试证明欧拉整数拆分恒等式

partition

在哈代数论中有如下恒等式

1x x 4x 9

=1++++ [1**********](1-x )(1-x )(1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x )

在原书中的证明使用的是dufee 图形来证明的实际上有一个渐进的恒等式。

⎤⎡1x ⎤⎡x 4x (1-x 2) x 4

2=⎢1+⨯⎢1+x +=1++⎥22⎥2(1-x )(1-x ) ⎣(1-x ) ⎦⎣(1-x )(1-x ) ⎦(1-x ) (1-x )(1-x 2)

一次多次计算可得一下恒等式

1x (1-x 3) x 4(1-x 3) x 9

=1+++(1-x )(1-x 2)(1-x 3) (1-x ) 2(1-x ) 2(1-x 2) (1-x )(1-x 2)(1-x 3)

1x (1-x 4) x 4(1-x 3)(1-x 4) x 9(1-x 4) =1+++2342222(1-x )(1-x )(1-x )(1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x )(1-x 2)(1-x 3)

x 16

+(1-x )(1-x 2)(1-x 3)(1-x 4)

partition

在哈代数论中有如下恒等式

1x x 4x 9

=1++++ [1**********](1-x )(1-x )(1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x )

在原书中的证明使用的是dufee 图形来证明的实际上有一个渐进的恒等式。

⎤⎡1x ⎤⎡x 4x (1-x 2) x 4

2=⎢1+⨯⎢1+x +=1++⎥22⎥2(1-x )(1-x ) ⎣(1-x ) ⎦⎣(1-x )(1-x ) ⎦(1-x ) (1-x )(1-x 2)

一次多次计算可得一下恒等式

1x (1-x 3) x 4(1-x 3) x 9

=1+++(1-x )(1-x 2)(1-x 3) (1-x ) 2(1-x ) 2(1-x 2) (1-x )(1-x 2)(1-x 3)

1x (1-x 4) x 4(1-x 3)(1-x 4) x 9(1-x 4) =1+++2342222(1-x )(1-x )(1-x )(1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x ) (1-x )(1-x 2)(1-x 3)

x 16

+(1-x )(1-x 2)(1-x 3)(1-x 4)


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