常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a，b和c是三个矢量，组合

abc

1

2

3

叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为

i,j,k，令三个矢量的分量记为aa,a,a,bb,b,b及cc,c,c则有

1

2

3

1

2

3

abcaaacic

123

1

ijk

2

jc3ka1a2a3

b1b2b3



c1c2c3

b1b2b3

因此，三重标量积必有如下关系式：

abcbcacab即有循环法则成立，

这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积

如a，b和c是三个矢量，组合abc



叫做他们的三重标量积，因有

a(bc)a(cb)(cb)a

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:将矢量作重新排列又有：3.算子（

a(bc)(ab)cacb



（1-209）

abcbacbac



（1-210）

a

）



是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（

a

）则是一个标量算子，将它作用于标量，即



(a)是(dr)

在方向的变化速率的倍。如以无穷小的位置矢量

aadr

代替以上矢量，则

a

是在位移方向

dr

的变化率的

dr

倍，即

d

。

若将

d(dr)dr

v

(dr)

作用于矢量，则

(dr)v

就是再位移方向

vdr

变化率的

dr

倍，既为速度矢量

的全微分应

dvdrv

三



重

矢

量

积

公

式

（

1-209

）

用

abab0a0b(b)a(a)bb(a)a(b)



应用三重矢量积公式（1-210）又有

aba0bab0a(b)(a)bb(a)(b)a

将以上两式结合（相减）后可得



1

ababb(a)a(b)b(a)a(b)

2

1

(v)vv2v(v)vv0abv

一个重要的特例，令，因则有 2



4.算子的应用 (a)b







令是标量，是矢量，

aa;b

为并矢量，则有

(a)(0a)(a0)(a)a()(a)(a0)(0a)a(a)(a)(a)2a

(a;b)(a0;b0)(a0;b)b(a)(a)b

在直角坐标中，令

aiaxjaykazjkxyzaxayaz

a

xyzi

ijk

a

xyzaxayaz

222

()222

xyz



aaxayaz

xyz

2

对一组正交曲线坐标系

(1,2,3)

，其单位矢量

(e1,e2,e3)

，将任意位置矢量

R

变分写为

Rh1d1e1h2d2e2h3d3e3

其中

h1,h2,h3

为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，

。在柱坐标

Rdxidxjdxk

，所以

h1h2h31

(r,z,)

中，因

Rdrerrdedzez

，所以

h1h31,h2r

。在球坐标

。

(r,,)

中，因

Rdrrerdesirn



，所以

e

h11,h2r,h3rsin

在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量



aa1e1a2e2a3e3

，则有



e1e2e3



h11h22h33

1(h2h3a1)(h3h1a2)(h2h3a1)



h1h2h3133

h1e1h2e2h3e3

1h1h2h3123

h1a1h2a2h3a3

a

a

单位矢量的旋度和散度为

e1e12

eh1e2h1

3(1,2,3轮换)

h1h33h1h22

1(h2h3)

(1,2,3轮换)

h1h2h31

1h2h3h3h1h1h2

()()()

h1h2h31h112h223h33

方向梯度

n(n1,n2,n3)

n

作用于矢量为

a

a3h3a2h1h2h1

nae1na1(n1n2)(n1n3)

h1h221h3h131



e1na2



a3ahhhh

(n22n32)3(n22n13)h2h332h3h112

h3h3a1h1a2h2

e3na3(n3n1)(n3n2)

h3h113h2h323



笛卡尔张量

1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号

以

x1(i1,2,3)

表示笛卡尔直角坐标系的坐标，

i1(i1,2,3)

表示三个坐标轴方向单位矢量。

令

(x1,x2,x3)

，定义求和约定的写法为

d



dx1dx2dx3dxi

式中重复x1x2x3xi



dxidxj

下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，xj和xi具有相同的

效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为

ij

0,ij

1,ij

在笛卡尔直角坐标系中，有

i1i2ij,

xi

ij,ij3,ijxixj

xj

100111213

()I010ij212223单位矩阵也可以表示为

001313233

轮转符号定义为

ijk

0,当i,j,k中有两个相同时



1,当i,j,k为1,2,3顺序轮转排列时-1,当i,j,k为非1,2,3轮转顺序排列时 

。采用轮转符号

例如如

1232313121,1323212131ijk

可使运算的书写简化，

i1i2i3

aba1a2a3ijkajbkii

或

b1b2b3

(ab)iijkajbkiii1i2i3

 v

x1x2xv1v2v3





(vk)i

ijki

xj3

或

(v)iijk(

vk

)

xj

2.笛卡尔张量定义

在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量



（如应力）在任一点处有三个矢量分量

p1,p2,p3

即这个量具有九个分量。



这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分

量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则



这个量称为二阶张

量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们分别有

30,31,32

个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n阶张量。

i1p1i2p2i3p3

笛卡尔二阶张量



p1i1p11i2p12i3p13

所确定的三个矢量的分解式为pipipip

2121222323

p3i1p31i2p32i3p33

p11p12p13

ppp212223 则张量可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式

p31p32p33

或写成张量的九项式：如

iiijpij,i,j1,2,3

p11p12p131,pij0(ij)

，则为单位张量

，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件



如果张两分两满足条件

pijpji

pijpji

，则这个张量叫反对称张量。若将张量



的分量

pij

与

pji

互易位置后的张量，则

p11p21p31

cpppc122232 称该张量的共轭张量，并以表示：

p13p23p33

3.并失

为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失

ab

写成

a;b

。令

ai1a1i2a2i3a3,bi1b1i2b2i3b3

，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为

a1b1a1b2a1b3

aba;bababab212223，并失为二阶张量。必须注意，并失a;b与b;a是不同的

a3b1a3b2a3b3

b1a1b1a2b1a3

b;abababa212223b;aa;b

是并失的共轭张量。 b3a1b3a2b3a3，由此可见

a1

x1a

grada;a1

矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：x2

a1x3

a2a3



x1x1a2a3



x2x2 a2a3



x3x3

da1

a1aadx11dx21dx3x1x2x3a2aa

dx12dx22dx3

x1x2x3a3aa

dx13dx23dx3x1x2x3

考虑矢量

a(r)a(x1,x2,x3)

的无穷小增量，因

da2da3

a1

x1

daa1

da/dr

故为具有九个分量的二阶张量drx2

a1x3

因可将

a2a3



x1x1a2a3



x2x2 a2a3



x3x3

与矢量

da

表示为张量

da/drdr

的点乘，

da

da

drdrgradadr(;a)

dr

应用并失运算法则又有对标量函数

dadr(;a)(dr);a(dr)addrgraddr

(r)

类似的有

并失运算服从如下四个运算法则 （1）结合律法则

a;b;c(a;b);ca;(b;c)

连续的并失积可以任何方式加上括号而不改

变结果。 （2）标量率法则

a;b(a);b(a;b)

标量



在并失运算中可以提到任何一个位置。

（3）缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：

(a;b)ca;(bc)(bc)a

如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失

(a;b)(c;d)a;(bc);d(bc)(a;d)

（4）分配律法则

a;(bc)a;ba;c

4.张量的梯度，散度和格林定理

零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的梯度必为三阶张量。

设A是二阶张量，其分量

AijAji(x1,x2,x3)

Aij

，定义xk

Aij,k

表示

Aij

对

xk

求偏导数。



gradA,,,k1,2,3

梯度符号是一矢量算子，故张量A的梯xxxx231k

Aij

gradAAAij,k33k度可写为张量A的梯度具有27个分量的量，即个分量，i,j1,2,3,k1,2,3

属于三阶张量。

一阶张量（矢量）的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为

AijA11A21A31A12A22A32A13A23A33

divAA,,

xxxxxxxxx23123123k1

在正交坐标系的

(1,2,3)

中，拉美系数为

公

h1,h2,h3

时，二阶张量的散度和变形率张量分量

式

Dij

为

Aij331lhkhh12hhhhnh312

divAAAAAA1kkkkkk

hhhhhhhhk1k1kk2k3ki1

D12D12D12

h2v2hv1

()1()h11h2h22h1h3v3hv2

()2()h22h3h33h2

vh1h1v1h3v31vh11v1

()(),D1123

h33h1h11h32h11h1h22h3h13

vh2vh21vh3vh311v21v3D1131,D33122h22h2h33h1h212h33h3h11h2h32

若令

Xv;a

为一并失（二阶张量），则有张量形式的高斯定理为

A

(v;a)d

n(v;a)dA

故将二阶张量分量记为

Tij

，则又可写为

xd

i

Tij

Aiji

TndA

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a，b和c是三个矢量，组合

abc

1

2

3

叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为

i,j,k，令三个矢量的分量记为aa,a,a,bb,b,b及cc,c,c则有

1

2

3

1

2

3

abcaaacic

123

1

ijk

2

jc3ka1a2a3

b1b2b3



c1c2c3

b1b2b3

因此，三重标量积必有如下关系式：

abcbcacab即有循环法则成立，

这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积

如a，b和c是三个矢量，组合abc



叫做他们的三重标量积，因有

a(bc)a(cb)(cb)a

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:将矢量作重新排列又有：3.算子（

a(bc)(ab)cacb



（1-209）

abcbacbac



（1-210）

a

）



是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（

a

）则是一个标量算子，将它作用于标量，即



(a)是(dr)

在方向的变化速率的倍。如以无穷小的位置矢量

aadr

代替以上矢量，则

a

是在位移方向

dr

的变化率的

dr

倍，即

d

。

若将

d(dr)dr

v

(dr)

作用于矢量，则

(dr)v

就是再位移方向

vdr

变化率的

dr

倍，既为速度矢量

的全微分应

dvdrv

三



重

矢

量

积

公

式

（

1-209

）

用

abab0a0b(b)a(a)bb(a)a(b)



应用三重矢量积公式（1-210）又有

aba0bab0a(b)(a)bb(a)(b)a

将以上两式结合（相减）后可得



1

ababb(a)a(b)b(a)a(b)

2

1

(v)vv2v(v)vv0abv

一个重要的特例，令，因则有 2



4.算子的应用 (a)b







令是标量，是矢量，

aa;b

为并矢量，则有

(a)(0a)(a0)(a)a()(a)(a0)(0a)a(a)(a)(a)2a

(a;b)(a0;b0)(a0;b)b(a)(a)b

在直角坐标中，令

aiaxjaykazjkxyzaxayaz

a

xyzi

ijk

a

xyzaxayaz

222

()222

xyz



aaxayaz

xyz

2

对一组正交曲线坐标系

(1,2,3)

，其单位矢量

(e1,e2,e3)

，将任意位置矢量

R

变分写为

Rh1d1e1h2d2e2h3d3e3

其中

h1,h2,h3

为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，

。在柱坐标

Rdxidxjdxk

，所以

h1h2h31

(r,z,)

中，因

Rdrerrdedzez

，所以

h1h31,h2r

。在球坐标

。

(r,,)

中，因

Rdrrerdesirn



，所以

e

h11,h2r,h3rsin

在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量



aa1e1a2e2a3e3

，则有



e1e2e3



h11h22h33

1(h2h3a1)(h3h1a2)(h2h3a1)



h1h2h3133

h1e1h2e2h3e3

1h1h2h3123

h1a1h2a2h3a3

a

a

单位矢量的旋度和散度为

e1e12

eh1e2h1

3(1,2,3轮换)

h1h33h1h22

1(h2h3)

(1,2,3轮换)

h1h2h31

1h2h3h3h1h1h2

()()()

h1h2h31h112h223h33

方向梯度

n(n1,n2,n3)

n

作用于矢量为

a

a3h3a2h1h2h1

nae1na1(n1n2)(n1n3)

h1h221h3h131



e1na2



a3ahhhh

(n22n32)3(n22n13)h2h332h3h112

h3h3a1h1a2h2

e3na3(n3n1)(n3n2)

h3h113h2h323



笛卡尔张量

1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号

以

x1(i1,2,3)

表示笛卡尔直角坐标系的坐标，

i1(i1,2,3)

表示三个坐标轴方向单位矢量。

令

(x1,x2,x3)

，定义求和约定的写法为

d



dx1dx2dx3dxi

式中重复x1x2x3xi



dxidxj

下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，xj和xi具有相同的

效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为

ij

0,ij

1,ij

在笛卡尔直角坐标系中，有

i1i2ij,

xi

ij,ij3,ijxixj

xj

100111213

()I010ij212223单位矩阵也可以表示为

001313233

轮转符号定义为

ijk

0,当i,j,k中有两个相同时



1,当i,j,k为1,2,3顺序轮转排列时-1,当i,j,k为非1,2,3轮转顺序排列时 

。采用轮转符号

例如如

1232313121,1323212131ijk

可使运算的书写简化，

i1i2i3

aba1a2a3ijkajbkii

或

b1b2b3

(ab)iijkajbkiii1i2i3

 v

x1x2xv1v2v3





(vk)i

ijki

xj3

或

(v)iijk(

vk

)

xj

2.笛卡尔张量定义

在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量



（如应力）在任一点处有三个矢量分量

p1,p2,p3

即这个量具有九个分量。



这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分

量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则



这个量称为二阶张

量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们分别有

30,31,32

个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n阶张量。

i1p1i2p2i3p3

笛卡尔二阶张量



p1i1p11i2p12i3p13

所确定的三个矢量的分解式为pipipip

2121222323

p3i1p31i2p32i3p33

p11p12p13

ppp212223 则张量可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式

p31p32p33

或写成张量的九项式：如

iiijpij,i,j1,2,3

p11p12p131,pij0(ij)

，则为单位张量

，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件



如果张两分两满足条件

pijpji

pijpji

，则这个张量叫反对称张量。若将张量



的分量

pij

与

pji

互易位置后的张量，则

p11p21p31

cpppc122232 称该张量的共轭张量，并以表示：

p13p23p33

3.并失

为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失

ab

写成

a;b

。令

ai1a1i2a2i3a3,bi1b1i2b2i3b3

，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为

a1b1a1b2a1b3

aba;bababab212223，并失为二阶张量。必须注意，并失a;b与b;a是不同的

a3b1a3b2a3b3

b1a1b1a2b1a3

b;abababa212223b;aa;b

是并失的共轭张量。 b3a1b3a2b3a3，由此可见

a1

x1a

grada;a1

矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：x2

a1x3

a2a3



x1x1a2a3



x2x2 a2a3



x3x3

da1

a1aadx11dx21dx3x1x2x3a2aa

dx12dx22dx3

x1x2x3a3aa

dx13dx23dx3x1x2x3

考虑矢量

a(r)a(x1,x2,x3)

的无穷小增量，因

da2da3

a1

x1

daa1

da/dr

故为具有九个分量的二阶张量drx2

a1x3

因可将

a2a3



x1x1a2a3



x2x2 a2a3



x3x3

与矢量

da

表示为张量

da/drdr

的点乘，

da

da

drdrgradadr(;a)

dr

应用并失运算法则又有对标量函数

dadr(;a)(dr);a(dr)addrgraddr

(r)

类似的有

并失运算服从如下四个运算法则 （1）结合律法则

a;b;c(a;b);ca;(b;c)

连续的并失积可以任何方式加上括号而不改

变结果。 （2）标量率法则

a;b(a);b(a;b)

标量



在并失运算中可以提到任何一个位置。

（3）缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：

(a;b)ca;(bc)(bc)a

如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失

(a;b)(c;d)a;(bc);d(bc)(a;d)

（4）分配律法则

a;(bc)a;ba;c

4.张量的梯度，散度和格林定理

零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的梯度必为三阶张量。

设A是二阶张量，其分量

AijAji(x1,x2,x3)

Aij

，定义xk

Aij,k

表示

Aij

对

xk

求偏导数。



gradA,,,k1,2,3

梯度符号是一矢量算子，故张量A的梯xxxx231k

Aij

gradAAAij,k33k度可写为张量A的梯度具有27个分量的量，即个分量，i,j1,2,3,k1,2,3

属于三阶张量。

一阶张量（矢量）的散度是一个标量，二阶张量的散度将是一个矢量。散度的定义为

AijA11A21A31A12A22A32A13A23A33

divAA,,

xxxxxxxxx23123123k1

在正交坐标系的

(1,2,3)

中，拉美系数为

公

h1,h2,h3

时，二阶张量的散度和变形率张量分量

式

Dij

为

Aij331lhkhh12hhhhnh312

divAAAAAA1kkkkkk

hhhhhhhhk1k1kk2k3ki1

D12D12D12

h2v2hv1

()1()h11h2h22h1h3v3hv2

()2()h22h3h33h2

vh1h1v1h3v31vh11v1

()(),D1123

h33h1h11h32h11h1h22h3h13

vh2vh21vh3vh311v21v3D1131,D33122h22h2h33h1h212h33h3h11h2h32

若令

Xv;a

为一并失（二阶张量），则有张量形式的高斯定理为

A

(v;a)d

n(v;a)dA

故将二阶张量分量记为

Tij

，则又可写为

xd

i

Tij

Aiji

TndA