实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法
（一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题
特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题，
1. 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价
20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租
车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。
（2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。
3、 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。
（1）写出每月电话费（元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数）
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。
4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 ⑴ 写出方案一所获利润W 1；
⑵ 求出方案二所获利润W 2（元）与精加工蔬菜数x （吨）之间的函数关系式； ⑶ 你认为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？
1
y
（二）、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式； 特点：所给问题中已经明确告知为一次函数关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一．．．．
次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为：y=kx+b , 然后寻找满足关系式的两个x 与y 的值或两个图像上的点，代入求解即可。
1、 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.55~0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度
新增用电量y (亿度) 与(x – 0.4 )(元) 成反比例，又当x = 0.65时，y = 0.8。 (1)、求y 与x 之间的函数关系式；
(2)、若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[ 收益 = 用电量 × ( 实 际电价 – 成本价 )]
4、某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定， 则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （公斤）的一次函数，其 图象如图所示。求 (1)y与x 之间的函数关系式
⑵ 旅客最多可免费携带行李的公斤数。
5、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品. 经试验这种药品的效果得知：当成 人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小 时时血液中含药量为每毫升1.5微克. 每毫升血液中含药量y(微克) 随时间x(小时) 的变化如图所示.
在成人按规定剂量服药后：
(1)分别求出x≤1，x≥1时y 与x 之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
6、. 已知A 、B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即沿原路返回．下 图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图像。 （1）求甲车在行驶过程中y 与x 之间的函数关系式；（分段函数） （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇． 求乙车的速度.
2
行
李票费用（元）
行李重量（公斤）
（三）、利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；
特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间的关系，书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！
1. 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用．
单位：cm （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；
（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，
并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？
2. “一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震 灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三 种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要 装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据 表中提供的信息，解答下列问题：
图15
（1）设装运食品的车辆数为x ，装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有哪几种方案? （3）在（2）的条件下， 若要求总运费最少，应采用哪种安排方案? 并求出最少总运费．
3、 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三
种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果， 且必须装满，每种苹果不少于2车。 （1）设用x 辆车装运A 种苹果，用 据下表提供的信息求
（2）设此次外销活动的利润为W （百元），求W 与x 的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。
3
y 与x 之间的函数关系式，并求x 的取值范围；
y 辆车装运B 种苹果，根
（四）、根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。
特点：所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型，并说明理由或加以验证，此类问题应 “有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由，
常见题型：给问题多是表格形式出现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。
1. 某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关系如下表：
⑴、若y 与x 满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费y （元）与复印页数x （页）的函数关系为 ；
⑶、在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
（五）、交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
1、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB （1） 求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
2、 已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），
且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ； （1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （2） 计算四边形ABCD 的面积；
（3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。
3、 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴
于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6； （1） 求△COP 的面积； （2）
求点A 的坐标及p 的值；
（3） 若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。
4
实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法
（一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题
特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题，
1. 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价
20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租
车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。
（2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。
3、 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。
（1）写出每月电话费（元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数）
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。
4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 ⑴ 写出方案一所获利润W 1；
⑵ 求出方案二所获利润W 2（元）与精加工蔬菜数x （吨）之间的函数关系式； ⑶ 你认为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？
1
y
（二）、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式； 特点：所给问题中已经明确告知为一次函数关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一．．．．
次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为：y=kx+b , 然后寻找满足关系式的两个x 与y 的值或两个图像上的点，代入求解即可。
1、 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.55~0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度
新增用电量y (亿度) 与(x – 0.4 )(元) 成反比例，又当x = 0.65时，y = 0.8。 (1)、求y 与x 之间的函数关系式；
(2)、若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[ 收益 = 用电量 × ( 实 际电价 – 成本价 )]
4、某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定， 则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （公斤）的一次函数，其 图象如图所示。求 (1)y与x 之间的函数关系式
⑵ 旅客最多可免费携带行李的公斤数。
5、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品. 经试验这种药品的效果得知：当成 人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小 时时血液中含药量为每毫升1.5微克. 每毫升血液中含药量y(微克) 随时间x(小时) 的变化如图所示.
在成人按规定剂量服药后：
(1)分别求出x≤1，x≥1时y 与x 之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
6、. 已知A 、B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即沿原路返回．下 图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图像。 （1）求甲车在行驶过程中y 与x 之间的函数关系式；（分段函数） （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇． 求乙车的速度.
2
行
李票费用（元）
行李重量（公斤）
（三）、利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；
特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间的关系，书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！
1. 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用．
单位：cm （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；
（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，
并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？
2. “一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震 灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三 种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要 装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据 表中提供的信息，解答下列问题：
图15
（1）设装运食品的车辆数为x ，装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有哪几种方案? （3）在（2）的条件下， 若要求总运费最少，应采用哪种安排方案? 并求出最少总运费．
3、 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三
种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果， 且必须装满，每种苹果不少于2车。 （1）设用x 辆车装运A 种苹果，用 据下表提供的信息求
（2）设此次外销活动的利润为W （百元），求W 与x 的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。
3
y 与x 之间的函数关系式，并求x 的取值范围；
y 辆车装运B 种苹果，根
（四）、根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。
特点：所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型，并说明理由或加以验证，此类问题应 “有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由，
常见题型：给问题多是表格形式出现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。
1. 某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关系如下表：
⑴、若y 与x 满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费y （元）与复印页数x （页）的函数关系为 ；
⑶、在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
（五）、交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
1、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB （1） 求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
2、 已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），
且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ； （1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （2） 计算四边形ABCD 的面积；
（3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。
3、 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴
于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6； （1） 求△COP 的面积； （2）
求点A 的坐标及p 的值；
（3） 若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。
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