2017联考数学公式
第一章 算数
第一节 实数
一、数的概念和性质
1、整数和自然数
整数Z ：... ，-2，-1，0，1，2，...
自然数N ：0，1，2，... 正整数 Z 整数零自然数N （最小的自然数为0）
负整数 Z
2、质数和合数
质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约束，那么这个正整数就叫做质数。100以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
合数：除了1和本身之外还有其他的约数的正整数叫做合数。
【重要结论】
（1）质数和合数都在正整数范围内，且有无数多个。
（2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即使唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。质数中只有一个偶数2，最小的质数为2，最小的合数为4。
（3）若质数p|a∙b ，则必有p|a或p|b。 例： 5|15×6
（4）若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p或b=p。 例：ab=7，则a=7或b=7
（5）1既不是质数也不是合数。
（6）如果两个质数的和或者差是奇数, 那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是
2。 例：质+质=奇 2+17=19 质×质=偶 2×3=6，2×5=10
（7）最小的合数是4。任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
3、奇数和偶数及运算性质
偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。0属于偶数。例：-2,0,2,4,6，...
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。例：-1,1,3,23，...
显然有：奇数：2n ±1
整数
偶数：2n
奇数偶数的运算性质
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，奇数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数， 奇数÷奇数=整数时奇数，偶数÷偶数=整数时奇偶不定，偶数÷奇数=整数时偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数.
4、分数与小数
分数：将单位1“”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
小数：实数的一种特殊的表现形式，多有分数都可以表示成小数。小数中的原点叫做小数点，他是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。
5、整除、倍数、约数
数的整除：当整数a 除以非零实数N ，商正好是整数而无余数，则称a 能被N 整除或N 能整除a. 记为N|a. 带余除法：若a 除b 的余数是r ，则有r 小于a.
带余除法化整除：a 除N 余r ，则有a 整除N-r.
倍数与最小公倍数：若a 能整除N ，则N 叫做a 的倍数. 若b 也能整除N ，则N 叫做a 与b 的公倍数. 公倍数有无穷-+
多个，其中最小的一个叫做最小公倍数，记为[a，b].
约数与最大公约数：若a 能整除M ，则a 叫做M 的约数. 若a 也能整除N ，则a 叫做M 与N 的公约数. 公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做最大公约数，记为（M ，N ）.
最小公倍数与最大公约数的求法：
（1）分解因数法：先把这几个数分解质因数，再把他们一切共有的质因数和其中几个数共有的质因数及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是他们的最小公倍数。例：求[12，18，20]，因为12=2×3,18=2×3,20=2222×5，所以[12，18，20]=22×32×5=180
求（12,18,20），因为12=2×3,18=2×3,20=2×5，所以（12,18,20）=2
口诀：最大公约数取小者，最小公倍数反取大。
例：2×3 →2×3×7 =504
84=23×7(72,84)=2×
（2）公式法：由于两个数的乘积等于这个两个数的最大公约数与最小公倍数的积（两个数的积=最大公约数×最小公倍数）。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求出这个最小公倍数与第三个自然数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。
例：求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=180
（3）多元短除法：两数同时相除质因数，然后得出余数。
[72,84]=2×2×3×6×7=504 （2×2×3，是侧面除数，6×7是两数余数 小学化商法）
(72,84)=2×2×3=12
口诀：最大公约数取侧部，最小公倍数取全部.
（4）辗转相除法：两数的最大公约数等于其中较小数与大数除以小数的余数的最大公约数，如此辗转相除，直到一数是另一数的倍数。
例：（72,84）=（72,12）=12 → [72,84]=[1**********] 84=504 12
口诀：大数用余留小数，直到出现倍数状
二、实数的分类
1. 实数包括有理数和无理数正整数正有理数有理数正分数有限小数，无限循环小数
负有理数负整数
实数负分数
正无理数无理数
负无理数
2. 按性质符号划分
正有理数正整数
正实数正分数
正无理数
实数负整数
负有理数
负实数负分数
负无理数
三、常见的整除特点
（1）能被2整除的数：偶数。
（2）能被3、9整除的数：每一位数字之和是3、9的倍数。
（3）能被4、25整除的数：末两位数是4、25的倍数。
（4）能被5整除的数：末位数是5的倍数。
（5）能被6整除的数：能被3整除的偶数。
（6）能被7、11、13整除的数：末三位与末三位以前的数字只差是7、11、13的倍数。
（7）能被8、125整除的数，末三位数是8、125的倍数。
（8）能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差事11的倍数。
（9）能被12整除的数同时满足能被3和4整除的条件。
（10）能被15整除的数同时满足能被3和5整除的条件。
四、化简求值的方法
（1）分数列项抵消法：1111=(-) n (n +k ) k n n +k
2244（2）连环平方差合项法：(a+b)(a +b )(a +b )...(a 2+b 2)
n n n n
=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)(a 4+b 4)...(2+2) (a -b ) =2n +1
a -b -2n +1
（3）阶乘列项抵消法：n -1n -111 ==-n A n n ! (n -1)! n !
1
+n +k =1(-n +n +k ) k （4）根式列项抵消法：
（5）
（6）111=2(-) 1+2+3+... +n n n +11111=[-] n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
(1-1111)(1-)(1-)...(1-) 223242n 2
（7） 11111111n +11n +1=[(1+)(1+)(1+)...(1+)][(1-)(1-)(1-)...(1-)]=∙=234n 234n 2n 2n
∙∙34-3125-1124=（8）0-9法（纯分数）：0. 34=，0. 125= 90990990
∙∙∙∙∙12334（9）补9法（混合分数）：0. 1=，0. 2=，0. 3=，0. 34= 99999∙
6整除，两个连续的数能被2整除，3个连续的数能被3整除，满足既能被2（10）k ∈z , (k -1) k (k +1), 能被3、
整除又能被3整除的连续的数能被6整除。连续K 个整数乘积能被K 整除。
（11）分数的定义：真分数：b b b ac +b c a ac （b
a
既约分数：分子、分母互质， 最简分数：分子、分母互质，往往是真分数或代分数
10(1-10n -1) 10(10n -1-1) =（12）10+10+10+... +10=1-109 23n
第二节 绝对值
一、定义
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
【特征】绝对值只对负数起作用（变号），对正数和零无影响。
二、数学描述（a ≥0）
（a
三、绝对值的性质
对称性：|-a|=|a|即互为相反数的两个数的绝对值相等。
等价性：a 2=|a |,|a 2|=|a |2=a 2(a ∈R ) .
自比性：-|a |≤a ≤|a |,=|x |
x x >0 |x |
-1,x
非负性：即|a|≥0，任何实数a 的绝对值非负。具有非负性的数还有：偶数次方（根式）
推而广之，具有非负性的数还有正偶次方（根式），如a 2, a 4,..., a , a ,...
考点规则：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数因改为零；有限个非负数之和仍为非负数。
四、基本不等式
适合不等式|x|0）的所有实数所对应的就是全部与远点距离小于a 的点，即，|x|0）. 同理可得，|x|>a⇔xa（a>0）.
五、三角不等式
|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |.
左边边等号成立的条件：ab ≤0且|a |≥|b |;右边等号成立的条件：ab ≥0.
推而广之，同样有|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.
左边等号成立的条件：ab ≥0且|a |≥|b |;右边等式成立的条件：ab ≤0.
第三节 比和比例
一、比和比例
两个数相除，又称为这两个数的比。a 和b （b ≠0）的比记为a ：b 或
所得的商叫做比值，记作a ：b=a 。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，相除b a =k . 相等的比成为比例，记作a ：b=c：d ，其中a 和b 称为比例外项，b 和c 称为b
比例内项。
二、正比和反比
若y=kx（k 不为零），则称y 与x 成正比，k 称为比例系数。【注】并不是x 和y 同时增大或减小才称正比。比如当
k
x :y :z =a :b :c ⇒x y z == a b c
三、比例的基本性质
(1)a :b =c :d ⇔ad =bc (2)a :b =c :d ⇔b :a =d :c ⇔b :d =a :c ⇔d :b =c :a
四、比例定理
a c a b a c b d a c a +b c +d =⇔= （2）反比定理：=⇔= （3）合比定理：=⇔= b d c d b d a c b d b d
a c a -b c -d a c a +b c +d ==（4）分比定理：=⇔ （5）和分比定理：=⇔ b d b d b d a -b c -d
a c a c a +c （6）等比定理：=⇔==b d b d b +d （1）更比定理：
五、增减变化关系
若a a +m a a a +m a >1, 则. 反之，也成立。b b +m b b b +m b
第四节 平均值
-x 1+x 2+... +x n 1n
一、算术平均值：设n 个数x 1, x 2, x 3... x n ，那么x =叫做这n 个数的算术平均值，简记为x =∑x i 。n n i =1-根据定义可知，负数也存在算术平均值，0的算术平均值为0.
二、几何平均值：设n 个正数x 1, x 2, x 3... x n ，那么 x g =x 1x 2... x n 叫做这n 个正数的几何平均值，简记为x g =∏x
i =1n i ，根据定义可知，负数不存在几个平均值，0不存在几何平均值。
三、均值不等式：当x 1, x 2, x 3,..., x n 为n 个正整数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
x 1+x 2+... +x n ≥x 1x 2... x n 即（x i >0，i =1, 2,..., n ），当且仅当x 1=x 2=x 3=... =x n 时，等号成立，特别的，n
a +b ≥ab 。 2
当n 等于2时，正数x 1，x 2的几何平均值x 1x 2称为x 1，x 2的比例中项。a +b ≥2ab (a , b >0).
a +1≥2(a >0), 即对于正数而言，互为倒数的两个小数之和不小于2，且当a =1时取得最小值2. a
第二章 应用题
第一节 等量关系
一、利润问题
1. 利润=售价-进价： 利润率=利润售价（-1）×100%=×100% 进价进价
2. 售价=进价×（1+利润率）=进价+利润
二、比、百分比、比例问题
1. 变化率=变化量×100% 【注】变化率包括增长率和下降率两个。 原来量
2. 原值为a ，增长p%，则现值=a（1+p%）；原值为a ，下降p%，则现值=a（1-p%）。【注】一件商品先提价p%，再降价p%，或者先降价p%再提价p%，回不到原价，应该比原价小，因为：a （1-p%）（1+p%）
3. 恢复原值：原值先降p%，再增
p %p %才能恢复原值；或者先增p%，再降，才能恢复原值。 1-p %1+p %
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第一章 算数
第一节 实数
一、数的概念和性质
1、整数和自然数
整数Z ：... ，-2，-1，0，1，2，...
自然数N ：0，1，2，... 正整数 Z 整数零自然数N （最小的自然数为0）
负整数 Z
2、质数和合数
质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约束，那么这个正整数就叫做质数。100以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
合数：除了1和本身之外还有其他的约数的正整数叫做合数。
【重要结论】
（1）质数和合数都在正整数范围内，且有无数多个。
（2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即使唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。质数中只有一个偶数2，最小的质数为2，最小的合数为4。
（3）若质数p|a∙b ，则必有p|a或p|b。 例： 5|15×6
（4）若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p或b=p。 例：ab=7，则a=7或b=7
（5）1既不是质数也不是合数。
（6）如果两个质数的和或者差是奇数, 那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是
2。 例：质+质=奇 2+17=19 质×质=偶 2×3=6，2×5=10
（7）最小的合数是4。任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
3、奇数和偶数及运算性质
偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。0属于偶数。例：-2,0,2,4,6，...
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。例：-1,1,3,23，...
显然有：奇数：2n ±1
整数
偶数：2n
奇数偶数的运算性质
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，奇数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数， 奇数÷奇数=整数时奇数，偶数÷偶数=整数时奇偶不定，偶数÷奇数=整数时偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数.
4、分数与小数
分数：将单位1“”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
小数：实数的一种特殊的表现形式，多有分数都可以表示成小数。小数中的原点叫做小数点，他是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。
5、整除、倍数、约数
数的整除：当整数a 除以非零实数N ，商正好是整数而无余数，则称a 能被N 整除或N 能整除a. 记为N|a. 带余除法：若a 除b 的余数是r ，则有r 小于a.
带余除法化整除：a 除N 余r ，则有a 整除N-r.
倍数与最小公倍数：若a 能整除N ，则N 叫做a 的倍数. 若b 也能整除N ，则N 叫做a 与b 的公倍数. 公倍数有无穷-+
多个，其中最小的一个叫做最小公倍数，记为[a，b].
约数与最大公约数：若a 能整除M ，则a 叫做M 的约数. 若a 也能整除N ，则a 叫做M 与N 的公约数. 公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做最大公约数，记为（M ，N ）.
最小公倍数与最大公约数的求法：
（1）分解因数法：先把这几个数分解质因数，再把他们一切共有的质因数和其中几个数共有的质因数及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是他们的最小公倍数。例：求[12，18，20]，因为12=2×3,18=2×3,20=2222×5，所以[12，18，20]=22×32×5=180
求（12,18,20），因为12=2×3,18=2×3,20=2×5，所以（12,18,20）=2
口诀：最大公约数取小者，最小公倍数反取大。
例：2×3 →2×3×7 =504
84=23×7(72,84)=2×
（2）公式法：由于两个数的乘积等于这个两个数的最大公约数与最小公倍数的积（两个数的积=最大公约数×最小公倍数）。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求出这个最小公倍数与第三个自然数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。
例：求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=180
（3）多元短除法：两数同时相除质因数，然后得出余数。
[72,84]=2×2×3×6×7=504 （2×2×3，是侧面除数，6×7是两数余数 小学化商法）
(72,84)=2×2×3=12
口诀：最大公约数取侧部，最小公倍数取全部.
（4）辗转相除法：两数的最大公约数等于其中较小数与大数除以小数的余数的最大公约数，如此辗转相除，直到一数是另一数的倍数。
例：（72,84）=（72,12）=12 → [72,84]=[1**********] 84=504 12
口诀：大数用余留小数，直到出现倍数状
二、实数的分类
1. 实数包括有理数和无理数正整数正有理数有理数正分数有限小数，无限循环小数
负有理数负整数
实数负分数
正无理数无理数
负无理数
2. 按性质符号划分
正有理数正整数
正实数正分数
正无理数
实数负整数
负有理数
负实数负分数
负无理数
三、常见的整除特点
（1）能被2整除的数：偶数。
（2）能被3、9整除的数：每一位数字之和是3、9的倍数。
（3）能被4、25整除的数：末两位数是4、25的倍数。
（4）能被5整除的数：末位数是5的倍数。
（5）能被6整除的数：能被3整除的偶数。
（6）能被7、11、13整除的数：末三位与末三位以前的数字只差是7、11、13的倍数。
（7）能被8、125整除的数，末三位数是8、125的倍数。
（8）能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差事11的倍数。
（9）能被12整除的数同时满足能被3和4整除的条件。
（10）能被15整除的数同时满足能被3和5整除的条件。
四、化简求值的方法
（1）分数列项抵消法：1111=(-) n (n +k ) k n n +k
2244（2）连环平方差合项法：(a+b)(a +b )(a +b )...(a 2+b 2)
n n n n
=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)(a 4+b 4)...(2+2) (a -b ) =2n +1
a -b -2n +1
（3）阶乘列项抵消法：n -1n -111 ==-n A n n ! (n -1)! n !
1
+n +k =1(-n +n +k ) k （4）根式列项抵消法：
（5）
（6）111=2(-) 1+2+3+... +n n n +11111=[-] n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
(1-1111)(1-)(1-)...(1-) 223242n 2
（7） 11111111n +11n +1=[(1+)(1+)(1+)...(1+)][(1-)(1-)(1-)...(1-)]=∙=234n 234n 2n 2n
∙∙34-3125-1124=（8）0-9法（纯分数）：0. 34=，0. 125= 90990990
∙∙∙∙∙12334（9）补9法（混合分数）：0. 1=，0. 2=，0. 3=，0. 34= 99999∙
6整除，两个连续的数能被2整除，3个连续的数能被3整除，满足既能被2（10）k ∈z , (k -1) k (k +1), 能被3、
整除又能被3整除的连续的数能被6整除。连续K 个整数乘积能被K 整除。
（11）分数的定义：真分数：b b b ac +b c a ac （b
a
既约分数：分子、分母互质， 最简分数：分子、分母互质，往往是真分数或代分数
10(1-10n -1) 10(10n -1-1) =（12）10+10+10+... +10=1-109 23n
第二节 绝对值
一、定义
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
【特征】绝对值只对负数起作用（变号），对正数和零无影响。
二、数学描述（a ≥0）
（a
三、绝对值的性质
对称性：|-a|=|a|即互为相反数的两个数的绝对值相等。
等价性：a 2=|a |,|a 2|=|a |2=a 2(a ∈R ) .
自比性：-|a |≤a ≤|a |,=|x |
x x >0 |x |
-1,x
非负性：即|a|≥0，任何实数a 的绝对值非负。具有非负性的数还有：偶数次方（根式）
推而广之，具有非负性的数还有正偶次方（根式），如a 2, a 4,..., a , a ,...
考点规则：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数因改为零；有限个非负数之和仍为非负数。
四、基本不等式
适合不等式|x|0）的所有实数所对应的就是全部与远点距离小于a 的点，即，|x|0）. 同理可得，|x|>a⇔xa（a>0）.
五、三角不等式
|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |.
左边边等号成立的条件：ab ≤0且|a |≥|b |;右边等号成立的条件：ab ≥0.
推而广之，同样有|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.
左边等号成立的条件：ab ≥0且|a |≥|b |;右边等式成立的条件：ab ≤0.
第三节 比和比例
一、比和比例
两个数相除，又称为这两个数的比。a 和b （b ≠0）的比记为a ：b 或
所得的商叫做比值，记作a ：b=a 。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，相除b a =k . 相等的比成为比例，记作a ：b=c：d ，其中a 和b 称为比例外项，b 和c 称为b
比例内项。
二、正比和反比
若y=kx（k 不为零），则称y 与x 成正比，k 称为比例系数。【注】并不是x 和y 同时增大或减小才称正比。比如当
k
x :y :z =a :b :c ⇒x y z == a b c
三、比例的基本性质
(1)a :b =c :d ⇔ad =bc (2)a :b =c :d ⇔b :a =d :c ⇔b :d =a :c ⇔d :b =c :a
四、比例定理
a c a b a c b d a c a +b c +d =⇔= （2）反比定理：=⇔= （3）合比定理：=⇔= b d c d b d a c b d b d
a c a -b c -d a c a +b c +d ==（4）分比定理：=⇔ （5）和分比定理：=⇔ b d b d b d a -b c -d
a c a c a +c （6）等比定理：=⇔==b d b d b +d （1）更比定理：
五、增减变化关系
若a a +m a a a +m a >1, 则. 反之，也成立。b b +m b b b +m b
第四节 平均值
-x 1+x 2+... +x n 1n
一、算术平均值：设n 个数x 1, x 2, x 3... x n ，那么x =叫做这n 个数的算术平均值，简记为x =∑x i 。n n i =1-根据定义可知，负数也存在算术平均值，0的算术平均值为0.
二、几何平均值：设n 个正数x 1, x 2, x 3... x n ，那么 x g =x 1x 2... x n 叫做这n 个正数的几何平均值，简记为x g =∏x
i =1n i ，根据定义可知，负数不存在几个平均值，0不存在几何平均值。
三、均值不等式：当x 1, x 2, x 3,..., x n 为n 个正整数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
x 1+x 2+... +x n ≥x 1x 2... x n 即（x i >0，i =1, 2,..., n ），当且仅当x 1=x 2=x 3=... =x n 时，等号成立，特别的，n
a +b ≥ab 。 2
当n 等于2时，正数x 1，x 2的几何平均值x 1x 2称为x 1，x 2的比例中项。a +b ≥2ab (a , b >0).
a +1≥2(a >0), 即对于正数而言，互为倒数的两个小数之和不小于2，且当a =1时取得最小值2. a
第二章 应用题
第一节 等量关系
一、利润问题
1. 利润=售价-进价： 利润率=利润售价（-1）×100%=×100% 进价进价
2. 售价=进价×（1+利润率）=进价+利润
二、比、百分比、比例问题
1. 变化率=变化量×100% 【注】变化率包括增长率和下降率两个。 原来量
2. 原值为a ，增长p%，则现值=a（1+p%）；原值为a ，下降p%，则现值=a（1-p%）。【注】一件商品先提价p%，再降价p%，或者先降价p%再提价p%，回不到原价，应该比原价小，因为：a （1-p%）（1+p%）
3. 恢复原值：原值先降p%，再增
p %p %才能恢复原值；或者先增p%，再降，才能恢复原值。 1-p %1+p %