8. 1（3）定比、定比分点公式
一、教学内容分析
本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点. 它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 λ由实数推广到定比. 同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定PP 1=λPP 2中的
比分点的多元化表示方法.
本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用. 难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.
根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习. 即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究.
二、教学目标设计
1理解定比的概念，掌握定比分点公式；
2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法；
感悟定比分点的几种表达方式；
3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想.
三、教学重点及难点
定比的概念，定比分点公式的推导和应用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、 情景引入
观察思考，引入新课
问题1：设A (2, 1) ，B (-2, -1) ，C (4, 2) 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA
= λAC ，那么实数λ= .
而若 BC =λCA ，则λ= .
[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负.
P 的坐标吗？（引问题2：设P ，P 2(4,4), λ=1.当PP 1（1，1）1=λPP 2时，你能求出点
出课题）
[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐.
二、学习新课
1．定比分点公式
一般地，设点P 1（x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，点P 是直线 P 1P 2 上任意一点，且满足 PP 1=λPP 2，求点P 的坐标.
解：由PP 1=λPP 2 ，可知{x -x 1=λ(x 2-x ) y -y 1=λ(y 2-y ) ，因为λ≠-1， λx 2⎧x =x 1
1++λ⎨y =y 1+λy 2所以⎩1+λ ，这就是点P 的坐标.
师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.
[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段P 1P 2的定比分点公式.
2．小组交流
（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当λ=1时，点P 的坐标是什么？
（2）满足式子PP 1=λPP 2的点P 称为向量 PP 12的分点.
思考：上式中正确反映 P 1，P ，P 2 三点位置关系的是（ ）
A 、 始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始
（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是
1）点P 在线段P 1P 2中点时，λ=1;2）点P 在线段P 1P 2上时，λ≥0
3）点P 在线段P 1P 2外时，λ﹤0; 4）定比λ∈R
x 1+x 2⎧x =⎪2
=1 时有⎨y =y 1+y 2⎪⎩2[说明]由定比分点公式可知λ
此公式应用很广泛.
3．例题辨析 ，此公式叫做线段P 1P 2的中点公式.
例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （x 1, y 1) ， B (x 2, y 2) ， C (x 3, y 3) ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.
解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（x 1+x 2y 1+y 2, ）. 22
设点G 的坐标为(x , y ) ，且CG =2GD
x 2⎧x 3+2x 1+
⎪x =1+22⎨y +2y 1+y 2则由定比分点公式得 ⎪y =32
1+2⎩x 1+x 2+x 3⎧x =⎪3⎨，整理得 y =y 1+y 2+y ⎪3⎩
这就是△ABC 的重心G 的坐标.
[说明]本题难度不大，但综合性却比较强. 不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式. （2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.
λ的值. 例2、P 1(2, 5), P 2(-3, 0), P (12, 15) 且有PP 1=λPP 2求实数
λ .（-15）解1： 由已知可求 PP ， 1=(10,10)，λPP 2=λ(-15, -15) 故10=
2 . 3 P ，P 2三点共线，由定比分点公式 解2： 因为PP 1=λPP 2，所以P 1，所以定比λ=-
得12=
2PP 2λ解3：由图形可知点P 在线段P 外，故﹤0 ，又 = ， P 123P 1P
所以λ=-2+λ⨯(-3) 2 解出实数λ=- . 1+λ32 . 3
[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.
三、演练反馈，巩固知识
'1设PP 1=λPP 2 ，P 2P =λPP 1 ，则下列正确的是（ ）
11 （D ）λ=- λ'λ'
242、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-, ) ，求C 点的坐标. 33
3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标. （A ）λ=λ' （B ）λ=-λ' （C ） λ=
四、知识梳理，提升思维
1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示. （2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.
2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.
五、作业布置，课后探究
1、填空题
（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设AC =λ1CB
BA =λ2AC 则λ1∙λ2=（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 =3 ，则G 点坐标是
2、选择题
（1）若 P 1=-3PP 2，则下列各式中不正确的是（ ） 4
（A ） P 21=41P P =P 1 （B ）1233
（C ） P 1=-3P 1P 2 （D ）PP 2=4P 21
λ (2) 设点P 是PP 1=λPP 2，则实数12反向延长线上任意一点且PP
的范围是（ ）
（A ）（-∞，0） （B ）（—∞，-1） （C ）（-1，0） （D ）［-1，0)
3、解答题
（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.
1λ与y 的值. （2）已知设P ，P 2(-8,3) , P（，y ），若PP 1（3，2）1=λPP 2，求2
8. 1（3）定比、定比分点公式
一、教学内容分析
本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点. 它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 λ由实数推广到定比. 同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定PP 1=λPP 2中的
比分点的多元化表示方法.
本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用. 难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.
根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习. 即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究.
二、教学目标设计
1理解定比的概念，掌握定比分点公式；
2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法；
感悟定比分点的几种表达方式；
3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想.
三、教学重点及难点
定比的概念，定比分点公式的推导和应用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、 情景引入
观察思考，引入新课
问题1：设A (2, 1) ，B (-2, -1) ，C (4, 2) 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA
= λAC ，那么实数λ= .
而若 BC =λCA ，则λ= .
[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负.
P 的坐标吗？（引问题2：设P ，P 2(4,4), λ=1.当PP 1（1，1）1=λPP 2时，你能求出点
出课题）
[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐.
二、学习新课
1．定比分点公式
一般地，设点P 1（x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，点P 是直线 P 1P 2 上任意一点，且满足 PP 1=λPP 2，求点P 的坐标.
解：由PP 1=λPP 2 ，可知{x -x 1=λ(x 2-x ) y -y 1=λ(y 2-y ) ，因为λ≠-1， λx 2⎧x =x 1
1++λ⎨y =y 1+λy 2所以⎩1+λ ，这就是点P 的坐标.
师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.
[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段P 1P 2的定比分点公式.
2．小组交流
（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当λ=1时，点P 的坐标是什么？
（2）满足式子PP 1=λPP 2的点P 称为向量 PP 12的分点.
思考：上式中正确反映 P 1，P ，P 2 三点位置关系的是（ ）
A 、 始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始
（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是
1）点P 在线段P 1P 2中点时，λ=1;2）点P 在线段P 1P 2上时，λ≥0
3）点P 在线段P 1P 2外时，λ﹤0; 4）定比λ∈R
x 1+x 2⎧x =⎪2
=1 时有⎨y =y 1+y 2⎪⎩2[说明]由定比分点公式可知λ
此公式应用很广泛.
3．例题辨析 ，此公式叫做线段P 1P 2的中点公式.
例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （x 1, y 1) ， B (x 2, y 2) ， C (x 3, y 3) ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.
解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（x 1+x 2y 1+y 2, ）. 22
设点G 的坐标为(x , y ) ，且CG =2GD
x 2⎧x 3+2x 1+
⎪x =1+22⎨y +2y 1+y 2则由定比分点公式得 ⎪y =32
1+2⎩x 1+x 2+x 3⎧x =⎪3⎨，整理得 y =y 1+y 2+y ⎪3⎩
这就是△ABC 的重心G 的坐标.
[说明]本题难度不大，但综合性却比较强. 不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式. （2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.
λ的值. 例2、P 1(2, 5), P 2(-3, 0), P (12, 15) 且有PP 1=λPP 2求实数
λ .（-15）解1： 由已知可求 PP ， 1=(10,10)，λPP 2=λ(-15, -15) 故10=
2 . 3 P ，P 2三点共线，由定比分点公式 解2： 因为PP 1=λPP 2，所以P 1，所以定比λ=-
得12=
2PP 2λ解3：由图形可知点P 在线段P 外，故﹤0 ，又 = ， P 123P 1P
所以λ=-2+λ⨯(-3) 2 解出实数λ=- . 1+λ32 . 3
[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.
三、演练反馈，巩固知识
'1设PP 1=λPP 2 ，P 2P =λPP 1 ，则下列正确的是（ ）
11 （D ）λ=- λ'λ'
242、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-, ) ，求C 点的坐标. 33
3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标. （A ）λ=λ' （B ）λ=-λ' （C ） λ=
四、知识梳理，提升思维
1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示. （2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.
2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.
五、作业布置，课后探究
1、填空题
（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设AC =λ1CB
BA =λ2AC 则λ1∙λ2=（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 =3 ，则G 点坐标是
2、选择题
（1）若 P 1=-3PP 2，则下列各式中不正确的是（ ） 4
（A ） P 21=41P P =P 1 （B ）1233
（C ） P 1=-3P 1P 2 （D ）PP 2=4P 21
λ (2) 设点P 是PP 1=λPP 2，则实数12反向延长线上任意一点且PP
的范围是（ ）
（A ）（-∞，0） （B ）（—∞，-1） （C ）（-1，0） （D ）［-1，0)
3、解答题
（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.
1λ与y 的值. （2）已知设P ，P 2(-8,3) , P（，y ），若PP 1（3，2）1=λPP 2，求2