z 二阶线性齐次差分方程ax n +2+bx n +1+cx n =0的特征根法求解：
令形式解 x n =λn , 代入方程得特征方程: a λ+b λ+c =0, 根:
(1) (1) α, β为实根, 对应有解：x n =αn (2) 和 x n =βn 2;
(2) α, α为重根, 对应有解：x (1)
n =α 和x n (2)
n βn −αn (2) =lim =n αn −1 ，或者x n =n αn β→αβ−α
(3) λ=α±i β=r ⋅e ±i ϕ, x n =λn =e n ln λ=e n ⋅(ln r ±i ϕ)=e n ln r (cos n ϕ±i sin n ϕ),
(1) 对应有解：x n =e n ln r (2) cos n ϕ 和x n =e n ln r sin n ϕ.
(1) (2) (4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: x n =c 1x n +c 2x n
1. (98) 求差分方程2y n +1+10y n =5n 的一般解。 (y n =C (−5)+n 55) n −1272
解：齐次方程的通解为y n =C (−5)，设非齐次方程的特解为：~y n =an +b ，代入求a , b 。 n
n +1n +1⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎧x n +2=x n +1+x n 11+1−5⎟−⎜⎟⎥) ⎢⎜2. 斐波拉契数⎨( x n =⎜⎟⎜2⎟⎢⎝2⎠⎩x 0=x 1=1⎝⎠⎥⎣⎦
3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这n 个月内按复利计息，每月连本带息还x 元。
(1) 求x =f (A , n , r )的关系； (2) 记n 个月的平均利息v = 设第i 个月欠A i 元，则 n x −A v ，求lim . n →∞r n
⎧A i =A i −1(1+r )−x , ⎨⎩A 0=A
齐次方程的通解为A n =C (1+r ); n
非齐次方程的特解为A n =~x ； r
n 非齐次方程的通解为：A n =C (1+r )+x ; r
n 代入初始条件得非齐次方程的特解为n (1+r )−1A n =A (1+r )−x ; r
A n =0得x 值。。。。。
⎧x n +1+αx n =n +1n ⎞⎛1⎪⎟4. 己知差分方程⎨的解满是条件：lim ⎜1=2，求常数α=? 。 +α⎟n →+∞⎜x =x n ⎠⎝⎪0(1+α) 2⎩
(x n =
αn ) +21+α(1+α)
z 二阶线性齐次差分方程ax n +2+bx n +1+cx n =0的特征根法求解：
令形式解 x n =λn , 代入方程得特征方程: a λ+b λ+c =0, 根:
(1) (1) α, β为实根, 对应有解：x n =αn (2) 和 x n =βn 2;
(2) α, α为重根, 对应有解：x (1)
n =α 和x n (2)
n βn −αn (2) =lim =n αn −1 ，或者x n =n αn β→αβ−α
(3) λ=α±i β=r ⋅e ±i ϕ, x n =λn =e n ln λ=e n ⋅(ln r ±i ϕ)=e n ln r (cos n ϕ±i sin n ϕ),
(1) 对应有解：x n =e n ln r (2) cos n ϕ 和x n =e n ln r sin n ϕ.
(1) (2) (4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: x n =c 1x n +c 2x n
1. (98) 求差分方程2y n +1+10y n =5n 的一般解。 (y n =C (−5)+n 55) n −1272
解：齐次方程的通解为y n =C (−5)，设非齐次方程的特解为：~y n =an +b ，代入求a , b 。 n
n +1n +1⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎧x n +2=x n +1+x n 11+1−5⎟−⎜⎟⎥) ⎢⎜2. 斐波拉契数⎨( x n =⎜⎟⎜2⎟⎢⎝2⎠⎩x 0=x 1=1⎝⎠⎥⎣⎦
3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这n 个月内按复利计息，每月连本带息还x 元。
(1) 求x =f (A , n , r )的关系； (2) 记n 个月的平均利息v = 设第i 个月欠A i 元，则 n x −A v ，求lim . n →∞r n
⎧A i =A i −1(1+r )−x , ⎨⎩A 0=A
齐次方程的通解为A n =C (1+r ); n
非齐次方程的特解为A n =~x ； r
n 非齐次方程的通解为：A n =C (1+r )+x ; r
n 代入初始条件得非齐次方程的特解为n (1+r )−1A n =A (1+r )−x ; r
A n =0得x 值。。。。。
⎧x n +1+αx n =n +1n ⎞⎛1⎪⎟4. 己知差分方程⎨的解满是条件：lim ⎜1=2，求常数α=? 。 +α⎟n →+∞⎜x =x n ⎠⎝⎪0(1+α) 2⎩
(x n =
αn ) +21+α(1+α)