：致密性定理；完备性；连续性
The Application and Research of the Compactness Theorem
ABSTRACT
Compactness theorem is one of the real number fundamental theorem in mathematical analysis ．It occupies an important position in real number research，composing the integrated system of completeness of real number with finite coveringtheorem ，nested sequencetheorem ，bounded monotonic principle，Cauchy convergence theorem，definite bound theorem and accumulation point theorem ．These therorems can be proven equivalently ，so which requires further discussion and study ．There are many methods of mathematical proof adopted in the circular demonstration between c ompactness theorem and other real number fundamental principles ，including reduction and segmentation discussion ，which is crucial to the proof of limit and understanding of property of number sequence．
Then great emphasis will be put on the application of compactness in proving some properties of continuous function，with boundedness and extremum as the base．Some other specific cases also demonstrate it well，such as the consistent and continuous confirmation of continuous function．As the basic element of real number completeness，compactnesstheorem ia of great significance to the study of mathematical analysis，which requires futher research and understanding so as to be used in a convenient way．
Key words： compactness theorem；the integrated system of completeness of real number；the continuity of real number
目录
摘要 ....................................................................................................................................................... I
ABSTRACT . ..................................................................................................................................... II 目录 . ............................................................................................................................................. III 一、引言 . ...................................................................................................................................... 1 二、基础知识 . .............................................................................................................................. 1 三、致密性定理的研究 . .............................................................................................................. 2 （一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理 ................................................... 2 1、利用聚点定理证明致密性定理 . .................................................................................... 2 2、利用确界定理证明致密性定理[4] .................................................................................. 3 3、利用闭区间套定理证明致密性定理 . ............................................................................ 3 4、利用有限覆盖定理证明致密性定理[5] .......................................................................... 4 5、利用单调有界定理证明致密性定理[6] .......................................................................... 4 6、利用柯西收敛准则证明致密性定理 . ............................................................................ 5 （二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理 . ...................................................... 5 1、致密性定理证明单调有界定理 . .................................................................................... 5 2、致密性定理证明聚点定理 . ............................................................................................ 6 3、致密性定理证明确界定理 . ............................................................................................ 6 4、致密性定理证明有限覆盖定理 . .................................................................................... 6 5、致密性定理证明确界定理 . ............................................................................................ 7 6、致密性定理证明柯西收敛准则 . .................................................................................... 7 四、致密性定理的应用 . .............................................................................................................. 8
1、证明连续函数的性质[7] . ................................................................................................. 8 2、致密性定理的实例应用 . .............................................................................................. 10 五、总结 . .................................................................................................................................... 14
参考文献 ............................................................................................................................. 15
一、引言
致密性定理是研究实数性质的重要定理，也是聚点定理的推论，同时又称维尔斯特拉斯定理，内容是有界数列就会有收敛子列．在十七世纪的时候，大数学家Newton 、Leibniz 发明了微积分，这种工具极大的推动了数学的发展，在一方面，微积分作为数学工具应用十分广泛，极大的推动了数学乃至社会的进步与发展．可是在另一方面，它又存在巨大的逻辑问题．为了解决这些矛盾，众多数学家前赴后继，终于提出来实数完备性的几个基本定理，致密性定理就是其中之一．致密性定理不仅仅在理论上解决了实数完备性的问题，还在极限论，连续函数的具体应用上有着重要研究价值．
为了更深入的掌握致密性定理，以便更好的运用它，这篇论文先从如何证明致密性定理出发，分别用了闭区间套定理，聚点定理，确界原理，单调有界定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则来证明致密性定理，在此过程可以看到一些在数学分析中常见的证明方法，接着这篇论文试着用致密性定理去回证上述的那几个实数完备性定理，其中反证法是最为常用的．如果对其他定理也验证的话，就能得到一整个等价的循环证明．经过这两部分的证明，大致上可以初步掌握致密性定理的相关知识．本文研究的重点放在了致密性定理的应用上，毕竟定理是要拿来用的，开始先讨论了有关连续函数在闭区间上的有界性和最值性，最后的部分体现了本文独立探究的成果，有关如何验证连续函数的一致连续，以及函数列和其子列进一步的研究等等，这些均属于本文独立探究的成果，也是致密性定理具体应用的实例．
二、基础知识
本文开始先介绍几个与致密性定理有重要联系的定理，这些定理在一般教科书上都能找到．
（1）确界定理[1]：有界数列必有确界． （2）单调有界定理[1]：单调有界数列必有极限． （3）区间套定理[2]：一闭区间列
{[a , b ]}满足以下条件：1）
n
n n →∞
n →∞
∀n ∈N +，
a n ≤a n +1≤b n +1≤b n ；2）lim (a n -b n )=0．则lim a n =lim b n =ζ，且ζ是所有区间的公共
n →∞
点．
（4）致密性定理[1]：有界数列必有收敛子列．
（5）聚点定理[1]：有界无限点集必有聚点． （6）有限覆盖定理[1]：设S 是覆盖
[a , b ]的一个开覆盖，则在S 中必可选出有限个开区间来
[a , b ]．
{x n }收敛的充分必要条件是{x n }柯西列，即
（7）柯西收敛准则：数列
，有x n -x m 0, ∃N ∈Z +, ∀m , n >N
了解了这几个实数的基本定理，接下来便是对致密性定理的探究．第一步，先探究如何用致密性定理证明其他几个基本定理．
三、致密性定理的研究
（一）利用其他几个实数完备性定理来证明致密性定理 1、利用聚点定理证明致密性定理[3]
设{s n }是有界无穷数列，那么对该数列进行讨论．
若{s n }是由有限个数重复出现无数次构成，不妨设α就是这有限个数中的某一个数，就是说α在{s n }中重复出现无数次，假设α在该数列中出现的项数为n 1, , n k …显然有s n k 为常数列，同时有lim s n k =α．即可证明 s n k 是{s n }的某一个收敛子列．
k →∞
{}
{}
如果{s n }是由无穷多个不同的数构成的，因为点集是有界无穷点集，那么由聚点定理，可以得到有界无穷点列必有聚点，不妨记为β．取{s n }中的一个子列s n k ，使其收敛于β；
因为α是{s n }的聚点，由聚点定理可知，对于∀k ∈N, β-
{}
⎛
⎝11⎫
, β+⎪中，必有{s n }的k k ⎭
无穷项，则存在s n k ∈ β-
⎛
⎝11⎫
, β+⎪，使得s n k ≠β．又由于k 为任意自然数，那么必有{s n }k k ⎭
-β
1
, ，当k →∞时，k
的一个子列s n k ，因为s n k
{}
k →∞
11⎫β-, β+{}∈⎛ ⎪，所以有s
k k ⎭⎝
n k
s n k =β．即lim s n k =β．也就是说，{s n }必有收敛子列，命题得证．
2、利用确界定理证明致密性定理[4]
不妨设{x n }是有界数列．令S =x n {x n }中大于x 的数有无数个．
因为{x n }有界，那么S 显然非空且有界，则由确界定理，有界必有确界．即存在η，使得η=sup S ．那么对任意ε>0，使得η-ε不是S 的上界．这就意味着在{x n }中比η-ε大的项有无数个．
{}
η+ε是S 的上界．∴{x n }中比η+ε大的项只有有限个，在(η-ε, η+ε)中有{x n }的
无穷多项．
就是说，对于∀ε>0, ∀N ∈N +，∃n >N ， s .. t x n ∈(η-ε, η+ε)． 对ε=1，∃n 1，x n 1∈(η-ε, η+ε) s .. t ，即x n 1-η
11
，∃n 2>n 1，有x n 2-ηn k -1，有x n k -η
k →∞
…… 取ε=
当k →∞时，有lim x n k =η．即{x n }存在子列x n k 且该子列收敛．则致密性定理得证．
{}
3、利用闭区间套定理证明致密性定理
首先给出闭区间套的定义；设
（1）{[a , b ]}为一系列闭区间，若满足以下两个条件；
n
n
（2）lim (b n -a n )=0．则称{[a n , b n ]}为闭区间套． [a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，n =1,2,3.... ；
n →∞
设{x n }仍为有界无穷数列，现已知∃a , b ，使得a ≤x n ≤b ．假设[a , b ]没有E 的有限子覆盖，不妨令[a , b ]=[a 1, b 1]，将其二等分．那么必有一个区间含有{x n }的无穷项．记该区间为[a 2, b 2]，同样对其二等分，保留含有{x n }的那部分区间，记为[a 3, b 3]…如此重复下去，可以得到闭区间套[a n , b n ]．满足：∀n ∈N ，[a n , b n ]有包含{x n }的无穷多项，由闭区间套
+
定理，有且仅有一个η∈[a n , b n ]，n =1, 2,3... ，使得lim a n =lim b n =η．
n →∞
n →∞
因此，不妨取ε=1，存在n 1，使得η-1
x n ∈⎡⎣a n 1, b n 1⎤⎦；
取ε=
111，存在n 2，使得η-
11
，存在n k ，使得η-
……．
归纳可得，∀k >1，取ε=
由于[a n , b n ]含有{x n }的无穷多项，可以得到，存在x n k ∈⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦．又a n k ≤η≤b n k ，由闭区间套定理，有lim x n k =η．即{x n }存在收敛子列，换句话说，致密性定理得证．
k →∞
4、利用有限覆盖定理证明致密性定理[5]
首先取{x n }为有界无穷数列，设对∀n ∈N +，x n ∈[a , b ]．那么可证，∃x 0∈[a , b ]对
∀δ>0，(x 0-δ，x 0+δ)必然有包含{x n }的无限项．
若不然，则对x ∈[a , b ]，∃δx >0，使得(x -δx , x +δx )含{x n }的有限项．下证此假设不成立：设E =
{(x -δ, x +δ
x
x
)x ∈[a , b ], δx 来自假设之中}是[a , b ]一个覆盖．由有限覆
盖定理可知，闭区间的任意覆盖E 必然存在有限个子覆盖．那么E 中存在有限个[a , b ]开区间
(x 1-δ1, x 1+δ1), (x 2-δ2, x 2+δ2), (x 3-δ3, x 3+δ3)…(x n -δn , x n +δn )，其中任意开区间(x i -δi , x i +δi )(i =1,2,3.... )都只含有{x n }的有限项．然而，在前面我们已经定义了，
∀n ∈N +，x n ∈[a , b ]．这就产生矛盾了．所以上述假设不成立，那么就是说，∃x 0∈[a , b ]，
对∀δ>0，必然有(x 0-δ，x 0+δ)包含{x n }的无限项．在此情况下，不妨令δj =
1
，j >0，j
则，x n j ∈x 0-δj , x 0+δj ，同时有n j >n j -1．显然这就可以说明x n j 是{x n }的子列，并收敛于x 0．综上述，命题得证．
()
{}
5、利用单调有界定理证明致密性定理[6]
首先有∀n ∈N +，x ∈
[a , b ]．设{x n }是有界无穷数列，那么[a , b ]包含{x n }的无限项．记
1=
[a , b ]=[a 1, b 1]，将其二等分，取中点c
a 1+b 1
，若[a 1, c 1]包含{x n }的无限项，那么取 2
a +b
a 2=a 1，b 2=c 1．否则取b 2=b 1，a 2=c 1…以此进行下去，取c k =k k ，若[a k , c k ]包含
2
{x n }的无穷多项，则令a k +1=a k , b k +1=c k ，否则取a k +1=c k , b k +1=b k ，不论哪种情况下，都
有a k ≤a k +1
[a k +1, b k +1]含有{x n }的无穷多项，每一次分割都对应一
个x n k ，因此，得到{x n }的子列x n k 以及数列{a n }、由单调有界定理可知，{b n }．{a n }和{b n }必然收敛．同时有lim b n =lim a n +
n →∞
{}
⎛
n →∞
⎝b 1+a 1⎫
=lim a n ．又≤x n k ≤b n ，那么由迫敛性可知，n -1⎪2⎭n →∞
{x }收敛，即致密性定理得证．
n k
6、利用柯西收敛准则证明致密性定理
一个数列{x n }收敛的充要条件是∀ε>0，∃N ∈N +，∀m , n >N ，都有x m -x n 0， ∀N 0∈N ，当m , n >N 0时，有x m -x n >ε0．这里，我们不妨取ε0=1，
+
N 0=1．任意取一个单调递增子列{x n k }，x n k -x n k -1>0，n k >1，k =1,2,3.... 那么显然有
∑(x
k =1
m
n k +1
-x n k >m ，则x n m >m -x n 1，又由m 的任意性，可以看出，x n k 无上界，这与前
){}
文一开始的假设数列{x n }是有界数列矛盾．所以，该数列必然存在收敛子列，即致密性定理得证．
通过这部分的内容，我们可以掌握致密性定理是如何被证明的，下面我们尝试用致密性定理回证这几个定理．
（二）利用致密性定理证明其他几个实数完备性定理 1、致密性定理证明单调有界定理
假设{x n }是单调递增的有界数列，那么由致密性定理可知，{x n }必存在收敛子列x n k ，不妨设其收敛于α，即lim x n k =α．由定义，对∀ε>0，∃N ∈N +，当k >N 时，有
k →∞
{}
α-εn k ，有x n >x n ，所以有
k
k
x n >α-ε．显然可得α也是{x n }的极限，即单调有界有极限．命题得证．
同理易证当是{x n }单调递减有界数列的情形．
2、致密性定理证明聚点定理
设S 是有界无穷点集，那么取其中互异点组成数列{x n }，由致密性定理，{x n }存在收敛
+
子列x n k ，记其极限为α，即lim x n k =α．由定义，∀ε>0，∃k 0∈N ，当k >k 0时，有
k →∞
{}
因为{x n }是由互异点组成的，那么由聚点的定义可知，α-ε
k
所以聚点定理得证．
3、致密性定理证明确界定理
{[a , b ]}是闭区间套，则有∀n ∈N
n
n
+
，a 1≤a 2≤... ≤a n ≤a n +1≤b n +1≤b n ≤... ≤b 2≤b 1，
显然{a n }和{b n }分别为单调递增，单调递减数列，同时仍然是有界数列，那么由单调有界定理，这两个数列必然收敛有极限，又由致密性定理，两个数列都存在收敛子列，不妨设{a n }的收敛子列为a n k ，并假设其极限为α，即lim a n k =α．显然子列收敛极限必然跟原数列一
k →∞
{}
样，由闭区间套定义，得lim (a n -b n )=0，进而有lim a n k =lim a n =lim b n =lim b n k =α．显
n →∞
k →∞
n →∞
n →∞
k →∞
+
⎤a b 然子列的单调性跟原数列保持一致，由a n k 和b n k 的单调性， α∈⎡．即，∀k ∈Z n , n ⎣k k ⎦+++
有α∈⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦．又∀n ∈Z ，∃k ∈Z ，使得⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦⊂[a n , b n ]．那么∀n ∈Z ，有
{}{}
α∈[a n , b n ]．
下证α的唯一性． 假设还存在β，使得β∈
n
n
[a n , b n ]．即∀n ∈Z
n
+
，有0≤
α-β≤(b n -a n )．又因为
{[a , b ]}是闭区间套，那么有lim (b
n →∞
-a n )=0．即得α=β．所以闭区间套定理得证．
4、致密性定理证明有限覆盖定理
设[a , b ]为一闭区间，S 为其一开覆盖，假设有限覆盖定理不成立，也就是说任意取S 的开区间，都无法构成[a , b ]的开覆盖．
接下来推翻该假设，不妨将其二等分，得到两个区间⎢a ,
⎡
⎣a +b ⎤⎡a +b ⎤
，⎢, b ⎥．这两个闭⎥2⎦⎣2⎦⎡⎣
a +b ⎤
为定理结论对其不2⎥⎦
区间肯定存在某一个使得定理结论对其不成立，不妨记[a 1, b 1]=⎢a ,
成立的那个区间．再对[a 1, b 1]二等分，同样得到上述过程．如此进行下去，可以得到闭区间套[a n , b n ]，且每个[a n , b n ]都不能被S 有限覆盖．由{a n }有界，根据致密性定理，{a n }有收敛子列a n k ，记lim a n k =η，又由闭区间套的性质，显然可得lim a n k -b n k =0．则有
k →∞
{}
{}
k →∞
()
lim b n k =η．易知η∈[a , b ]．因为S 是[a , b ]的覆盖，所以存在(c , d )∈S ，且使得
k →∞
又lim a n =lim b n =η．则能够找到一个足够大的k ，使得⎡这η∈[a , b ]．⎣a n , b n ⎤⎦⊂(c , d )．k →∞k →∞
k
k
k
k
与⎡⎣a n k , b n k ⎤⎦不能被S 覆盖矛盾，故原定理成立，即有限覆盖定理得证．
5、致密性定理证明确界定理
设S 非空有上界，∃a ∈S , b ∈R 使得S [a , b ]≠∅．将
[a , b ]二等分，得到两个闭区间
⎡a +b ⎤⎡a +b ⎤⎡a +b ⎤
S ，．这两个区间必然有一个含有的点，若为这个包含S 的a , , b a , ⎢⎥⎢⎥⎢⎥222⎦⎣⎦⎣⎣⎦
点的区间，则记其为
a +b ⎤
[a 1, b 1]．否则，记⎡⎢2, b ⎥为[a 1, b 1]．对[a 1, b 1]再均分，记含有S 中
⎣
⎦
n
n
点的那部分为
[a 2, b 2]，按照这个步骤重复下去得到一个闭区间套{[a , b ]}，其中任意闭区间
[a n , b n ]均包含S 的点．显然数列{b n }有上界，由致密性定理可知， {b n }必然存在收敛子列
{b }，且假设lim b
n k
k →∞
n k
=α．则易证α即为S 的上确界．事实上，∀x ∈S ，由∀b n ≥xk , ∈Z
k →∞
+
，
得到x ≤α．又由闭区间套定义lim b n k -a n k =0以及lim b n k =α．所以lim a n k =α．那么
k →∞
k →∞
()
+
有，∀ε>0, lim a n k =α>α-ε．对上述ε，同时∃k 0∈Z ，使得a n >α-ε．又存在
k
k →∞
x 0=⎡a n k , b n k ⎤ S ，使得x 0>α-ε．由确界定义可知，α即为S 的上确界．于是，确界定
⎣00⎦
理得证．
6、致密性定理证明柯西收敛准则
只用证充分性即可．
{x n }为柯西列，∴∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀n , m >N , 有x n -x m N ，则x n
{x n }为有界数列，由致密性定理，{x n }必然存在收敛子列{x n }．
k
令lim x n k =α．由定义∀ε>0, ∃N >0, ∀n k >N ，有x n k -αN ，有
k →∞
x n -α≤x n -x n k +x n k -α
这样，我们初步掌握了致密性定理是如何证明其他几个定理，再结合第一部分，致密性定理在实数完备性中的作用也得以看出．而且，我们在数学分析中的学习，不仅仅是定理本身的证明，还有定理的运用，接下来我们就探究致密性定理是怎么证明连续函数的性质的．
四、致密性定理的应用
1、证明连续函数的性质[7]
有界性：若f (x )是闭区间证明 反证法．假设
[a , b ]上的连续函数，则f (x )在[a , b ]必有界．
f (x )在[a , b ]上无界，那么∀n ∈N +，总能找到对应的x n ∈[a , b ]，
使得f (x )>n ，n =1, 2,3... 这样，对应得到一个数列{x n }．显然，这是个有界数列．由致密性定理可知，{x n }必有收敛子列x n k ．进一步假设其极限为x 0，即lim x n k =x 0．因为由
k →∞
{}
假设
f (x )无界，所以有lim f (x n )=∞．
n →∞
k →∞
根据子列的性质，很容易得到，lim f x n k =lim f (x n )=∞．但是又因为
n →∞
()
f (x )是连续
函数，所以有l i m f (x )
x →x 0
=f (x 0)．而子列
{x }
n k
的极限是x 0，则
l i m f n x =k
k →∞
()
x 0→x
l (i f m )=x x f (x )在[a , b ]上有界． (0)f ．这就与假设矛盾了，所以可知
最值性（最大值，最小值）[8]：如果f (x )在[a , b ]上连续，那么f (x )在[a , b ]一定有最大值和最小值．
证明 由上述性质，f 合S =
(x )在闭区间[a , b ]上有界，那么由确界定理，有界必有确界，则集
{f (x )x ∈[a , b ]}有确界，不妨设α和β分别为S 的上下确界，在这里，我们先证最
f (x )在[a , b ]取得的最小值为β．
小值，即证
因为β是S 的下确界，那么对于任意的自然数n ，存在x n ∈
[a , b ]，使得f (x )
n
n
必然成立．又因为β是
f (x )在[a , b ]上的下确界，所以有f (x n )≥β，由迫敛性可知
lim f (x n )=β．又因为n 取任意自然数，每个n 对应一个x n ，这样我们得到有界数列{x n }．由
n →∞
致密性定理可知，{x n }有收敛子列x n k ，设其极限为x 0，即l i m x n k =x 0．由题设，f
k →∞
{}
(x )在
x 0连续，则lim f (x n )=f (x 0)．所以有β=lim f x n k =lim f (x )=f (x 0)．这样也就证
x →x 0
k →∞
()
x →x 0
明了β是
f (x )在[a , b ]的最小值．
f (x )在[a , b ]的最大值．因为α是f (x )在[a , b ]上的上确界，那么对于
1
且使得f (x )>α-成立．同时由于α是f (x )在[a , b ][a , b ]，
n
i
同理可证α是
任意自然数i ，总能找到x i ∈的上确界，故有
f (x i )≥α．继而由迫敛性，得到lim f (x i )=α．由于每个自然数i 对应一
i →∞
个x i ，则有有界数列{x i }．根据致密性定理，我们可以得到{x i }存在一个收敛子列x i j ，并设其极限为x '，即lim x i j =x '．因为
j →∞
{}
f (x )在x '连续，则有lim 'f (x )=f (x ')．进一步有
x →x
α=lim f x i =lim f (x )．即证α是f (x )在[a , b ]上的最大值．
j →∞
j
()
x →x '
综上述，连续函数在闭区间上的最值性得证．
一致连续性[9]：如果f (x )在闭区间[a , b ]连续，那么f (x )在[a , b ]上一致收敛． 证明 反证法．假设f (x )在[a , b ]上非一致收敛，也就是说，存在ε0>0，任意δ>0，在[a , b ]存在x 1、x 2，尽管存在x 1-x 2
2
2
2
2
()()
11
δ=，对应存在x '，x ''，尽管x '-x ''
22
2
2
… δ=
111，对应存在x n '，x n ''，尽管x n '-x n ''
()()
如此进行下来，我们可以得到两个数列x n '，x n ''．显然，这两个数列被[a , b ]包含，以x n '为研究对象，即该数列有界，那么由致密性定理得知， x n '必定存在收敛子列
n k
{}{}
k →∞
{}{}
{x '}．设其极限为x ，即lim x '=x ．同理也有lim x ''=x ．另一方面，有f (x )在x
k →∞
n k
n k
00
()()
得到lim(f (x ')-f (x '')) =0．然而，这与f (x ')-f (x '')≥ε矛盾．故假设不成立，
连续，即lim f (x )=f (x 0)．于是有lim f x n '=lim f x n ''=lim f (x )=f (x 0)．这样
k k
x →x 0
k →∞k →∞
x →x 0
k →∞
n k n k n k n k
即函数在闭区间[a , b ]上一致连续．
2、致密性定理的实例应用
首先，我们先引入这样一个命题：
命题１ 如果数列{x n }无界，那么必有子列x n k ，使得lim x n k =∞．称此定理为下文
k →∞
{}
中的引理．下证此引理．
证明 因为{x n }无界，那么对任意正整数k ，总能找到某个正整数n k ，使得当n k >k 时，有x n k >k ．现取k =1，当n 1>1时，有x n 1>1．继续取k =2，存在正整数n 2>n 1．．（如果不存在这样的n 2>n 1，使得x n 2>2，这就与{x n }相矛盾．）…一直进行下去，我们可以得到{x n }的一个子列x n k ，使得x n k >k ，即lim x n k =∞．
k →∞
{}
进一步，我们可以得到，如果说{x n }无上界，那么就有lim x n k =+∞，如果{x n }无下界，
k →∞
那么就有lim x n k =-∞．
k →∞
由上述定理再加上致密性定理，我们可以证明接下来的几个结论．
１） 如果{x n }是一个无界且非无穷大的数列，那么它必然存在两个子列x n '，x n ''，
k k
使得lim x n k '=α．（α是常数），lim x n k ''=∞．
k →∞
k →∞
{}{}
证明 由已知，{x n }是一个非无穷大的数列，那么总能找到M >0，对任意自然数N ，存在自然数P >N ，使得x p ≤M ．不妨先取N =1，当p 1>1时，有x p 1≤M ．再取N =p 1，当p 2>p 1时，有x p 2≤M ．如此进行下去，我们得到一个{x n }的子列x p k ，该子列满足
{}
x p k ≤M ．在这里，由致密性定理，我们很容易看到x p k 存在一个收敛子列x n k '，记其极
限为α，则lim x n k '=α．显然x p k 的子列x n k '仍然是{x n }的子列，那么结论一半已经证
k →∞
{}
{}
{}
{}
明了．再来证明另一半．我们从{x n }抽掉了子列x p k ，那么它剩下来的子列肯定是无界的，
{}
p k ，若不然，则称x p k 有界，又x p k 有界，而题设{x n }是一个无界记其剩下的子列为x
{}
{}{}
p k 必然无界，由上述引理可知， x p k 存在子列x n k ''，数列，这就相互矛盾了．所以子列x
使得lim x n k ''=∞．
k →∞
{}
{}
{}
综上述，结论得证．
2） 如果{x n }是一个有界但是不收敛的数列，那么它必有两个收敛子列x n '，x n ''k k
极限不同，即lim x n k '=α，lim x n k ''=β，α≠β．
k →∞
k →∞
{}{}
证明 因为{x n }有界，那么由致密性定理，必然存在收敛子列x n '，令l i m x n k '=α．又
k
k →∞
{}
因为{x n }是以个不收敛的数列，那么就是存在ε>0，对任意η>0，当n >η时，有
x n -α≥ε．那么在(α-ε, α+ε)这个区间之外还有无穷个点，记这无穷个点组成的数列为
}，因为{x }有界，那么显然{x }也有界，由致密性定理很容易得到lim x {x
p k
n
p k
k →∞
n k
''=β，在
这里，显然α≠β．
3） 设
f :[0,1]→[0,1]为连续映射， x 1∈[0,1]．令x n +1=f (x n )，n ∈N ．证明：数
n →∞
列{x n }收敛的充分必要条件是lim (x n +1-x n )=0．
证明 在这里，我们主要讨论致密性定理的应用．故只证充分性．下用反证法．
1 如果{x }⊂○n
x n '=α，[0,1]是发散数列，那么存在{x n '}，{x n ''}⊂{x n }使得lim k →∞
k
k
k
lim x n k ''=β，且α≠β．（由上题的结论可知）．不妨设0≤α
k →∞
知
f (α)=α，f (β)=β．
往证对∀x ∈
[α, β]均有f (x )=x ．倘若不然，则存在x 0∈(α, β)，使得f (x 0)≠x 0，
不妨设使得
f (x 0)x 0，同理可证）．因为f (x )在x 0点连续，所以存在δ>0，
f (x )
都成立．
由条件lim (x n +1-x n )=0，对上述
n →∞
δ>0，存在M ∈N ，使得∀n >M 有
f n (x )-f n +1(x )
注意到β是{x n }子列的极限，故总∃n >M 使得
f n (x )=x n +1>x 0．记n 0是满足上述条
件的最小正整数，则有
现在因为f 矛盾．
2 再说明○1中结论的不合理性． ○
f n 0
-1
o
-1
(x )=x n
-1
n 0
(x )-f n (x )
(x )=x n
>f n 0(x )．这与（*）
如果对任意的x ∈就会有
则∀x M ∈{x n }(M ∈N )必有x M ∉[α, β]否则[α, β]都有f (x )=x ，
x n +1=f (x n )=x N , ∀n >M
这与α, β分别为{x n }子列的极限矛盾．因此必定是{x n }⊂
往证当n 充分大时，只能有∀x n ∈
[0, α) (β,1]．
（或者∀x n ∈(β,1]）．倘若不然，则[0, α)与[0, α)．
，使得
(β,1]均含有{x n }中无穷多项，于是对∀M ∈N , ∃n >M x n ∈[0, α)而
x n +1∈(β,1]．（或者是x n ∈[0, α)而x n +1∈(β,1]），如此便有x n +1-x n ≥β-α．
这与题设条件lim (x n +1-x n )=0矛盾．
n →∞
现不妨设当n 充分大的时候，∀x n ∈矛盾．
[0, α)，但这又与β是{x n }的某一个子列的极限相
综上所述，在题设条件下数列{x n }必定收敛． 4）设
f (x )在[a , b ]上连续，又有{x n }⊂[a , b ]，使得lim f (x n )=A ，证明：存在
n →∞
x 0∈[a , b ]，使得f (x 0)=A ．
证明 因为{x n }⊂
[a , b ]，所以{x n }是一个有界数列，由致密性定理， {x n }存在收敛子
列x n k ，且设lim x n k =x 0．因为
k →∞
{}
[a , b ]是闭区间，则有x 0∈[a , b ]．由于lim f (x )=A ，
n →∞
n
又因为归结原则，可得到lim f x n k =A ．因为
k →∞
()
f (x )是[a , b ]上的连续函数，从而仍由归结
原则得
lim f x n k =f lim x n k =f (x 0)=lim f (x )=A ．
k →∞
k →∞
x →x 0
()
()
5）如果
f (x )是定义在[a , b ]上每一点都局部有界的函数，那么f (x )在整个闭区间[a , b ]
也有界．
证明 反证法．假设
f (x )在[a , b ]上无界，即对M 1>0，存在x 1∈[a , b ]，使得
f (x 1)>M 1；对M 2>M 1，存在x 2∈[a , b ]，使得f (x 2)>M 2…对M n >M n -1，存在
x n ∈[a , b ]，使得f (x n )>M n ．这样得到[a , b ]的一个子列{x n }．
6）设函数
f (x )在[a , b ]上连续，且有唯一的最值点x 0∈[a , b ]，若有数列{x n }⊂[a , b ]
n →∞
且lim f (x n )=f (x 0)．证明：lim x n =x 0．
n →∞
证明 反证法．如果lim x n ≠x 0，则存在ε0>0以及x n k ⊂{x n }，使得x n k -x 0≥ε0，
n →∞
{}
∀k ∈Z +．由此可知，x n k ⊂[a , b ]为有界数列，由致密性定理可知x n k 必有收敛子列．为
了方便，不妨记其子列为x n k 其本身，并记lim x n k =x 1∈[a , b ]．由x n k 的构造可知
k →∞
{}{}
{}
{}
x 1≠x 0．又f (x )在[a , b ]上连续，故f (x 0)=lim f (x n )=lim f x n k =f (x 1)．这与x 0是
n →∞
k →∞
()
唯一的最值点矛盾，从而必有lim x n =x 0．
n →∞
7）数列{x n }有界的充要条件是{x n }的任意子列x n k 均有收敛子列．
证明 先证必要性．因为是{x n }有界的，所以它的子列肯定也是有界的．那么由致密性定理，子列x n k 必然存在收敛子列．
再证充分性，反证法．假设{x n }为无界，那么由引理，必然存在子列x n k ，使得
{}
{}
{}
{
lim x n k =∞．与题设的x n k 的子列均收敛相矛盾．所以{x n }有界．即充分性得证．
k →∞
{}
8） 函数f (x )在有界区间I 上一致连续⇔当{x n }为I 上任意一个柯西列时，f (x n )也是柯西列．
证明 由于本论文主要研究致密性定理，故对该题只证充分性，用反证法即可． 如果f (x )在I 非一致连续，由定义，则存在ε0>0，取δn =
}
1
相应地存在x n '，n ∈N )，(n
1⎫⎛
x n '' x n '-x n ''
n ⎭⎝
f x n '-f x n ''≥ε0，∀n ∈N ．
()()
因为x n '⊂I （有界），由致密性定理可以得到x n '必有收敛子列x
{}{}{}，记
n k '
lim x n k '=x 0∈I ．由
k →∞
x n ''-x 0≤x n ''-x n '+x n k '-x 0
k
k
k
1
+x n '-x 0→0(k →∞)
k n k
故又有lim x n ''=x 0．
k →∞
k
将两收敛子列x
{}，{x }的项交替取出构成新数列{x
n k '
n k ''n k '
, x n ''，显然此数列仍收敛于
k
}
x 0，故它必为柯西列．但是又因为
()()
显然可见{f (x ), f (x )}不是柯西列，这样就矛盾了．所以充分性得证．
f x n ' -f x n '' ≥ε0，∀k ∈N ，
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五、总结
到此，本文的主要部分都已经结束．有关致密性性质的一些探讨基本告一段落．在本文中，我们先是介绍了若干关于实数完备性的定理，作为基础知识，来为下文的探究做准备．接下来本文主要研究如何用其他几个实数基本定理来证明致密性定理，然后，反过来我们利用致密性定理来证明其他几个实数基本定理，这样便构成了一个整体．最后也是本文最能体现独立探究的部分，我们主要探究致密性定理在数学分析学习过程中的应用．从闭区间上连续函数的性质着手，探讨有界性和最值性的证明．进一步探究其在更广范围上的应用，比如数列极限的证明以及连续函数的一致连续问题，在上述的探究过程中，本文采用了反证法，分割区间等等常见的数学证明方法，有些方法值得借鉴思考．
综上所述，致密性定理在数学分析中具有很高的实用价值，值得我们把握学习．
数学科学学院本科毕业论文
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