２００９年第５期中学教学教学
２３
探究式教学一例：由求曲线的切线引出导数的概念
安徽省寿县一中
柴化安
常清
（邮编：２３２２００）
微积分是人类理性精神的最高胜利（恩格斯语），因此高中数学新课程充实了微积分的内容．中学生学习导数的主要目的是利用导数研究函数的单调性，进而研究函数的极值（最值）．但教材仅仅赢求物体的瞬时速度引出导数概念后。贴一个标签：导数的几何意义是曲线切线的斜率．微积分的创立史上。求物体的瞬时速度与求曲线的切线。是两个“源问题”．对于高中学生而言，通过“求曲线的切线引出导数”比通过“求物体的瞬时速度引出导数”更萤要．原因是函数的单漏性取决于导数的符号，而导数的几何意义是曲线切线的斜率，直线的倾斜程度比较直观．因此，导数的几何意义教学要加强，下面是一个课堂教学片段，不妥之处请同仁指正．
１
教学任务分析
（１）完善曲线的切线的概念．
（２）以求曲线的切线为出发点．抽象出导数
概念，使学生认识到导数就是曲线的切线的斜率，进一步了解导数的内涵．
２
教学重点、难点
（１）重点：形成导数概念，理解导数的几何意义就是曲线的切线的斜率．
（２）难点：曲线的切线概念的完善过程，导数
概念的理解．
３
教学基本流程
Ｉ求曲线的切线方程Ｉ—Ｉ切线的新概念ｌ一
怫Ｊ用割线的斜率求切线的斜率ｌ—
ｌ导数的概念及其几何意义ｌ—Ｊ应用、总结、练习Ｊ
４教学情景设计‘ｙ
４．１
课题引入
———／ｌ
师：求函数ｙ＝一三９在点
￡
工
０
Ｐ（１，一２）处的切线方程．
生ｌ：设切线的斜率为ｋ，
．虻
则切线是方程足ｙ＋２＝丘（ｚ～１），联立得方程组
万
方数据ｐ一导，
ｌＹ＝ｋ＿ｒ一矗一２．
消去Ｙ，整理得如２一（女＋２）ｚ＋２＝０（＊）当△＝［一（是＋２）］２～８＾＝ｏ时，得矗一２，因此．所求切线的方程是Ｙ一２ｘ一４．
师：你的解题依据是什么？
生１：曲线的切线与曲线只有一个公共点，即方程（＊）的判别式△＝０．
生２：生ｌ的做法有点问题：方程（＊）还可能是一次方程，且当ｋ＝０时，得直线Ｙ一一２，与双曲线也只有～个交点．
师：有意思！看来在Ｐ处有两条切线．生３：直线ｚ—ｌ与双曲线也只有一个交点，生１在设切线方程时，议设切线斜率是存在，但是ｚ＝１偏偏没有斜率，这在解析几何中是个逻辑漏洞．
师：太好了．是不是说在双曲线的Ｐ处有三
条切线？
生４：我感觉直线ｚ＝１、Ｙ＝一２不能称为双曲线的切线．
师：不错，直观上，我们很难承认直线ｚ＝１、Ｙ＝一２是双曲线的切线！生１的结论没问题，但是解题过程有漏洞．如果推理过程完备，结论却又不妥。这是什么原因呢？（学生思考）
师：说明切线的概念有问题．我们目前对切线的认识主要来源于圆：圆的切线与圆只有一个交点．这对于双曲线不一定适合．如何定义双曲线的切线呢，或者，如何定义曲线的切线呢？
设计意图：本来想用“求函数Ｙ＝，在点Ｐ（１，１）处的切线方程”引入问题，为了更能暴露问题，选择上例引入．一方面，用到的都是解析几何的基础知
识和基本技能，克服学生的畏难情绪；另一方面，通过出现的认知冲突，学生产生强烈的探究愿颦．
４．２
完善概念
师：我们以退为进，再想想圆的切线，它除了与圆只有一个公共点之外，还有什么可说的？
２４
中学数学教学
２００９年第５期
生５：围的切线动一动，它和圆的一个公共点
就一分为二，变成两个公共点，切线变成了割线．反过来，割线与圆的两个交点，如果慢慢接近，直到合二为一，割线也变成了切线！
师：非常漂亮！我们把生５的观点一般化：过曲线上一点Ｐ和另一点Ｑ作割线，让点Ｑ沿曲线向点Ｐ靠拢，当点Ｑ与Ｐ重合时，割线ＰＱ就成为
过Ｐ处的切线．
我们一起来实施想法．
４．３
实施想法
．
△３，），其中一２＋△ｙ一一丁÷，则割线ＰＱ的
已知：点Ｐ（１，一２），设点Ｑ（１＋△ｚ，一２＋
斜率为二手群：丕ｉ‰
ｌ下△Ｚ
一
１
１＋△工’
—ｏ时，志－－’．ｂ
当动点Ｑ沿双曲线逐渐向点Ｐ靠近，即△ｚ
２）一２就是切线的斜率・
这与生１的结论一致．不过，既没有逻辑漏洞，又避免了直线－ｒ一１、Ｙ＝一２的出现，优越性
不言自明．
４．４
抽象概念
师：我们来看一般性问题：函数Ｙ＝厂（ｚ）在ｚ＝３７。处的切线的斜率怎样表示？
删）＇贝ｌＪ△Ａｚｙ＝丛等掣
生６：设Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ），Ｑ（ｘｏ＋△工，ｆ（ｘ。＋
￡∑ｚ上∑ｚ
是割线
ＰＱ的斜率，当△ｚ一０时，如果掣趋近于一个
￡—ｊ＾
作ｌｉｍ掣一ｌｉｍ丝立耸型
确定值。这个确定值就是在尸处切线的斜率，记
△ｔ—ｏ￡∑．２７
师：非常漂亮！掣：丛当［Ｌ台粤－二型
△』一ｕ
△，２７
￡ｊ上上３』
也称为平均变化率，１ｉｍ掣＝
』、』一０
Ｚｊ』＿
△』一Ｉ】Ｌ、ｚ
１ｉｍ旦兰Ｌ上台；Ｌ型称为瞬时变化率．变化率ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丛鱼［Ｌ台暑Ｌ型，称
一般地，函数Ｙ＝．厂（ｚ）在ｚ＝ｚ。处的瞬时
厶ｚ—ｕ‘＿ｊ＾
凸』～０
Ｌｊ工
为函数ｙ一，（工）在工一工。处的导数，记作
万
方数据，７（而）或ｙ７
Ｉ—ｎ，即厂（ｚ。）一ｌｉｍ矣型
”
△一ｏ△ｚ
；ｌｉｍ丝！±耸！二』！墅！．△ｒ－０
厶Ｚ
显然。函数Ｙ＝，（ｚ）在ｚ＝勘处的导数
／（ｚ。）或ｙ７
Ｉ一。，也就是函数ｙ＝，（ｚ）在ｚ＝
工。处的切线的斜率．这也是导数的几何意义．
４。５
学以致用
课堂练习：１．求函数Ｙ一工２在点Ｐ（１，１）处的切线方程．（略）
２・已知：点Ｐ（ＸＯ弘）是椭圆７Ｘｚ－矿ｙＺ＝１上的一点，求在点Ｐ处的切线方程，
ｙ。
、
＼Ｐ（ｘ。，ｙｏ）
弋／，、＼帆／＼
卜一
△ｚ，蛳＋Ａｙ）
解
在椭圆上Ｐ点附近取一点Ｑ（ｘ。＋△ｚ，
弘＋△ｙ），则
暑＋等乩
！兰！±全兰芏一＿！丝±全芝笙：
乜２
６２
两式相减、整理得掣一一
ｂ２（２ｘｏ＋△ｚ）
ａ——ｚ—（——２—ｙ——ｏ——＋———Ａ———ｙ——）‘
当△ｚ一０
Ｂ寸，筮一笔Ｙｏ，
Ｌ玉工
ｄ这就是在点Ｐ处的切线的斜率，因此，所求
切线的方程是Ｙ—Ｙ。＝一ｂＬｘｏ（Ｔ—ｚ。），
ａ
Ｙｏ
即兰学＋掣一ｏ．
ａ。
０。
注
２００９年合肥一模理科的第２２题就可以
采片ｊ这种方法求椭圆的切线．
５
教学反思
这节课的主要内容是以发展曲线的切线概念为载体。展示导数的产生的过程．与求物体的瞬时速度比较，可以发现，不同的问题可以用相同的数学形式来处理，体现了数学的概括性与抽象性．努力使数学学术形态向教育形态转化，让学生体验到数学概念的完善、数学知识的发展所蕴含的思想方法，这是新课程理念所倡导的。
（收稿日期：２００９—０５—２０）
探究式教学一例:由求曲线的切线引出导数的概念
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
柴化安， 常清
安徽省寿县一中,232200
中学数学教学
HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING2009(5)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxjx200905008.aspx
２００９年第５期中学教学教学
２３
探究式教学一例：由求曲线的切线引出导数的概念
安徽省寿县一中
柴化安
常清
（邮编：２３２２００）
微积分是人类理性精神的最高胜利（恩格斯语），因此高中数学新课程充实了微积分的内容．中学生学习导数的主要目的是利用导数研究函数的单调性，进而研究函数的极值（最值）．但教材仅仅赢求物体的瞬时速度引出导数概念后。贴一个标签：导数的几何意义是曲线切线的斜率．微积分的创立史上。求物体的瞬时速度与求曲线的切线。是两个“源问题”．对于高中学生而言，通过“求曲线的切线引出导数”比通过“求物体的瞬时速度引出导数”更萤要．原因是函数的单漏性取决于导数的符号，而导数的几何意义是曲线切线的斜率，直线的倾斜程度比较直观．因此，导数的几何意义教学要加强，下面是一个课堂教学片段，不妥之处请同仁指正．
１
教学任务分析
（１）完善曲线的切线的概念．
（２）以求曲线的切线为出发点．抽象出导数
概念，使学生认识到导数就是曲线的切线的斜率，进一步了解导数的内涵．
２
教学重点、难点
（１）重点：形成导数概念，理解导数的几何意义就是曲线的切线的斜率．
（２）难点：曲线的切线概念的完善过程，导数
概念的理解．
３
教学基本流程
Ｉ求曲线的切线方程Ｉ—Ｉ切线的新概念ｌ一
怫Ｊ用割线的斜率求切线的斜率ｌ—
ｌ导数的概念及其几何意义ｌ—Ｊ应用、总结、练习Ｊ
４教学情景设计‘ｙ
４．１
课题引入
———／ｌ
师：求函数ｙ＝一三９在点
￡
工
０
Ｐ（１，一２）处的切线方程．
生ｌ：设切线的斜率为ｋ，
．虻
则切线是方程足ｙ＋２＝丘（ｚ～１），联立得方程组
万
方数据ｐ一导，
ｌＹ＝ｋ＿ｒ一矗一２．
消去Ｙ，整理得如２一（女＋２）ｚ＋２＝０（＊）当△＝［一（是＋２）］２～８＾＝ｏ时，得矗一２，因此．所求切线的方程是Ｙ一２ｘ一４．
师：你的解题依据是什么？
生１：曲线的切线与曲线只有一个公共点，即方程（＊）的判别式△＝０．
生２：生ｌ的做法有点问题：方程（＊）还可能是一次方程，且当ｋ＝０时，得直线Ｙ一一２，与双曲线也只有～个交点．
师：有意思！看来在Ｐ处有两条切线．生３：直线ｚ—ｌ与双曲线也只有一个交点，生１在设切线方程时，议设切线斜率是存在，但是ｚ＝１偏偏没有斜率，这在解析几何中是个逻辑漏洞．
师：太好了．是不是说在双曲线的Ｐ处有三
条切线？
生４：我感觉直线ｚ＝１、Ｙ＝一２不能称为双曲线的切线．
师：不错，直观上，我们很难承认直线ｚ＝１、Ｙ＝一２是双曲线的切线！生１的结论没问题，但是解题过程有漏洞．如果推理过程完备，结论却又不妥。这是什么原因呢？（学生思考）
师：说明切线的概念有问题．我们目前对切线的认识主要来源于圆：圆的切线与圆只有一个交点．这对于双曲线不一定适合．如何定义双曲线的切线呢，或者，如何定义曲线的切线呢？
设计意图：本来想用“求函数Ｙ＝，在点Ｐ（１，１）处的切线方程”引入问题，为了更能暴露问题，选择上例引入．一方面，用到的都是解析几何的基础知
识和基本技能，克服学生的畏难情绪；另一方面，通过出现的认知冲突，学生产生强烈的探究愿颦．
４．２
完善概念
师：我们以退为进，再想想圆的切线，它除了与圆只有一个公共点之外，还有什么可说的？
２４
中学数学教学
２００９年第５期
生５：围的切线动一动，它和圆的一个公共点
就一分为二，变成两个公共点，切线变成了割线．反过来，割线与圆的两个交点，如果慢慢接近，直到合二为一，割线也变成了切线！
师：非常漂亮！我们把生５的观点一般化：过曲线上一点Ｐ和另一点Ｑ作割线，让点Ｑ沿曲线向点Ｐ靠拢，当点Ｑ与Ｐ重合时，割线ＰＱ就成为
过Ｐ处的切线．
我们一起来实施想法．
４．３
实施想法
．
△３，），其中一２＋△ｙ一一丁÷，则割线ＰＱ的
已知：点Ｐ（１，一２），设点Ｑ（１＋△ｚ，一２＋
斜率为二手群：丕ｉ‰
ｌ下△Ｚ
一
１
１＋△工’
—ｏ时，志－－’．ｂ
当动点Ｑ沿双曲线逐渐向点Ｐ靠近，即△ｚ
２）一２就是切线的斜率・
这与生１的结论一致．不过，既没有逻辑漏洞，又避免了直线－ｒ一１、Ｙ＝一２的出现，优越性
不言自明．
４．４
抽象概念
师：我们来看一般性问题：函数Ｙ＝厂（ｚ）在ｚ＝３７。处的切线的斜率怎样表示？
删）＇贝ｌＪ△Ａｚｙ＝丛等掣
生６：设Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ），Ｑ（ｘｏ＋△工，ｆ（ｘ。＋
￡∑ｚ上∑ｚ
是割线
ＰＱ的斜率，当△ｚ一０时，如果掣趋近于一个
￡—ｊ＾
作ｌｉｍ掣一ｌｉｍ丝立耸型
确定值。这个确定值就是在尸处切线的斜率，记
△ｔ—ｏ￡∑．２７
师：非常漂亮！掣：丛当［Ｌ台粤－二型
△』一ｕ
△，２７
￡ｊ上上３』
也称为平均变化率，１ｉｍ掣＝
』、』一０
Ｚｊ』＿
△』一Ｉ】Ｌ、ｚ
１ｉｍ旦兰Ｌ上台；Ｌ型称为瞬时变化率．变化率ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丛鱼［Ｌ台暑Ｌ型，称
一般地，函数Ｙ＝．厂（ｚ）在ｚ＝ｚ。处的瞬时
厶ｚ—ｕ‘＿ｊ＾
凸』～０
Ｌｊ工
为函数ｙ一，（工）在工一工。处的导数，记作
万
方数据，７（而）或ｙ７
Ｉ—ｎ，即厂（ｚ。）一ｌｉｍ矣型
”
△一ｏ△ｚ
；ｌｉｍ丝！±耸！二』！墅！．△ｒ－０
厶Ｚ
显然。函数Ｙ＝，（ｚ）在ｚ＝勘处的导数
／（ｚ。）或ｙ７
Ｉ一。，也就是函数ｙ＝，（ｚ）在ｚ＝
工。处的切线的斜率．这也是导数的几何意义．
４。５
学以致用
课堂练习：１．求函数Ｙ一工２在点Ｐ（１，１）处的切线方程．（略）
２・已知：点Ｐ（ＸＯ弘）是椭圆７Ｘｚ－矿ｙＺ＝１上的一点，求在点Ｐ处的切线方程，
ｙ。
、
＼Ｐ（ｘ。，ｙｏ）
弋／，、＼帆／＼
卜一
△ｚ，蛳＋Ａｙ）
解
在椭圆上Ｐ点附近取一点Ｑ（ｘ。＋△ｚ，
弘＋△ｙ），则
暑＋等乩
！兰！±全兰芏一＿！丝±全芝笙：
乜２
６２
两式相减、整理得掣一一
ｂ２（２ｘｏ＋△ｚ）
ａ——ｚ—（——２—ｙ——ｏ——＋———Ａ———ｙ——）‘
当△ｚ一０
Ｂ寸，筮一笔Ｙｏ，
Ｌ玉工
ｄ这就是在点Ｐ处的切线的斜率，因此，所求
切线的方程是Ｙ—Ｙ。＝一ｂＬｘｏ（Ｔ—ｚ。），
ａ
Ｙｏ
即兰学＋掣一ｏ．
ａ。
０。
注
２００９年合肥一模理科的第２２题就可以
采片ｊ这种方法求椭圆的切线．
５
教学反思
这节课的主要内容是以发展曲线的切线概念为载体。展示导数的产生的过程．与求物体的瞬时速度比较，可以发现，不同的问题可以用相同的数学形式来处理，体现了数学的概括性与抽象性．努力使数学学术形态向教育形态转化，让学生体验到数学概念的完善、数学知识的发展所蕴含的思想方法，这是新课程理念所倡导的。
（收稿日期：２００９—０５—２０）
探究式教学一例:由求曲线的切线引出导数的概念
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
柴化安， 常清
安徽省寿县一中,232200
中学数学教学
HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING2009(5)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxjx200905008.aspx