有理数的概念
1. 教材分析：
通过一些实际生活中的例子引入负数的概念，让学生学会利用标准量法计算多个数的平均值的方法；有理数的两种分类方式：
⎧⎧⎧正整数⎧正整数⎪正有理数⎨正分数⎪整数⎪零
⎨⎩⎪⎪
⎪按符号 ① 有理数⎨零 按整数分数 ② 有理数⎨⎩负整数
⎪⎪⎧负整数⎧正分数负有理数⎪⎪分数⎨⎨负分数
⎩⎩负分数⎩⎩
这里可以通过一些练习来强化理解有理数的两种分类方式，并可以将其总结提升至事物
（集合）的分类原则：“不重不漏”。
数轴是很重要的概念，是一个中学阶段会不停使用的工具，务必让学生明确数轴
的概念（包括数轴的三要素）：规定了正方向，原点和单位长度的直线。说明数轴与有．．．．．．．．．理数对应关系。每一个有理数都能在数轴上找到，但反过来数轴上的点不全是有理数。
这里可以简要提出实数的说法，并通过π
相反数和绝对值的概念当应用到具体某个数上时相信学生都可以轻松解答，但是如果是字母（变量）就不容易了，因为此时需要讨论字母的大小，为了强化学生对概念的理解可以进行一些字母形式绝对值问题的练习，并可以引入零点分段的方法。
在介绍数集概念时，可以通过集合维恩图（当然维恩图的概念不用向学生介绍）来强化学生对不同数集相交相包含的概念（非负整数，非正分数，正有理数），并再次强调有理数的分类以及分类的原则。
2. 教学目标：
a) 通过生活实例，了解有理数等知识是生活的需要； b) 理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，渗透分类思想的基本原则：不重不漏； c) 掌握数轴的概念和数轴的三要素，理解数轴上的点和有理数的对应关系，会用数轴
上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数，渗透数形结合的方法；
d) 理解相反数以及绝对值的概念，掌握有理数大小的比较方法，掌握多重符号的化简，
简单介绍零点分段法的思想；
e) 认识数集的概念，正确使用集合的相关符号。 3. 教学重点：
a) 正确理解有理数的概念及有理数的分类； b) 数轴的概念和用数轴上的点表示有理数； c) 相反数的概念； d) 绝对值的概念； e) 数集的概念。 4. 教学难点：
a) 分类基本原则的掌握；
b) 数轴与有理数的对应关系的理解；
c) 负数的大小比较； d) 正确去掉绝对值符号； e) 集合符号的熟练使用。 5. 课堂设计：
A. 引入负数
1
的同学是女3
1
生，我们班这次考试不及格的人数为0。这些数量的多少，我们可以分别用24，，0来表
3
在小学，同学们认识了自然数和分数，比如我们班里有24位同学，班里有
示。
但是不是所有的量都能用这些数来表示：
(一) 北京的气温是零上25度，西伯利亚今天的气温是零下25度，18无法表示这两个不同
的温度；
(二) 有同学向东走了1000米，有同学向西走了1000米；
(三) 珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，马里亚纳海沟最深处低于海平面11,034米
怎样表示这些量呢？规定其中一个量是“正”的，记为“+”，那么与之相反的量就是“负”的，记为“-”.如果规定零上为正，则零上18度为+18度，零下18度为-18度……
正数（‘+‘可以省略）、负数、0； 非正数，非负数；
注意：0既不是正数也不是负数，0既是非正数也是非负数。
例1：某次考试班上5名学生的成绩按90分为标准，将某一小组的五名同学的成绩简记为
+8,-3,0，+4,-1
则这五名同学的实际成绩是多少？
例2：某次考试班上10名学生的成绩分别为78,94,82,87,90,88,86,80,91,85, 则这10名学生的
平均分是多少？（用标准分的方法简化计算）
B. 有理数的概念与分类
我们将正整数，0，负整数统称为整数，将正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。这里的分数特指分母不为1的最简分数。 有理数的两种分类：
按形式（整或分）来分类可分为： 按符号（正或负）来作为划分标准的： ⎧2，3，⋅⋅⋅）⎧正整数（如：1，
⎪⎪
整数⎨0⎪
⎪负整数（如：⎪-1，-2，-3，⋅⋅⋅）⎩⎪
有理数⎨12⎧
正分数（如：，5. 3，⋅⋅⋅）⎪⎪23⎪分数⎪⎨⎪16⎪负分数（如：-4，-3. 6，-⋅⋅⋅）⎪⎪27⎩⎩
⎧⎧正整数正有理数⎪⎨
⎩正分数⎪
⎪
有理数
⎨0
⎪负整数⎪负有理数⎧⎨⎪⎩负分数⎩
例3：把下列各数填入相应的大括号内： -7，0.125，
11
，-3，3，0，50%，-0.3 22
（1）整数的有{ }（2）分数的有{ } （3）负分数的有{ }（4）非负数的有{ } （5）有理数的有{ }
注：有限小数和无限循环小数都是有理数；无限不循环小数不是有理数。
*例4：把下列小数转化为分数
0.9 0.125,0.044,0.3,0.23,0.53,0.142857，
提升：引领学生归纳将小数化为分数的一般方法。
C. 数轴 活动：读温度计
∙∙∙∙∙∙∙
通过读温度计引入数轴的概念，先引导学生完成如下操作：
1. 画一条水平的直线，再在直线的右端画一个指向右方的箭头，我们规定箭头所指的方向
为正方向；
2. 在这条直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
3. 选择一个适当的长度作为单位长度，从原点开始，在直线上原点的右侧，每隔一个单位
长度取一个点，依次表示1,2,3,4…从原点向左，用类似的方法取点，以此表示-1,-2,-3,-4…
数轴的概念：规定了正方向，原点和单位长度的直线叫做数轴，强调三要素。数轴的正方向是可以任意选取的，通常我们规定向右（或者向上）为正。（这更符合大多数人的习惯）
例5：下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
①
-10
12②
3
③
④
⑤
⑥
⑦
注意：
i. ii.
再次强调数轴的三要素缺一不可！
让学生理解数轴上的点可以与有理数对应起来，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
比较两个数的大小：在数轴上表示的两个数，左边的数比右边的数小。 例6：在数轴上表示下列各数，按从小到大的顺序排列，并用“
快速练习： 一，判断题：
1、数轴上离开原点距离越大的点，表示的数越大。 2、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 3、数轴上表示-3的点一定在原点的左侧。
4、因为零表示不存在，所以数轴上没有零这个点。 5、数轴上到原点的距离小于2的整数有1个。 二，填空题： （1）、规定了________、________、________的直线叫做数轴。 （2）、在数轴上离开原点4个长度单位的点表示的数是___________。 （3）、数轴上与原点之间的距离小于5的表示整数的点共有_______个 ，它们分别是 。 （4）、在数轴上，点A 表示-11，点B 表示10，那么离开原点较远的是______点。
11
3,0，-4,1，，-3-1.25
42
（5）、在数轴上点M 表示-2是 。
D. 相反数和绝对值 例7：观察下列数：6和-6，2
1
，那么与M 点相距4个单位长度的点表示的数2
2255
和-2，7和－7，和－，并把它们在数轴上标出． 3377
想一想
（1）上述各对数之间有什么特点？
（2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？ （3）你能够写出具有上述特点的数吗？
藉此引入相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。 相反数的表示，添加“-”。
例8（多重符号的化简） 化简下列数 （1），-（-
13
）=________； （2），+（+）=_______；
52
（3），+[-（+1）]=________； （4），-{-[+（-5）]}=_________．
（5），-(-(-„-(-1)„))=_____;
绝对值：数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|,读作“a的绝对值”。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
⎧a ⎪|a |=⎨0
⎪-a ⎩
a >0
⎧a
a =0或者说|a |=⎨
-a ⎩a
a ≥0
a
例9：书上例4
总结比较两数大小的方法：先化简，再做比较，比较原则是：正数大于0, 负数小于0，正数大于一切负数。先按符号，异号两数看正负，同号两数，先比较绝对值，对两个正数，绝对值大的数大；对两个负数，绝对值大的数反而小。 例10：书上例5
题目中是字母时，根据字母的大小情况得到不同情形下的表达式结果 *例11：
1) 计算|a-3| 2) 计算|a+1|+|a-2|
3) 计算|a -1|+|a |+|a +3|
总结：简单介绍零点分段法，以后的课程中还会介绍更复杂绝对值问题。
E. 有理数集
我们把同一类数的全体叫做一个数集，并把常见的数集用一个大写字母来表示。 例如：
把自然数的全体看做自然数集，并用大写的字母N 表示； 把正整数、负整数和零的全体看做整数集，Z ； 把有理数的全体看做有理数集，Q 。
属于符号∈ 不属于符号∉
这个图说明，如果x ∈N , 则一定有x ∈Z , x ∈Q 都成立；若x ∈Z , 则x ∈Q 一定成立，但
x ∈N 不一定成立
例12：分别在一幅图中画出如下数集，并写出图中每一部分的含义： 1) 有理数，整数，分母不为1的最简分数； 2) 有理数，正有理数，负有理数，0 3) 有理数，非正有理数，非负有理数 4) 有理数，整数，非负有理数
有理数的概念
1. 教材分析：
通过一些实际生活中的例子引入负数的概念，让学生学会利用标准量法计算多个数的平均值的方法；有理数的两种分类方式：
⎧⎧⎧正整数⎧正整数⎪正有理数⎨正分数⎪整数⎪零
⎨⎩⎪⎪
⎪按符号 ① 有理数⎨零 按整数分数 ② 有理数⎨⎩负整数
⎪⎪⎧负整数⎧正分数负有理数⎪⎪分数⎨⎨负分数
⎩⎩负分数⎩⎩
这里可以通过一些练习来强化理解有理数的两种分类方式，并可以将其总结提升至事物
（集合）的分类原则：“不重不漏”。
数轴是很重要的概念，是一个中学阶段会不停使用的工具，务必让学生明确数轴
的概念（包括数轴的三要素）：规定了正方向，原点和单位长度的直线。说明数轴与有．．．．．．．．．理数对应关系。每一个有理数都能在数轴上找到，但反过来数轴上的点不全是有理数。
这里可以简要提出实数的说法，并通过π
相反数和绝对值的概念当应用到具体某个数上时相信学生都可以轻松解答，但是如果是字母（变量）就不容易了，因为此时需要讨论字母的大小，为了强化学生对概念的理解可以进行一些字母形式绝对值问题的练习，并可以引入零点分段的方法。
在介绍数集概念时，可以通过集合维恩图（当然维恩图的概念不用向学生介绍）来强化学生对不同数集相交相包含的概念（非负整数，非正分数，正有理数），并再次强调有理数的分类以及分类的原则。
2. 教学目标：
a) 通过生活实例，了解有理数等知识是生活的需要； b) 理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，渗透分类思想的基本原则：不重不漏； c) 掌握数轴的概念和数轴的三要素，理解数轴上的点和有理数的对应关系，会用数轴
上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数，渗透数形结合的方法；
d) 理解相反数以及绝对值的概念，掌握有理数大小的比较方法，掌握多重符号的化简，
简单介绍零点分段法的思想；
e) 认识数集的概念，正确使用集合的相关符号。 3. 教学重点：
a) 正确理解有理数的概念及有理数的分类； b) 数轴的概念和用数轴上的点表示有理数； c) 相反数的概念； d) 绝对值的概念； e) 数集的概念。 4. 教学难点：
a) 分类基本原则的掌握；
b) 数轴与有理数的对应关系的理解；
c) 负数的大小比较； d) 正确去掉绝对值符号； e) 集合符号的熟练使用。 5. 课堂设计：
A. 引入负数
1
的同学是女3
1
生，我们班这次考试不及格的人数为0。这些数量的多少，我们可以分别用24，，0来表
3
在小学，同学们认识了自然数和分数，比如我们班里有24位同学，班里有
示。
但是不是所有的量都能用这些数来表示：
(一) 北京的气温是零上25度，西伯利亚今天的气温是零下25度，18无法表示这两个不同
的温度；
(二) 有同学向东走了1000米，有同学向西走了1000米；
(三) 珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，马里亚纳海沟最深处低于海平面11,034米
怎样表示这些量呢？规定其中一个量是“正”的，记为“+”，那么与之相反的量就是“负”的，记为“-”.如果规定零上为正，则零上18度为+18度，零下18度为-18度……
正数（‘+‘可以省略）、负数、0； 非正数，非负数；
注意：0既不是正数也不是负数，0既是非正数也是非负数。
例1：某次考试班上5名学生的成绩按90分为标准，将某一小组的五名同学的成绩简记为
+8,-3,0，+4,-1
则这五名同学的实际成绩是多少？
例2：某次考试班上10名学生的成绩分别为78,94,82,87,90,88,86,80,91,85, 则这10名学生的
平均分是多少？（用标准分的方法简化计算）
B. 有理数的概念与分类
我们将正整数，0，负整数统称为整数，将正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。这里的分数特指分母不为1的最简分数。 有理数的两种分类：
按形式（整或分）来分类可分为： 按符号（正或负）来作为划分标准的： ⎧2，3，⋅⋅⋅）⎧正整数（如：1，
⎪⎪
整数⎨0⎪
⎪负整数（如：⎪-1，-2，-3，⋅⋅⋅）⎩⎪
有理数⎨12⎧
正分数（如：，5. 3，⋅⋅⋅）⎪⎪23⎪分数⎪⎨⎪16⎪负分数（如：-4，-3. 6，-⋅⋅⋅）⎪⎪27⎩⎩
⎧⎧正整数正有理数⎪⎨
⎩正分数⎪
⎪
有理数
⎨0
⎪负整数⎪负有理数⎧⎨⎪⎩负分数⎩
例3：把下列各数填入相应的大括号内： -7，0.125，
11
，-3，3，0，50%，-0.3 22
（1）整数的有{ }（2）分数的有{ } （3）负分数的有{ }（4）非负数的有{ } （5）有理数的有{ }
注：有限小数和无限循环小数都是有理数；无限不循环小数不是有理数。
*例4：把下列小数转化为分数
0.9 0.125,0.044,0.3,0.23,0.53,0.142857，
提升：引领学生归纳将小数化为分数的一般方法。
C. 数轴 活动：读温度计
∙∙∙∙∙∙∙
通过读温度计引入数轴的概念，先引导学生完成如下操作：
1. 画一条水平的直线，再在直线的右端画一个指向右方的箭头，我们规定箭头所指的方向
为正方向；
2. 在这条直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
3. 选择一个适当的长度作为单位长度，从原点开始，在直线上原点的右侧，每隔一个单位
长度取一个点，依次表示1,2,3,4…从原点向左，用类似的方法取点，以此表示-1,-2,-3,-4…
数轴的概念：规定了正方向，原点和单位长度的直线叫做数轴，强调三要素。数轴的正方向是可以任意选取的，通常我们规定向右（或者向上）为正。（这更符合大多数人的习惯）
例5：下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
①
-10
12②
3
③
④
⑤
⑥
⑦
注意：
i. ii.
再次强调数轴的三要素缺一不可！
让学生理解数轴上的点可以与有理数对应起来，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
比较两个数的大小：在数轴上表示的两个数，左边的数比右边的数小。 例6：在数轴上表示下列各数，按从小到大的顺序排列，并用“
快速练习： 一，判断题：
1、数轴上离开原点距离越大的点，表示的数越大。 2、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 3、数轴上表示-3的点一定在原点的左侧。
4、因为零表示不存在，所以数轴上没有零这个点。 5、数轴上到原点的距离小于2的整数有1个。 二，填空题： （1）、规定了________、________、________的直线叫做数轴。 （2）、在数轴上离开原点4个长度单位的点表示的数是___________。 （3）、数轴上与原点之间的距离小于5的表示整数的点共有_______个 ，它们分别是 。 （4）、在数轴上，点A 表示-11，点B 表示10，那么离开原点较远的是______点。
11
3,0，-4,1，，-3-1.25
42
（5）、在数轴上点M 表示-2是 。
D. 相反数和绝对值 例7：观察下列数：6和-6，2
1
，那么与M 点相距4个单位长度的点表示的数2
2255
和-2，7和－7，和－，并把它们在数轴上标出． 3377
想一想
（1）上述各对数之间有什么特点？
（2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？ （3）你能够写出具有上述特点的数吗？
藉此引入相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。 相反数的表示，添加“-”。
例8（多重符号的化简） 化简下列数 （1），-（-
13
）=________； （2），+（+）=_______；
52
（3），+[-（+1）]=________； （4），-{-[+（-5）]}=_________．
（5），-(-(-„-(-1)„))=_____;
绝对值：数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|,读作“a的绝对值”。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
⎧a ⎪|a |=⎨0
⎪-a ⎩
a >0
⎧a
a =0或者说|a |=⎨
-a ⎩a
a ≥0
a
例9：书上例4
总结比较两数大小的方法：先化简，再做比较，比较原则是：正数大于0, 负数小于0，正数大于一切负数。先按符号，异号两数看正负，同号两数，先比较绝对值，对两个正数，绝对值大的数大；对两个负数，绝对值大的数反而小。 例10：书上例5
题目中是字母时，根据字母的大小情况得到不同情形下的表达式结果 *例11：
1) 计算|a-3| 2) 计算|a+1|+|a-2|
3) 计算|a -1|+|a |+|a +3|
总结：简单介绍零点分段法，以后的课程中还会介绍更复杂绝对值问题。
E. 有理数集
我们把同一类数的全体叫做一个数集，并把常见的数集用一个大写字母来表示。 例如：
把自然数的全体看做自然数集，并用大写的字母N 表示； 把正整数、负整数和零的全体看做整数集，Z ； 把有理数的全体看做有理数集，Q 。
属于符号∈ 不属于符号∉
这个图说明，如果x ∈N , 则一定有x ∈Z , x ∈Q 都成立；若x ∈Z , 则x ∈Q 一定成立，但
x ∈N 不一定成立
例12：分别在一幅图中画出如下数集，并写出图中每一部分的含义： 1) 有理数，整数，分母不为1的最简分数； 2) 有理数，正有理数，负有理数，0 3) 有理数，非正有理数，非负有理数 4) 有理数，整数，非负有理数