专项热点训练21、椭圆、双曲线、抛物线的概念和性质
考纲解读：理解圆锥曲线的有关概念，掌握圆锥曲线的标准方程及其有关几何性质。这部分内容解析几何的主要内容，也是高考的热点内容，因此，要能根据条件准确地求出曲线方程，并能运用几何性质解答一些问题。
高考预测：解析几何内容高考分值一般占20％左右，三种题型都有，保持每题一型的特点，而本节内容则是以选择题和填空题的形式出现，以对圆锥曲线的基本概念和性质的测试来加强分析、解决问题能力的考查。
课时测试(时间：60分钟，满分100分)
一、选择题（本题包括6个小题，每小题6分共18分）
1．设θ是三角形的一个内角，且sin θ+cos θ=1，则方程x 2sin θ-y 2cos θ=1表示的5
曲线是 （ ）
A ． 焦点在x 轴上的双曲线；B ．焦点在x 轴上椭圆；
C ．焦点在y 轴上的双曲线；D ．焦点在y 轴上的椭圆。
x 2y 2
-=1上一点P 到双曲线右焦点的距离为8，2．如果双曲线那么点P 到右准线的距6436
离是 （ ）
327；C ．27；D ．。 57
x y x 2y 2
+=1(a , b 均为正实数）所表示的曲线只可3．在同一坐标系中，方程+=1和a b a b A ．10；B ．
能是下列图21-1四个图形中的 （ ）
4．将抛物线y =4x 绕着焦点逆时针方向旋转90°后所得的抛物线的准线方程为（ ）
A ．x =2；B ．y =-2；C ．x =
5．设θ∈ 0, 211；D ．x =。 168⎛π⎫22⎪，则二次曲线x cot θ-y tan θ=1的离心率的取值范围是 （ ） ⎝4⎭
⎛12⎫⎛2⎫⎛1⎫⎪；C ． ⎪；D ．2, +∞。 , 2A ． 0, ⎪；B ． , ⎪ ⎪⎝2⎭⎝22⎭⎝2⎭)
6．某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆，测得近地点A
距离地面
m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为k km ，关于椭圆有以下四种说法：
n -m ① 焦距长为n -m ；②短轴长为m +k n +k ；③离心率e =；④m +n +2k
2(m +k )(n +k )以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则左准线方程为x =-。 n -m
以上正确的说法有 （ ）
A ．①③；B ．②④；C ．①③④；D ．①②④。
二、填空题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分）
7．抛物线y =2x 2的焦点坐标是＿＿；
x 2y 2
-=1的一条准线恰好是圆x 2+y 2+2x =0的一条切线，8．若双曲线则实数b ＝16b
＿＿；
9．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为
23n 1⎛2⎫, ⎪2⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫，且都以x =1为准线，则所有这些椭圆的长, ⎪, ⎪, (n 为正整数）⎝2⎭⎝2⎭
半轴长的和为＿＿。
三、解答题(本题包括3个小题，共46分)
10． （本题满分14分）
M 为抛物线y =2px 上的一个定点，P 、Q 是抛物线上满足MP ⊥MQ 的两点，证明：直线PQ 必过一点M ’，并求出M ’的坐标。
11． （本题满分15分）
已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2km ，现准备在荒漠上围垦出一片区域建成农艺园。按照规划，围墙总长为8km 。
（1） 试求四边形另两个顶点的轨迹方程；
（2） 问农艺园的最大面积能达到多少？
（3） 该荒漠上有一条直线型小溪l 刚好通过点A ，且与l 成45°角。现要对整条小溪进
行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进去的部分今后要重新设计改造，因此对该部分暂不改造。问暂不改造的部分有多长？
12． （本题满分17分）
设点P 到点M （－1,0）、N （1,0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2。求m 的取值范围。
答案与选讲：
一、选择题：1-6、DDDADC ；
二、填空题：7、 0, ⎪；8、48；9、1；
三、解答题： 2⎛1⎫⎝8⎭
22⎛y 0⎫⎛y 12⎫⎛y 2⎫ ⎪ ⎪ , y 0⎪，P , y 1⎪, Q , y 2⎪10、设M ，则由MP ⊥MQ 得，⎪, (y 0是常数）2p 2p 2p ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
y 1-y 0y 2-y 022，由此得⋅=-1()y y =-y +y y -y -4p ① 1212002222y y 1y 2y 0-0-2p 2p 2p 2p
又由两点式得直线PQ 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2 ②，将①代入②得，
22⎛⎫⎛⎫y 0y 0⎪⎪，由此可知直线过定点 2p +(y 1+y 2)(y +y 0)=2p x -2p -, -y 0⎪。 ⎪ 2p 2p ⎝⎭⎝⎭
11、（1）以AB 所在直线为x 轴，A 、B 的中点为原点建
立坐标系，如图21-2。则点P 的轨迹方程为
x 2y 2
+=1(y ≠0)。 43
（2）当点P 位于B 1或B 2的位置时，农艺园的面积最大，最大值为S =2km 2；
（3）直线l :y =x +1与椭圆交于C 、D 两点。由弦长公()
2424，即暂不改造部分的长就为km 。 77
⎛5⎫⎫⎛⎪。 ⎪ 0, , 012、m 的取值范围是 - 5⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式得｜CD ｜＝
专项热点训练21、椭圆、双曲线、抛物线的概念和性质
考纲解读：理解圆锥曲线的有关概念，掌握圆锥曲线的标准方程及其有关几何性质。这部分内容解析几何的主要内容，也是高考的热点内容，因此，要能根据条件准确地求出曲线方程，并能运用几何性质解答一些问题。
高考预测：解析几何内容高考分值一般占20％左右，三种题型都有，保持每题一型的特点，而本节内容则是以选择题和填空题的形式出现，以对圆锥曲线的基本概念和性质的测试来加强分析、解决问题能力的考查。
课时测试(时间：60分钟，满分100分)
一、选择题（本题包括6个小题，每小题6分共18分）
1．设θ是三角形的一个内角，且sin θ+cos θ=1，则方程x 2sin θ-y 2cos θ=1表示的5
曲线是 （ ）
A ． 焦点在x 轴上的双曲线；B ．焦点在x 轴上椭圆；
C ．焦点在y 轴上的双曲线；D ．焦点在y 轴上的椭圆。
x 2y 2
-=1上一点P 到双曲线右焦点的距离为8，2．如果双曲线那么点P 到右准线的距6436
离是 （ ）
327；C ．27；D ．。 57
x y x 2y 2
+=1(a , b 均为正实数）所表示的曲线只可3．在同一坐标系中，方程+=1和a b a b A ．10；B ．
能是下列图21-1四个图形中的 （ ）
4．将抛物线y =4x 绕着焦点逆时针方向旋转90°后所得的抛物线的准线方程为（ ）
A ．x =2；B ．y =-2；C ．x =
5．设θ∈ 0, 211；D ．x =。 168⎛π⎫22⎪，则二次曲线x cot θ-y tan θ=1的离心率的取值范围是 （ ） ⎝4⎭
⎛12⎫⎛2⎫⎛1⎫⎪；C ． ⎪；D ．2, +∞。 , 2A ． 0, ⎪；B ． , ⎪ ⎪⎝2⎭⎝22⎭⎝2⎭)
6．某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆，测得近地点A
距离地面
m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为k km ，关于椭圆有以下四种说法：
n -m ① 焦距长为n -m ；②短轴长为m +k n +k ；③离心率e =；④m +n +2k
2(m +k )(n +k )以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则左准线方程为x =-。 n -m
以上正确的说法有 （ ）
A ．①③；B ．②④；C ．①③④；D ．①②④。
二、填空题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分）
7．抛物线y =2x 2的焦点坐标是＿＿；
x 2y 2
-=1的一条准线恰好是圆x 2+y 2+2x =0的一条切线，8．若双曲线则实数b ＝16b
＿＿；
9．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为
23n 1⎛2⎫, ⎪2⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫，且都以x =1为准线，则所有这些椭圆的长, ⎪, ⎪, (n 为正整数）⎝2⎭⎝2⎭
半轴长的和为＿＿。
三、解答题(本题包括3个小题，共46分)
10． （本题满分14分）
M 为抛物线y =2px 上的一个定点，P 、Q 是抛物线上满足MP ⊥MQ 的两点，证明：直线PQ 必过一点M ’，并求出M ’的坐标。
11． （本题满分15分）
已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2km ，现准备在荒漠上围垦出一片区域建成农艺园。按照规划，围墙总长为8km 。
（1） 试求四边形另两个顶点的轨迹方程；
（2） 问农艺园的最大面积能达到多少？
（3） 该荒漠上有一条直线型小溪l 刚好通过点A ，且与l 成45°角。现要对整条小溪进
行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进去的部分今后要重新设计改造，因此对该部分暂不改造。问暂不改造的部分有多长？
12． （本题满分17分）
设点P 到点M （－1,0）、N （1,0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2。求m 的取值范围。
答案与选讲：
一、选择题：1-6、DDDADC ；
二、填空题：7、 0, ⎪；8、48；9、1；
三、解答题： 2⎛1⎫⎝8⎭
22⎛y 0⎫⎛y 12⎫⎛y 2⎫ ⎪ ⎪ , y 0⎪，P , y 1⎪, Q , y 2⎪10、设M ，则由MP ⊥MQ 得，⎪, (y 0是常数）2p 2p 2p ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
y 1-y 0y 2-y 022，由此得⋅=-1()y y =-y +y y -y -4p ① 1212002222y y 1y 2y 0-0-2p 2p 2p 2p
又由两点式得直线PQ 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2 ②，将①代入②得，
22⎛⎫⎛⎫y 0y 0⎪⎪，由此可知直线过定点 2p +(y 1+y 2)(y +y 0)=2p x -2p -, -y 0⎪。 ⎪ 2p 2p ⎝⎭⎝⎭
11、（1）以AB 所在直线为x 轴，A 、B 的中点为原点建
立坐标系，如图21-2。则点P 的轨迹方程为
x 2y 2
+=1(y ≠0)。 43
（2）当点P 位于B 1或B 2的位置时，农艺园的面积最大，最大值为S =2km 2；
（3）直线l :y =x +1与椭圆交于C 、D 两点。由弦长公()
2424，即暂不改造部分的长就为km 。 77
⎛5⎫⎫⎛⎪。 ⎪ 0, , 012、m 的取值范围是 - 5⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式得｜CD ｜＝