锐角三角函数讲义

一、基础知识点：

如图在△ABC 中，∠C 为直角，

我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；sin A =

b c a

把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ；tan

A =

a c

把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；cos A =

（1）特殊角的三角函数值

角度 0° 30

° 4560° 90

° ° sinA 0 1

cosA 1

2 2 2 tanA

不存在

（2）锐角三角函数值的变化：（1）当α为锐角时，各三角函数值均为正数，且0

（3）当0°

sin α______cosα． 22

sin A +cos A =1. ； tan A =sin A ；（1）同角三角函数关系：

cos A

sin A =cos B =cos(90︒-A ) ，cos A =

sin B =sin(90︒-A ) 。（2）互余锐角的三角函数关系：

，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：

已知条件解法一条边和斜边c 和 ο

B =90-A , a =c sin A , b =c cos A , S 一个锐角锐角A

直角边a 和

a a ο

锐角A B =90-A , b =, c =,

=c 2sin A cos A

tan A sin A

两条边

两条直角边a 和

b 直角边a 和斜边

c =

A , B =90ο-A , S =1ab

b =A =, A , B =90ο-A

备注：a 、b 、c 为三角形的三边；A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积三、典型例题：

例1、如图1，在RT △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB 的值为（）

4453

A ． B ． C ．

D ．

3544

图1

例2

例5

3，AC=2，则sinB 2

例2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是的值是（）

A ．

3 2

3 4

4 3

B ． C ． D ．

例3：已知在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin ∠A = ．例4：在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若b =2a ，则

tan A =

例5：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，则cos A 的值是（） A ．

212215．．

．

5522

例6：如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝例6

例

E C

，则BC 的长为 ___cm . 5

例7：正方形网格中，∠AOB 如图3放置，则cos ∠AOB 的值为（）

Ｃ．

1 2

Ｄ．2

典型例题题型一：求锐角三角函数的值

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，求

∠BAD 的正切值．

变式训练1 如图，在△ABC 中，∠ACB =90 ，CD ⊥AB 于D ，

若AC =

AB =则tan ∠BCD 的值为（）

变式训练2如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，

且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC 的面积为（）

． B．15

． D

．题型三：化简计算

例1（1）

）计算：(-1) 2011-(-3+(cos68 +0+8sin 60 .

2π

⎛1⎫

变式：已知α是锐角，且sin(α+15°

4cos α-(π-3.14) 0+tan α+ ⎪。

⎝3⎭

-1

特殊角的三角函数值

例1菱形OABC

在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =则点B

的坐标为（）

． B

． C

．11) ， D

．1)

变式训练2. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点, 则∠OBC 的余弦值为( ).

134 A． B． C．

D．

245

1. 已知∆ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（） A. B. C. D. 2. 已知α为锐角，且sin(α-10︒) =

，则α等于（） 2

5334

A ．50︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒

∠B =40 ，3. 如图，已知直角三角形ABC 的斜边AB 长为m ，则直角边BC 的长是（）

A ．m sin 40 B ．m cos 40 C ．m tan 40 D ．

tan 40

4. 正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠

AOB =（） A

B C． D．2

5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝，则sin B ＝（） A ．

233 B ． C． D．

341010

6. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B

重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（） A ．

．

7 C ．

2431

D ．

7、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC ＝1，则AB ＝__________．

(1)求线段长、面积、周长

例1如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行）

，在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为

m（结果保留根号）

变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i =1∶2的坡面向上前进了

10 m，此时小球距离地面的高度为( )

A ．5 m B．25m C．45m D．

变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE =

． 13

（第6题）

10m 3

（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

sin A =例2如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，

，则这个菱形的面积． 5

（2）测量问题

例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A 处测得塔顶C 的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m ）

（3）、航海问题

例3、如图3，灯塔A 在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B 处，看到灯塔A 在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：sin55°=0.8192,cos55°=0.5736,tan55°=1.4281）

东

四、巩固练习：

1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =Rt ∠，BC =1，AB =2，

A ．sin

A =

1 B ．tan A = C ．cos B = D．tan B =2（第1题）

2. 如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h 为米．（结果精确到0．1米）

3. △ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC 的长是；

4. 先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（）

A. 5cos α B. C. 5sin α D.

cos αsin α

5. 如图10，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，

这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，

C 4A 5

= A 5C 5

第5题图填空第1题图填空第2题图 6. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个破面的坡度为__________.

7. 如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0. 1米) ．(sin35°≈0. 57，cos35°≈0. 82，tan35°≈0. 70；sin52°≈0. 79，cos52°≈0. 62，tan52°≈1. 28)

4cos30︒sin60︒+(-2) -1-2008) 0=______．

9. (1) 计算(-2) 2+tan 45。-2cos60。= （2）计算：2cos 60°-(

2009-π)+

五、课后练习

1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）

3 A．

（）m C．

m D．4m +）m B．

221

2．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan∠DBA =，则AD

5的长为（）（A ） 2 （B ）（C ）2 （D ）1

图

(第7题图)

3．已知在△ABC 中，∠C =90 ，设sinB =n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是

．0

1 B ．0

．0

24．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B．60° C．45° D．30°

5．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则

DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ) A．a B．a C．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝

2a D．a 22

，则tanB ＝（） 5

4334

A ． B ． C ． D ．

3455

7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）

A ．

1 2

．

8．计算2sin 45°的结果等于________.

9．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( ) A ． B．2 C

10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。 11．直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＞AD ，AD ＝2，AB ＝4，点E 在AB 上，将△CBE 沿CE 翻折，使得B 点与D 点重合，则∠BCE 的正切值为．

12．如图，在△ABC 中，∠B=45°，cos ∠C=，AC=5a，则△ABC 的面积用含ａ的式子

表示是．

13. 如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立

即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线) 向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O 米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． (

参考数据1.4

1.7)

14. 如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB ) 是1.7m ，看旗杆顶部M 的仰角为45 ；小红的眼睛与地面的距离(CD ) 是1.5m ，看旗杆顶部M 的仰角为30 ．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B ，N ，D 在同一条直线上）．请求出旗杆MN 的高度．

1.41.7，结果保留整数）

A B

15. 小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB 的长度为9cm ；

第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC 为80°(O 为AB 中点) ．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC 的长．

(参考数据：sin80°＝0. 98，cos80°＝0. 17，tan80°＝5. 67；sin40°＝0. 64，

cos40°＝0. 77，tan40°＝0. 84，结果精确到0. 1cm ．)

16. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE =BC ，接DE ．

（1）求证：△ABE ≌△DFA ；

（2）如果AD =10，AB =6，求sin ∠EDF 的值．

DF ⊥AE ，垂足为F ，连A

锐角三角函数讲义

一、基础知识点：

如图在△ABC 中，∠C 为直角，

我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；sin A =

b c a

把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ；tan

A =

a c

把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；cos A =

（1）特殊角的三角函数值

角度 0° 30

° 4560° 90

° ° sinA 0 1

cosA 1

2 2 2 tanA

不存在

（2）锐角三角函数值的变化：（1）当α为锐角时，各三角函数值均为正数，且0

（3）当0°

sin α______cosα． 22

sin A +cos A =1. ； tan A =sin A ；（1）同角三角函数关系：

cos A

sin A =cos B =cos(90︒-A ) ，cos A =

sin B =sin(90︒-A ) 。（2）互余锐角的三角函数关系：

，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：

已知条件解法一条边和斜边c 和 ο

B =90-A , a =c sin A , b =c cos A , S 一个锐角锐角A

直角边a 和

a a ο

锐角A B =90-A , b =, c =,

=c 2sin A cos A

tan A sin A

两条边

两条直角边a 和

b 直角边a 和斜边

c =

A , B =90ο-A , S =1ab

b =A =, A , B =90ο-A

备注：a 、b 、c 为三角形的三边；A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积三、典型例题：

例1、如图1，在RT △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB 的值为（）

4453

A ． B ． C ．

D ．

3544

图1

例2

例5

3，AC=2，则sinB 2

例2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是的值是（）

A ．

3 2

3 4

4 3

B ． C ． D ．

例3：已知在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin ∠A = ．例4：在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若b =2a ，则

tan A =

例5：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，则cos A 的值是（） A ．

212215．．

．

5522

例6：如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝例6

例

E C

，则BC 的长为 ___cm . 5

例7：正方形网格中，∠AOB 如图3放置，则cos ∠AOB 的值为（）

Ｃ．

1 2

Ｄ．2

典型例题题型一：求锐角三角函数的值

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，求

∠BAD 的正切值．

变式训练1 如图，在△ABC 中，∠ACB =90 ，CD ⊥AB 于D ，

若AC =

AB =则tan ∠BCD 的值为（）

变式训练2如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，

且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC 的面积为（）

． B．15

． D

．题型三：化简计算

例1（1）

）计算：(-1) 2011-(-3+(cos68 +0+8sin 60 .

2π

⎛1⎫

变式：已知α是锐角，且sin(α+15°

4cos α-(π-3.14) 0+tan α+ ⎪。

⎝3⎭

-1

特殊角的三角函数值

例1菱形OABC

在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =则点B

的坐标为（）

． B

． C

．11) ， D

．1)

变式训练2. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点, 则∠OBC 的余弦值为( ).

134 A． B． C．

D．

245

1. 已知∆ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（） A. B. C. D. 2. 已知α为锐角，且sin(α-10︒) =

，则α等于（） 2

5334

A ．50︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒

∠B =40 ，3. 如图，已知直角三角形ABC 的斜边AB 长为m ，则直角边BC 的长是（）

A ．m sin 40 B ．m cos 40 C ．m tan 40 D ．

tan 40

4. 正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠

AOB =（） A

B C． D．2

5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝，则sin B ＝（） A ．

233 B ． C． D．

341010

6. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B

重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（） A ．

．

7 C ．

2431

D ．

7、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC ＝1，则AB ＝__________．

(1)求线段长、面积、周长

例1如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行）

，在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为

m（结果保留根号）

变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i =1∶2的坡面向上前进了

10 m，此时小球距离地面的高度为( )

A ．5 m B．25m C．45m D．

变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE =

． 13

（第6题）

10m 3

（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

sin A =例2如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，

，则这个菱形的面积． 5

（2）测量问题

（3）、航海问题

东

四、巩固练习：

1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =Rt ∠，BC =1，AB =2，

A ．sin

A =

1 B ．tan A = C ．cos B = D．tan B =2（第1题）

2. 如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h 为米．（结果精确到0．1米）

3. △ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC 的长是；

4. 先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（）

A. 5cos α B. C. 5sin α D.

cos αsin α

这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，

C 4A 5

= A 5C 5

第5题图填空第1题图填空第2题图 6. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个破面的坡度为__________.

4cos30︒sin60︒+(-2) -1-2008) 0=______．

9. (1) 计算(-2) 2+tan 45。-2cos60。= （2）计算：2cos 60°-(

2009-π)+

五、课后练习

3 A．

（）m C．

m D．4m +）m B．

221

2．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan∠DBA =，则AD

5的长为（）（A ） 2 （B ）（C ）2 （D ）1

图

(第7题图)

3．已知在△ABC 中，∠C =90 ，设sinB =n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是

．0

1 B ．0

．0

24．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B．60° C．45° D．30°

5．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则

DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ) A．a B．a C．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝

2a D．a 22

，则tanB ＝（） 5

4334

A ． B ． C ． D ．

3455

7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）

A ．

1 2

．

8．计算2sin 45°的结果等于________.

9．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( ) A ． B．2 C

12．如图，在△ABC 中，∠B=45°，cos ∠C=，AC=5a，则△ABC 的面积用含ａ的式子

表示是．

13. 如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立

参考数据1.4

1.7)

1.41.7，结果保留整数）

A B

第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC 为80°(O 为AB 中点) ．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC 的长．

(参考数据：sin80°＝0. 98，cos80°＝0. 17，tan80°＝5. 67；sin40°＝0. 64，

cos40°＝0. 77，tan40°＝0. 84，结果精确到0. 1cm ．)

16. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE =BC ，接DE ．

（1）求证：△ABE ≌△DFA ；

（2）如果AD =10，AB =6，求sin ∠EDF 的值．

DF ⊥AE ，垂足为F ，连A

锐角三角函数 讲义

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