初三数学一元二次方程同步辅导
【教学内容】
1、一元二次方程（§12.1 P4~6） 2、一元二次方程的解法（§12.2 P7~29）
【教学目标】
1、理解一元二次方程的含义，会把一元二次方程化成一般形式 2、掌握一元二次方程的四种解法及每种解法的题型特征及适用范围
3、对特定的一元二次方程，能灵活运用并迅速确定其简捷解法，提高求方程根
的正确率。
【知识讲解】
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。即一个一元二次方程必须满足以下三个条件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0(a≠0) ，任何一个一元二次方程都可以化为一般形式，其中ax 称为二次项，a 称为二次项系数，bx 称为一次项，b 称为一次项系数，c 称为常数项。 例1、判定下列方程是不是一元二次方程
（1）3x －4x －1=0 （2）
2
2
2x +1
2
=x
（3）x 2－3y+1=0 （4）(x－1)(x2+x+1)=(x2－x+1)(x－1)
（5）(k－1)x +2kx－3=0 解：（1）3x 2－4x －1=0满足一元二次方程定义的三个条件，所以它是一元二次方程。
（2）因为
2x +1
2
2
是分式，所以它不是一元二次方程
（3）由于方程中含有两个未知数x, y所以它也不是一元二次方程
（4）(x－1)(x2+x+1)=(x2－x+1)(x－1) ，整理后得x 2－x=0，所以，它是一元二次方程。 （5）当k －1≠0，即k ≠1时，(k－1)x 2+2kx－3=0是一元二次方程；当k －1=0，即k=1时，它不是一元二次方程。
说明：①由第（3）题可知，一个整式方程是否为一元二次方程，不能仅仅看形式，应化成一般形式（按字母进行降幂排列后）才能确定。
②第（5）题中，由于二次项系数是k －1，所以不能确定其是否不等于零，所以应分类说明，但象(k2+1)x2+2kx－3=0，一定是关于x 的一元二次方程。想一想，为什么？
例2、化下列方程为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项。 （1）(2x－1) 2+(5x+4)[3(x－1) －4]=x(x+1) （2）(x2－8x)m=x2－3x －15m (m≠1)
解：（1）展开后得：4x 2－4x+1+(5x+4)(3x－7)=x2+x 即：4x －4x+1+15x+12x－35x －28=x+x 移项、合并同类项得：18x 2－28x －27=0
∴一般形式是：
18x 2－28x －27=0 其中二次项系数是18，一次项系数是－28，常数项为－27。 （2）mx 2－8mx=x2－3x －15m 移项，合并同类项得一般形式为：
(m－1)x 2－(8m－3)x+15m=0 (m≠1)
其中二次项系数是m －1，一次项系数是－(8m－3) ，常数项是15m 。
2
2
2
3、通过对方程两边直接开平方来解方程的方法，叫做直接开平方法，对于形如(ax+b)=m (m≥0) 型的方程都可用直接开平方法来解。
例3、用直接开平方法解下列一元二次方程
222
（1）4(2x－3) =25 （2）(x+2)=(2x－3) （3）(x－2m) 2=4m2－4mn+n2 (x为未知数) （4）(3x－1) 2=－5 解：（1）(2x－3) 2=25 2x －3=±5 即2x －3=5或2x －3=－5
4
2
2
2
2
∴x 1=11, x2=1
4
4
（2）x+2=±(2x－3) 即x+2=2x－3 或x+2=－(2x－3)
∴x 1=-5, x2=1
3
（3）(x－2m) =(2m－n) x－2m=±(2m－n)
即x －2m=2m－n 或x －2m=－(2m－n)
∴x 1=4m－n x2=n
（4）因为－5
说明：①由第（2）题可见，凡是能化为(ax+b)=(cx+d)型的一元二次方程都可用直接开平方法来解。
②由第（4）题可知，“解方程”有两层含义，即求方程的解或确定方程无解的过程。 4、配方法既是解一元二次方程的方法之一，又是进行代数变形的一种重要的方法。而用配方法解方程的一般步骤如下：
（1）用二次项的系数去除方程的两边，把方程的二次项系数化为1； （2）移项，方程的常数项移到方程的右边； （3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式。 ．．．．．．．．．． （4）把方程化成(x+m)2=n的形式，然后用直接开平方法求解。 例4、用配方法解下列方程。
（1）2x
2
2
2
22
-2x -1=0 （2）x -2mx -3=0
2
2
解：（1）方程两边都除以2，得x -加上(-
22
) ， 4
2
22112
，在方程两边都x -=0，移项得x -x =
2222
配方得x -
x -
2
=±4
222222215x +(-) =+(-) , (x-) = 242448
2
或x - =-44
, ∴x 1=4
+4
2, x2=
2- 4
2
, x- =44
（2）移项得：x 2－2mx=3，配方得x 2-2mx +(-∴x -m =±m +3, x=m ±
2
2
2m 22m 222
) =3+(-) (x－m) =m+3， 22
m +3 ∴x 1=m +m +3 , x 2=m -
2
m +3
2
说明：用配方法解方程要严格按照解题步骤进行，特别是配方这一步最为关键。
实际上，配方法除用于解一元二次方程外，还有许多其它的用途。 例5、解下列各题
（1）用配方法证明：－3m 2+2m－5的值恒小于零。
（2）已知a +b－6a+4b+13=0，求a 的值。 （1）证明： -3m
2
22b
+2m -5=-3(m
2
-
2
m) -5=-3[m39
2
-
21212
m +(-) -(-) -5 333
3
3
3
=-3[(m-1) 2-1]-5=-3(m-1) 2+1-5=-3(m-1) 2-14
3
3
∵ (m－1) ≥0 ∴－3 (m－1) ≤0 ∴－3 (m－1) －14
2
2
2
3333
即－3m +2m－5的值恒小于零
（2）a 2+b2－6a+4b+13=0 a2－6a+9+b2+4b+4=0
(a－3) +(b+2)=0 ∴a=3 b=－2 于是a =3=1
2
2
b
－2
2
9
5、一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0) 的根为x=
2
-b ±
b -4ac
(b2－4ac ≥0) 利用求根公式
2a
2
可解所有一元二次方程，它把根与一元二次方程的系数直接联系起来，所以公式必须记清楚，不能有任何混淆。
例6、用公式法解下列一元二次方程。
（1）3x －4x+1=0 （2）x =22x －2
2222
（3）x － (1+23) x+3+3=0 （4）2x + (3m－n)x －2m +3mn－n =0
2
2
解：（1）a=3, b=－4, c=1 b 2－4ac= (－4) 2－4×3×1=4>0
∴x=
4±42±1
= ∴x 1=1, x2=1 2⨯333
（2）原方程化为x 2－22x+2=0, a=1, b=－22, c=2 b2－4ac= (－22) 2－4×1×2=0 ∴x= ∴x 1=x2=2
（3）a=1, b=1+23, c=3+3,
22
b -4ac=(1+23) -4(3+3)=1+12+43-12-43=1，
22±0
=
2⨯1
2
∴x=
-(1+23) ±
2⨯1
=
-1-23±1
2
∴x 1=－3 x2=－1－3 （4）a=2, b= (3m－n) c=－2m 2+3mn－n 2
b 2－4ac= (3m－n) 2－4×2×(－2m 2+3mn－n 2)=25m2－30mn+9n2=(5m－3n) 2≥0 ∴x=
-3(m -n ) ±
(5m -3n )
2
2⨯2
=
-3m +n ±(5m -3n )
4
∴x 1=m -n x 2=n－2m
2
说明：对于系数较复杂的一元二次方程一般先求出b 2－4ac 的值，然后再代入求根公式中计算。 例7、用因式分解法解方程：
（1）4x (x－3) －3 (3－x)=0； （2）3 (2x－1) 2－2 (2x－1) －1=0
（3）x 2－2x －3x+6=0； （4）(a2－b 2)x 2－4abx=a2－b 2 (a≠±b) 解：（1）(x－3)(4x+3)=0, x－3=0或4x+3=0
∴x 1=3, x 2=－3
4
（2）[3(2x－1)+1][(2x－1) －1]=0 (6x－2)(2x－2)=0 ∴x 1=1, x2=1
3
（3）x 2-(2+
3)x +6=0, (x-2)(x-3) =0
∴x 1=2, x 2=3
（4）(a2－b 2)x 2－4abx －(a+b)(a－b)=0
(a+b)(a－b)x 2－4abx －(a+b)(a－b)=0 [(a+b)x+(a－b)][(a－b)x －(a+b)=0 ∴x 1=a -b , x 2=a +b
a +b
a -b
说明：①用因式分解法解的主要步骤是将方程右边等于零后，左边分解成两个一次因式的乘积，所以不一定要将一元二次方程化成一般形式，第（1）、（2）题都是这样。
②在解字母系数方程时，一般都可用因式分解法来解，但对因式分解的要求较高，所以能把一个整式熟练地进行因式分解是解方程的关键。
由前所述，一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法，解方程时，应选择最简捷的解法，一般地，先考虑能否且直接开平方法或因式分解法，然后再用公式法和配方法来解。
例8、用适当的方法解下列方程。
（1）(3x－4) =(4x－3) （2）x 2－8x －609=0
2
（3）x -2(3+
2
2
5)x +4=0
（4）(k2－1)x 2－6(3k－1)x+72=0, （其中x 是未知数且k ≠±1） （1）解法一：且直接开平方法：3x －4=±(4x－3)
3x －4=4x－3或3x －4=－(4x－3), ∴x 1=－1, x 2=1
解法二：用因式分解法：(3x－4) 2－(4x－3) 2=0 [(3x－4)+(4x－3)][(3x－4) －(4x－3)]=0, ∴x 1=1, x2=－1
说明：本题显然具备用直接开平方的条件，移项后能用平方差公式，所以用直接开平方法和因式分解法。
（2）解法一：x 2－8x=609, x －8x+16=609+16 (x－4) 2=625, x－4=±25,
∴x 1=29, x 2=－21
解法二：∵x －8x －609=0 ∴(x－29)(x+21)=0, ∴x 1=29, x 2=－21
说明：初看起来，解法二较简捷，但问题是如何迅速确定－609=(－29) ×(21)，这并非易事！而解法一虽然步骤略繁，但解起来却较轻松。这种二次项系数、一次项系数简单，常数项较复杂的一元二次方程最简易的解法是配方法。 （3）解：(x-23)(x-25) =0 x
1
2
=23 x
2
=25
（4）解法一：[(k+1)x－12][(k－1)x －6]=0 (k+1)x－12=0或(k－1)x －6=0
∵k ≠±1, ∴k+1≠0, k－1≠0 ∴x 1=12 x 2=
k +1
2
6 k -1
解法二：a=k－1 b=－6(3k－1) c=72
b 2－4ac=[－6(3k－1)] 2－4×72×(k2－1)=36[(3k－1) 2－8(k2－1)] =36(k2－6k+9)=36(k－3) 2 ∴x =
6(3k-1) ±
2(k
2
36(k-3) -1)
6 k -1
2
=
3(3k-1) ±3(k-3)
k -1
2
∴x 1=12 x 2=
k +1
说明：第（3）、（4）题再次说明因式分解的熟练程度对解一元二次方程是何等的重要！ 例9、解下列各题：
（1）已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x 2－5x+3=0的根，求这个三角形的周长。
（2）方程(1999x)2－1998×2000x －1=0的较大根为S ，方程x 2+1998x－1999=0的较小根为r ，求S －r 的值。
解：（1）2x －5x+3=0，x 1=3, x 2=1 ; 由于三角形两边长分别是1和2，所以第三边长大于1且小
2
2
于3，于是第三边长等于3，因此周长=1+2+3=9。
2
2
2
（2）(1999x)－1998×2000x －1=0， 1999x －(1999－1)(1999+1)x－1=0
19992x 2－(19992－1)x －1=0, (19992x+1)(x－1)=0 ∴x 1=-
1
2
222
1999
由题意知S=1, r=－1999 ∴S －r=2000
, x 2=1 x 2+1998x－1999=0的两个根x 3=－1999, x 4=1
【能力训练】
1、选择题：
（1）下列方程中是一元二次方程的是：（ ） A 、x -2x+y=5 B、x -
2
2
2x -1
=3 C 、x +2=3x D 、
2
x +12
2
=
x 3
（2）如果关于x 的方程(m－2)x 2+(m－3)x+1=0是一元二次方程，则m 的值应为：（ ） A 、2 B 、不等于2 C、3 D 、不等于3
（3）x
=-
12
和x=1是方程（ ）的解：
A 、2x 2+x－1=0 B 、2x 2+x+1=0 C 、2x 2－x+1=0 D 、2x 2－x －1=0 （4）已知关于x 的方程3x 2－5x+m=0的一个根是，则m 与另一个根分别是：（ ）
31
A 、
43
， B、-
3
443
C 、
43
，4 D 、-
43
，－4
2、填空题：
（1）方程(x-2)(x+2)+7=(2x-1)(x-3)的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。
（2）方程2x =3x的根是 。 （3）方程(5x－4) =0的根是 ______________。
（4）如果方程x 2+mx+1=0的一个根是2+3，则m= ______，另一个根是 _________。 （5）如果关于x 的一元二次方程mx 2+m(m-1)x-2=0不含一次项，则m = 。 （6）把2x 2－4x －5化成a(x+h)2+k的形式，则2x 2－4x －5= _______。 3、用直接开平方法解方程： （1）
12(3x -1)
2
2
2
=8 （2）（x-2）=(2x+3)
2 2
4、用配方法解方程：
（1）x 2-8x-2=0 （2）2x 2-6x+3=0 5、用公式法解方程：
（1）5x -7x+1=0 （2）x 2-(1+23) x +
2
3-3=0
6、用因式分解法解方程：
（1）(3x-1)(x+2)=3(x+2) （2）x 2-(3+7、用适当的方法解关于x 的方程：
22
（1）9(2x+3) =4(2x-5) （2）x 2-6x-1216=0
（3）(a-b )x-4abx=a-b (a≠±b) （4）5(x+1)(x-1)-10(x-1)=1
8、求证：不论m 是什么实数时，关于x 的方程(m2+2m+5)x2+(m-1)x-3=0一定是一元二次方程。 9、已知c 为实数，并且x 2-3x+c=0的一个解的相反数是x 2+3x-c=0的一个解。求x 2-3x+c=0的解。 10、已知：x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根。设s 1 =x1+x2 ,s 2 =x12+x22 ,s 3 =x13+x23 , 运用根的定义证明：as 3+bs2+cs1=0。
2
2
2
2
5) x +=0
【能力训练答案】
1、选择题：
（1）D （2）B （3）D （4）C
2、填空题：
（1）1，-7x ，0； （2）x 1=0, x2=（4）-4，2-
32
45
； （3）x 1=x2=；
3； （5）1； （6）2(x-1)2-7
3、用直接开平方法解方程： （1）x 1=
53
, x 2=-1； （2）x 1=-5, x 2=-
13
4、用配方法解方程：
（1）x 1=4+32, x 2=4-32； （2）x 1=5、用公式法解方程： （1）x 1=
7+1029
, x 2=
7-1029
3+23, x 2=
3-23
； （2）x 1=3+3, x 2=-2+
3
6、用因式分解法解方程： （1）x 1=-2, x 2=
43
； （2）x 1=3, x 2=
5
7、用适当方法解方程： （1）x 1=-9
12, x 2=
110
； （2）x 1=38, x2=32；
5+55
5-55
（3）x 1=
a +b b -a
2
, x 2=
a -b a +b
2
； （4）x 1=, x 2=
8、证明：∵ m2 +2m+5 =(m+1)2 +4≠0
∴（m +2m+5）x +(m-1)x-3=0一定是关于x 的一元二次方程。 9、解：设x 2-3x+c =0的一个解是m ，则-m 是方程x 2+3x-c=0的一个解，即 2-3m+c =0 ① ①-②得2c =0,c =0.
2+3(-m)-c =0 ② 当c =0时，方程为x 2-3x=0，它的解是x 1=0,x2=3. 10、证明：∵ x 1是方程ax 2+bx+c=0的一个根。 ∴ ax 12 +bx1+c =0
∴ ax 13 +bx12 +cx1=0 ①
32
同理，ax 2 +bx2+cx2 =0 ② ① + ②，得：
a( x1 +x2)+b( x1+x2)c+( x1+x2 )=0 即as 3+bs2+cs1=0
3
3
2
2
初三数学一元二次方程同步辅导
【教学内容】
1、一元二次方程（§12.1 P4~6） 2、一元二次方程的解法（§12.2 P7~29）
【教学目标】
1、理解一元二次方程的含义，会把一元二次方程化成一般形式 2、掌握一元二次方程的四种解法及每种解法的题型特征及适用范围
3、对特定的一元二次方程，能灵活运用并迅速确定其简捷解法，提高求方程根
的正确率。
【知识讲解】
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。即一个一元二次方程必须满足以下三个条件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0(a≠0) ，任何一个一元二次方程都可以化为一般形式，其中ax 称为二次项，a 称为二次项系数，bx 称为一次项，b 称为一次项系数，c 称为常数项。 例1、判定下列方程是不是一元二次方程
（1）3x －4x －1=0 （2）
2
2
2x +1
2
=x
（3）x 2－3y+1=0 （4）(x－1)(x2+x+1)=(x2－x+1)(x－1)
（5）(k－1)x +2kx－3=0 解：（1）3x 2－4x －1=0满足一元二次方程定义的三个条件，所以它是一元二次方程。
（2）因为
2x +1
2
2
是分式，所以它不是一元二次方程
（3）由于方程中含有两个未知数x, y所以它也不是一元二次方程
（4）(x－1)(x2+x+1)=(x2－x+1)(x－1) ，整理后得x 2－x=0，所以，它是一元二次方程。 （5）当k －1≠0，即k ≠1时，(k－1)x 2+2kx－3=0是一元二次方程；当k －1=0，即k=1时，它不是一元二次方程。
说明：①由第（3）题可知，一个整式方程是否为一元二次方程，不能仅仅看形式，应化成一般形式（按字母进行降幂排列后）才能确定。
②第（5）题中，由于二次项系数是k －1，所以不能确定其是否不等于零，所以应分类说明，但象(k2+1)x2+2kx－3=0，一定是关于x 的一元二次方程。想一想，为什么？
例2、化下列方程为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项。 （1）(2x－1) 2+(5x+4)[3(x－1) －4]=x(x+1) （2）(x2－8x)m=x2－3x －15m (m≠1)
解：（1）展开后得：4x 2－4x+1+(5x+4)(3x－7)=x2+x 即：4x －4x+1+15x+12x－35x －28=x+x 移项、合并同类项得：18x 2－28x －27=0
∴一般形式是：
18x 2－28x －27=0 其中二次项系数是18，一次项系数是－28，常数项为－27。 （2）mx 2－8mx=x2－3x －15m 移项，合并同类项得一般形式为：
(m－1)x 2－(8m－3)x+15m=0 (m≠1)
其中二次项系数是m －1，一次项系数是－(8m－3) ，常数项是15m 。
2
2
2
3、通过对方程两边直接开平方来解方程的方法，叫做直接开平方法，对于形如(ax+b)=m (m≥0) 型的方程都可用直接开平方法来解。
例3、用直接开平方法解下列一元二次方程
222
（1）4(2x－3) =25 （2）(x+2)=(2x－3) （3）(x－2m) 2=4m2－4mn+n2 (x为未知数) （4）(3x－1) 2=－5 解：（1）(2x－3) 2=25 2x －3=±5 即2x －3=5或2x －3=－5
4
2
2
2
2
∴x 1=11, x2=1
4
4
（2）x+2=±(2x－3) 即x+2=2x－3 或x+2=－(2x－3)
∴x 1=-5, x2=1
3
（3）(x－2m) =(2m－n) x－2m=±(2m－n)
即x －2m=2m－n 或x －2m=－(2m－n)
∴x 1=4m－n x2=n
（4）因为－5
说明：①由第（2）题可见，凡是能化为(ax+b)=(cx+d)型的一元二次方程都可用直接开平方法来解。
②由第（4）题可知，“解方程”有两层含义，即求方程的解或确定方程无解的过程。 4、配方法既是解一元二次方程的方法之一，又是进行代数变形的一种重要的方法。而用配方法解方程的一般步骤如下：
（1）用二次项的系数去除方程的两边，把方程的二次项系数化为1； （2）移项，方程的常数项移到方程的右边； （3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式。 ．．．．．．．．．． （4）把方程化成(x+m)2=n的形式，然后用直接开平方法求解。 例4、用配方法解下列方程。
（1）2x
2
2
2
22
-2x -1=0 （2）x -2mx -3=0
2
2
解：（1）方程两边都除以2，得x -加上(-
22
) ， 4
2
22112
，在方程两边都x -=0，移项得x -x =
2222
配方得x -
x -
2
=±4
222222215x +(-) =+(-) , (x-) = 242448
2
或x - =-44
, ∴x 1=4
+4
2, x2=
2- 4
2
, x- =44
（2）移项得：x 2－2mx=3，配方得x 2-2mx +(-∴x -m =±m +3, x=m ±
2
2
2m 22m 222
) =3+(-) (x－m) =m+3， 22
m +3 ∴x 1=m +m +3 , x 2=m -
2
m +3
2
说明：用配方法解方程要严格按照解题步骤进行，特别是配方这一步最为关键。
实际上，配方法除用于解一元二次方程外，还有许多其它的用途。 例5、解下列各题
（1）用配方法证明：－3m 2+2m－5的值恒小于零。
（2）已知a +b－6a+4b+13=0，求a 的值。 （1）证明： -3m
2
22b
+2m -5=-3(m
2
-
2
m) -5=-3[m39
2
-
21212
m +(-) -(-) -5 333
3
3
3
=-3[(m-1) 2-1]-5=-3(m-1) 2+1-5=-3(m-1) 2-14
3
3
∵ (m－1) ≥0 ∴－3 (m－1) ≤0 ∴－3 (m－1) －14
2
2
2
3333
即－3m +2m－5的值恒小于零
（2）a 2+b2－6a+4b+13=0 a2－6a+9+b2+4b+4=0
(a－3) +(b+2)=0 ∴a=3 b=－2 于是a =3=1
2
2
b
－2
2
9
5、一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0) 的根为x=
2
-b ±
b -4ac
(b2－4ac ≥0) 利用求根公式
2a
2
可解所有一元二次方程，它把根与一元二次方程的系数直接联系起来，所以公式必须记清楚，不能有任何混淆。
例6、用公式法解下列一元二次方程。
（1）3x －4x+1=0 （2）x =22x －2
2222
（3）x － (1+23) x+3+3=0 （4）2x + (3m－n)x －2m +3mn－n =0
2
2
解：（1）a=3, b=－4, c=1 b 2－4ac= (－4) 2－4×3×1=4>0
∴x=
4±42±1
= ∴x 1=1, x2=1 2⨯333
（2）原方程化为x 2－22x+2=0, a=1, b=－22, c=2 b2－4ac= (－22) 2－4×1×2=0 ∴x= ∴x 1=x2=2
（3）a=1, b=1+23, c=3+3,
22
b -4ac=(1+23) -4(3+3)=1+12+43-12-43=1，
22±0
=
2⨯1
2
∴x=
-(1+23) ±
2⨯1
=
-1-23±1
2
∴x 1=－3 x2=－1－3 （4）a=2, b= (3m－n) c=－2m 2+3mn－n 2
b 2－4ac= (3m－n) 2－4×2×(－2m 2+3mn－n 2)=25m2－30mn+9n2=(5m－3n) 2≥0 ∴x=
-3(m -n ) ±
(5m -3n )
2
2⨯2
=
-3m +n ±(5m -3n )
4
∴x 1=m -n x 2=n－2m
2
说明：对于系数较复杂的一元二次方程一般先求出b 2－4ac 的值，然后再代入求根公式中计算。 例7、用因式分解法解方程：
（1）4x (x－3) －3 (3－x)=0； （2）3 (2x－1) 2－2 (2x－1) －1=0
（3）x 2－2x －3x+6=0； （4）(a2－b 2)x 2－4abx=a2－b 2 (a≠±b) 解：（1）(x－3)(4x+3)=0, x－3=0或4x+3=0
∴x 1=3, x 2=－3
4
（2）[3(2x－1)+1][(2x－1) －1]=0 (6x－2)(2x－2)=0 ∴x 1=1, x2=1
3
（3）x 2-(2+
3)x +6=0, (x-2)(x-3) =0
∴x 1=2, x 2=3
（4）(a2－b 2)x 2－4abx －(a+b)(a－b)=0
(a+b)(a－b)x 2－4abx －(a+b)(a－b)=0 [(a+b)x+(a－b)][(a－b)x －(a+b)=0 ∴x 1=a -b , x 2=a +b
a +b
a -b
说明：①用因式分解法解的主要步骤是将方程右边等于零后，左边分解成两个一次因式的乘积，所以不一定要将一元二次方程化成一般形式，第（1）、（2）题都是这样。
②在解字母系数方程时，一般都可用因式分解法来解，但对因式分解的要求较高，所以能把一个整式熟练地进行因式分解是解方程的关键。
由前所述，一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法，解方程时，应选择最简捷的解法，一般地，先考虑能否且直接开平方法或因式分解法，然后再用公式法和配方法来解。
例8、用适当的方法解下列方程。
（1）(3x－4) =(4x－3) （2）x 2－8x －609=0
2
（3）x -2(3+
2
2
5)x +4=0
（4）(k2－1)x 2－6(3k－1)x+72=0, （其中x 是未知数且k ≠±1） （1）解法一：且直接开平方法：3x －4=±(4x－3)
3x －4=4x－3或3x －4=－(4x－3), ∴x 1=－1, x 2=1
解法二：用因式分解法：(3x－4) 2－(4x－3) 2=0 [(3x－4)+(4x－3)][(3x－4) －(4x－3)]=0, ∴x 1=1, x2=－1
说明：本题显然具备用直接开平方的条件，移项后能用平方差公式，所以用直接开平方法和因式分解法。
（2）解法一：x 2－8x=609, x －8x+16=609+16 (x－4) 2=625, x－4=±25,
∴x 1=29, x 2=－21
解法二：∵x －8x －609=0 ∴(x－29)(x+21)=0, ∴x 1=29, x 2=－21
说明：初看起来，解法二较简捷，但问题是如何迅速确定－609=(－29) ×(21)，这并非易事！而解法一虽然步骤略繁，但解起来却较轻松。这种二次项系数、一次项系数简单，常数项较复杂的一元二次方程最简易的解法是配方法。 （3）解：(x-23)(x-25) =0 x
1
2
=23 x
2
=25
（4）解法一：[(k+1)x－12][(k－1)x －6]=0 (k+1)x－12=0或(k－1)x －6=0
∵k ≠±1, ∴k+1≠0, k－1≠0 ∴x 1=12 x 2=
k +1
2
6 k -1
解法二：a=k－1 b=－6(3k－1) c=72
b 2－4ac=[－6(3k－1)] 2－4×72×(k2－1)=36[(3k－1) 2－8(k2－1)] =36(k2－6k+9)=36(k－3) 2 ∴x =
6(3k-1) ±
2(k
2
36(k-3) -1)
6 k -1
2
=
3(3k-1) ±3(k-3)
k -1
2
∴x 1=12 x 2=
k +1
说明：第（3）、（4）题再次说明因式分解的熟练程度对解一元二次方程是何等的重要！ 例9、解下列各题：
（1）已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x 2－5x+3=0的根，求这个三角形的周长。
（2）方程(1999x)2－1998×2000x －1=0的较大根为S ，方程x 2+1998x－1999=0的较小根为r ，求S －r 的值。
解：（1）2x －5x+3=0，x 1=3, x 2=1 ; 由于三角形两边长分别是1和2，所以第三边长大于1且小
2
2
于3，于是第三边长等于3，因此周长=1+2+3=9。
2
2
2
（2）(1999x)－1998×2000x －1=0， 1999x －(1999－1)(1999+1)x－1=0
19992x 2－(19992－1)x －1=0, (19992x+1)(x－1)=0 ∴x 1=-
1
2
222
1999
由题意知S=1, r=－1999 ∴S －r=2000
, x 2=1 x 2+1998x－1999=0的两个根x 3=－1999, x 4=1
【能力训练】
1、选择题：
（1）下列方程中是一元二次方程的是：（ ） A 、x -2x+y=5 B、x -
2
2
2x -1
=3 C 、x +2=3x D 、
2
x +12
2
=
x 3
（2）如果关于x 的方程(m－2)x 2+(m－3)x+1=0是一元二次方程，则m 的值应为：（ ） A 、2 B 、不等于2 C、3 D 、不等于3
（3）x
=-
12
和x=1是方程（ ）的解：
A 、2x 2+x－1=0 B 、2x 2+x+1=0 C 、2x 2－x+1=0 D 、2x 2－x －1=0 （4）已知关于x 的方程3x 2－5x+m=0的一个根是，则m 与另一个根分别是：（ ）
31
A 、
43
， B、-
3
443
C 、
43
，4 D 、-
43
，－4
2、填空题：
（1）方程(x-2)(x+2)+7=(2x-1)(x-3)的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。
（2）方程2x =3x的根是 。 （3）方程(5x－4) =0的根是 ______________。
（4）如果方程x 2+mx+1=0的一个根是2+3，则m= ______，另一个根是 _________。 （5）如果关于x 的一元二次方程mx 2+m(m-1)x-2=0不含一次项，则m = 。 （6）把2x 2－4x －5化成a(x+h)2+k的形式，则2x 2－4x －5= _______。 3、用直接开平方法解方程： （1）
12(3x -1)
2
2
2
=8 （2）（x-2）=(2x+3)
2 2
4、用配方法解方程：
（1）x 2-8x-2=0 （2）2x 2-6x+3=0 5、用公式法解方程：
（1）5x -7x+1=0 （2）x 2-(1+23) x +
2
3-3=0
6、用因式分解法解方程：
（1）(3x-1)(x+2)=3(x+2) （2）x 2-(3+7、用适当的方法解关于x 的方程：
22
（1）9(2x+3) =4(2x-5) （2）x 2-6x-1216=0
（3）(a-b )x-4abx=a-b (a≠±b) （4）5(x+1)(x-1)-10(x-1)=1
8、求证：不论m 是什么实数时，关于x 的方程(m2+2m+5)x2+(m-1)x-3=0一定是一元二次方程。 9、已知c 为实数，并且x 2-3x+c=0的一个解的相反数是x 2+3x-c=0的一个解。求x 2-3x+c=0的解。 10、已知：x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根。设s 1 =x1+x2 ,s 2 =x12+x22 ,s 3 =x13+x23 , 运用根的定义证明：as 3+bs2+cs1=0。
2
2
2
2
5) x +=0
【能力训练答案】
1、选择题：
（1）D （2）B （3）D （4）C
2、填空题：
（1）1，-7x ，0； （2）x 1=0, x2=（4）-4，2-
32
45
； （3）x 1=x2=；
3； （5）1； （6）2(x-1)2-7
3、用直接开平方法解方程： （1）x 1=
53
, x 2=-1； （2）x 1=-5, x 2=-
13
4、用配方法解方程：
（1）x 1=4+32, x 2=4-32； （2）x 1=5、用公式法解方程： （1）x 1=
7+1029
, x 2=
7-1029
3+23, x 2=
3-23
； （2）x 1=3+3, x 2=-2+
3
6、用因式分解法解方程： （1）x 1=-2, x 2=
43
； （2）x 1=3, x 2=
5
7、用适当方法解方程： （1）x 1=-9
12, x 2=
110
； （2）x 1=38, x2=32；
5+55
5-55
（3）x 1=
a +b b -a
2
, x 2=
a -b a +b
2
； （4）x 1=, x 2=
8、证明：∵ m2 +2m+5 =(m+1)2 +4≠0
∴（m +2m+5）x +(m-1)x-3=0一定是关于x 的一元二次方程。 9、解：设x 2-3x+c =0的一个解是m ，则-m 是方程x 2+3x-c=0的一个解，即 2-3m+c =0 ① ①-②得2c =0,c =0.
2+3(-m)-c =0 ② 当c =0时，方程为x 2-3x=0，它的解是x 1=0,x2=3. 10、证明：∵ x 1是方程ax 2+bx+c=0的一个根。 ∴ ax 12 +bx1+c =0
∴ ax 13 +bx12 +cx1=0 ①
32
同理，ax 2 +bx2+cx2 =0 ② ① + ②，得：
a( x1 +x2)+b( x1+x2)c+( x1+x2 )=0 即as 3+bs2+cs1=0
3
3
2
2