1部高三20班数学错题回顾（10）2016/12/11
解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定 区域内.
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和圆
0) ，且被圆C 1截得的弦长为23，求C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4.(1)若直线l 过点A (4，
直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．
⎧1-|x -1|, x ∈(-∞, 2) ⎪2. 设函数f (x ) =⎨1，则函数F (x ) =xf (x ) -1的零点的个数为____. f (x -2), x ∈[2, +∞) ⎪⎩2
⎧21-x , x ≤0, 3. 设函数f (x ) =⎨方程f (x ) =x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实
⎩f (x -1), x >0,
数的a 的取值范围为______________.
4. 已知数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ，且满足2a n +1+S n =2(n ∈N *) ，则满足1001S 2n 11
解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，
所以直线l 的斜率存在．
设直线l 的方程为y ＝k (x －4) ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－3)2＝1.
|1－k (－3－4)|7由点到直线的距离公式得d ＝从而k (24k ＋7) ＝0，即k ＝0或k 241＋k
所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P (a ，b ) 满足条件，
不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ) ，k ≠0，
1则直线l 2的方程为y －b ＝－(x －a ) ． k
因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，
所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 ⎪514－a )－b ⎪k ⎪|1－k (－3－a )－b |⎪
1＋k ＝1＋k ，
整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk
或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2) k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8) k ＝a ＋b －5，
⎧a ＋b －2＝0，⎧a －b ＋8＝0，⎪⎪因为k 的取值有无穷多个，所以⎨或⎨解得 ⎪⎪b －a ＋3＝0，a ＋b －5＝0，⎩⎩
⎧⎨1⎩b ＝－25a 2 ⎧或⎨13b ＝⎩23a ＝－，2 51313这样点P 只可能是点P 1(，－或点P 2(－，． 2222经检验点P 1和P 2满足题目条件．
1部高三20班数学错题回顾（10）2016/12/11
解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定 区域内.
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和圆
0) ，且被圆C 1截得的弦长为23，求C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4.(1)若直线l 过点A (4，
直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．
⎧1-|x -1|, x ∈(-∞, 2) ⎪2. 设函数f (x ) =⎨1，则函数F (x ) =xf (x ) -1的零点的个数为____. f (x -2), x ∈[2, +∞) ⎪⎩2
⎧21-x , x ≤0, 3. 设函数f (x ) =⎨方程f (x ) =x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实
⎩f (x -1), x >0,
数的a 的取值范围为______________.
4. 已知数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ，且满足2a n +1+S n =2(n ∈N *) ，则满足1001S 2n 11
解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，
所以直线l 的斜率存在．
设直线l 的方程为y ＝k (x －4) ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－3)2＝1.
|1－k (－3－4)|7由点到直线的距离公式得d ＝从而k (24k ＋7) ＝0，即k ＝0或k 241＋k
所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P (a ，b ) 满足条件，
不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ) ，k ≠0，
1则直线l 2的方程为y －b ＝－(x －a ) ． k
因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，
所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 ⎪514－a )－b ⎪k ⎪|1－k (－3－a )－b |⎪
1＋k ＝1＋k ，
整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk
或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2) k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8) k ＝a ＋b －5，
⎧a ＋b －2＝0，⎧a －b ＋8＝0，⎪⎪因为k 的取值有无穷多个，所以⎨或⎨解得 ⎪⎪b －a ＋3＝0，a ＋b －5＝0，⎩⎩
⎧⎨1⎩b ＝－25a 2 ⎧或⎨13b ＝⎩23a ＝－，2 51313这样点P 只可能是点P 1(，－或点P 2(－，． 2222经检验点P 1和P 2满足题目条件．