“充要条件”教学设计
一、教学内容：中职数学修订版第一章《集合与充要条件》中1.4充要条件
二、教学目标：
1、知识与技能目标：
（１） 正确理解充要条件的定义, 理解充分条件, 必要条件.
（２） 正确判断充分条件、 必要条件、充要条件.
（３） 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．
2、过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3、情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
三、教学重点与难点
1、重点：（1）正确区分充要条件；（2）正确运用“条件”的定义解题
2、难点：正确区分充要条件．
四、教具准备：与教材内容相关的资料。
五、教学设想：在观察和思考中，在解题过程中，培养学生思维能力的严密性品质．
六、教学过程：
1、知识回顾：
（1）命题：判断一件事情的语句叫做命题，一般用小写的英文字母p,q,r,s, …来表示；
（2）命题真假的判断：成立的命题为真命题，不成立的命题为假命题，如15是5的倍数是真命题，0.25是整数是假命题；
（3）一类命题的一般形式：如果p 那么q ，“如果”后接的部分是条件（题设），“那么”后接的部分是结论。
2、新知识：
观察如下3个电路图：
条件p ：开关A 闭合，结论q ：灯泡B 亮；
对于图1和图3，如果开关A 闭合那么灯泡B 亮，即如果p 那么q 是真命题，记作p ⇒q ；对于图2，如果开关A 闭合那么灯泡B 不会亮，即如果p 那么q 是假命题。 下面具体分析条件p 对于保证结论q 成立所起的作用：
图1：“开关A 闭合”能保证“灯泡B 亮”成立，要使“灯泡B 亮”成立，具备条件“开关A 闭合”就够了，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的足够（充分）条件，从而说p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件。
图2：“灯泡B 亮”必须要“开关A 闭合”， “开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要条件，即p ⇐q ，则称p 是q 的必要条件。
图3：“开关A 闭合”能保证“灯泡B 亮”，反过来，“灯泡B 亮”必须是“开关A 闭合”，即“p ⇒q 且p ⇐q ”，简记“p ⇔q ”，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
3、例题解析：
例1、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :x =1， q :x 2-1=0；
（2）p :x =y ， q :x =y ；
分析：（1）如果x =1 ，则x 2=1, 所以x 2-1=0, 但是x 2-1=0, 得x =±1，
从而p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件；
（2）x =y ，则x =y ，但是x =y ，得x =±y , 从而p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件； 从以上2例可见，p 是小范围，q 是大范围，用集合中的
维恩图可以表示为（图4），从而可以认为“小充分”。
练习：判断条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :a =0, q :ab =0；
（2）p :a 是6的倍数，q :a 是3的倍数。
例2、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :(x -2)(x +5) =0, q :x -2=0；
(2) p :x >3, q :x >5；
分析：（1）由条件p ：(x -2)(x +5) =0可得x =2或x =-5，而结论q ：x =2, 所以p 不能推出q ，但是q 能推出p ，即p ⇐q ，所以p 是q 的必要条件；
（2）x >3与x >5的关系利用数轴可以比较清楚地发现： 图4
3 4 5
所以可见p 不能推出q ，比如x =4不在x >5的范围内，但是所有比5大的数字肯定比3大的，所以q 能推出p ，即p ⇐q ，从而p 是q 的必要条件；
从以上2例可见，p 是大范围，q 是小范围，用集合中的
维恩图可以表示为（图5），从而可以认为“大必要”。
练习：判断条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :a =1, q :a =1；
（2）p :a
图5
例3、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :∆ABC 的每个内角都是60，q :∆ABC 为等边三角形；
（2）p :a =1, b =0, q :(a -1) 2+b 2=0；
分析：要判断p 是q 的充要条件，就要看p 能否推出q ，并且看q 能否推出p ． 以上2例条件p 和结论q 可以互推，即p ⇔q ，
用集合中的维恩图可以表示为（图6），从而可以认为“等充要”。
练习：书本第17页：练习1.4
4、小结：
这节课我们学了三个条件关系：
（1）p ⇒q , 则称p 是q 的充分条件，简单地理解为“小充分”；
（2）p ⇐q ，则称q 是p 的充分条件，简单地理解为“大必要”；
(3) p ⇔q , 则称p 是q 的充要条件，简单地理解为“等充要”。
5、布置作业：书本第18页A 组。
图6
“充要条件”教学设计
一、教学内容：中职数学修订版第一章《集合与充要条件》中1.4充要条件
二、教学目标：
1、知识与技能目标：
（１） 正确理解充要条件的定义, 理解充分条件, 必要条件.
（２） 正确判断充分条件、 必要条件、充要条件.
（３） 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．
2、过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3、情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
三、教学重点与难点
1、重点：（1）正确区分充要条件；（2）正确运用“条件”的定义解题
2、难点：正确区分充要条件．
四、教具准备：与教材内容相关的资料。
五、教学设想：在观察和思考中，在解题过程中，培养学生思维能力的严密性品质．
六、教学过程：
1、知识回顾：
（1）命题：判断一件事情的语句叫做命题，一般用小写的英文字母p,q,r,s, …来表示；
（2）命题真假的判断：成立的命题为真命题，不成立的命题为假命题，如15是5的倍数是真命题，0.25是整数是假命题；
（3）一类命题的一般形式：如果p 那么q ，“如果”后接的部分是条件（题设），“那么”后接的部分是结论。
2、新知识：
观察如下3个电路图：
条件p ：开关A 闭合，结论q ：灯泡B 亮；
对于图1和图3，如果开关A 闭合那么灯泡B 亮，即如果p 那么q 是真命题，记作p ⇒q ；对于图2，如果开关A 闭合那么灯泡B 不会亮，即如果p 那么q 是假命题。 下面具体分析条件p 对于保证结论q 成立所起的作用：
图1：“开关A 闭合”能保证“灯泡B 亮”成立，要使“灯泡B 亮”成立，具备条件“开关A 闭合”就够了，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的足够（充分）条件，从而说p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件。
图2：“灯泡B 亮”必须要“开关A 闭合”， “开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要条件，即p ⇐q ，则称p 是q 的必要条件。
图3：“开关A 闭合”能保证“灯泡B 亮”，反过来，“灯泡B 亮”必须是“开关A 闭合”，即“p ⇒q 且p ⇐q ”，简记“p ⇔q ”，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
3、例题解析：
例1、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :x =1， q :x 2-1=0；
（2）p :x =y ， q :x =y ；
分析：（1）如果x =1 ，则x 2=1, 所以x 2-1=0, 但是x 2-1=0, 得x =±1，
从而p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件；
（2）x =y ，则x =y ，但是x =y ，得x =±y , 从而p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件； 从以上2例可见，p 是小范围，q 是大范围，用集合中的
维恩图可以表示为（图4），从而可以认为“小充分”。
练习：判断条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :a =0, q :ab =0；
（2）p :a 是6的倍数，q :a 是3的倍数。
例2、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :(x -2)(x +5) =0, q :x -2=0；
(2) p :x >3, q :x >5；
分析：（1）由条件p ：(x -2)(x +5) =0可得x =2或x =-5，而结论q ：x =2, 所以p 不能推出q ，但是q 能推出p ，即p ⇐q ，所以p 是q 的必要条件；
（2）x >3与x >5的关系利用数轴可以比较清楚地发现： 图4
3 4 5
所以可见p 不能推出q ，比如x =4不在x >5的范围内，但是所有比5大的数字肯定比3大的，所以q 能推出p ，即p ⇐q ，从而p 是q 的必要条件；
从以上2例可见，p 是大范围，q 是小范围，用集合中的
维恩图可以表示为（图5），从而可以认为“大必要”。
练习：判断条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :a =1, q :a =1；
（2）p :a
图5
例3、指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件：
（1）p :∆ABC 的每个内角都是60，q :∆ABC 为等边三角形；
（2）p :a =1, b =0, q :(a -1) 2+b 2=0；
分析：要判断p 是q 的充要条件，就要看p 能否推出q ，并且看q 能否推出p ． 以上2例条件p 和结论q 可以互推，即p ⇔q ，
用集合中的维恩图可以表示为（图6），从而可以认为“等充要”。
练习：书本第17页：练习1.4
4、小结：
这节课我们学了三个条件关系：
（1）p ⇒q , 则称p 是q 的充分条件，简单地理解为“小充分”；
（2）p ⇐q ，则称q 是p 的充分条件，简单地理解为“大必要”；
(3) p ⇔q , 则称p 是q 的充要条件，简单地理解为“等充要”。
5、布置作业：书本第18页A 组。
图6