一、目标认知
学习目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：
1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；
2 .三角形全等的性质和条件。
难点：
1.掌握用综合法证明的格式；
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等
二、知识要点梳理
知识点一：全等形
要点诠释：
能够完全重合的两个图形叫全等形。
知识点二：全等三角形
要点诠释：
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形
知识点三：对应顶点，对应边，对应角
要点诠释：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
知识点四：全等三角形的性质
要点诠释：
全等三角形对应边相等，对应角相等
知识点五：三角形全等的判定定理（一）
要点诠释：
三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”
知识点六：三角形全等的判定定理（二）
要点诠释：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
知识点七：三角形全等的判定定理（三）
要点诠释：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
知识点八：三角形全等的判定定理（四）
要点诠释：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”
类型一：全等三角形性质的应用
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC 和∠ADB是对应角.
总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？
【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如
图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B，
又∠A=30°，∠B=50°，
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.
求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.
【答案】
(1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°，
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．
思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
解析：∵AC＝BD(已知)
∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)
即 AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．
求证 AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD＝90°(垂直定义)
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S．A．S)
∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)
类型三：综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD.
思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.
总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：
【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
求证：BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF
思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．
解析：
(1)在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)
(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)
∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)
(3)在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE(SAS)
∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)
总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS)
∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD(SAS)
∴AF＝CB(全等
三角形对应边相等)
∴AF＝AG(等量代换)
6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)
总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：
【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．
【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL)
∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(AAS)
∴OD=OC．
7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。
思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
解析：结论：DE+DF=CG
方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG，DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华：
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）
总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法
方法三（面积法）使用等积转化
引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明
举一反三：
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法
知识点九：直角三角形全等的判定定理
要点诠释：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”
三、规律方法指导
1.探索三角形全等的条件：
（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④边边边(SSS).
(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.
2．判别两个三角形全等指导
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
3．经验与提示：
⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：
① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
③ 有公共边的，公共边一定是对应边．
④ 有公共角的，公共角一定是对应角．
⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)
⑵找全等三角形的方法
①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
⑶证明线段相等的方法：
①中点定义；
②等式的性质；
③全等三角形的对应边相等；
④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。
⑷证明角相等的方法：
①对顶角相等；
②同角（或等角）的余角（或补角）相等；
③两直线平行，同位角、内错角相等；
④等式的性质；
⑤垂直的定义；
⑥全等三角形的对应角相等；
三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。
⑸证垂直的常用方法
① 证明两直线的夹角等于90°；
②证明邻补角相等；
③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；
④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。
⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
⑥邻补角的平分线互相垂直。
⑹全等三角形中几个重要结论
①全等三角形对应角的平分线相等；
②全等三角形对应边上的中线相等；
③全等三角形对应边上的高相等。
4.知识的应用
（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.
（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.
（3）用全等三角形测量距离的步骤：①先明确要解决什么实际问题；②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；③说明理由.
5．注意点
（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.
（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.
（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.
（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.
（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.
6.数学思想方法
（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.
（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.
（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等
一、目标认知
学习目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：
1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式；
2 .三角形全等的性质和条件。
难点：
1.掌握用综合法证明的格式；
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等
二、知识要点梳理
知识点一：全等形
要点诠释：
能够完全重合的两个图形叫全等形。
知识点二：全等三角形
要点诠释：
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形
知识点三：对应顶点，对应边，对应角
要点诠释：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
知识点四：全等三角形的性质
要点诠释：
全等三角形对应边相等，对应角相等
知识点五：三角形全等的判定定理（一）
要点诠释：
三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”
知识点六：三角形全等的判定定理（二）
要点诠释：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
知识点七：三角形全等的判定定理（三）
要点诠释：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
知识点八：三角形全等的判定定理（四）
要点诠释：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”
类型一：全等三角形性质的应用
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC 和∠ADB是对应角.
总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？
【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如
图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B，
又∠A=30°，∠B=50°，
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.
求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.
【答案】
(1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°，
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．
思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
解析：∵AC＝BD(已知)
∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)
即 AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．
求证 AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD＝90°(垂直定义)
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S．A．S)
∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)
类型三：综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD.
思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.
总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：
【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
求证：BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF
思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．
解析：
(1)在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)
(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)
∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)
(3)在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE(SAS)
∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)
总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS)
∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD(SAS)
∴AF＝CB(全等
三角形对应边相等)
∴AF＝AG(等量代换)
6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)
总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：
【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．
【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL)
∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(AAS)
∴OD=OC．
7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。
思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
解析：结论：DE+DF=CG
方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG，DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华：
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）
总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法
方法三（面积法）使用等积转化
引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明
举一反三：
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法
知识点九：直角三角形全等的判定定理
要点诠释：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”
三、规律方法指导
1.探索三角形全等的条件：
（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④边边边(SSS).
(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.
2．判别两个三角形全等指导
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
3．经验与提示：
⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：
① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
③ 有公共边的，公共边一定是对应边．
④ 有公共角的，公共角一定是对应角．
⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)
⑵找全等三角形的方法
①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
⑶证明线段相等的方法：
①中点定义；
②等式的性质；
③全等三角形的对应边相等；
④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。
⑷证明角相等的方法：
①对顶角相等；
②同角（或等角）的余角（或补角）相等；
③两直线平行，同位角、内错角相等；
④等式的性质；
⑤垂直的定义；
⑥全等三角形的对应角相等；
三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。
⑸证垂直的常用方法
① 证明两直线的夹角等于90°；
②证明邻补角相等；
③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；
④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。
⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
⑥邻补角的平分线互相垂直。
⑹全等三角形中几个重要结论
①全等三角形对应角的平分线相等；
②全等三角形对应边上的中线相等；
③全等三角形对应边上的高相等。
4.知识的应用
（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.
（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.
（3）用全等三角形测量距离的步骤：①先明确要解决什么实际问题；②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；③说明理由.
5．注意点
（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.
（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.
（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.
（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.
（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.
6.数学思想方法
（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.
（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.
（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等