18.2 滑移线法slip field theory
内容：滑移线法原理及应用。
重点：滑移线场slip field的合理建立。
滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线
特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场
适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广
满足条件：静力学+运动学（速度场条件）
18.2.1 基本概念
18.2.1.1 平面变形的应力
⎡σ1⎢ε2=0⇒⎢0⎢⎣0σ1+σ3
σm =
2
σ1+σ3
2
0⎤⎥0⎥σ3⎥⎦
τ=塑变屈服时max 2(σ1-σ3)=K
莫尔圆为：
⎧σ1=σm +k ⎪
ω=45时⎨σ2=σm
⎪σ=σ-k
m ⎩3
⎧σx =σm -k s 2ωi n
⎪
i n ⎨σy =σm +k s 2ω ⎪τ=±k c 2ωo s ⎩xy
18.2.2 最大切应力迹线——滑移线
变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，
P 3，……P 6
τ1为P 1点最大切应力方向
τ2为P 2点
的
（τ1为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
18.2.2.1 α. β及ω
1
）
α族线西侧的最大切应力组成顺时针方向. β线, 逆时针方向
α线β线为σσ方向成45角 2）13
3）ω角以ox 轴正向为起始顺时针负, 逆时针正(同坐标轴)
18.2.2.2 滑移线方程
⎧⎪⎨⎪⎩
dy dy =tg ω=tg (ω+
)=-ctg ω(β族)
Hencky 方程：σm ~ω
平面应变应力平衡微分方程为：
⎧⎪⎨⎪⎩
∂σx
∂x ∂τyx ∂x
++
∂τxy ∂y ∂σy ∂y
=0=0
将屈服准则式代入有
⎧∂σm -2k (2c ω+o s 2s ωi =0∂x ∂y ) n ⎪⎪∂x ⎨∂σ
⎪m -2k s 2ωi ∂-n c 2ωo =s 0x ∂y
⎪∂y ⎩
()
未知数：σm ，ω，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴α轴, β轴
注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！
在α点无限近处有：ω=0 dx =ds α dy =ds β
∂∂∂∂
== ∂y ∂s β ∂x ∂s α
∂ω
≠0 ∂s α
∂ω
≠0 ∂s β
∂σm ∂ω-2k =0(α线) ∂s α∂s α
因此变为：∂σm +2k ∂ω=0(β线)
∂s β∂s β
⎧σm -2k ω=ξ⎨积分后得：⎩σm +2k ω=η
(α线)
(β线)
此式即汉基应力方程（Hencky ）
18.2.3 滑移线特性
18.2.3.1 沿线特性
沿α线：∆σm =2k ∆ω 沿β线：∆σm =-2k ∆ω
证：设一条α线上有a 、b 两点
σma -2k ωa =ξσmb -2k ωb =ξ
∴σm a -σm b -2k (ωa -ωb )=0
∴∆σm =2k ∆ω
18.2.3.2 跨线特性
⎧∆ωAD =∆ωBC ⎨
⎩∆σm (A ，D )=∆σm (B , C )
证明：先沿
α
线，A →B 有
σm A -2K ωA =σm B -2k ωB
沿β线B →C 有：σm B +2k ωB =σm c +2k ωc ∴σm c -σm A =2k (2ωB -ωA -ωc )（a ） A →D （β1线）
σm A +2k ωA =σm D +2k ωD
D →C （沿α2线）σmD -2k ωD =σmc -2k ωc
∴σm c -σm A =2k (ωA +ωC -2ωD )（b ） 由于a,b 式相等∴ωA +ωB =ωB +ωD 或：ωD -ωA =ωc -ωB 再沿
即∆ωAD =∆ωBC ⎫
⎪同理可证:⎬
上式即汉基⎪σmD -σmA =σmC -σmB ⎭
第一定理
ω值即在滑移线网格中，若已知三个结点的σm 、
则第四个结点σm 、ω值可以求出。
18.2.4 应力边界条件
一般在边界上 已知正应力σn 切应力τ，需转化为边界处σm 、ω
τxy =±k cos 2ω ω的确定：由于有：
因此有：ω=±cos
-1τ
(k )
σm 的确定：分以下五种：
18.2.4.1 自由表面
自由表面、法向σn ，切向τ均为0。
1）σ1=2k σ3=0
ω=±σ=0σ=-2k 2）1 3 4
18.2.4.2 无摩擦接触表面
ω=±45 σ3≠0 （α、β判断需比
较σ1，σ3值大小）
18.2.4.3
τ=±k
得
ω=0
或
ω=2
σn =σm 来历
⎧σx =σm -k sin ∂ω
⎪
⎨σy =σm +k sin ∂ω⎪τ=±k cos ∂ω⎩
∴ω=0 或
2
，
∴σx =σy =σm
18.2.4.4 摩擦切应力介于其一中间值的接触面
ω=±2k 若σy 已知则可
判断α线、β线。
18.2.4.5 变形体对称轴
对称轴上切应力为0 ω=±4 再确定α、β线。
π
18.2.5 滑移线场建立方法
18.2.5.1 常见的滑移线场
A 均匀应力场
两族正交直线 B 简单应力场
一族直线，另一族为与之正交的曲线 的切线。另一族曲线为极限曲线（包络
C 均匀应力场与简单场组合
注意：与均匀场相邻的区域只能是简单场
D 两族正交曲线滑移线场
线场 滑移线场为：正交圆摆线
形场）
近似图解法建立滑移线场
18.2.6 滑移线法解题
18.2.6.1 冲头压入半无限体
（1）平冲头压入
解题过程：1）建立滑移线场
2）判断α或β线族，确定目标点和边界点
3）应用Hencky 方程 4）确定各点的σm 和ω参数值
5）解出目标值
（2）楔形冲头压入 （3）圆弧冲头压入 18.2.6.2 平砧压缩高坏料
18.2.6.3 粗造平板间压缩长坏料 18.2.6.4 平面变形挤压
1）挤压比为2 2）挤压比不等于2 3）锥形凹模正挤压 4）反挤压
18.2.6.5圆筒件拉深 18.2.6.6盒形件坯料
习题 18章 12 13 14 16
18.2 滑移线法slip field theory
内容：滑移线法原理及应用。
重点：滑移线场slip field的合理建立。
滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线
特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场
适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广
满足条件：静力学+运动学（速度场条件）
18.2.1 基本概念
18.2.1.1 平面变形的应力
⎡σ1⎢ε2=0⇒⎢0⎢⎣0σ1+σ3
σm =
2
σ1+σ3
2
0⎤⎥0⎥σ3⎥⎦
τ=塑变屈服时max 2(σ1-σ3)=K
莫尔圆为：
⎧σ1=σm +k ⎪
ω=45时⎨σ2=σm
⎪σ=σ-k
m ⎩3
⎧σx =σm -k s 2ωi n
⎪
i n ⎨σy =σm +k s 2ω ⎪τ=±k c 2ωo s ⎩xy
18.2.2 最大切应力迹线——滑移线
变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，
P 3，……P 6
τ1为P 1点最大切应力方向
τ2为P 2点
的
（τ1为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
18.2.2.1 α. β及ω
1
）
α族线西侧的最大切应力组成顺时针方向. β线, 逆时针方向
α线β线为σσ方向成45角 2）13
3）ω角以ox 轴正向为起始顺时针负, 逆时针正(同坐标轴)
18.2.2.2 滑移线方程
⎧⎪⎨⎪⎩
dy dy =tg ω=tg (ω+
)=-ctg ω(β族)
Hencky 方程：σm ~ω
平面应变应力平衡微分方程为：
⎧⎪⎨⎪⎩
∂σx
∂x ∂τyx ∂x
++
∂τxy ∂y ∂σy ∂y
=0=0
将屈服准则式代入有
⎧∂σm -2k (2c ω+o s 2s ωi =0∂x ∂y ) n ⎪⎪∂x ⎨∂σ
⎪m -2k s 2ωi ∂-n c 2ωo =s 0x ∂y
⎪∂y ⎩
()
未知数：σm ，ω，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴α轴, β轴
注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！
在α点无限近处有：ω=0 dx =ds α dy =ds β
∂∂∂∂
== ∂y ∂s β ∂x ∂s α
∂ω
≠0 ∂s α
∂ω
≠0 ∂s β
∂σm ∂ω-2k =0(α线) ∂s α∂s α
因此变为：∂σm +2k ∂ω=0(β线)
∂s β∂s β
⎧σm -2k ω=ξ⎨积分后得：⎩σm +2k ω=η
(α线)
(β线)
此式即汉基应力方程（Hencky ）
18.2.3 滑移线特性
18.2.3.1 沿线特性
沿α线：∆σm =2k ∆ω 沿β线：∆σm =-2k ∆ω
证：设一条α线上有a 、b 两点
σma -2k ωa =ξσmb -2k ωb =ξ
∴σm a -σm b -2k (ωa -ωb )=0
∴∆σm =2k ∆ω
18.2.3.2 跨线特性
⎧∆ωAD =∆ωBC ⎨
⎩∆σm (A ，D )=∆σm (B , C )
证明：先沿
α
线，A →B 有
σm A -2K ωA =σm B -2k ωB
沿β线B →C 有：σm B +2k ωB =σm c +2k ωc ∴σm c -σm A =2k (2ωB -ωA -ωc )（a ） A →D （β1线）
σm A +2k ωA =σm D +2k ωD
D →C （沿α2线）σmD -2k ωD =σmc -2k ωc
∴σm c -σm A =2k (ωA +ωC -2ωD )（b ） 由于a,b 式相等∴ωA +ωB =ωB +ωD 或：ωD -ωA =ωc -ωB 再沿
即∆ωAD =∆ωBC ⎫
⎪同理可证:⎬
上式即汉基⎪σmD -σmA =σmC -σmB ⎭
第一定理
ω值即在滑移线网格中，若已知三个结点的σm 、
则第四个结点σm 、ω值可以求出。
18.2.4 应力边界条件
一般在边界上 已知正应力σn 切应力τ，需转化为边界处σm 、ω
τxy =±k cos 2ω ω的确定：由于有：
因此有：ω=±cos
-1τ
(k )
σm 的确定：分以下五种：
18.2.4.1 自由表面
自由表面、法向σn ，切向τ均为0。
1）σ1=2k σ3=0
ω=±σ=0σ=-2k 2）1 3 4
18.2.4.2 无摩擦接触表面
ω=±45 σ3≠0 （α、β判断需比
较σ1，σ3值大小）
18.2.4.3
τ=±k
得
ω=0
或
ω=2
σn =σm 来历
⎧σx =σm -k sin ∂ω
⎪
⎨σy =σm +k sin ∂ω⎪τ=±k cos ∂ω⎩
∴ω=0 或
2
，
∴σx =σy =σm
18.2.4.4 摩擦切应力介于其一中间值的接触面
ω=±2k 若σy 已知则可
判断α线、β线。
18.2.4.5 变形体对称轴
对称轴上切应力为0 ω=±4 再确定α、β线。
π
18.2.5 滑移线场建立方法
18.2.5.1 常见的滑移线场
A 均匀应力场
两族正交直线 B 简单应力场
一族直线，另一族为与之正交的曲线 的切线。另一族曲线为极限曲线（包络
C 均匀应力场与简单场组合
注意：与均匀场相邻的区域只能是简单场
D 两族正交曲线滑移线场
线场 滑移线场为：正交圆摆线
形场）
近似图解法建立滑移线场
18.2.6 滑移线法解题
18.2.6.1 冲头压入半无限体
（1）平冲头压入
解题过程：1）建立滑移线场
2）判断α或β线族，确定目标点和边界点
3）应用Hencky 方程 4）确定各点的σm 和ω参数值
5）解出目标值
（2）楔形冲头压入 （3）圆弧冲头压入 18.2.6.2 平砧压缩高坏料
18.2.6.3 粗造平板间压缩长坏料 18.2.6.4 平面变形挤压
1）挤压比为2 2）挤压比不等于2 3）锥形凹模正挤压 4）反挤压
18.2.6.5圆筒件拉深 18.2.6.6盒形件坯料
习题 18章 12 13 14 16