变
黄水娟（闽江学院 化工系 10级 化学教育 [1**********]8）
摘要：运用变量静态逻辑思维规律及静态变量复合型逻辑思维规律来解决数学方面的证明题及计算题会对学习数学有很大的帮助。
关键词：变量静态逻辑思维、极限函数、微积分、静态变量复合型逻辑思维。
1、变量静态下逻辑思维规律的发展这一—静态变量逻辑思维规律与变量静态逻辑思维规律——用“变”证“定”之法的逻辑思维规律。
例如，一元函数定义的逻辑思维变量静态下形式逻辑思维规律，由函数f 及其定义域D, 即可定出D 内一点x 0的函数值f (x 0) =A ，换言之，由变量f (x ) 即可定出静态下
f (x 0) =A ；反之，若证明有关A 的等式、不等式等，我们先将A 视作函数值f (x 0) :A =f (x 0) ，再由f (x 0) 找到f (x ) 及f 的定义域D ，当然x ∈D ；再由f (x ) 当x =x 0∈D 时而最后证出有关A 的等式或不等式等，即再由变量静态逻辑思维规律去证待
证的结论。这即是静态变量逻辑思维规律与变量静态逻辑思维规律。
2、发展之一的应用：用“变”证“定”之法——学生不易想到的证法之一的例析。
例1 、设函数f 在[a , b ]连续。且存在原函数F ，则
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
b
要证明上式的两端均为定数，不妨记作：A ，即⎰f (x ) dx =A =F (b ) -F (a ) ，这是
a
要证关于A 的等式，即证关于A 的等式，即证“定”问题。不妨用静态变量逻辑思维规律，先⎰f (x ) dx =A 看作函数值G (b ) ，由G (b ) ，不难由f 在[a , b ]的连续性及微积分学基本
a b
定理找到函数G (x ) =
⎰
x
a
且有G (x ) =f (x ), x ∈[a , b ]；又由于F 在f 在f (t ) dt , x ∈[a , b ]，
'
'
[a , b ]上的一个原函数，则F (x ) =f (x ) ，由此有G (x ) =F (x ) +c ，再由x =a ，定出G (a ) =F (a ) +c ，而G (a ) =
x
⎰
a
a
f (t ) =0，则可定出c =-F (a ) ，从而有
G (x ) =F (x ) -F (a ) ，即⎰f (t ) dt =F (x ) -F (a ), x ∈[a , b ]，这就是由定数A 的等式
a
⎰
b
a
f (x ) dx =A =F (b ) -F (a ) 找到的变量表达式，其逻辑规律是静态变量逻辑思维规律。
b
再由变量静态逻辑思维规律知：当x =b 时，⎰f (x ) =G (b ) =F (b ) -F (a ) 。
a
例2、 设f (x ) 在[a , b ]连续，证明[⎰f (x ) dx ]≤(b -a ) ⎰f 2(x ) dx 。
a
a
b
2
b
分析：所要证明的不等式可转化为：要证(b -a ) ⎰f 2(x ) dx -[⎰f (x ) dx ]≥0，记不等
a
a
b b
式的左端为A ，这是要证关于A 的不等式A ≥0；是证“定”问题，以“变”证“定”之法。先用静态变量逻辑思维规律，由A 找到变量表达式：将b 换成x 即
F (x ) =(x -a ) ⎰f (t ) dt -(⎰f (t ) dt ) , x ∈[a , b ]
a
a
x
2
x
2
所证不等式转化为：F (b ) =A ≥F (a ) =0，而要证F (b ) ≥F (a ) ，只考察F (x ) 在[a , b ]上的单调性即可。
证明：作函数F (x ) =(x -a ) ⎰f 2(t ) dt -(⎰f (t ) dt ) 2, x ∈[a , b ]
a
a
x
x
由于f 在[a , b ]连续，由导数的四则运算性质与微积分学的基本定理知 F (x ) =
'
⎰
x a x a
f (t ) dt +(x -a ) f (x ) -2(⎰f (t ) dt ) f (x )
a
22
x
=
⎰
[f (t ) -f (x ) ]d ≥t
2
0, ∈x [a , b ]
其中，(x -a ) f 2(x ) =
⎰
x a
f (x ) dt 。则F 在[a , b ]上递增，因而F (b ) ≥F (a ) =0，即
b
2
b
2
2
[⎰f (x ) dx ]≤(b -a ) ⎰f (x ) dx
a
a
3、变量静态下形式逻辑思维规律的发展之二——变量静态下复合型逻辑思维规律与静态变量复合型逻辑思维规律及它们的应用。
1）变量静态下形式逻辑思维规律为变量静态下简单型逻辑思维规律；称变量静态下兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的逻辑思维规律为变量静态下复合型逻辑思维规律。
例如，函数列{f n (x ) }在数集D 上收敛的定义是：若函数列{f n (x ) }在数集D 上每一点都收敛，则称函数列{f n (x ) }在数集但D 上收敛，由于前面对函数概念的变量静态下形式逻辑思维规律的揭示知：函数列{f n (x ) }在D 上收敛是由于函数列{f n (x ) }在D 上的一个点，一个点的收敛所组成、所表现、所量度，就思维规律而言，这是变量静态下的逻辑思维规律，但不同于数列极限概念的变量静态下形式逻辑思维规律之处是：函数列{f n (x ) }在D 内一点
x 收敛，虽然是数列{f n (x ) }收敛，但由数列极限ε-N 定义知：其所正确的定的
N =N (ε, x ) ，不同于数列{a n }所确定的N =N (ε) ；尽管N 的确定方法均是用形式逻辑
思维规律确定的。因而它是兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的，则函数列
{f n (x ) }在数集D 上收敛的定义的逻辑思维规律是变量静态下复合型逻辑思维规律。
2）变量静态下复合型逻辑思维规律与静态变量逻辑思维规律的应用。
（1）用于计算
其一、求函数列{f n (x ) }(x ∈E ) 的极限函数f (x ) 。
例3、设f n (x ) =x , n =1, 2, , x ∈E =(-∞, +∞) 。求其极限函数f (x ) 。
解：对于每一x ∈E =(-∞, +∞) ，当每一x ∈(-1,1) 时，数列{x n }以0为极限；当x =1时，数列{1}以1为极限；当x =-1时，数列发散；因而有
⎧⎪0, x ∈(-1,1)
f (x ) =lim f n (x ) =⎨
n →∞
⎪⎩1, x =1
n
{(-1)
n
}发散；当每一x ：x >1时，数列{x }
n
小结：求数列{f n (x ) }(x ∈E ) 的极限函数，由变量静态下复合型逻辑思维规律，转化到静态下，对于固定的x ∈E ，数列{f n (x ) }的散敛性极其收敛下的数列极限问题。而数列
{f n (x ) }的敛散性极其收敛情况下的数列极限问题则是兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑
思维规律的。
其二、计算含参量正常积分⎰f (x , y ) dy , x ∈[a , b ]。
c d
例4、设x >0, x ≠1，计算积分⎰x y dy 。
1
2
解：I (x ) =
⎰
2
1
x =
y
x
y
y =2
y =1
ln x
=
x -x ln x
2
, x >0, x ≠1。
d
小结：计算含参量正常积分I (x ) =
⎰
c
f (x , y ) dy , x ∈[a , b ]其方法是：将被积函数
d c
f (x , y ) 中的参量x ，相对于积分变量y 视作常量，计算定积分⎰
d c
f (x , y ) dy ，其理论根据
是变量是变量静态下复合型逻辑思维规律；含参量正常积分⎰f (x , y ) dy ，在静态下，对与固定x ∈[a , b ]，⎰f (x , y ) dy 为定积分。
c d
其三、计算含参量反常积分⎰例5、计算⎰
+∞0
+∞a
f (x , y ) dx , y ∈[c , d ]
e
-xy
dx , y ∈(0,+∞) 。
解：当y ∈(0,+∞) 时
+∞0
u 0
J (y ) =
⎰
e
-xy
dx =lim
u →+∞
⎰
e
-xy
⎛-1⎫-xy
dy =lim ⎪e u →+∞
⎝y ⎭
x =u x =0
=lim (-
u →+∞
1y
)(e
-uy
-1) =
+∞a
1y
小结：计算含量反常积分⎰
f (x , y ) dx , y ∈[c , d ]或y =[c , +∞) ，根据变量静态下、
+∞a
固定的y ∈[c , d ]或固定的y =[c , +∞) 的反常积分⎰
因而用一句话概括，计算f (x , y ) dx ；
一个含参量反常积分，就是将含参量y （其相对应积分变量x ）视作常数而计算一个反常积分即可。
（2）用于证明
函数列一致性收敛的柯西准则的充分性的证明。
函数列一致性的柯西准则的充分性是：若对任给正数ε，总存在正整数N ，使得当
n 、m >N 时，对一切x ∈D ，都有f n (x ) -f m (x )
敛。
证明：由数列收敛的柯西准则知：{f n }在D 上任意都收敛，记其极限函数为f (x ), x ∈D 。现固定条件f n (x ) -f m (x ) N 时，对一
切x ∈D ，都有
f n (x ) -f (x ) ≤ε
由函数列一致性收敛定义，或改为：{f n (x ) }在D 上一致收敛于f (x ) 。
结束语：运用变量静态逻辑思维规律及静态变量复合型逻辑思维规律可以从破解学生计算上、证明上的某些难点。更有利于学生学好高数。 参考文献
[1] 刘广云. 变量数学思维引论 [M] .北京：科学出版社，2007 [2] 王宪昌. 数学思维方法 [M] .北京：人民教育出版社，2010
变
黄水娟（闽江学院 化工系 10级 化学教育 [1**********]8）
摘要：运用变量静态逻辑思维规律及静态变量复合型逻辑思维规律来解决数学方面的证明题及计算题会对学习数学有很大的帮助。
关键词：变量静态逻辑思维、极限函数、微积分、静态变量复合型逻辑思维。
1、变量静态下逻辑思维规律的发展这一—静态变量逻辑思维规律与变量静态逻辑思维规律——用“变”证“定”之法的逻辑思维规律。
例如，一元函数定义的逻辑思维变量静态下形式逻辑思维规律，由函数f 及其定义域D, 即可定出D 内一点x 0的函数值f (x 0) =A ，换言之，由变量f (x ) 即可定出静态下
f (x 0) =A ；反之，若证明有关A 的等式、不等式等，我们先将A 视作函数值f (x 0) :A =f (x 0) ，再由f (x 0) 找到f (x ) 及f 的定义域D ，当然x ∈D ；再由f (x ) 当x =x 0∈D 时而最后证出有关A 的等式或不等式等，即再由变量静态逻辑思维规律去证待
证的结论。这即是静态变量逻辑思维规律与变量静态逻辑思维规律。
2、发展之一的应用：用“变”证“定”之法——学生不易想到的证法之一的例析。
例1 、设函数f 在[a , b ]连续。且存在原函数F ，则
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
b
要证明上式的两端均为定数，不妨记作：A ，即⎰f (x ) dx =A =F (b ) -F (a ) ，这是
a
要证关于A 的等式，即证关于A 的等式，即证“定”问题。不妨用静态变量逻辑思维规律，先⎰f (x ) dx =A 看作函数值G (b ) ，由G (b ) ，不难由f 在[a , b ]的连续性及微积分学基本
a b
定理找到函数G (x ) =
⎰
x
a
且有G (x ) =f (x ), x ∈[a , b ]；又由于F 在f 在f (t ) dt , x ∈[a , b ]，
'
'
[a , b ]上的一个原函数，则F (x ) =f (x ) ，由此有G (x ) =F (x ) +c ，再由x =a ，定出G (a ) =F (a ) +c ，而G (a ) =
x
⎰
a
a
f (t ) =0，则可定出c =-F (a ) ，从而有
G (x ) =F (x ) -F (a ) ，即⎰f (t ) dt =F (x ) -F (a ), x ∈[a , b ]，这就是由定数A 的等式
a
⎰
b
a
f (x ) dx =A =F (b ) -F (a ) 找到的变量表达式，其逻辑规律是静态变量逻辑思维规律。
b
再由变量静态逻辑思维规律知：当x =b 时，⎰f (x ) =G (b ) =F (b ) -F (a ) 。
a
例2、 设f (x ) 在[a , b ]连续，证明[⎰f (x ) dx ]≤(b -a ) ⎰f 2(x ) dx 。
a
a
b
2
b
分析：所要证明的不等式可转化为：要证(b -a ) ⎰f 2(x ) dx -[⎰f (x ) dx ]≥0，记不等
a
a
b b
式的左端为A ，这是要证关于A 的不等式A ≥0；是证“定”问题，以“变”证“定”之法。先用静态变量逻辑思维规律，由A 找到变量表达式：将b 换成x 即
F (x ) =(x -a ) ⎰f (t ) dt -(⎰f (t ) dt ) , x ∈[a , b ]
a
a
x
2
x
2
所证不等式转化为：F (b ) =A ≥F (a ) =0，而要证F (b ) ≥F (a ) ，只考察F (x ) 在[a , b ]上的单调性即可。
证明：作函数F (x ) =(x -a ) ⎰f 2(t ) dt -(⎰f (t ) dt ) 2, x ∈[a , b ]
a
a
x
x
由于f 在[a , b ]连续，由导数的四则运算性质与微积分学的基本定理知 F (x ) =
'
⎰
x a x a
f (t ) dt +(x -a ) f (x ) -2(⎰f (t ) dt ) f (x )
a
22
x
=
⎰
[f (t ) -f (x ) ]d ≥t
2
0, ∈x [a , b ]
其中，(x -a ) f 2(x ) =
⎰
x a
f (x ) dt 。则F 在[a , b ]上递增，因而F (b ) ≥F (a ) =0，即
b
2
b
2
2
[⎰f (x ) dx ]≤(b -a ) ⎰f (x ) dx
a
a
3、变量静态下形式逻辑思维规律的发展之二——变量静态下复合型逻辑思维规律与静态变量复合型逻辑思维规律及它们的应用。
1）变量静态下形式逻辑思维规律为变量静态下简单型逻辑思维规律；称变量静态下兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的逻辑思维规律为变量静态下复合型逻辑思维规律。
例如，函数列{f n (x ) }在数集D 上收敛的定义是：若函数列{f n (x ) }在数集D 上每一点都收敛，则称函数列{f n (x ) }在数集但D 上收敛，由于前面对函数概念的变量静态下形式逻辑思维规律的揭示知：函数列{f n (x ) }在D 上收敛是由于函数列{f n (x ) }在D 上的一个点，一个点的收敛所组成、所表现、所量度，就思维规律而言，这是变量静态下的逻辑思维规律，但不同于数列极限概念的变量静态下形式逻辑思维规律之处是：函数列{f n (x ) }在D 内一点
x 收敛，虽然是数列{f n (x ) }收敛，但由数列极限ε-N 定义知：其所正确的定的
N =N (ε, x ) ，不同于数列{a n }所确定的N =N (ε) ；尽管N 的确定方法均是用形式逻辑
思维规律确定的。因而它是兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的，则函数列
{f n (x ) }在数集D 上收敛的定义的逻辑思维规律是变量静态下复合型逻辑思维规律。
2）变量静态下复合型逻辑思维规律与静态变量逻辑思维规律的应用。
（1）用于计算
其一、求函数列{f n (x ) }(x ∈E ) 的极限函数f (x ) 。
例3、设f n (x ) =x , n =1, 2, , x ∈E =(-∞, +∞) 。求其极限函数f (x ) 。
解：对于每一x ∈E =(-∞, +∞) ，当每一x ∈(-1,1) 时，数列{x n }以0为极限；当x =1时，数列{1}以1为极限；当x =-1时，数列发散；因而有
⎧⎪0, x ∈(-1,1)
f (x ) =lim f n (x ) =⎨
n →∞
⎪⎩1, x =1
n
{(-1)
n
}发散；当每一x ：x >1时，数列{x }
n
小结：求数列{f n (x ) }(x ∈E ) 的极限函数，由变量静态下复合型逻辑思维规律，转化到静态下，对于固定的x ∈E ，数列{f n (x ) }的散敛性极其收敛下的数列极限问题。而数列
{f n (x ) }的敛散性极其收敛情况下的数列极限问题则是兼具辩证逻辑思维规律与形式逻辑
思维规律的。
其二、计算含参量正常积分⎰f (x , y ) dy , x ∈[a , b ]。
c d
例4、设x >0, x ≠1，计算积分⎰x y dy 。
1
2
解：I (x ) =
⎰
2
1
x =
y
x
y
y =2
y =1
ln x
=
x -x ln x
2
, x >0, x ≠1。
d
小结：计算含参量正常积分I (x ) =
⎰
c
f (x , y ) dy , x ∈[a , b ]其方法是：将被积函数
d c
f (x , y ) 中的参量x ，相对于积分变量y 视作常量，计算定积分⎰
d c
f (x , y ) dy ，其理论根据
是变量是变量静态下复合型逻辑思维规律；含参量正常积分⎰f (x , y ) dy ，在静态下，对与固定x ∈[a , b ]，⎰f (x , y ) dy 为定积分。
c d
其三、计算含参量反常积分⎰例5、计算⎰
+∞0
+∞a
f (x , y ) dx , y ∈[c , d ]
e
-xy
dx , y ∈(0,+∞) 。
解：当y ∈(0,+∞) 时
+∞0
u 0
J (y ) =
⎰
e
-xy
dx =lim
u →+∞
⎰
e
-xy
⎛-1⎫-xy
dy =lim ⎪e u →+∞
⎝y ⎭
x =u x =0
=lim (-
u →+∞
1y
)(e
-uy
-1) =
+∞a
1y
小结：计算含量反常积分⎰
f (x , y ) dx , y ∈[c , d ]或y =[c , +∞) ，根据变量静态下、
+∞a
固定的y ∈[c , d ]或固定的y =[c , +∞) 的反常积分⎰
因而用一句话概括，计算f (x , y ) dx ；
一个含参量反常积分，就是将含参量y （其相对应积分变量x ）视作常数而计算一个反常积分即可。
（2）用于证明
函数列一致性收敛的柯西准则的充分性的证明。
函数列一致性的柯西准则的充分性是：若对任给正数ε，总存在正整数N ，使得当
n 、m >N 时，对一切x ∈D ，都有f n (x ) -f m (x )
敛。
证明：由数列收敛的柯西准则知：{f n }在D 上任意都收敛，记其极限函数为f (x ), x ∈D 。现固定条件f n (x ) -f m (x ) N 时，对一
切x ∈D ，都有
f n (x ) -f (x ) ≤ε
由函数列一致性收敛定义，或改为：{f n (x ) }在D 上一致收敛于f (x ) 。
结束语：运用变量静态逻辑思维规律及静态变量复合型逻辑思维规律可以从破解学生计算上、证明上的某些难点。更有利于学生学好高数。 参考文献
[1] 刘广云. 变量数学思维引论 [M] .北京：科学出版社，2007 [2] 王宪昌. 数学思维方法 [M] .北京：人民教育出版社，2010