椭圆第二定义教学设计

椭圆第二定义教学设计 养正中学 刘华湘

背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、焦半径公式和准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.

教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用；

教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 教学过程 复习回顾

1．椭圆9x2y281的长轴长为，短轴长为，半焦距为62，离心率为2焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，（准线方程为y

3

5

23

，

272

）. 4

2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为引入课题

x2y2

【习题4（教材P96）】椭圆的方程为1，M1，M2为椭圆上的点

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）

的距离吗？

1691342y0222

解：|MF|(43)y0且1代入消去y0得|MF|

2516255

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示

ab

2

成点M横坐标x的函数吗？

|MF|(xc)2y2

b22c2222

解：x2y2代入消去y 得|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa221

ba

cca2a2

|xa||x|e|x| aacc

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

a2

椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率

cc a

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

ca2

动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数(ac)的

ac

点的轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

a2x2y2

对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x．根据对称性，相应

cab

c

a

y2x2a2a2

于焦点F(c,0)的准线方程是x．对于椭圆221的准线方程是y．

ccab

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

例1、求椭圆1的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

y2x2a22

解：椭圆可化为标准方程为：1，故其准线方程为y

819c4

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

例2、椭圆1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：

|MF1||MF|3c3e|MF1|1.5 e|MF1|ed12.51.5d5d1a5

又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10|MF2|8.5

另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为

a250585

22.5 c326



|MF2|385

e|MF2|ed28.5 d256

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求

点P的轨迹；

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

x2y21，故所的轨迹是椭圆。 1612

a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x8解得a4，

cc1x2y2

又因为e故所求的轨迹方程为1

a21612

(x2)2y21

由化简得

|x8|2

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

2

2

(x2)2y21

由化简得

|x5|2

(x1)2y2

1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0） 3x6x4y90配方得43a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x5解得a210，

c

x2y2

故所求的轨迹方程为1

106

x2y2(x1)2y2

1的长半轴长、短半轴长、半焦问题1：求出椭圆方程1和4343

距、离心率；

x2y2(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程； 问题2：求出椭圆方程1和4343x2y2(x1)2y2

1所以解：因为把椭圆1向右平移一个单位即可以得到椭圆4343

问题1中的所有问题均不变，均为a3,b3,c1,e

c1

 a2

x2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0)x4； 43

(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0)x41； 43

反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

12

c2

另一方面离心率就

a等于这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。

例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）

A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；

过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知

d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知又

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

dd2|AB||AB||AF||BF|

e1且0e1d故直线与圆相离

2222

x2y2

例5、已知点M为椭圆1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)

2516

求|MA||MF1|的最小值 分析：应如何把|MF1|表示出来

a225

解：左准线l1：x，作MDl1于点D，记d|MD|

c3

53

53

由第二定义可知：

53

|MF1|35c3

e ⇒ |MF1|d ⇒ d|MF1|

53da5

故有|MA||MF1||MA|d|MA||MD|

所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1即|MA||MF1|的最小值是

5

3

28 3

25 3

变式1：3|MA|5|MF1|的最小值； 解：3|MA|5|MF1|3(|MA||MF1|)3变式2：|MA||MF1|的最小值； 解：

|MA||MF1|(|MA||MF1|)

5328

28 3

35

353532828



课堂练习

1．已知

是椭圆

离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点的距

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

归纳小结：

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式； 2. 已知

，

为椭圆

的中点到椭圆左准线的距离是

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

解：由椭圆方程可知

、两准线间距离为

．设

，

到右准线距离分别为

，

，

由椭圆定义有

，所以

，则

，

中

点

到右准线距离为 ，于是

到左准线距离为

，

，所求椭圆方程

为

．

1．方程2(x1)2(y1)2|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离

|xy2|22

2

的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|c3a2353e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i 由da5c544|P1F||P2F||P7F|27

3

(127)35 4

解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知

|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3F||P5F|2a，|P4F|a

故|P1F||P2F||P7F|7a35 板书设计：

学法指导： 复习回顾

1．椭圆9x2y281的长轴长为，短轴长为，半焦距为离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 . 2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为x2y2【习题4（教材P96）】椭圆的方程为1，M1，M2为椭圆上的点

2516

35

③ 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 .

④ 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示

ab

成点M横坐标x的函数吗？

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

【引出定义】椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是 时，这个点的轨迹是 ．定点是椭圆的 ，定直线叫做椭圆

的 ，常数e是椭圆的 ． x2y2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是 根据对称性，ab

y2x2相应于焦点F(c,0)的准线方程是 ；椭圆221的准线方程ab

是

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． 由椭圆的第二定义|MF|e可得： d

右焦半径公式为|MF右||MF左|

x2y2例1、求椭圆1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 2516

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

x2y2例2、椭圆1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

例3、点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）

A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切

x2y2例5、已知点M为椭圆1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)2516

求|MA||MF1|的最小值

课堂练习 53

1．已知

是椭圆

离为_____________． 上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点的距

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

归纳小结：

课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

的中点到椭圆左准线的距离是

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

思考：

1．方程2(x1)2(y1)2|xy2|表示什么曲线？

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

《椭圆第二定义》学生问卷调查

1．通过“问题与推广”的形式给出第二定义比课本例4（ ）

Ａ、更好理解（10） Ｂ、一般（28） Ｃ、更难理解（13）

2．课件的动画效果是否能让你更有效理解椭圆的第二定义（ ）

Ａ、很有效果（9 ） Ｂ、基本上能理解（35） Ｃ、不能，需进一步改进（7）

3．你会求椭圆的准线方程吗（ ）

Ａ、会（34） Ｂ、不太清楚（12） Ｃ、不会（5）

4．你觉得这节课老师讲解的题目太多了吗（ ）

Ａ、太多（5） Ｂ、差不多（43） Ｃ、太少（3）

5．你觉得这节课老师讲解的题目太难了吗（ ）

Ａ、太难（11） Ｂ、一般（39） Ｃ、太简单（1）

6．你觉得这节课有必要用多媒体来上吗（ ）

Ａ、有必要（20） Ｂ、可无可有（24） Ｃ、不必要（7）

7．你认为本节课的课堂气氛如何（ ）？

Ａ、非常好 （1） Ｂ、好（41） Ｃ、不好（9）

8．你对老师的教学设计方式满意吗（ ）？

Ａ、很满意（9） Ｂ、比较满意 （39 ） Ｃ、不满意（3）

9．你认为上课老师在哪些方面还需作一定的改进？ （ ） (可以多选)

A、教学内容，重点、难点以及例题的分析讲解.（23）

B、教学语言的组织.（14）

C、课堂气氛的营造、控制及师生互动.（22）

D、课件的制作.（4）

E、板书设计.（9）

F、其它_____________ (请填写) 9

10．你认为怎样的课堂气氛才是良好的？请你对今后的数学课堂教与学提出好的建议。

1．大多数同学认为要活跃课堂气氛，要增强师生的互动

2．分析题目的切入点要分析得再详细点，步骤可以不要那么详细，分析思路太快了

3．希望能够把一道题目算到最后答案、希望多讲一些《名师伴你行》

希望多复习以前的知识点，希望上课多一点激情，讲知识再慢一点

教师评语

《椭圆第二定义》公开课小结

刘华湘

《椭圆第二定义》在教材中是利用一个例题的形式给出的，而在这个例题给出的数据过于巧合，而会使学生有点看不太懂（其实课本给出的数据是为了所求出的方程恰好为标准方程而作的准备）。而我想采取习题与推广的形式先给出一个命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。也从而引导学生要注意课本上的习题加以反思，立足教材。椭圆的第二定义其实在圆锥曲线这一章来说是非常重要的同时也是一个难点，而正是“比值定义”可以把圆锥曲线的三种形式有机的统一起来。教学大纲要求：理解椭圆的比值定义；掌握椭圆的准线方程。

本节课采用多媒体教学，可大大增加本节课的容量，通过“习题与推广”引导学生要对一些习题加以反思，通过数学符号与文字语言的互译让学生自己写出命题，从而激发学生学习的兴趣。同时结合多媒体尤其是几何画板的动画功能吸引学生的注意力，加深对“比值定义”的理解。但在实际操作过程中，讲解新课的速度太快，学生的思维还比较难跟上来，在讲解例题时，给学生思考的时间太短了，另外还要注意板书设计的合理性。

总之，做为一名教师，要对教材进行反复地研究，多参考一些教师用书吸取别人的长处，多向老教师学习，多与同事交流，要善于改变自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。不断加强业务素质和教研能力，完善自己，提高素质。在教学过程中一定要注意学生的思维能力，加强如何对学生进行启发性的引导，从而真正使学生能进行主动思考，充分体现学生的主体性，教师的指导性。

椭圆第二定义教学设计 养正中学 刘华湘

背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、焦半径公式和准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.

教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用；

教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 教学过程 复习回顾

1．椭圆9x2y281的长轴长为，短轴长为，半焦距为62，离心率为2焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，（准线方程为y

3

5

23

，

272

）. 4

2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为引入课题

x2y2

【习题4（教材P96）】椭圆的方程为1，M1，M2为椭圆上的点

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）

的距离吗？

1691342y0222

解：|MF|(43)y0且1代入消去y0得|MF|

2516255

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示

ab

2

成点M横坐标x的函数吗？

|MF|(xc)2y2

b22c2222

解：x2y2代入消去y 得|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa221

ba

cca2a2

|xa||x|e|x| aacc

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

a2

椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率

cc a

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

ca2

动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数(ac)的

ac

点的轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

a2x2y2

对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x．根据对称性，相应

cab

c

a

y2x2a2a2

于焦点F(c,0)的准线方程是x．对于椭圆221的准线方程是y．

ccab

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

例1、求椭圆1的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

y2x2a22

解：椭圆可化为标准方程为：1，故其准线方程为y

819c4

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

例2、椭圆1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：

|MF1||MF|3c3e|MF1|1.5 e|MF1|ed12.51.5d5d1a5

又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10|MF2|8.5

另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为

a250585

22.5 c326



|MF2|385

e|MF2|ed28.5 d256

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求

点P的轨迹；

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

x2y21，故所的轨迹是椭圆。 1612

a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x8解得a4，

cc1x2y2

又因为e故所求的轨迹方程为1

a21612

(x2)2y21

由化简得

|x8|2

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则

2

2

(x2)2y21

由化简得

|x5|2

(x1)2y2

1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0） 3x6x4y90配方得43a2

解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以x5解得a210，

c

x2y2

故所求的轨迹方程为1

106

x2y2(x1)2y2

1的长半轴长、短半轴长、半焦问题1：求出椭圆方程1和4343

距、离心率；

x2y2(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程； 问题2：求出椭圆方程1和4343x2y2(x1)2y2

1所以解：因为把椭圆1向右平移一个单位即可以得到椭圆4343

问题1中的所有问题均不变，均为a3,b3,c1,e

c1

 a2

x2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0)x4； 43

(x1)2y2

1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0)x41； 43

反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

12

c2

另一方面离心率就

a等于这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。

例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）

A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；

过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知

d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知又

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

dd2|AB||AB||AF||BF|

e1且0e1d故直线与圆相离

2222

x2y2

例5、已知点M为椭圆1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)

2516

求|MA||MF1|的最小值 分析：应如何把|MF1|表示出来

a225

解：左准线l1：x，作MDl1于点D，记d|MD|

c3

53

53

由第二定义可知：

53

|MF1|35c3

e ⇒ |MF1|d ⇒ d|MF1|

53da5

故有|MA||MF1||MA|d|MA||MD|

所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1即|MA||MF1|的最小值是

5

3

28 3

25 3

变式1：3|MA|5|MF1|的最小值； 解：3|MA|5|MF1|3(|MA||MF1|)3变式2：|MA||MF1|的最小值； 解：

|MA||MF1|(|MA||MF1|)

5328

28 3

35

353532828



课堂练习

1．已知

是椭圆

离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点的距

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

归纳小结：

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式； 2. 已知

，

为椭圆

的中点到椭圆左准线的距离是

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

解：由椭圆方程可知

、两准线间距离为

．设

，

到右准线距离分别为

，

，

由椭圆定义有

，所以

，则

，

中

点

到右准线距离为 ，于是

到左准线距离为

，

，所求椭圆方程

为

．

1．方程2(x1)2(y1)2|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离

|xy2|22

2

的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|c3a2353e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i 由da5c544|P1F||P2F||P7F|27

3

(127)35 4

解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知

|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3F||P5F|2a，|P4F|a

故|P1F||P2F||P7F|7a35 板书设计：

学法指导： 复习回顾

1．椭圆9x2y281的长轴长为，短轴长为，半焦距为离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 . 2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为x2y2【习题4（教材P96）】椭圆的方程为1，M1，M2为椭圆上的点

2516

35

③ 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 .

④ 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示

ab

成点M横坐标x的函数吗？

问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

【引出定义】椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是 时，这个点的轨迹是 ．定点是椭圆的 ，定直线叫做椭圆

的 ，常数e是椭圆的 ． x2y2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是 根据对称性，ab

y2x2相应于焦点F(c,0)的准线方程是 ；椭圆221的准线方程ab

是

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． 由椭圆的第二定义|MF|e可得： d

右焦半径公式为|MF右||MF左|

x2y2例1、求椭圆1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 2516

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

x2y2例2、椭圆1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

例3、点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）

A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切

x2y2例5、已知点M为椭圆1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)2516

求|MA||MF1|的最小值

课堂练习 53

1．已知

是椭圆

离为_____________． 上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点的距

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

归纳小结：

课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

的中点到椭圆左准线的距离是

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

思考：

1．方程2(x1)2(y1)2|xy2|表示什么曲线？

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

《椭圆第二定义》学生问卷调查

1．通过“问题与推广”的形式给出第二定义比课本例4（ ）

Ａ、更好理解（10） Ｂ、一般（28） Ｃ、更难理解（13）

2．课件的动画效果是否能让你更有效理解椭圆的第二定义（ ）

Ａ、很有效果（9 ） Ｂ、基本上能理解（35） Ｃ、不能，需进一步改进（7）

3．你会求椭圆的准线方程吗（ ）

Ａ、会（34） Ｂ、不太清楚（12） Ｃ、不会（5）

4．你觉得这节课老师讲解的题目太多了吗（ ）

Ａ、太多（5） Ｂ、差不多（43） Ｃ、太少（3）

5．你觉得这节课老师讲解的题目太难了吗（ ）

Ａ、太难（11） Ｂ、一般（39） Ｃ、太简单（1）

6．你觉得这节课有必要用多媒体来上吗（ ）

Ａ、有必要（20） Ｂ、可无可有（24） Ｃ、不必要（7）

7．你认为本节课的课堂气氛如何（ ）？

Ａ、非常好 （1） Ｂ、好（41） Ｃ、不好（9）

8．你对老师的教学设计方式满意吗（ ）？

Ａ、很满意（9） Ｂ、比较满意 （39 ） Ｃ、不满意（3）

9．你认为上课老师在哪些方面还需作一定的改进？ （ ） (可以多选)

A、教学内容，重点、难点以及例题的分析讲解.（23）

B、教学语言的组织.（14）

C、课堂气氛的营造、控制及师生互动.（22）

D、课件的制作.（4）

E、板书设计.（9）

F、其它_____________ (请填写) 9

10．你认为怎样的课堂气氛才是良好的？请你对今后的数学课堂教与学提出好的建议。

1．大多数同学认为要活跃课堂气氛，要增强师生的互动

2．分析题目的切入点要分析得再详细点，步骤可以不要那么详细，分析思路太快了

3．希望能够把一道题目算到最后答案、希望多讲一些《名师伴你行》

希望多复习以前的知识点，希望上课多一点激情，讲知识再慢一点

教师评语

《椭圆第二定义》公开课小结

刘华湘

《椭圆第二定义》在教材中是利用一个例题的形式给出的，而在这个例题给出的数据过于巧合，而会使学生有点看不太懂（其实课本给出的数据是为了所求出的方程恰好为标准方程而作的准备）。而我想采取习题与推广的形式先给出一个命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。也从而引导学生要注意课本上的习题加以反思，立足教材。椭圆的第二定义其实在圆锥曲线这一章来说是非常重要的同时也是一个难点，而正是“比值定义”可以把圆锥曲线的三种形式有机的统一起来。教学大纲要求：理解椭圆的比值定义；掌握椭圆的准线方程。

本节课采用多媒体教学，可大大增加本节课的容量，通过“习题与推广”引导学生要对一些习题加以反思，通过数学符号与文字语言的互译让学生自己写出命题，从而激发学生学习的兴趣。同时结合多媒体尤其是几何画板的动画功能吸引学生的注意力，加深对“比值定义”的理解。但在实际操作过程中，讲解新课的速度太快，学生的思维还比较难跟上来，在讲解例题时，给学生思考的时间太短了，另外还要注意板书设计的合理性。

总之，做为一名教师，要对教材进行反复地研究，多参考一些教师用书吸取别人的长处，多向老教师学习，多与同事交流，要善于改变自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。不断加强业务素质和教研能力，完善自己，提高素质。在教学过程中一定要注意学生的思维能力，加强如何对学生进行启发性的引导，从而真正使学生能进行主动思考，充分体现学生的主体性，教师的指导性。