第３９卷第２期
２００
机械工程学报
ＣＨｒＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬＥＮＧｌＮＥＥＲＩＮＧ
Ｖｏｌ、３９Ｆｅｂ
Ｎｏ．２２００３
３年２月
四足机器人爬行步态的正运动学分析
陈学东郭鸿勋
（华中科技大学机械科学与工程学院武汉４３００７４）
渡边桂吾
（佐贺大学）
摘要：讨论了四足机器人ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ爬行步态的自然约束条件，推导了机器人冗余驱动变量和独立驱动变量之间的位置和速度关系，求解了机器人机体位置和速度的运动学正解。分析表明．只要机器人机体面保持与脚底接触面平行，机器人就能够实现在不平地面上的全方位爬行．而且该正运动学的求解需要解一个一元十六次高阶代数方程。逆运动学分析以及试验都验证了正运动学的求解结果。关键词：四足机器人正运动学约束条件中图分类号：ＴＰ２４
置，而蛾和ｙ。（ｆ＿ｌ，２，３，４）则表示连杆一线轮平面
０前言
作为一种步行机械，四足机器人不仅是多链结构而且具有时变的运动拓扑，此外还是冗余驱动系统，其运动学及动力学比起轮式移动机器人要复杂得多。Ｋｏｙａｃｈｉ等Ⅲ研究了单一腿臂结构的运动学。Ｌｅｅ等口】根据车／地面的运动关系以及简单的单腿运动学研究了一个多足步行车在不平区域的运动规划算法。Ｌｅｅ等日１介绍了步行机械的瞬时运动特征：Ｔｓａｉ等ｉ４１分析了一个行星齿轮传动的四足机器人逆运动学以及脚力的分布问题。但迄今为止仍然缺乏四足机器人爬行运动学的系统研究，特别是很少有将该机器人视为一整体运动链的正运动学研究成果发表。
正运动学分析是机器人设计以及精密步行控制所不可缺少的。类似于并联机器人【５．“，四足机器人的正运动学要比它的逆运动学复杂得多。参考文献【７】对四足机器人ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ整体系统爬行步态的逆运动学进行了研究，这里则进一步分析这种机器人爬行步态的正运动学问题。
机构的两个驱动关节位置，它们的容许范围是：６５０≤磊≤９０。，—６５。≤仍≤６５。以及０。≤ｙ，≤１４０“７１。图２中，口、ｂ、Ｃ和ｄ代表四根连杆的长度，三个正交矢量Ⅱ。、ｎ和’．，。构成腿根坐标系，其中Ｍ与破的轴线重合，“，位于连杆一线轮平面内并垂直于Ｍ。‘和ｈ。表示机器人腿在Ⅳ，和Ｈ方向上的伸展长度。机器人机体是一矩形平台并通过旋转关节与四条腿相连，矩形机体的两边长度为２ｍ和２ｎ。
圈１四足步行机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的结构示意图
１基本结构及自然约束
１．１基本结构
＾．
图１表示四足机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的结构简图，其腿的结构如图２所示，它是由连杆一线轮平面机构和旋转机构组合而成，其脚是直径为７０
ｎ＇ｌｒｆｌ
图２
ＴＩＴＡＮ—ＶＩｌｌ的腿结构示葸圈
的圆板。每条腿有三个由ＤＣ电动机驱动的主动关节，其中≯．（ｉ＝１，２，３，４）代表旋转机构的关节位
１－２自然约束
在图１中，Ｏｘｙｚ表示参考坐标系，而０。ｒ。）‘ｚ。是固定在机器人机体上的坐标系，且其原点位于机
＋国家８６３计划资助项目（２００１ＡＡ４２２３８０）。２００１１１１８收到初稿
２∞２０６３０收到修改稿
器人的几何中心。‘饥ｌ；【％舭＆。，】Ｔ表示机器人上Ａ。、‰ｌ＝［‰‰ｏ‰】７表示机器人上垦、而‰＝
万方数据
２００３年２月陈学东等：四足机器人爬行步态的正运动学分析
９
［‰饥％］１表示机器人中心在参考坐标系Ｏｘｙｚ中
的位置矢量。此外，Ｏｃｐ。＝ｆｑＸＢ＃０‘ｙｓ，ｏｃｚ。］１则表
示Ｂ，在∞∥而中的位置矢量，这是常矢量。如图
２所示，脚的支撑表面平行于参考坐标系Ｏｘｙｚ的捌平面。为方便起见，导入如下的设定：￡。和舅表示腿上两个从动（或自由）关节位置，谚服从右手法则；＿．代表矢量＇‘，，和叫平面的夹角。根据几何性质，得到如下的关节位置之间的关系
碾＝竹＋以＋ｑ
（１）
让曰尸【Ⅳ，Ｖｉ¨代表腿根坐标系相对于Ｏｘｙｚ的旋转
矩阵，这样腿根的位姿矩阵可表达成
ｋ伊引
㈤
从一。到占。作齐次变换得如下关系
％＝丌ｏｊ＂ｏｙＡｉ，ｏｚ』，江（刁只）丁（ｏ＇Ｏ，口）×
Ｒ（ｘ，｛）Ｒ（ｚ，一ｓ。）ｒ（０，ｂ，０）Ｒ（ｚ，一九）×
Ｔ（Ｏ，ｃ，ｏ）Ｒ（ｚ，一仍）ｒ（ｏ，ｄ，Ｏ）Ｒ（ｙ，一｛）
（３）
这里玎・）表示平动齐次变换，Ｒ（・，＋）则表示相对于轴“”旋转角度“・”的旋转齐次变换。由式ｆ３）
可得Ｒ。＝［Ｈ。ｖ。＇．，。】和‰的具体表达式。
当四足机器人在地上爬行时，它主要借助三条腿支撑并推动机体，・条腿向前摆动，有时它也使用四条腿支撑并推动机体向前，从运动学的观点看后者其实是前者的一种特例。因此这里讨论三条腿支撑于地面的情形。假设三条支撑腿分别表示为第ｒ、ｓ和ｔ腿，根据机器人的结构特征，它的自然约束方程可表示为
ｆ”，’’．’，＝’．，，‘＇－＇ｒ＝１
｛ｗ，‘Ⅳ。＝ｌ－，，‘Ｖ，＝０
（４）
Ｉ’．’，％：’Ｉ，，．叶：０
ｏ
一
０
一
ｏ
如‰ｂ
一
‰‰‰忙忙。护自如既
式中｜Ｈ｜——矢量长度
ｇ。岛函——机体尺寸常数
将Ｒ，＝［Ⅳ。ｖ。训和铷。代入式（４）和（５），由此可得
ｃｏｓｌ
ｒｃｏｓⅣｆｃｏｓ（Ｏ，一口ｒ）＋ｓｉｎｒ／ｒｓｉｎ，－／ｆ＝１
ｃｏｓ口，ｃｏｓｆｌ。ｃｏｓ（Ｏ，一口，）＋ｓｉｎｔ／，ｓｉｒｅ／，＝１ｃｏｓｆｌ，ｓｉｎ＿ｒｃｏｓ（０，一目ｒ）一ｓｉｎｇ，ｃ０８＿ｆ＝０ｃｏｓⅣ，ｓｉ狮。ｃｏｓ（８，一日，）一ｓｉｎｇ，ｃ０８ｑｆ＝０（６）
ｃｏｓｑ，ｓｉｎ（日，一口，）＝０ｃｏｓ＿，ｓｉｎ（Ｏ，一０。）＝０
万
方数据ｆ（。ｘ所一ｏ』ｍ）２＋（Ｏｙ肼～Ｏｙｍ）２＋（ｏｚ西一０Ｚ成）２＝ｇｌ｛（。ｘ出一０ｘ衙）２＋（Ｏｙ毋～Ｏｙ成）２＋（Ｄｚ西一ｏ：ｍ）２＝９２（７）ｌ（气册一ｏ‰）２＋（◆肿一Ｏｙ西）２＋（ｏｚ西一０Ｚ出）２＝９３
１．３约束分析
从式（６），可以发现只有当ｃｏｓｑ。；０，也即
７＂／。；Ⅱ／２时，任意的只都能够满足这些约束条件。目，＝－Ⅱ／２意味着所有站立脚平面平行于机器人机体
平面。由此可见，即使在不平的路面上只要机器人机体保持与支撑站立脚的那些表面平行，那么机器人就能够实现在路面上的全方位爬行。在这种情况下，机器人机体具有４自由度其中包括３平动自由度和一个绕坐标系Ｏｘｙｚ中ｚ轴转动的自由度。由此可见
ｏｘⅢＩ『。‰＋ｌｉｃｏｓ０，ｌｏＹｍｆ＝ｆｏ‰＋ｌｆｓｉｎ８。ｆ（８）
ｏｚⅢｌｏｚ』。＋ｈ。
（。ＸＢｒ－－ＯＸＢｔ）２＋（Ｏｙｍ—Ｏｙｍ）２＝９１
ｆｘｈ一０ｘＢＥ丫＋ｅｙｂ—ＯｙＢｔ丫＝９２
（。％，一ｏ‰）２＋（Ｏｙ＊一‰）２＝９３
（９）
ｏ
ｚ¨－ｏｚ＆＝ｏ。ＺＢｓ－－ＯｇＢｔ＝０
‘＝ｂｃｏｓ（妒，＋ｙｆ）＋ＣＣＯＳＰｆ＋ｄ
ｈ，＝ａ＋ｂ
ｓｉｎ（妒。＋ｙ。）＋ｃｓｉｎ・ｐ，
如图３，如果机器人机体绕：轴的转动角用口＝
Ⅶ
＝
疗２＜０
呵
目２”
＝
（１０）
办屯疵以
Ｉ蜒
｜Ｉ
０４＜０¨他ｈ铲ｐｋ吼噌咄ｑ以以
川蜘
０４＞０
图３旋转关节位置示意图
这里所讨论的正运动学求解是指：根据给定的
这里
来表示，则这个角度与关节位置氟和只的关系可以表示成
２正运动学求解
！！
坐塑三堡兰塑
篁！竺鲞墨！塑
独立驱动关节的位置和速度，求解机器人机体的位置和速度。机器人机体具有４运动自由度，因此只存在４个独立的驱动关节。这里只讨论根据三条站
兰罂竺鍪立董！差錾銎兰全墨妻蝥学粤篓篓篓塞７．限于篇幅，由机体运动关系求解另一条腿的计算过
程系逆运动学运算，这里就不赘述了。２．１求解约束方程
对于ｉ＝ｒ、ｓ、ｔ，将式（８）代入式（９），则有（ｏ』Ａｒ－ＯＸ』ｆ＋ｌ，ｃｏｓＯ，一，ｆｃｏｓｏｆ）２＋（Ｏｙａｒ
Ｏｙ』ｆ＋ｌ，ｓｉｎ０，一ｊｆｓｉｎｏｆ）２＝ｇｌ
（。ｚｍ—Ｘ』ｌ＋ｌ＋ｃｏｓＯ５一，ｒｃｏｓｏｆ）２十
（Ｏｙ＿Ｏｙｍ＋ｌ，ｓｉｎＯ，一ｆｒｓｉｎｏｆ）２＝９２（¨）
（ｏｘ加一ｏｘ』ｊ＋ｌ，ｃｏｓＯ，一ｌ￥ｃｏｓ０Ｊ）２＋
（ｏｙ＾，一Ｙｍ＋ｌ，ｓｉｎＯ，一ｌ，ｓｉｎＯ。）２＝９３
０２』ｒ＋＾，＝ｏ。ｍ＋ｈ，０２』５＋＾Ｊ＝ｏ。』ｒ＋ｈｆ
式（１１）显含驱动关节变量：仍和ｎ（ｉ＝，，ｓ，ｆ）。假定独立驱动关节是：以、以、＾和识，记为：
呜＝Ｄ．，ｙ，ｙ，吼］１。指定从属变量为：只、包、只、竹和吼，记为：吒＝妙，０。０。竹吼】１。注
意，已知舜，，经过简单的代数变换，很容易求得冗余关节变量。从式（１１）中的第４和第５个方程式可分别求得以和识，然后把它们代入该方程组中的其他方程，从而得到包含３个从属变量只、破以及砖的方程组，展开并整理它们得
。ｌｓｉｎＯｒｓｉｎＯ，＋ａ２ｃｏｓＯ，ｃｏｓＯｆ＋ａ３ｓｉｎＯ，＋
岛８ｉ峨８矾＋ｂ２。８护ｒ。ｏ氓＋岛８ｊ鸣＋
ａ４ｔＯＳＳ，＋ａ５ｓｉｎＯ，＋ａ６ＣＯＳＯ，．十ａ１＝０
㈦
、７
ｂ４ｃｏｓＯＩ＋ｂ５ｓｉｎＯｊ＋６６ｃｏｓ０。＋ｂ７＝０
ｄｌｓｉｎＯ，ｓｉｎ０。＋ｄ２ｃｏｓ０，ｃｏｓＯ，＋ｄ３ｓｉｎ０，＋
ｄ４ｃｏｓＯ，＋ｄ５ｓｉｎ０ｒ＋ｄ６ｃｏｓＯ，＋ｄ７＝０
式中
ａ，，ｂｊ，ｄｉ——对应的系数嘲
让ｆ．＝ｔａｎ（Ｏ＋／２）（ｉ＝，，Ｊ，ｆ），式０２）简化成
（Ｐｌｔ；＋ｅ２ｔ，＋Ｐ３）ｆ？＋（Ｐ４ｆ；＋ｅｄ，＋ｅ６）ｆｆ十
（Ｐ７ｔ；＋ｅｓｔ，＋岛）＝０
（／ｌ’；＋＾‘，＋厶）‘？＋（正‘；＋＾‘ｓ＋＾）‘ｒ＋（１３）
（ｆＴｔ：＋Ａ‘＋．，；）＝０
（七ｌｔ；＋ｋ２ｔ，＋七３）ｆ；＋（七４ｆ；＋ｋｓｔ，＋ｋ６）ｆ。十
（ｋ７ｆ；＋ｋｆ，＋ｋ９）＝０
式中ｅｉ，Ｚ，岛——对应的系数嘲
利用Ｂｅｚｏｕｔ方法【６】’可以从式（１３）中消去‘和ｔ，，所得到的方程只包含ｔ，，其结果如下（具体推导过程参见参考文献［６】）
万
方数据吼ｆ：６＋日２ｆ夕＋ｑ３ｔ）４＋９４ｆ，＋ｑｓｔ：２＋
ｇ。ｆ：１＋ｇ，，，＋ｑｓｔ？＋ｑｇｔ：＋
ｇｌｏｒ？＋吼．ｆ？＋吼２ｒ；＋９１３ｆ？＋
‰ｒ：＋ｑｌｓｔ２，＋‰‘＋¨：ｏ…＋…＋…
（１４）
、’
式中
ｑ，——对应的系数嘲
解这个方程可求得ｔ，，然后代回式（１３）求得‘和ｔ，，由此谚（ｉ＝ｒ，ｓ，ｔ）便可获得。
将式（１１）对时间求导数，可以得到独立变量和
从属变量之间的关系如下
一畹＝雪啦０５）
式中吒——从属变量的速度矢量
舞——独立变量的速度矢量
Ａ，Ｂ——系数矩阵（限于篇幅，这里不列出１由此可得
屯＝Ａ。四噍
（１６）
机器人机体的位姿能够表示成
疋＝降纠
∽，
耻ＣＯｉＯｔ－警ｓｉｎａ习∞，
＇。＝ｉｌ（＇肿＋＇西）
（１９）
‘
■ｍ＝＇。＋Ｒ。４Ｐｍ
（２０）
ａ＝ａｒｃｍｎ（ＯＣｘＢｔＴ—ｍＹＢｔ，．ｏｔｘＢｓ＋ｏｃｙ一、（２０ｆ＝（２ｆ，ｃｏｓ０ｒ—ｌ，ｃｏｓ０，一１．。ｅｏｓ０，＋２Ｏｘｘｔ－－０Ｘｍ一。ｘｍ）１２ｒ＝（２ｌ，ｓｉｎｏｆ—ｌ，．ｓｉｎＯｒ—ｌ，ｓｉｎＯ，＋２勺Ａｔ－－Ｏｙｄｒ－－Ｏｙ』，）／２式（１９）和（２１）对时间求导数，得如下联立方程Ｐ＝Ｃ西Ｉ＋Ｄ中Ｄ
（２２）
妒＝【０２ｃ嗲。ｏｊ。翻１＝【ｋ
Ｙｙ
Ｖ：∞］７，而ｃ和
２．２位置解
根据上节的约束分析，坐标系Ｏ，ｘｃｖｃｚ。相对于坐标
从约束方程的解可求得‰，，假设第ｒ腿和第Ｊ腿
为一组对角腿，则有
从关系式
可进一步得到
这里
２．３速度懈
组
０ｆ３０＇０－－ｉ
堕堂查笠！巴星垫壁△坚堑垄查塑垩堡塾兰坌堑
！！！！兰！旦旦一
Ｄ则是对应的系数矩阵（限于篇幅，不再列出）。把式（１６）代入式（２２），可得
妒＝Ｊ咖１（２３）ｔ，＝Ｃ＋ＤＡ一１Ｂ
（２４）
‘，是雅可比矩阵，这里定义为机器人独立驱动空间与机体工作空间的变换关系。
到目前为止，根据四足机器人的独立驱动参数能够计算机体的运动位置和速度。机器人四条腿轮番“抬起一摆动一放下”一次构成一个步态周期，应该指出的是，一个步态周期需要分成若干个阶段以对应于每条腿“抬起一摆动一放下”，在各阶段，相应的站立腿被分别视为第ｒ腿、第５腿和第ｔ腿。如此一来，这里介绍的计算方法就能够解决整个步行过程的运动学问题。
３数值计算及试验
机器人１ＴＩＡＮ＿．ｖⅢ的有关尺寸包括：ａ＝４３ｍｍ、
ｂ＝２００ｆｉｌｍ、ｃ＝１５５ｍｍ、ｄ－－４５ｌ／ｌｌｎ、ｍ＝１０ｌｉｎｌｎ、
ｎ＝２０１
ｌ＇ｎｍ。在某一阶段，机器人的第１条腿作为
摆动腿，而第２、第３和第４条腿是站立腿，这些站立腿的立足点位置为（１１１Ｉｎ）：Ａ，（７００，４００，０）、Ａ，（０，０，０）、Ａ。（７００，０，０），独立驱动关节的初始位置给定为（ｍｄ）：，２＝１，３５、儿＝１．２、，４＝１．２７、ｐ。＝Ｏ．０４，这些关节的驱动速度为（ｒａｄ／ｓ）：，２＝０．０７、岛＝０、，４＝０、礼＝０，这一阶段的持续时间为５
ｓ。
３．１计算结果
腿２、腿３和腿４分别表示第，、Ｊ、ｔ腿，由于式ｆ１４）是一个１６次高阶多项式方程，理论上应有１６个可能的解。在这个例子中，除虚解外只存在巩、０３和以的两组实解，其中一组有效，而另一组显示出关节位置超出了容许范围，从而该解无效。对于有效解，则进一步计算并获得了如图４所示的机器人机体运动位置和图５所示的速度。为了证明该方法的正确性，利用逆运动学方法反求机器人的关节参数．其结果是一致的。
ｌ
２
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ｌ
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０
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０．４０
位置Ｔ／ｍ
时问ｆ，ｓ
图４
ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ机体运动位置
万
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４ｈ制篙。气倒
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１［≤一０．Ｓ一Ｏ
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｛｝十材州葺副；悻材刊
Ｌ———一３
０＼＼
图５
ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ机体运动速度
３．２试验结果
将计算结果输入机器人控制系统，机器人的３条站立腿推动其机体运动，机体几何中心的实际轨迹如图４中虚线所示，这是由安装在机体上的笔直接记录下来的，机体的实际转角为１０．５。，这和计算结果也是吻合的。需要指出的是：图４中计算和试验结果的差异是由于在进行运动学计算时并没有考虑动力学的影响。
４结论
讨论了四足机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的自然约束条件，结果表明：只要机器人机体保持与它的脚支撑表面平行，那它就能够在不平的路面上全方位地爬行。推导了机器人独立驱动关节变量和从属关节变量、冗余驱动关节变量之间的位置和速度关系，求解已知独立驱动参数下的机器人机体运动位置和速度的正运动学问题。数值例子演示了这一方法过程以及它的理论可行性。此外，逆运动学分析以及试验都证明了该方法的正确性。
参考文献
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机械工程学报
ＫｅｉｇｏＷａｔａｎａｂｅ
第３９卷第２期
１２４～１３３５
ｌｎｎｏｃａｎｔｉＣＤｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｉｎａｎａｌｙｔｉｃａｌｆｏｒｍｏｆｔｈｅ６－４ｆｏｌｌｙ・ｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍＴｒａｎｓｏｆＡＳＭＥ，ＪｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｅｓｉｇｎ，１９９５，１１７（１）：８９～９５
（ＳａｇａＵｎｉｖｅｒｓ妙）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｎａｔｕｒａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｒｏｂｏｔ．ｃａｌｌｅｄＴＩＴＡＮ・ＶＩＩＩ．ａｒｃ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆ
ａ
ｑｕａｄｒｕｐｅｄ
ｖｅ—
６Ｎａｎｕａｏｆ
ａ
Ｐ，ＷａｌｄｒｏｎＫＪ・ＭｕｒｔｈｙＶＤｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ
ＩＥＥＥＴｒａｎｓ
ｏｎ
ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄ
ｓｔｅｗａｒｔｐｌａｔｆｏｒｍ
Ｒｏｂｏｔｉｃｓ
ａｎｄ
Ａｕｔｏ—
ｌｏｃ时ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ
ａｎｄｔｈｅｒｅｄｕｎｄａｎｔ
ｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｃｔｕａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｒｏｂｏｔ
ａｒｅ
ｊｏｉｎｔｓ
ｍａｔｉｏｎ，１９９０，６（４）：４３８～４４３
７
ＣｈｅｎＸ
ｏｎｅｓａｌｓｏｄｃｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｅ
Ｄ，ＷａｔａｎａｈｅＫ，ｌｚｕｍｉＫＪｏｉｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｓａｎｄｒｏｂｏｔ
ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ
ｐｏｓｉｔｉｏｎ
ｄｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｏｍｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｃｒａｗｌｉｎｇｑｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔＪｏｆＲｏｂｏｔｉｃｓ８
ＣｈｅｎＸＤｆｏｒ
ａ
ａｎｄｖｅｌｏｃｉｔｙｏｆｔｈｅｂｏｄｙｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅ
Ｉｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅ
ａｓ
ａｎｄＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，１９９９，１１（６）：５１０～５１７
Ａｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｓｔｕｄｙｏｎｃｒａｗｌｌｏｃｏｍｏｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌ
ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｃｔｕａｔｉｏｎｖａｒｉａｂｌｅｓｏｍｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｌｙｃｒａｗｌｐａｒａｌｌｅｌ
ｔｏ
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ｒｏｂｏｔ
ｃａｌｌ
ｒｏｕｇｈｇｒｏｕｎｄ
ｌｏｎｇ
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ｉｔｓｂｏｄｙｉｓ
Ｉｔｉｓ
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ｑｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔ：【Ｐｈｌ）Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ］．Ｓａｇａ：Ｓａｇａ
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ｓｕｐｐｏｒｔ
ｓｕｒｆａｃｅｓｏｆｉｔｓｆｅｅｔ
ｏｎ
ｔｈｅｇｒｏｕｎｄ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００１
ａｌｓｏｆｏｕｎｄ
ｔｈａｔｔｈｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｎｅｅｄｓｔｏｓｏｌｖｅ
ｓｉｘ．
ＤＩＲＥＣＴＫＩＮＥＭ睛ＬＴＩＣＳＡＮＡＬＹＳＩＳ０Ｆ
ｔｅｅｎｔｈ・ｏｒｄｅｒｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｌｌａｎｕｎｋｎｏｗｎｖａｒｉａｂｌｅＡ
ＣＲＡＷＬ
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ＲｏＢｏＴ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
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ａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙ
ｉｎｖｅｒｓｃｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．
Ｃｏｎｓ仃ａｉｔｕｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＱｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔＤｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ＣｈｅｎＸｕｅｄｏｎｇＧｕｏＨｏｎｇｘｕｎ
作者简介：陈学东，男，１９６３年出生，博士，教授。主要研究方向为机器人及其控制、机械系统动力学等。
（Ｈｕａｚｈｏｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）
匈嘞劫劫向匈嘞嘞嘞向南向劫岛匈嘞匈嘞嘞向向向劫岛匈向南匈％劫向南物嘞勘嘞岛岛嘞‰向嘞嘞≮嘞劫≮岛嘞岛
《机械工程学报》创刊５０周年
“机械工程技术的历史、进展与展望”主题征文
５０年前，我国机械工程科技领域的一批著名专家创办了《机械工程学报》。５０年来，《机械工程学报》始终站在中国机械工程科技发展的最前沿，忠实地记载了中国一代代机械工程专家、学者们的呕心沥血之作，紧密地跟踪与展示了中国机械工程界的发展。《机械工程学报》为纪念创刊５０周年，拟就“机械工程技术的历史、进展与展望”的主题，向广大读者、作者征文，其中的优秀论文将在２００３年的《机械工程学报》上陆续发表。欢迎广大读者、作者踊跃投稿，真诚地期待广大读者、作者与我们共同庆祝《机械工程学报》创刊５０周年。
征文截止日期：２００３年６月３０日征文联系人：杨绍臣王淑芹电话：０１０，６８９９４５５７邮编：１０００３７
８８３７９９０７
８８３７９９０９
万方数据
第３９卷第２期
２００
机械工程学报
ＣＨｒＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬＥＮＧｌＮＥＥＲＩＮＧ
Ｖｏｌ、３９Ｆｅｂ
Ｎｏ．２２００３
３年２月
四足机器人爬行步态的正运动学分析
陈学东郭鸿勋
（华中科技大学机械科学与工程学院武汉４３００７４）
渡边桂吾
（佐贺大学）
摘要：讨论了四足机器人ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ爬行步态的自然约束条件，推导了机器人冗余驱动变量和独立驱动变量之间的位置和速度关系，求解了机器人机体位置和速度的运动学正解。分析表明．只要机器人机体面保持与脚底接触面平行，机器人就能够实现在不平地面上的全方位爬行．而且该正运动学的求解需要解一个一元十六次高阶代数方程。逆运动学分析以及试验都验证了正运动学的求解结果。关键词：四足机器人正运动学约束条件中图分类号：ＴＰ２４
置，而蛾和ｙ。（ｆ＿ｌ，２，３，４）则表示连杆一线轮平面
０前言
作为一种步行机械，四足机器人不仅是多链结构而且具有时变的运动拓扑，此外还是冗余驱动系统，其运动学及动力学比起轮式移动机器人要复杂得多。Ｋｏｙａｃｈｉ等Ⅲ研究了单一腿臂结构的运动学。Ｌｅｅ等口】根据车／地面的运动关系以及简单的单腿运动学研究了一个多足步行车在不平区域的运动规划算法。Ｌｅｅ等日１介绍了步行机械的瞬时运动特征：Ｔｓａｉ等ｉ４１分析了一个行星齿轮传动的四足机器人逆运动学以及脚力的分布问题。但迄今为止仍然缺乏四足机器人爬行运动学的系统研究，特别是很少有将该机器人视为一整体运动链的正运动学研究成果发表。
正运动学分析是机器人设计以及精密步行控制所不可缺少的。类似于并联机器人【５．“，四足机器人的正运动学要比它的逆运动学复杂得多。参考文献【７】对四足机器人ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ整体系统爬行步态的逆运动学进行了研究，这里则进一步分析这种机器人爬行步态的正运动学问题。
机构的两个驱动关节位置，它们的容许范围是：６５０≤磊≤９０。，—６５。≤仍≤６５。以及０。≤ｙ，≤１４０“７１。图２中，口、ｂ、Ｃ和ｄ代表四根连杆的长度，三个正交矢量Ⅱ。、ｎ和’．，。构成腿根坐标系，其中Ｍ与破的轴线重合，“，位于连杆一线轮平面内并垂直于Ｍ。‘和ｈ。表示机器人腿在Ⅳ，和Ｈ方向上的伸展长度。机器人机体是一矩形平台并通过旋转关节与四条腿相连，矩形机体的两边长度为２ｍ和２ｎ。
圈１四足步行机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的结构示意图
１基本结构及自然约束
１．１基本结构
＾．
图１表示四足机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的结构简图，其腿的结构如图２所示，它是由连杆一线轮平面机构和旋转机构组合而成，其脚是直径为７０
ｎ＇ｌｒｆｌ
图２
ＴＩＴＡＮ—ＶＩｌｌ的腿结构示葸圈
的圆板。每条腿有三个由ＤＣ电动机驱动的主动关节，其中≯．（ｉ＝１，２，３，４）代表旋转机构的关节位
１－２自然约束
在图１中，Ｏｘｙｚ表示参考坐标系，而０。ｒ。）‘ｚ。是固定在机器人机体上的坐标系，且其原点位于机
＋国家８６３计划资助项目（２００１ＡＡ４２２３８０）。２００１１１１８收到初稿
２∞２０６３０收到修改稿
器人的几何中心。‘饥ｌ；【％舭＆。，】Ｔ表示机器人上Ａ。、‰ｌ＝［‰‰ｏ‰】７表示机器人上垦、而‰＝
万方数据
２００３年２月陈学东等：四足机器人爬行步态的正运动学分析
９
［‰饥％］１表示机器人中心在参考坐标系Ｏｘｙｚ中
的位置矢量。此外，Ｏｃｐ。＝ｆｑＸＢ＃０‘ｙｓ，ｏｃｚ。］１则表
示Ｂ，在∞∥而中的位置矢量，这是常矢量。如图
２所示，脚的支撑表面平行于参考坐标系Ｏｘｙｚ的捌平面。为方便起见，导入如下的设定：￡。和舅表示腿上两个从动（或自由）关节位置，谚服从右手法则；＿．代表矢量＇‘，，和叫平面的夹角。根据几何性质，得到如下的关节位置之间的关系
碾＝竹＋以＋ｑ
（１）
让曰尸【Ⅳ，Ｖｉ¨代表腿根坐标系相对于Ｏｘｙｚ的旋转
矩阵，这样腿根的位姿矩阵可表达成
ｋ伊引
㈤
从一。到占。作齐次变换得如下关系
％＝丌ｏｊ＂ｏｙＡｉ，ｏｚ』，江（刁只）丁（ｏ＇Ｏ，口）×
Ｒ（ｘ，｛）Ｒ（ｚ，一ｓ。）ｒ（０，ｂ，０）Ｒ（ｚ，一九）×
Ｔ（Ｏ，ｃ，ｏ）Ｒ（ｚ，一仍）ｒ（ｏ，ｄ，Ｏ）Ｒ（ｙ，一｛）
（３）
这里玎・）表示平动齐次变换，Ｒ（・，＋）则表示相对于轴“”旋转角度“・”的旋转齐次变换。由式ｆ３）
可得Ｒ。＝［Ｈ。ｖ。＇．，。】和‰的具体表达式。
当四足机器人在地上爬行时，它主要借助三条腿支撑并推动机体，・条腿向前摆动，有时它也使用四条腿支撑并推动机体向前，从运动学的观点看后者其实是前者的一种特例。因此这里讨论三条腿支撑于地面的情形。假设三条支撑腿分别表示为第ｒ、ｓ和ｔ腿，根据机器人的结构特征，它的自然约束方程可表示为
ｆ”，’’．’，＝’．，，‘＇－＇ｒ＝１
｛ｗ，‘Ⅳ。＝ｌ－，，‘Ｖ，＝０
（４）
Ｉ’．’，％：’Ｉ，，．叶：０
ｏ
一
０
一
ｏ
如‰ｂ
一
‰‰‰忙忙。护自如既
式中｜Ｈ｜——矢量长度
ｇ。岛函——机体尺寸常数
将Ｒ，＝［Ⅳ。ｖ。训和铷。代入式（４）和（５），由此可得
ｃｏｓｌ
ｒｃｏｓⅣｆｃｏｓ（Ｏ，一口ｒ）＋ｓｉｎｒ／ｒｓｉｎ，－／ｆ＝１
ｃｏｓ口，ｃｏｓｆｌ。ｃｏｓ（Ｏ，一口，）＋ｓｉｎｔ／，ｓｉｒｅ／，＝１ｃｏｓｆｌ，ｓｉｎ＿ｒｃｏｓ（０，一目ｒ）一ｓｉｎｇ，ｃ０８＿ｆ＝０ｃｏｓⅣ，ｓｉ狮。ｃｏｓ（８，一日，）一ｓｉｎｇ，ｃ０８ｑｆ＝０（６）
ｃｏｓｑ，ｓｉｎ（日，一口，）＝０ｃｏｓ＿，ｓｉｎ（Ｏ，一０。）＝０
万
方数据ｆ（。ｘ所一ｏ』ｍ）２＋（Ｏｙ肼～Ｏｙｍ）２＋（ｏｚ西一０Ｚ成）２＝ｇｌ｛（。ｘ出一０ｘ衙）２＋（Ｏｙ毋～Ｏｙ成）２＋（Ｄｚ西一ｏ：ｍ）２＝９２（７）ｌ（气册一ｏ‰）２＋（◆肿一Ｏｙ西）２＋（ｏｚ西一０Ｚ出）２＝９３
１．３约束分析
从式（６），可以发现只有当ｃｏｓｑ。；０，也即
７＂／。；Ⅱ／２时，任意的只都能够满足这些约束条件。目，＝－Ⅱ／２意味着所有站立脚平面平行于机器人机体
平面。由此可见，即使在不平的路面上只要机器人机体保持与支撑站立脚的那些表面平行，那么机器人就能够实现在路面上的全方位爬行。在这种情况下，机器人机体具有４自由度其中包括３平动自由度和一个绕坐标系Ｏｘｙｚ中ｚ轴转动的自由度。由此可见
ｏｘⅢＩ『。‰＋ｌｉｃｏｓ０，ｌｏＹｍｆ＝ｆｏ‰＋ｌｆｓｉｎ８。ｆ（８）
ｏｚⅢｌｏｚ』。＋ｈ。
（。ＸＢｒ－－ＯＸＢｔ）２＋（Ｏｙｍ—Ｏｙｍ）２＝９１
ｆｘｈ一０ｘＢＥ丫＋ｅｙｂ—ＯｙＢｔ丫＝９２
（。％，一ｏ‰）２＋（Ｏｙ＊一‰）２＝９３
（９）
ｏ
ｚ¨－ｏｚ＆＝ｏ。ＺＢｓ－－ＯｇＢｔ＝０
‘＝ｂｃｏｓ（妒，＋ｙｆ）＋ＣＣＯＳＰｆ＋ｄ
ｈ，＝ａ＋ｂ
ｓｉｎ（妒。＋ｙ。）＋ｃｓｉｎ・ｐ，
如图３，如果机器人机体绕：轴的转动角用口＝
Ⅶ
＝
疗２＜０
呵
目２”
＝
（１０）
办屯疵以
Ｉ蜒
｜Ｉ
０４＜０¨他ｈ铲ｐｋ吼噌咄ｑ以以
川蜘
０４＞０
图３旋转关节位置示意图
这里所讨论的正运动学求解是指：根据给定的
这里
来表示，则这个角度与关节位置氟和只的关系可以表示成
２正运动学求解
！！
坐塑三堡兰塑
篁！竺鲞墨！塑
独立驱动关节的位置和速度，求解机器人机体的位置和速度。机器人机体具有４运动自由度，因此只存在４个独立的驱动关节。这里只讨论根据三条站
兰罂竺鍪立董！差錾銎兰全墨妻蝥学粤篓篓篓塞７．限于篇幅，由机体运动关系求解另一条腿的计算过
程系逆运动学运算，这里就不赘述了。２．１求解约束方程
对于ｉ＝ｒ、ｓ、ｔ，将式（８）代入式（９），则有（ｏ』Ａｒ－ＯＸ』ｆ＋ｌ，ｃｏｓＯ，一，ｆｃｏｓｏｆ）２＋（Ｏｙａｒ
Ｏｙ』ｆ＋ｌ，ｓｉｎ０，一ｊｆｓｉｎｏｆ）２＝ｇｌ
（。ｚｍ—Ｘ』ｌ＋ｌ＋ｃｏｓＯ５一，ｒｃｏｓｏｆ）２十
（Ｏｙ＿Ｏｙｍ＋ｌ，ｓｉｎＯ，一ｆｒｓｉｎｏｆ）２＝９２（¨）
（ｏｘ加一ｏｘ』ｊ＋ｌ，ｃｏｓＯ，一ｌ￥ｃｏｓ０Ｊ）２＋
（ｏｙ＾，一Ｙｍ＋ｌ，ｓｉｎＯ，一ｌ，ｓｉｎＯ。）２＝９３
０２』ｒ＋＾，＝ｏ。ｍ＋ｈ，０２』５＋＾Ｊ＝ｏ。』ｒ＋ｈｆ
式（１１）显含驱动关节变量：仍和ｎ（ｉ＝，，ｓ，ｆ）。假定独立驱动关节是：以、以、＾和识，记为：
呜＝Ｄ．，ｙ，ｙ，吼］１。指定从属变量为：只、包、只、竹和吼，记为：吒＝妙，０。０。竹吼】１。注
意，已知舜，，经过简单的代数变换，很容易求得冗余关节变量。从式（１１）中的第４和第５个方程式可分别求得以和识，然后把它们代入该方程组中的其他方程，从而得到包含３个从属变量只、破以及砖的方程组，展开并整理它们得
。ｌｓｉｎＯｒｓｉｎＯ，＋ａ２ｃｏｓＯ，ｃｏｓＯｆ＋ａ３ｓｉｎＯ，＋
岛８ｉ峨８矾＋ｂ２。８护ｒ。ｏ氓＋岛８ｊ鸣＋
ａ４ｔＯＳＳ，＋ａ５ｓｉｎＯ，＋ａ６ＣＯＳＯ，．十ａ１＝０
㈦
、７
ｂ４ｃｏｓＯＩ＋ｂ５ｓｉｎＯｊ＋６６ｃｏｓ０。＋ｂ７＝０
ｄｌｓｉｎＯ，ｓｉｎ０。＋ｄ２ｃｏｓ０，ｃｏｓＯ，＋ｄ３ｓｉｎ０，＋
ｄ４ｃｏｓＯ，＋ｄ５ｓｉｎ０ｒ＋ｄ６ｃｏｓＯ，＋ｄ７＝０
式中
ａ，，ｂｊ，ｄｉ——对应的系数嘲
让ｆ．＝ｔａｎ（Ｏ＋／２）（ｉ＝，，Ｊ，ｆ），式０２）简化成
（Ｐｌｔ；＋ｅ２ｔ，＋Ｐ３）ｆ？＋（Ｐ４ｆ；＋ｅｄ，＋ｅ６）ｆｆ十
（Ｐ７ｔ；＋ｅｓｔ，＋岛）＝０
（／ｌ’；＋＾‘，＋厶）‘？＋（正‘；＋＾‘ｓ＋＾）‘ｒ＋（１３）
（ｆＴｔ：＋Ａ‘＋．，；）＝０
（七ｌｔ；＋ｋ２ｔ，＋七３）ｆ；＋（七４ｆ；＋ｋｓｔ，＋ｋ６）ｆ。十
（ｋ７ｆ；＋ｋｆ，＋ｋ９）＝０
式中ｅｉ，Ｚ，岛——对应的系数嘲
利用Ｂｅｚｏｕｔ方法【６】’可以从式（１３）中消去‘和ｔ，，所得到的方程只包含ｔ，，其结果如下（具体推导过程参见参考文献［６】）
万
方数据吼ｆ：６＋日２ｆ夕＋ｑ３ｔ）４＋９４ｆ，＋ｑｓｔ：２＋
ｇ。ｆ：１＋ｇ，，，＋ｑｓｔ？＋ｑｇｔ：＋
ｇｌｏｒ？＋吼．ｆ？＋吼２ｒ；＋９１３ｆ？＋
‰ｒ：＋ｑｌｓｔ２，＋‰‘＋¨：ｏ…＋…＋…
（１４）
、’
式中
ｑ，——对应的系数嘲
解这个方程可求得ｔ，，然后代回式（１３）求得‘和ｔ，，由此谚（ｉ＝ｒ，ｓ，ｔ）便可获得。
将式（１１）对时间求导数，可以得到独立变量和
从属变量之间的关系如下
一畹＝雪啦０５）
式中吒——从属变量的速度矢量
舞——独立变量的速度矢量
Ａ，Ｂ——系数矩阵（限于篇幅，这里不列出１由此可得
屯＝Ａ。四噍
（１６）
机器人机体的位姿能够表示成
疋＝降纠
∽，
耻ＣＯｉＯｔ－警ｓｉｎａ习∞，
＇。＝ｉｌ（＇肿＋＇西）
（１９）
‘
■ｍ＝＇。＋Ｒ。４Ｐｍ
（２０）
ａ＝ａｒｃｍｎ（ＯＣｘＢｔＴ—ｍＹＢｔ，．ｏｔｘＢｓ＋ｏｃｙ一、（２０ｆ＝（２ｆ，ｃｏｓ０ｒ—ｌ，ｃｏｓ０，一１．。ｅｏｓ０，＋２Ｏｘｘｔ－－０Ｘｍ一。ｘｍ）１２ｒ＝（２ｌ，ｓｉｎｏｆ—ｌ，．ｓｉｎＯｒ—ｌ，ｓｉｎＯ，＋２勺Ａｔ－－Ｏｙｄｒ－－Ｏｙ』，）／２式（１９）和（２１）对时间求导数，得如下联立方程Ｐ＝Ｃ西Ｉ＋Ｄ中Ｄ
（２２）
妒＝【０２ｃ嗲。ｏｊ。翻１＝【ｋ
Ｙｙ
Ｖ：∞］７，而ｃ和
２．２位置解
根据上节的约束分析，坐标系Ｏ，ｘｃｖｃｚ。相对于坐标
从约束方程的解可求得‰，，假设第ｒ腿和第Ｊ腿
为一组对角腿，则有
从关系式
可进一步得到
这里
２．３速度懈
组
０ｆ３０＇０－－ｉ
堕堂查笠！巴星垫壁△坚堑垄查塑垩堡塾兰坌堑
！！！！兰！旦旦一
Ｄ则是对应的系数矩阵（限于篇幅，不再列出）。把式（１６）代入式（２２），可得
妒＝Ｊ咖１（２３）ｔ，＝Ｃ＋ＤＡ一１Ｂ
（２４）
‘，是雅可比矩阵，这里定义为机器人独立驱动空间与机体工作空间的变换关系。
到目前为止，根据四足机器人的独立驱动参数能够计算机体的运动位置和速度。机器人四条腿轮番“抬起一摆动一放下”一次构成一个步态周期，应该指出的是，一个步态周期需要分成若干个阶段以对应于每条腿“抬起一摆动一放下”，在各阶段，相应的站立腿被分别视为第ｒ腿、第５腿和第ｔ腿。如此一来，这里介绍的计算方法就能够解决整个步行过程的运动学问题。
３数值计算及试验
机器人１ＴＩＡＮ＿．ｖⅢ的有关尺寸包括：ａ＝４３ｍｍ、
ｂ＝２００ｆｉｌｍ、ｃ＝１５５ｍｍ、ｄ－－４５ｌ／ｌｌｎ、ｍ＝１０ｌｉｎｌｎ、
ｎ＝２０１
ｌ＇ｎｍ。在某一阶段，机器人的第１条腿作为
摆动腿，而第２、第３和第４条腿是站立腿，这些站立腿的立足点位置为（１１１Ｉｎ）：Ａ，（７００，４００，０）、Ａ，（０，０，０）、Ａ。（７００，０，０），独立驱动关节的初始位置给定为（ｍｄ）：，２＝１，３５、儿＝１．２、，４＝１．２７、ｐ。＝Ｏ．０４，这些关节的驱动速度为（ｒａｄ／ｓ）：，２＝０．０７、岛＝０、，４＝０、礼＝０，这一阶段的持续时间为５
ｓ。
３．１计算结果
腿２、腿３和腿４分别表示第，、Ｊ、ｔ腿，由于式ｆ１４）是一个１６次高阶多项式方程，理论上应有１６个可能的解。在这个例子中，除虚解外只存在巩、０３和以的两组实解，其中一组有效，而另一组显示出关节位置超出了容许范围，从而该解无效。对于有效解，则进一步计算并获得了如图４所示的机器人机体运动位置和图５所示的速度。为了证明该方法的正确性，利用逆运动学方法反求机器人的关节参数．其结果是一致的。
ｌ
２
１ｆ
≤一
ｉ
１
曩
掣１
辞一１
ｌ
一ｌ
０
３６
０
３８
０．４０
位置Ｔ／ｍ
时问ｆ，ｓ
图４
ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ机体运动位置
万
方数据ｆ
ｎ
日Ｅ
≤０
越
瑚｛≮詈ｉ钐ｅ
４ｈ制篙。气倒
时问ｆ／ｓ
＾
啊ＩｑＩ，５
ｏ
∞
Ｏ
目
１［≤一０．Ｓ一Ｏ
埘嘲
２岈ｒ６喈
｛｝十材州葺副；悻材刊
Ｌ———一３
０＼＼
图５
ＴＩＴＡＮ－－ＶＩＩＩ机体运动速度
３．２试验结果
将计算结果输入机器人控制系统，机器人的３条站立腿推动其机体运动，机体几何中心的实际轨迹如图４中虚线所示，这是由安装在机体上的笔直接记录下来的，机体的实际转角为１０．５。，这和计算结果也是吻合的。需要指出的是：图４中计算和试验结果的差异是由于在进行运动学计算时并没有考虑动力学的影响。
４结论
讨论了四足机器人ＴＩＴＡＮ—ｖＩＩＩ的自然约束条件，结果表明：只要机器人机体保持与它的脚支撑表面平行，那它就能够在不平的路面上全方位地爬行。推导了机器人独立驱动关节变量和从属关节变量、冗余驱动关节变量之间的位置和速度关系，求解已知独立驱动参数下的机器人机体运动位置和速度的正运动学问题。数值例子演示了这一方法过程以及它的理论可行性。此外，逆运动学分析以及试验都证明了该方法的正确性。
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（ＳａｇａＵｎｉｖｅｒｓ妙）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｎａｔｕｒａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｒｏｂｏｔ．ｃａｌｌｅｄＴＩＴＡＮ・ＶＩＩＩ．ａｒｃ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆ
ａ
ｑｕａｄｒｕｐｅｄ
ｖｅ—
６Ｎａｎｕａｏｆ
ａ
Ｐ，ＷａｌｄｒｏｎＫＪ・ＭｕｒｔｈｙＶＤｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ
ＩＥＥＥＴｒａｎｓ
ｏｎ
ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄ
ｓｔｅｗａｒｔｐｌａｔｆｏｒｍ
Ｒｏｂｏｔｉｃｓ
ａｎｄ
Ａｕｔｏ—
ｌｏｃ时ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ
ａｎｄｔｈｅｒｅｄｕｎｄａｎｔ
ｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｃｔｕａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｒｏｂｏｔ
ａｒｅ
ｊｏｉｎｔｓ
ｍａｔｉｏｎ，１９９０，６（４）：４３８～４４３
７
ＣｈｅｎＸ
ｏｎｅｓａｌｓｏｄｃｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｅ
Ｄ，ＷａｔａｎａｈｅＫ，ｌｚｕｍｉＫＪｏｉｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｓａｎｄｒｏｂｏｔ
ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ
ｐｏｓｉｔｉｏｎ
ｄｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｏｍｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｃｒａｗｌｉｎｇｑｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔＪｏｆＲｏｂｏｔｉｃｓ８
ＣｈｅｎＸＤｆｏｒ
ａ
ａｎｄｖｅｌｏｃｉｔｙｏｆｔｈｅｂｏｄｙｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅ
Ｉｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅ
ａｓ
ａｎｄＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，１９９９，１１（６）：５１０～５１７
Ａｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｓｔｕｄｙｏｎｃｒａｗｌｌｏｃｏｍｏｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌ
ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｃｔｕａｔｉｏｎｖａｒｉａｂｌｅｓｏｍｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｌｙｃｒａｗｌｐａｒａｌｌｅｌ
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ｏｎ
ｒｏｂｏｔ
ｃａｌｌ
ｒｏｕｇｈｇｒｏｕｎｄ
ｌｏｎｇ
８ｓ
ｉｔｓｂｏｄｙｉｓ
Ｉｔｉｓ
ａ
ｑｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔ：【Ｐｈｌ）Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ］．Ｓａｇａ：Ｓａｇａ
ｔｈｅ
ｏｕｔ
ｓｕｐｐｏｒｔ
ｓｕｒｆａｃｅｓｏｆｉｔｓｆｅｅｔ
ｏｎ
ｔｈｅｇｒｏｕｎｄ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００１
ａｌｓｏｆｏｕｎｄ
ｔｈａｔｔｈｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｎｅｅｄｓｔｏｓｏｌｖｅ
ｓｉｘ．
ＤＩＲＥＣＴＫＩＮＥＭ睛ＬＴＩＣＳＡＮＡＬＹＳＩＳ０Ｆ
ｔｅｅｎｔｈ・ｏｒｄｅｒｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｌｌａｎｕｎｋｎｏｗｎｖａｒｉａｂｌｅＡ
ＣＲＡＷＬ
ＧＡＩＴＦＯＲＡＱＵＡＤＲＵＰＥＤ
ＲｏＢｏＴ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
ａｌｌ
ａｎｄ
ａｌｌ
ｔｈｅｒｅｓｕＲｓ
ａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙ
ｉｎｖｅｒｓｃｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．
Ｃｏｎｓ仃ａｉｔｕｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＱｕａｄｒｕｐｅｄｒｏｂｏｔＤｉｒｅｃｔｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ＣｈｅｎＸｕｅｄｏｎｇＧｕｏＨｏｎｇｘｕｎ
作者简介：陈学东，男，１９６３年出生，博士，教授。主要研究方向为机器人及其控制、机械系统动力学等。
（Ｈｕａｚｈｏｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）
匈嘞劫劫向匈嘞嘞嘞向南向劫岛匈嘞匈嘞嘞向向向劫岛匈向南匈％劫向南物嘞勘嘞岛岛嘞‰向嘞嘞≮嘞劫≮岛嘞岛
《机械工程学报》创刊５０周年
“机械工程技术的历史、进展与展望”主题征文
５０年前，我国机械工程科技领域的一批著名专家创办了《机械工程学报》。５０年来，《机械工程学报》始终站在中国机械工程科技发展的最前沿，忠实地记载了中国一代代机械工程专家、学者们的呕心沥血之作，紧密地跟踪与展示了中国机械工程界的发展。《机械工程学报》为纪念创刊５０周年，拟就“机械工程技术的历史、进展与展望”的主题，向广大读者、作者征文，其中的优秀论文将在２００３年的《机械工程学报》上陆续发表。欢迎广大读者、作者踊跃投稿，真诚地期待广大读者、作者与我们共同庆祝《机械工程学报》创刊５０周年。
征文截止日期：２００３年６月３０日征文联系人：杨绍臣王淑芹电话：０１０，６８９９４５５７邮编：１０００３７
８８３７９９０７
８８３７９９０９
万方数据