函数的图像 高考要求1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 知识点归纳1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
4．平移变换：（1）水平平移：函数y =f (x +a ) 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向左(a >0) 或向右(a
（2）竖直平移：函数y =f (x ) +a 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向上(a >0) 或向下(a
左移h 右移h
① y=f(x)→y=f(x+h); ② y=f(x) →y=f(x-h);
③y=f(x) →y=f(x)+h; ④y=f(x) →y=f(x)-h.
5．对称变换：（1）函数y =f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称即可得到；
（2）函数y =-f (x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于x 轴对称即可得到； 上移h 下移h
（3）函数y =-f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数y =f -1(x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称得到．
x 轴y 轴
①y=f(x) →y= -f(x); ②y=f(x) →y=f(-x);
直线x =a
③y=f(x) →y=f(2a-x); ④y=f(x) →y=f-1(x); 直线y =x
⑤y=f(x) →y= -f(-x).
6．翻折变换：（1）函数y =|f (x ) |的图像可以将函数y =f (x ) 的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y =f (x ) 的x 轴上方部分即可得到； 原点
（2）函数y =f (|x |)的图像可以将函数y =f (x ) 的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y =f (x ) 在y 轴右边部分即可得到．
7．伸缩变换：（1）函数y =af (x ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a >1) 或压缩（0
（2）函数y =f (ax ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a >1) 或压缩（0
①y=f(x)→y=f(x ⨯ωx
ω); ② y=f(x)→y=ωf(x). y ⨯ω
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
题型讲解1．作函数图象的一个基本方法
例1函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像如下图：则函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的图像可能是（ A ）
A B C D
解：∵函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的定义域是函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的定义域的交集(-∞,0) (0,+∞) ，图像不经过坐标原点，故可以排除C 、D 。
由于当x 为很小的正数时f (x ) >0且g (x )
∴选A.
例2 说明由函数y =2的图像经过怎样的图像变换得到函数y =2
解：方法一：
（1）将函数y =2的图像向右平移3个单位，得到函数y =2
（2）作出函数y =2
（3）把函数y =2
方法二： x -3x x -3x -x -3+1的图像． 的图像； -x -3的图像关于y 轴对称的图像，得到函数y =2-x -3的图像； -x -3的图像向上平移1个单位，得到函数y =2+1的图像．
（1）作出函数y =2x 的图像关于y 轴的对称图像，得到y =2-x 的图像；
（2）把函数y =2-x 的图像向左平移3个单位，得到y =2-x -3的图像；
（3）把函数y =2-x -3的图像向上平移1个单位，得到函数y =2-x -3+1的图像．
例3设曲线C 的方程是y =x 3-x ，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1，
（1）写出曲线C 1的方程；
（2）证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称； t s
22
t 2
（3）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明：s =-t ． 4
解：（1）曲线C 1的方程为y =(x -t ) 3-(x -t ) +s ；
（2）证明：在曲线C 上任意取一点B 1(x 1, y 1) ，设B 2(x 2, y 2) 是B 1关于点A 的对称点，则有x 1+x 2t y 1+y 2s =, =，∴x 1=t -x 2y , 1=s -y 22222代入曲线C 的方程，得x 2, y 2的方程：s -y 2=(t -x 2) 3-(t -x 2)
即y 2=(x 2-t ) -(x 2-t ) +s 可知点B 2(x 2, y 2) 在曲线C 1上．
反过来，同样证明，在曲线C 1上的点A 的对称点在曲线C 上．
因此，曲线C 与C 1关于点A 对称．
（3）证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点， 3
⎧y =x 3-x ⎪∴方程组⎨有且仅有一组解， 3⎪⎩y =(x -t ) -(x -t ) +s
消去y ，整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s ) =0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴∆=9t 4-12t (t 3-t -s ) =0，即得t (t 3-4t -4s ) =0，
t 3
因为t ≠0，所以s =-t ． 4
例4（1）试作出函数y =x +1的图像； x
（2）对每一个实数x ，三个数-x , x ,1-x 2中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？
解：（1）∵f (x ) =x +
时，f (x ) ≥2， 1，∴f (x ) 为奇函数，从而可以作出x >0时f (x ) 的图像，又∵x >0x
∴x =1时，f (x ) 的最小值为2，图像最低点为(1,2) ，
又∵f (x ) 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞) 上是增函数， 同时f (x ) =x +1>x (x >0) 即以y =x 为渐近线， x
于是x >0时，
函数的图像应为下图①，
f (x ) 图象为图②：
（2）y 是x 的函数, 作出g 1(x ) =x , g 2(x ) =-x , g 3(x ) =1-x 的图像可知，f (x ) 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,+∞) ；单调增区间为[-1,0),[1,+∞) ；单调减区间2
为(-∞, -1),[0,1)；当x =±1时，函数有最小值1；函数无最大值． 1．下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）
2．已知函数f(x)=(x-1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象只可能是(
3．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(b ) x
a 的图象只可能是
4．已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（ ）
5．函数y=1-x 2|的图象是（ ）
6．函数y=(3x-1)/(x+2)的图象 （ ）
)
A. 关于点(-2,3) 对称 B. 关于点(2,-3) 对称
C. 关于直线x= -2对称 D. 关于直线y= -3对称
7．若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（ ）
A.y= -f -1(x) B.y= -f -1(-x) C.y= -f(x) D.y= -f(-x)
8．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1) 与y= -f(1-x) 的图象关于（ ）对称
A. 直线x=0 B. 直线x=1 C. 点(0,0) D. 点(1,0)
9．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ） ．．．
A ．y=|log2x| B.y=2|x| C.y=log0.5x 2 D.y=|x-1/3|
10．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x) 的图象是 （ ）
11．下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；②若f(x)= -f(-x), 则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(-x) 则f(x)的图象关于y 轴对称；④y=f(x)的图象与y= -f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）
(A)②③ (B)②③④ (C)①②③ (D)全都是
12．把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为 ；
13．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3).
14．若函数y=log2|ax-1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为____
15. 函数y=f(|x-m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.
16. 将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_______.
17. 如下图所示，向高为H 的水瓶
A , B , C , D 同时以等速注
水，注满为止；
(A )
(B ) (C ) (D )
（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 ；
（2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 ；
（3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 ；
（4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 ．
(a ) (b ) (c ) (d ) 18．已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b 的取值范围
19. 说出作出函数y=log2(1-x) 的图象的过程。
20．方程|x2+2x-3|=a(x-2) 有四个实数根，求实数a 的取值范围。
参考答案： 是
1． D 2． C D 3． A 4． C 5． C 6． A 7．D 8． D 9． C
10． C 11． C
12．y=cos(2x-1/2). 设P 1(x1,y 1) 为原图象上的点, 通过变换后得到新图象上一点P(x,y)，则x=(x1+1/2)/2, ∴ x 1=2x-1/2, y1=y, 代入y 1=cosx1得到 y=cos(2x-1/2).
13． (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；
(2)y=1-1/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变化。
14． 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x-2) 。
17. （1） C ；（2） A ；（3） D ；（4）B ． 18． (-∞,0)
19. 先作y=log2x 关于y 轴对称的图象，再沿x 轴向右平移一个单位得到。
20． x 2+(2+a)x-2a -3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2
∴ -6+2
函数的图像 高考要求1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 知识点归纳1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
4．平移变换：（1）水平平移：函数y =f (x +a ) 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向左(a >0) 或向右(a
（2）竖直平移：函数y =f (x ) +a 的图像可以把函数y =f (x ) 的图像沿x 轴方向向上(a >0) 或向下(a
左移h 右移h
① y=f(x)→y=f(x+h); ② y=f(x) →y=f(x-h);
③y=f(x) →y=f(x)+h; ④y=f(x) →y=f(x)-h.
5．对称变换：（1）函数y =f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称即可得到；
（2）函数y =-f (x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于x 轴对称即可得到； 上移h 下移h
（3）函数y =-f (-x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数y =f -1(x ) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像关于直线y =x 对称得到．
x 轴y 轴
①y=f(x) →y= -f(x); ②y=f(x) →y=f(-x);
直线x =a
③y=f(x) →y=f(2a-x); ④y=f(x) →y=f-1(x); 直线y =x
⑤y=f(x) →y= -f(-x).
6．翻折变换：（1）函数y =|f (x ) |的图像可以将函数y =f (x ) 的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y =f (x ) 的x 轴上方部分即可得到； 原点
（2）函数y =f (|x |)的图像可以将函数y =f (x ) 的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y =f (x ) 在y 轴右边部分即可得到．
7．伸缩变换：（1）函数y =af (x ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a >1) 或压缩（0
（2）函数y =f (ax ) (a >0) 的图像可以将函数y =f (x ) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a >1) 或压缩（0
①y=f(x)→y=f(x ⨯ωx
ω); ② y=f(x)→y=ωf(x). y ⨯ω
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
题型讲解1．作函数图象的一个基本方法
例1函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像如下图：则函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的图像可能是（ A ）
A B C D
解：∵函数y =f (x ) ⋅g (x ) 的定义域是函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的定义域的交集(-∞,0) (0,+∞) ，图像不经过坐标原点，故可以排除C 、D 。
由于当x 为很小的正数时f (x ) >0且g (x )
∴选A.
例2 说明由函数y =2的图像经过怎样的图像变换得到函数y =2
解：方法一：
（1）将函数y =2的图像向右平移3个单位，得到函数y =2
（2）作出函数y =2
（3）把函数y =2
方法二： x -3x x -3x -x -3+1的图像． 的图像； -x -3的图像关于y 轴对称的图像，得到函数y =2-x -3的图像； -x -3的图像向上平移1个单位，得到函数y =2+1的图像．
（1）作出函数y =2x 的图像关于y 轴的对称图像，得到y =2-x 的图像；
（2）把函数y =2-x 的图像向左平移3个单位，得到y =2-x -3的图像；
（3）把函数y =2-x -3的图像向上平移1个单位，得到函数y =2-x -3+1的图像．
例3设曲线C 的方程是y =x 3-x ，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (t ≠0) 个单位长度后得到曲线C 1，
（1）写出曲线C 1的方程；
（2）证明曲线C 与C 1关于点A (, ) 对称； t s
22
t 2
（3）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明：s =-t ． 4
解：（1）曲线C 1的方程为y =(x -t ) 3-(x -t ) +s ；
（2）证明：在曲线C 上任意取一点B 1(x 1, y 1) ，设B 2(x 2, y 2) 是B 1关于点A 的对称点，则有x 1+x 2t y 1+y 2s =, =，∴x 1=t -x 2y , 1=s -y 22222代入曲线C 的方程，得x 2, y 2的方程：s -y 2=(t -x 2) 3-(t -x 2)
即y 2=(x 2-t ) -(x 2-t ) +s 可知点B 2(x 2, y 2) 在曲线C 1上．
反过来，同样证明，在曲线C 1上的点A 的对称点在曲线C 上．
因此，曲线C 与C 1关于点A 对称．
（3）证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点， 3
⎧y =x 3-x ⎪∴方程组⎨有且仅有一组解， 3⎪⎩y =(x -t ) -(x -t ) +s
消去y ，整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s ) =0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴∆=9t 4-12t (t 3-t -s ) =0，即得t (t 3-4t -4s ) =0，
t 3
因为t ≠0，所以s =-t ． 4
例4（1）试作出函数y =x +1的图像； x
（2）对每一个实数x ，三个数-x , x ,1-x 2中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？
解：（1）∵f (x ) =x +
时，f (x ) ≥2， 1，∴f (x ) 为奇函数，从而可以作出x >0时f (x ) 的图像，又∵x >0x
∴x =1时，f (x ) 的最小值为2，图像最低点为(1,2) ，
又∵f (x ) 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞) 上是增函数， 同时f (x ) =x +1>x (x >0) 即以y =x 为渐近线， x
于是x >0时，
函数的图像应为下图①，
f (x ) 图象为图②：
（2）y 是x 的函数, 作出g 1(x ) =x , g 2(x ) =-x , g 3(x ) =1-x 的图像可知，f (x ) 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,+∞) ；单调增区间为[-1,0),[1,+∞) ；单调减区间2
为(-∞, -1),[0,1)；当x =±1时，函数有最小值1；函数无最大值． 1．下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）
2．已知函数f(x)=(x-1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象只可能是(
3．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(b ) x
a 的图象只可能是
4．已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（ ）
5．函数y=1-x 2|的图象是（ ）
6．函数y=(3x-1)/(x+2)的图象 （ ）
)
A. 关于点(-2,3) 对称 B. 关于点(2,-3) 对称
C. 关于直线x= -2对称 D. 关于直线y= -3对称
7．若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（ ）
A.y= -f -1(x) B.y= -f -1(-x) C.y= -f(x) D.y= -f(-x)
8．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1) 与y= -f(1-x) 的图象关于（ ）对称
A. 直线x=0 B. 直线x=1 C. 点(0,0) D. 点(1,0)
9．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ） ．．．
A ．y=|log2x| B.y=2|x| C.y=log0.5x 2 D.y=|x-1/3|
10．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x) 的图象是 （ ）
11．下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；②若f(x)= -f(-x), 则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(-x) 则f(x)的图象关于y 轴对称；④y=f(x)的图象与y= -f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）
(A)②③ (B)②③④ (C)①②③ (D)全都是
12．把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为 ；
13．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3).
14．若函数y=log2|ax-1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为____
15. 函数y=f(|x-m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.
16. 将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_______.
17. 如下图所示，向高为H 的水瓶
A , B , C , D 同时以等速注
水，注满为止；
(A )
(B ) (C ) (D )
（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 ；
（2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 ；
（3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 ；
（4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 ．
(a ) (b ) (c ) (d ) 18．已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b 的取值范围
19. 说出作出函数y=log2(1-x) 的图象的过程。
20．方程|x2+2x-3|=a(x-2) 有四个实数根，求实数a 的取值范围。
参考答案： 是
1． D 2． C D 3． A 4． C 5． C 6． A 7．D 8． D 9． C
10． C 11． C
12．y=cos(2x-1/2). 设P 1(x1,y 1) 为原图象上的点, 通过变换后得到新图象上一点P(x,y)，则x=(x1+1/2)/2, ∴ x 1=2x-1/2, y1=y, 代入y 1=cosx1得到 y=cos(2x-1/2).
13． (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；
(2)y=1-1/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变化。
14． 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x-2) 。
17. （1） C ；（2） A ；（3） D ；（4）B ． 18． (-∞,0)
19. 先作y=log2x 关于y 轴对称的图象，再沿x 轴向右平移一个单位得到。
20． x 2+(2+a)x-2a -3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2
∴ -6+2