算法的时间复杂度（计算实例） 算法的时间复杂度（计算实例）
算法的时间复杂度 2007 年 12 月 02 日 星期日 01:17 定义：如果一个问题的规模是 n，解这一问题的某一算法所需要的时间为 T(n)，它是 n 的某一函数 T(n) 称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量 n 逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。 我们常用大 O 表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大 O 表示只是说有上界，由 定义如果 f(n)=O(n)，那显然成立 f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的 时候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样 的算法是最佳算法。 “大 O 记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为 n 的 函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过 logn 量级 的步骤去检索一个规模为 n 的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n 增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的 速度增长。 这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一 个低附加代价的 O(n2)算法在 n 较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当 然，随着 n 足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为 1，该程序段的执行时间是一个与问题规模 n 无关的常数。算法的时间复杂 度为常数阶，记作 T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模 n 的增加而增长，即使算法中有 上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是 O(1)。
O(n^2) 2.1. 交换 i 和 j 的内容 sum=0； for(i=1;i
for(j=1;j
2.2. for (i=1;i
{ y=y+1; x++; } 解： 语句 1 的频度是 n-1 语句 2 的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 该程序的时间复杂度 T(n)=O(n^2). ① ② for (j=0;j
O(n) 2.3. a=0; b=1; ① for (i=1;i
for(j=0;j
的时候,内层循环的次数为 k 当 i=m 时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共 进行了 0+1+...+m-1=(m-1)m/2 次所以,i 从 0 取到 n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6 所以时间复杂度为 O(n^3).
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期 望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即 O(n^2)情况)的概率 减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说 O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如 二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用 strcmp 比较两个具有 n 个字符的串需要 O(n)时间 。常规的 矩阵乘算法是 O(n^3)， 因为算出每个元素都需要将 n 对 元素相乘并加到一起， 所有元素的个数是 n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n 个元 素的集合共有 2n 个子集,所以要求出所 有子集的算法将是 O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非 n 的值非常小，因为，在 这个问题 中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到 目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替 代之。
算法的时间复杂度（计算实例） 算法的时间复杂度（计算实例）
算法的时间复杂度 2007 年 12 月 02 日 星期日 01:17 定义：如果一个问题的规模是 n，解这一问题的某一算法所需要的时间为 T(n)，它是 n 的某一函数 T(n) 称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量 n 逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。 我们常用大 O 表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大 O 表示只是说有上界，由 定义如果 f(n)=O(n)，那显然成立 f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的 时候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样 的算法是最佳算法。 “大 O 记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为 n 的 函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过 logn 量级 的步骤去检索一个规模为 n 的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n 增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的 速度增长。 这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一 个低附加代价的 O(n2)算法在 n 较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当 然，随着 n 足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为 1，该程序段的执行时间是一个与问题规模 n 无关的常数。算法的时间复杂 度为常数阶，记作 T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模 n 的增加而增长，即使算法中有 上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是 O(1)。
O(n^2) 2.1. 交换 i 和 j 的内容 sum=0； for(i=1;i
for(j=1;j
2.2. for (i=1;i
{ y=y+1; x++; } 解： 语句 1 的频度是 n-1 语句 2 的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 该程序的时间复杂度 T(n)=O(n^2). ① ② for (j=0;j
O(n) 2.3. a=0; b=1; ① for (i=1;i
for(j=0;j
的时候,内层循环的次数为 k 当 i=m 时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共 进行了 0+1+...+m-1=(m-1)m/2 次所以,i 从 0 取到 n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6 所以时间复杂度为 O(n^3).
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期 望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即 O(n^2)情况)的概率 减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说 O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如 二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用 strcmp 比较两个具有 n 个字符的串需要 O(n)时间 。常规的 矩阵乘算法是 O(n^3)， 因为算出每个元素都需要将 n 对 元素相乘并加到一起， 所有元素的个数是 n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n 个元 素的集合共有 2n 个子集,所以要求出所 有子集的算法将是 O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非 n 的值非常小，因为，在 这个问题 中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到 目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替 代之。