第11章 数的开方（培优复习）
一、平方根 1. 平方根的含义
２. 平方根的性质与表示
a 2=a =⎧⎨a a ≥0
-a a
⎩0a )2=a
a 的双重非负性 a ≥0且a ≥0 （应用较广）
Eg ：x -4+4-x =y 得知x =4, y =0（此题虽简单，但非常典型，注意题目的特点） 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____
4=____ ４开平方后，得____ ⎧⎪42
⎪93
３. 计算a 的方法⎪⎨⎪77
⎪⎪⎩精确到某位小数
二、立方根和开立方
１．立方根的定义
２. 立方根的性质 ３. 开立方与立方 a )3=a a 3
=a -a =-a （a 取任何数）
三. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如；2 尺规可作的无理数 π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
经典例题
例1．已知实数a 、b 、c 满足，(c -1
2) 2 =0,, 求a+b+c的值.
例2. 若y =2x -1+-2x -1，求x ，y 的值。
1
例3. 若2a -1和-3b 互为相反数，求
a 的值。 b
例4. 已知y =-25-x 2+3, 求x 取何值时，y 有最大值。
及时练习：
1．y =
2．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，求a +b +8cd 的值。
3.
已知x -2+(y +4)
4. 已知：
经典例题
例5 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3, 问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？
2 22-x +x -2+x 2+5，求y x 的平方根和算术平方根。 33 =0, 求(xz ) y 的平方根。x -y +3与x +y -1互为相反数，求x+y的算术平方根
例6 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的是（ ）（填序号）
例7.
a ，小数部分为b ，求-16ab-8b 2的立方根。
例8.
x , y , m = 试求m -4的算术平方根。
例9. （1）已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
（2）已知m ，n
是有理数，且2) m +(3-n +7=0，求m ，n 的值。
（3）△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b
b 2-4b +4=0，求c 的取值范围。
（4
）已知x =(-2a 1993
4+a ，求x 的个位数字。
及时训练：
1
、已知x , y , z 试求x,y,z 的值。
3
2.
、在实数范围内，设a =(4x 2006
x +1，求a 的各位数字是什么？
3、已知x 、y
是实数，且(x -y +1) 2
课后训练题：
一、填空题
1
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
3
、已知(b -1) 2=0, = 。
4
、已知y =则x +y = 。
5. 已知5+的小数部分为a ，5－的小数部分为b ，则a+b=
6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的：
若a +b =2, ≤1; 若a +b =3, ≤3
2；若a +b =6, ≤3.
根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9
≤ 。
7、已知实数a
满足-a =a , 则a -19992=
8
、已知实数a , b , c 满足1
2a-b +c 2-c +1c
4=0, 则ab 的算术平方根是
9、已知x 、y 是有理数，且x 、y
满足2x 2+3y +=23-，则x+y= 。
10、由下列等式：
===……
所揭示的规律，可得出一般的结论是 。
4
11、使x ＋1 有意义的x 的取值范围是（ ） x-2
12
、设A =B =则A 、B 中数值较小的是
13
-2y =5.28, 则.
14
有意义的x 的取值范围是 。 15
、若0a 1, 且a +1 =6, a 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .
二、选择题：
1. 下列命题：①（-3）2的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2
3；④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
22、下列命题：①（-3）的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2
3；
④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ）
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3
、若3a ，b , 则a +b 的值为（ ）
A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2
4
、已知=a =b , =( )
A 、ab 3ab ab 3ab B 、 C 、 D 、 1010100100
5
、使等式(2=x 成立的x 的值（ ）
A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定
6
、如果a 0, （ ）
A
、 B
、- C
、 D
、-
7、下面5
个数：3.1416, 1
ππ-1，其中是有理数的有（ ）
A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
8．下列结论正确的是（ ） A. ∵a b ，∴
C.
a ﹥b B. a 2=(a ) 2 a 与不一定互为相反数 D. a +b﹥a －b 5 1a
9. 以下四个命题①若a
a
③若a
a
） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④
10. 给出下列说法：①-6是36的平方根；②16的平方根是4
；③=
2个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ）
Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①
三．解答题
1. 求下列各式中的x: (1)(3x +2) 3-1=61 64 (2). 131
3(2x +1) -8=1
2. 计算：
(1)
（3）2-3+-2+2-5. (4) (-2) 3⨯(1) -2+(1+3) 011
3+2÷6+-4
3. 已知x +2y -5与2x -y -4. 5互为相反数，求(xy ) 2009的值
6
第11章 数的开方（培优复习）
一、平方根 1. 平方根的含义
２. 平方根的性质与表示
a 2=a =⎧⎨a a ≥0
-a a
⎩0a )2=a
a 的双重非负性 a ≥0且a ≥0 （应用较广）
Eg ：x -4+4-x =y 得知x =4, y =0（此题虽简单，但非常典型，注意题目的特点） 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____
4=____ ４开平方后，得____ ⎧⎪42
⎪93
３. 计算a 的方法⎪⎨⎪77
⎪⎪⎩精确到某位小数
二、立方根和开立方
１．立方根的定义
２. 立方根的性质 ３. 开立方与立方 a )3=a a 3
=a -a =-a （a 取任何数）
三. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如；2 尺规可作的无理数 π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
经典例题
例1．已知实数a 、b 、c 满足，(c -1
2) 2 =0,, 求a+b+c的值.
例2. 若y =2x -1+-2x -1，求x ，y 的值。
1
例3. 若2a -1和-3b 互为相反数，求
a 的值。 b
例4. 已知y =-25-x 2+3, 求x 取何值时，y 有最大值。
及时练习：
1．y =
2．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，求a +b +8cd 的值。
3.
已知x -2+(y +4)
4. 已知：
经典例题
例5 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3, 问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？
2 22-x +x -2+x 2+5，求y x 的平方根和算术平方根。 33 =0, 求(xz ) y 的平方根。x -y +3与x +y -1互为相反数，求x+y的算术平方根
例6 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的是（ ）（填序号）
例7.
a ，小数部分为b ，求-16ab-8b 2的立方根。
例8.
x , y , m = 试求m -4的算术平方根。
例9. （1）已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
（2）已知m ，n
是有理数，且2) m +(3-n +7=0，求m ，n 的值。
（3）△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b
b 2-4b +4=0，求c 的取值范围。
（4
）已知x =(-2a 1993
4+a ，求x 的个位数字。
及时训练：
1
、已知x , y , z 试求x,y,z 的值。
3
2.
、在实数范围内，设a =(4x 2006
x +1，求a 的各位数字是什么？
3、已知x 、y
是实数，且(x -y +1) 2
课后训练题：
一、填空题
1
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
3
、已知(b -1) 2=0, = 。
4
、已知y =则x +y = 。
5. 已知5+的小数部分为a ，5－的小数部分为b ，则a+b=
6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的：
若a +b =2, ≤1; 若a +b =3, ≤3
2；若a +b =6, ≤3.
根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9
≤ 。
7、已知实数a
满足-a =a , 则a -19992=
8
、已知实数a , b , c 满足1
2a-b +c 2-c +1c
4=0, 则ab 的算术平方根是
9、已知x 、y 是有理数，且x 、y
满足2x 2+3y +=23-，则x+y= 。
10、由下列等式：
===……
所揭示的规律，可得出一般的结论是 。
4
11、使x ＋1 有意义的x 的取值范围是（ ） x-2
12
、设A =B =则A 、B 中数值较小的是
13
-2y =5.28, 则.
14
有意义的x 的取值范围是 。 15
、若0a 1, 且a +1 =6, a 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .
二、选择题：
1. 下列命题：①（-3）2的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2
3；④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
22、下列命题：①（-3）的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2
3；
④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ）
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3
、若3a ，b , 则a +b 的值为（ ）
A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2
4
、已知=a =b , =( )
A 、ab 3ab ab 3ab B 、 C 、 D 、 1010100100
5
、使等式(2=x 成立的x 的值（ ）
A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定
6
、如果a 0, （ ）
A
、 B
、- C
、 D
、-
7、下面5
个数：3.1416, 1
ππ-1，其中是有理数的有（ ）
A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
8．下列结论正确的是（ ） A. ∵a b ，∴
C.
a ﹥b B. a 2=(a ) 2 a 与不一定互为相反数 D. a +b﹥a －b 5 1a
9. 以下四个命题①若a
a
③若a
a
） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④
10. 给出下列说法：①-6是36的平方根；②16的平方根是4
；③=
2个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ）
Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①
三．解答题
1. 求下列各式中的x: (1)(3x +2) 3-1=61 64 (2). 131
3(2x +1) -8=1
2. 计算：
(1)
（3）2-3+-2+2-5. (4) (-2) 3⨯(1) -2+(1+3) 011
3+2÷6+-4
3. 已知x +2y -5与2x -y -4. 5互为相反数，求(xy ) 2009的值
6