用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
a 2+b 2
(a 、b ∈R ) ，①a +b ≥2ab ⇔ab ≤当且仅当a = b 时，“=”号成立； 2
2
2
⎛a +b ⎫+
②a +b ≥2ab ⇔ab ≤ 当且仅当a = b时，“=”号成立； ⎪(a 、b ∈R ) ，
⎝2⎭
2
a 3+b 3+c 3
③a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤当且仅当a = b = c 时, “=”(a 、b 、c ∈R +) ，
3
号成立；
3
3
3
a +b +c ⎫+
④a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤⎛= b = c 时, “=” ⎪(a 、b 、c ∈R ) ,当且仅当a
3⎝⎭
3
3
号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：
2
+a b
a +b
≤≤≤2
a 2+b 2
。 2
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数y =x +解析：
y =x +
11x -1x -11
(x >1) =(x -1) ++1(x >1) =+++1(x >1) 222
2(x -1) 2(x -1) 222(x -
1)
1
(x >1) 的最小值。 2
2(x -1)
35x -11≥+1==(x >1) 即x =2时，，当且仅当“=”122222(x -1) 5
号成立，故此函数最小值是。
2
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
≥2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
π3
①y =x 2(3-2x )(0
22
解析：
33
① 00，∴y =x 2(3-2x )(0
22
x +x +(3-2x ) 3≤[]=1，当且仅当x =3-2x 即x =1时，“=”号成立，故此函数最大值
3
π
是1。② 00,cos x >0，则y >0，欲求y 的最大值，可先求
2
y 2的最大值。
1
y 2=sin 4x ⋅cos 2x =sin 2x ⋅sin 2x ⋅cos 2x =(sin2x ⋅sin 2x ⋅2cos 2x )
2
1sin 2x +sin 2x +2cos 2x 34π≤⋅() =, 当且仅当sin 2x =2cos 2x (0
x
即
22327
时，不等式中的“=
x =a r c t a 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
4
(0
b
解法一：（单调性法）由函数f (x ) =ax +(a 、b >0) 图象及性质知，当x ∈(0,1]时，
x
4
函数f (x ) =x +是减函数。
x
证明：
44
任取x 1, x 2∈(0,1]且0
x 1x 2
x -x x x -4
， =(x 1-x 2) +4⋅21=(x 1-x 2) ⋅12
x 1x 2x 1x 2
x x -4
∵0
x 1x 2
4
则f (x 1) -f (x 2) >0⇒f (x 1) >f (x 2) ，即f (x ) =x +在(0,1]上是减函数。
x
4
故当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小值5。
x
4
2+4，解法二：（配方法）因0
x +=易知当0
x 4μ>
0且单调递减，则f (x ) =2+4在(0,1]上也是减函数，即f (x ) =x +
x 4
在(0,1]上是减函数，当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小值5。
x
444
0, 1]时，f '(x ) =1-2
x x x
44
则函数f (x ) =x +在(0,1]上是减函数。故当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小
x x
值5。
1343
解法四：（拆分法）f (x ) =x +(0
) +≥=5，当且仅当x =1
x x x 1
时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
例3、若x 、y ∈R +，求f (x ) =x +
4、条件最值问题。
81
例4、已知正数x 、y 满足+=1，求x +2y 的最小值。
x y
解法一：（利用均值不等式）
⎧81
⎪x +y =181x 16y 即x +2y =(+)(x +2y ) =10+
+≥10+18, 当且仅当⎪⎨x y y x ⎪x =16y
⎪x ⎩y
x =12, y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）
x 81x
由，由y >0+=1得y =
x -8x -8x y x +2y =x +
又0>x 0>x ⇒则8>
2x 2(x -8) +161616
=x +=x +2+=(x -8) ++10≥10=18。当x -8x -8x -
8x -816
且仅当x -8=即x =12, 此时y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
x -8
解法三：（三角换元法） ⎧828⎧=sin x x =⎪x ⎪⎪sin 2x 令⎪则有⎨1⎨
12⎪=cos x ⎪y =
⎪⎪y cos 2x ⎩⎩
82
则x +2y =2+2=8csc 2x +2sec 2x =8(1+cot 2x ) +2(1+tan 2x ) =10+8cot 2x +
2tan 2x
sin x cos x
≥10+≥18，易求得x =12, 此时y =3时“=”号成立，故最小值是
18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误
81的求解方法：
x +2y =(+)(x +2y ) ≥8。原因就是等号成立的条件
x y 不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围。 解法一：
由x >0, y >0，则xy =x +
y +3⇒xy -3=x +y ≥
2-3≥
0解得
≤-1(舍) 3，当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。
x +y 2
) ⇒(x +y ) 2-4(x +y ) -12≥0⇒x +y ≤-2(舍) 或x +y ≥6，当且2
仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故x +y 的取值范围是[6,+∞)
解法二：
由x >0, y >0，xy =x +y +3⇒(x -1) y =x +3知x ≠1，
x +3x +3
>0⇒x >1，则： 则y =，由y >0⇒
x -1x -1
又x +y +3=xy ≤(
x +3x 2+3x (x -1) 2+5(x -1) +44
xy =x ⋅===(x -1) ++5≥5=9，当
x -1x -1x -
1x -14
(x >0) 即x =3，且仅当x -1=并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。
x -1
x +y =x +
x +3x -1+444当=x +=x ++1=(x -1) ++2≥2=6，
x -1x -1x -1x -1且仅当x -1=
4
(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 x -1
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数 分析：
3x 2+
y =3x 2+
16
2+x 2的最小值.
16
2+x 2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.
1
22
而2+x 可与x +2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即
y =3x 2+6+
16
-62+x 2，再用均值不等式.
解：x 2+2>0, y =3x 2+=3(x 2+2) +
16
-62+x 2
6162+x 2
≥
=6 当且仅当
3(x 2+2) =
162
x =2
2+
x 2，即时, 等号成立. 所以y 的
最小值是6.
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧; 为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）
例2 已知x >0, y >0，且满足3x +2y =12，求lg x +lg y 的最大值.
分析 lg x +lg y =lg(xy ) , xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x +y 是否定值，
而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为
3x ⋅2y
6，再用均值不等式.
解：x >0, y >0
3x ⋅2y 6
⎡1⎛3x +2y ⎫2⎤⎡1⎛12⎫2⎤≤lg ⎢ ⎪⎥=lg ⎢ ⎪⎥
⎢6⎝2⎭⎦⎥⎢6⎝2⎭⎦⎥⎣⎣lg x +lg y =lg(xy ) =lg
=lg 6
当且仅当3x =2y ，即x =2, y =3时，等号成立. 所以lg x +lg y 的最大值是
lg 6.
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利
⎛a +b ⎫ab ≤ ⎪
2⎝⎭来解决. 用
2
3、 裂项
例3 已知x >-1，求函数
y =
(x +5)(x +2)
x +1
的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出x +1，借助于裂项解决问题.
4⎡1⎤1⎡(x +1)+⎤(
x +)+⎣⎦⎣⎦解：x +1>0y , =
x +1
4=(x +1) ++5≥5
x +1 =9
当且仅当
x +1=
4
x +1，即x =1时，取等号. 所以y min =9.
4、 取倒数
(x +1) 21y =0
x (1-2x ) 的最小值. 2，求函数 例4 已知
分析 分母是x 与(1-2x ) 的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1+x ) (这是解本题时真正需要的). 于是通过取倒数即可解决问题. 解 由
0
1
2，得1+x >0，1-2x >0.
1x (1-2x ) 13x 1-2x ==⋅⋅2y (1+x ) 31+x 1+x
⎡3x 1-2x ⎤
+
1⎢⎥1≤⎢=⎥3⎢2⎥12
⎦ 取倒数，得 ⎣
2
13x 1-2x
x ==
当且仅当1+x 1+x ，即5时，取等号.
故y 的最小值是12. 5、 平方
y 2
2x +=
8x >0, y >03 例5 已知且求.
2
分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.
初看似乎无从下手，但若把所求式题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决
.
y 2
解：(=x (6+2y ) =3⋅2x (1+)
3
2
2
2
2
⎡2y 2⎤⎢2x +(1+) ⎥92≤3⎢⎥=3()
22⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2
2
3y 2x =
2x =(1+) y =
2，3，即时，等号成立. 当且仅当
故x
评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6
求函数
y =
的最大值.
分析
=t ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
=t t , ≥2t +1
当t =0时，y =0; 当t >0时，y =y =
t
2
x 0=, t 2-则2,
(t ≥0)
12t +
1t
≤
=
1当且仅当2t =，即t =.
t 3所以x =-时, 24
7、 逆用条件
19
+=1(x >0, y >0)
例7 已知x y , 则x +y 的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x +y 的最小值. 这时可逆用条件，即由可解决问题.
1=
1919
+x +y =(x +y )(+) x y ，得x y ，然后展开即
解：由x >0, y >0,
19+=1，得x y 19y 9x
x +y =(x +y )(+) =++10
x y x y
10=16y 9x =, 即x =4, y =12时，等号成立. x y
≥当且仅当
故x +y 的最小值是16.
19
+
评注 若已知x >0, y >0, x +y =1 (或其他定值) ，要求x y 的最大值，
则同样可运用此法. 8、 巧组合
例8 若a , b , c >
0且a (a +b +c ) +bc =4-求2a +b +c 的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用a +b ≥来解决. 换个思路，可考虑将2a +b +c 重新组合，变成(a +b ) +(a +c ) ，而
(a +b )(a +
c ) 等于定值4-
.
解：由a , b , c >0, 知2a +b +c =(a +b ) +(a +c ) ≥===2, 当且仅当b =c , 即b =c =1-a 时，等号成立. 故2a +b +c 的最小值为2.
9、 消元
y 2
例9、设x , y , z 为正实数，x -2y +3z =0，则xz 的最小值是. x +3z y 2y =
2，则可对xz 进 分析 本题也是三元式的最值问题. 由题意得
行消元，用x , z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
x +3z
可得, 2
2
y 2x +9z +2xz 6xz 6+xz 6=≥=3, xz 4xz 4xz
y
当且仅当x =3z , 即x =y , z =时，取“=”.
3
y 2
故的最小值为3. xz
解：由x , z >0y , =
练习： 1、试填写两个正整数，满足条件的和最小。 2、试分别求：y =
x -1
(x >1) ；
y =2
x -x +1
41
+＝1，且使这两个正整数[ ][ ]
3、求y =2log 2(x -2) -log 2(x -3) +1最小值。
用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
a 2+b 2
(a 、b ∈R ) ，①a +b ≥2ab ⇔ab ≤当且仅当a = b 时，“=”号成立； 2
2
2
⎛a +b ⎫+
②a +b ≥2ab ⇔ab ≤ 当且仅当a = b时，“=”号成立； ⎪(a 、b ∈R ) ，
⎝2⎭
2
a 3+b 3+c 3
③a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤当且仅当a = b = c 时, “=”(a 、b 、c ∈R +) ，
3
号成立；
3
3
3
a +b +c ⎫+
④a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤⎛= b = c 时, “=” ⎪(a 、b 、c ∈R ) ,当且仅当a
3⎝⎭
3
3
号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：
2
+a b
a +b
≤≤≤2
a 2+b 2
。 2
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数y =x +解析：
y =x +
11x -1x -11
(x >1) =(x -1) ++1(x >1) =+++1(x >1) 222
2(x -1) 2(x -1) 222(x -
1)
1
(x >1) 的最小值。 2
2(x -1)
35x -11≥+1==(x >1) 即x =2时，，当且仅当“=”122222(x -1) 5
号成立，故此函数最小值是。
2
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
≥2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
π3
①y =x 2(3-2x )(0
22
解析：
33
① 00，∴y =x 2(3-2x )(0
22
x +x +(3-2x ) 3≤[]=1，当且仅当x =3-2x 即x =1时，“=”号成立，故此函数最大值
3
π
是1。② 00,cos x >0，则y >0，欲求y 的最大值，可先求
2
y 2的最大值。
1
y 2=sin 4x ⋅cos 2x =sin 2x ⋅sin 2x ⋅cos 2x =(sin2x ⋅sin 2x ⋅2cos 2x )
2
1sin 2x +sin 2x +2cos 2x 34π≤⋅() =, 当且仅当sin 2x =2cos 2x (0
x
即
22327
时，不等式中的“=
x =a r c t a 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
4
(0
b
解法一：（单调性法）由函数f (x ) =ax +(a 、b >0) 图象及性质知，当x ∈(0,1]时，
x
4
函数f (x ) =x +是减函数。
x
证明：
44
任取x 1, x 2∈(0,1]且0
x 1x 2
x -x x x -4
， =(x 1-x 2) +4⋅21=(x 1-x 2) ⋅12
x 1x 2x 1x 2
x x -4
∵0
x 1x 2
4
则f (x 1) -f (x 2) >0⇒f (x 1) >f (x 2) ，即f (x ) =x +在(0,1]上是减函数。
x
4
故当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小值5。
x
4
2+4，解法二：（配方法）因0
x +=易知当0
x 4μ>
0且单调递减，则f (x ) =2+4在(0,1]上也是减函数，即f (x ) =x +
x 4
在(0,1]上是减函数，当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小值5。
x
444
0, 1]时，f '(x ) =1-2
x x x
44
则函数f (x ) =x +在(0,1]上是减函数。故当x =1时，f (x ) =x +在(0,1]上有最小
x x
值5。
1343
解法四：（拆分法）f (x ) =x +(0
) +≥=5，当且仅当x =1
x x x 1
时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
例3、若x 、y ∈R +，求f (x ) =x +
4、条件最值问题。
81
例4、已知正数x 、y 满足+=1，求x +2y 的最小值。
x y
解法一：（利用均值不等式）
⎧81
⎪x +y =181x 16y 即x +2y =(+)(x +2y ) =10+
+≥10+18, 当且仅当⎪⎨x y y x ⎪x =16y
⎪x ⎩y
x =12, y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）
x 81x
由，由y >0+=1得y =
x -8x -8x y x +2y =x +
又0>x 0>x ⇒则8>
2x 2(x -8) +161616
=x +=x +2+=(x -8) ++10≥10=18。当x -8x -8x -
8x -816
且仅当x -8=即x =12, 此时y =3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
x -8
解法三：（三角换元法） ⎧828⎧=sin x x =⎪x ⎪⎪sin 2x 令⎪则有⎨1⎨
12⎪=cos x ⎪y =
⎪⎪y cos 2x ⎩⎩
82
则x +2y =2+2=8csc 2x +2sec 2x =8(1+cot 2x ) +2(1+tan 2x ) =10+8cot 2x +
2tan 2x
sin x cos x
≥10+≥18，易求得x =12, 此时y =3时“=”号成立，故最小值是
18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误
81的求解方法：
x +2y =(+)(x +2y ) ≥8。原因就是等号成立的条件
x y 不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围。 解法一：
由x >0, y >0，则xy =x +
y +3⇒xy -3=x +y ≥
2-3≥
0解得
≤-1(舍) 3，当且仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。
x +y 2
) ⇒(x +y ) 2-4(x +y ) -12≥0⇒x +y ≤-2(舍) 或x +y ≥6，当且2
仅当x =y 且xy =x +y +3即x =y =3时取“=”号，故x +y 的取值范围是[6,+∞)
解法二：
由x >0, y >0，xy =x +y +3⇒(x -1) y =x +3知x ≠1，
x +3x +3
>0⇒x >1，则： 则y =，由y >0⇒
x -1x -1
又x +y +3=xy ≤(
x +3x 2+3x (x -1) 2+5(x -1) +44
xy =x ⋅===(x -1) ++5≥5=9，当
x -1x -1x -
1x -14
(x >0) 即x =3，且仅当x -1=并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。
x -1
x +y =x +
x +3x -1+444当=x +=x ++1=(x -1) ++2≥2=6，
x -1x -1x -1x -1且仅当x -1=
4
(x >0) 即x =3，并求得y =3时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,+∞) 。 x -1
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数 分析：
3x 2+
y =3x 2+
16
2+x 2的最小值.
16
2+x 2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.
1
22
而2+x 可与x +2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即
y =3x 2+6+
16
-62+x 2，再用均值不等式.
解：x 2+2>0, y =3x 2+=3(x 2+2) +
16
-62+x 2
6162+x 2
≥
=6 当且仅当
3(x 2+2) =
162
x =2
2+
x 2，即时, 等号成立. 所以y 的
最小值是6.
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧; 为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）
例2 已知x >0, y >0，且满足3x +2y =12，求lg x +lg y 的最大值.
分析 lg x +lg y =lg(xy ) , xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x +y 是否定值，
而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为
3x ⋅2y
6，再用均值不等式.
解：x >0, y >0
3x ⋅2y 6
⎡1⎛3x +2y ⎫2⎤⎡1⎛12⎫2⎤≤lg ⎢ ⎪⎥=lg ⎢ ⎪⎥
⎢6⎝2⎭⎦⎥⎢6⎝2⎭⎦⎥⎣⎣lg x +lg y =lg(xy ) =lg
=lg 6
当且仅当3x =2y ，即x =2, y =3时，等号成立. 所以lg x +lg y 的最大值是
lg 6.
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利
⎛a +b ⎫ab ≤ ⎪
2⎝⎭来解决. 用
2
3、 裂项
例3 已知x >-1，求函数
y =
(x +5)(x +2)
x +1
的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出x +1，借助于裂项解决问题.
4⎡1⎤1⎡(x +1)+⎤(
x +)+⎣⎦⎣⎦解：x +1>0y , =
x +1
4=(x +1) ++5≥5
x +1 =9
当且仅当
x +1=
4
x +1，即x =1时，取等号. 所以y min =9.
4、 取倒数
(x +1) 21y =0
x (1-2x ) 的最小值. 2，求函数 例4 已知
分析 分母是x 与(1-2x ) 的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1+x ) (这是解本题时真正需要的). 于是通过取倒数即可解决问题. 解 由
0
1
2，得1+x >0，1-2x >0.
1x (1-2x ) 13x 1-2x ==⋅⋅2y (1+x ) 31+x 1+x
⎡3x 1-2x ⎤
+
1⎢⎥1≤⎢=⎥3⎢2⎥12
⎦ 取倒数，得 ⎣
2
13x 1-2x
x ==
当且仅当1+x 1+x ，即5时，取等号.
故y 的最小值是12. 5、 平方
y 2
2x +=
8x >0, y >03 例5 已知且求.
2
分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.
初看似乎无从下手，但若把所求式题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决
.
y 2
解：(=x (6+2y ) =3⋅2x (1+)
3
2
2
2
2
⎡2y 2⎤⎢2x +(1+) ⎥92≤3⎢⎥=3()
22⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2
2
3y 2x =
2x =(1+) y =
2，3，即时，等号成立. 当且仅当
故x
评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6
求函数
y =
的最大值.
分析
=t ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
=t t , ≥2t +1
当t =0时，y =0; 当t >0时，y =y =
t
2
x 0=, t 2-则2,
(t ≥0)
12t +
1t
≤
=
1当且仅当2t =，即t =.
t 3所以x =-时, 24
7、 逆用条件
19
+=1(x >0, y >0)
例7 已知x y , 则x +y 的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x +y 的最小值. 这时可逆用条件，即由可解决问题.
1=
1919
+x +y =(x +y )(+) x y ，得x y ，然后展开即
解：由x >0, y >0,
19+=1，得x y 19y 9x
x +y =(x +y )(+) =++10
x y x y
10=16y 9x =, 即x =4, y =12时，等号成立. x y
≥当且仅当
故x +y 的最小值是16.
19
+
评注 若已知x >0, y >0, x +y =1 (或其他定值) ，要求x y 的最大值，
则同样可运用此法. 8、 巧组合
例8 若a , b , c >
0且a (a +b +c ) +bc =4-求2a +b +c 的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用a +b ≥来解决. 换个思路，可考虑将2a +b +c 重新组合，变成(a +b ) +(a +c ) ，而
(a +b )(a +
c ) 等于定值4-
.
解：由a , b , c >0, 知2a +b +c =(a +b ) +(a +c ) ≥===2, 当且仅当b =c , 即b =c =1-a 时，等号成立. 故2a +b +c 的最小值为2.
9、 消元
y 2
例9、设x , y , z 为正实数，x -2y +3z =0，则xz 的最小值是. x +3z y 2y =
2，则可对xz 进 分析 本题也是三元式的最值问题. 由题意得
行消元，用x , z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
x +3z
可得, 2
2
y 2x +9z +2xz 6xz 6+xz 6=≥=3, xz 4xz 4xz
y
当且仅当x =3z , 即x =y , z =时，取“=”.
3
y 2
故的最小值为3. xz
解：由x , z >0y , =
练习： 1、试填写两个正整数，满足条件的和最小。 2、试分别求：y =
x -1
(x >1) ；
y =2
x -x +1
41
+＝1，且使这两个正整数[ ][ ]
3、求y =2log 2(x -2) -log 2(x -3) +1最小值。