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大!学!数!学
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从连续到间断$$$关于介值定理的推广
朱乐敏#!黄迅成#!王元明
%扬州职业大学#江苏扬州!&!=""!
摘!要"单变量连续函数已经被研究了近;很难想象其中还有未被开恳的处女地*本文将连续函""年#!!!
文中的思想方法在其他领域如数论中也是有用的*数的介值定理推广到间断的情况#
!关键词"连续’间断’介值定理’混沌
!中图分类号".文献标识码"-!!!文章编号"%%&%
!!前!!言
单变量的连续函数已经被研究了近;伟大的数学家如牛顿%#莱布尼兹%""年#%,#!B%
!"
美国数学月刊发表了/)周期三则乱七八糟*%%&
&#从单变量连续函数的区间迭代的研究中揭示了上一世纪科学的重大发现之一#混沌现象的数-TJ(R学规律*这篇文献在文献中首先引进了混沌%&这一专用名词#开创了混沌研究的新局面#引起了数LTJ(R
学界+物理界等多方面的广泛注意*不多久#一位前苏联数学家宣称/D和a(OZ9发现不过是他在%!年前所发表的一个定理的特例*一查还果真如此#这位当时名不见经传的数学家叫7#他的文章JOZ(XRZDD发表在更加名不见经传的乌克兰一家杂志上#而且他的证明十分复杂#很难让人看懂*/D和a(OZ9的文章将7后来有人对7并给出了较为JOZ(XRZDD的工作重新展现在人们面前#JOZ(XRZDD的原文进行了研究#
!#
混沌现象在数学上引起注意是从单变量连续函数的迭代开始的#一个微积分中的简单函数#能产生如此极端复杂的混沌现象#不能不让人吃惊*而且#更令人惊奇的是#$$混沌理论的基7JOZ(XRZDD定理$
;#,"石定理之一#竟然也能用微积分中简单的)介值定理*来加以证明!#可见许多深奥的理论都是由简单
的事实迭加而成*
关于介值定理#一般微积分教程都有列举%例如文!"&#它说的是(#
介值定理!设函数E在区间!上连续#且E%#若0为介于E%与E%之间的任何实9#6"9&6&9&6&2E%数#则至少存在一个:#使得E%9#6&:@")%"&0%
这一定理虽然简单#但应用却异常广泛#微积分中不少重要定理的证明要用到介值定理#同时各种有关微积分课程的考试中也经常会遇到与它有关的题目#例如(
推论!%连续函数的不动点定理&上连续#且E的值域包含于!#即9#6"9#6"!设函数E在区间!#则方程E%上至少有一解%
收稿日期"!""#$%!$!
在介值定理中!要求函数E必须连续!但是!在实际问题中会经常碰到E不连续的情况!例如电流或信号的脉冲!我们是否也有类似的定理？简单的连续函数的迭代可以产生复杂的混沌现象%那么不连续函数的迭代能不能产生相应的现象呢？这显然是个值得研究一番的有趣问题%
本文将传统的连续函数的介值定理推广到不连续的情况!并初步讨论了它的一些应用%有关不连续函数的迭代!我们还需要进一步的研究和探讨%
"!主要定理和证明
按通常的微积分教科书!函数在区间"连续的定义是指对于区间中任意一点:)"都有9!6#9!6#%有时我们会碰到这样的情况)%的极限不存在!或者存在但不等于E$!这时我们)DF!@E$:%%DF!:%E$E$
!’:
!’:
称函数在:点不连续或函数E在:处有间断点%为了下面的讨论!我们引进有关间断函数的上跳函数和下跳函数的概念%
定义!!设E在"有定义!如果对任何:)"9!6#9!6#
!’:
%%!)DFE$!:%DFE$!.E$.)BC
!’:
$%!h%
则称E为"上的上跳函数%9!6#
定义"!设E在"有定义!如果对任何:)"!9!6#9!6#
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%%!)DFE$!:%DFE$!%E$%)BC
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则称E为"上的下跳函数%9!6#
例如!为上跳函数&为下跳函数%:%@":#:%@:B":#E$E$几点说明’
$%上跳函数在图象上的意思为’若点:为不连续点!则该点的左极限不大于右极限!而该点的函D
数值则在两者之间&下跳函数则反之%由上述第二个例子可以知道上跳函数和下跳函数不一定是单调函数%
$%连续函数是上跳和下跳函数的特例!如果一个函数既是上跳又是下跳则必是连续函数%DD
$%上跳函数可以表示为一个连续函数和一个不减函数之和!下跳函数可以表示为一个连续函数DDD
和一个不增函数之和%
下面我们来推广连续函数的介值定理%
定理!!设E在"上有定义!当E为上跳函数且满足E$!$或E为下跳函数且满足9!6#9%6%*"*E$%!则至少存在一个:!使得E$9%6%9!6%:@"%,",E$E$")$"%证!设E为上跳函数!满足E$!令集合9%6%*"*E$
’%)=@(!9.!6!!%.."E$由于E$所以=非空!下确界存在!设"@显然9,6%DIS=%6%,"!",$%设E$根据上跳函数的定义!有D,"!"%
%!)DF!.E$E$"%B
!’"
存在一"使得E$这与"的下确界定义矛盾%,"!%,"!"%$%假设E$则"2即",根据上跳函数定义的另一部分DD6!6!*"!"%
%!DF!.)E$E$"%C
!’"
存在"使得E$%当!这说明"这与"的下确界定义矛盾%!%*"!)$!*!%!已是=的一个下界!"!"!"于是E$@"!"%"就是定理中所需求的:"%
同理可证明有关下跳函数的情况!定理%证完%
注意!若将条件E$改成E$或E为下跳函数且满足E$%!定9%6%9%6%$9%6%*"*E$%"%E$.".E$理也成立%
由定理%可以直接导出
定理"!间断函数的介值定理"上有定义$若E为上跳函数!或下跳函数"$且9$6%!设E在#或!"$则对任何介于E!和E!之间的实数0$则至少存在一点:$使9"6"9"6"9"6"9$6"*E!,E!E!E!")!得E!:@""0%
注意$若将条件E!改成E!或E为下跳函数且满足E!"$定理也成立%9"6"9"6"!9"6"*E!%E!.E!
推论"!关于上跳或下跳函数的不动点定理"上的上跳!或下跳"函数$9$6%!若E是在#E的值域包含于#$!或6B"$则方程E!上至少有一解%9$6%6B9*E!6"BE!9"9,E!6"BE!9":"@:在#9$6%证!令,!在#上对,!运用定理!即可以%:"@E!:"B:$9$6%:"
同样将条件6B!或6B9,E!"改成6B9%E!!或6B9.E!9*E!6"BE!9"6"BE!9"6"BE!9"6""$定理同样成立%BE!9"
同样的讨论对下跳函数也成立$推论!证完%
在讨论下一个定理之前$我们先讨论有关上跳或下跳函数的复合问题%显然$上跳函数的复合依然是上跳函数%若E!是上跳函数$我们证明E!"也是上跳函数%实际上$由于
$如果E在E!处连续$则E!"满足上跳函数的定义(如果E在E!:9$6%:9$6%%:::)#E!E!")#""""""""处不连续$则必有
B"!:’E!"
"""$)DFE!!:DFE!!.E!.)E!""C
"!:’E!"
!"!h;
!
所以E在E!处$在E在::"""处满足上跳函数的定义%
定理#!若E为定义在#上的上跳!或下跳"函数$设B)$的闭子区间%如9$6%BBB9$6%"$%$!$(B%为#果E!)$BB$@"$%$!$(B!$W$"$C%$
BBWE!(B%""$
并且
!"!h#
!!(B%(B%
!!$6B9%E!6"BE!9"6"BE9"6"BE9"%E!%)%E!
!!(B%(B%(
!或下跳的情况(!!"$则方程E!6B9.E!6"BE!9"6"BE9"6"BE9":"@:在B.E!.).E!"
$中至少有一解$并且E!)$:B$@"$%$!$(B%%)""$$
证!当(@%时$根据定理!$结论成立%BBWE!"""$
--当(@!时$条件变为E!从而必有一子区间B使得E!实际上$BBBBBB@BWWE!""%$%""$%W%$"""%--若B$"设B根据定理!$有E!从而"$&%"@:&"@:::BB@BWE!E!"@#%$!$%@#%$!%%$""%%
-"B@E!BBBWE!WE!E!""%"%""$
!"!h=
或者$
!
BBWE!"""%
类似地讨论可知对(B%的情况$也有
B@E!BBBWE!WE!""(B!"(B!""$
(B%
将推论!应用到函数E$定理;得证%
(B%
-
!"!h,
文#%利用了定理;在函数连续情况下的特例推导出著名的7那么如果我们直接;$,JOZ(XRZDD定理$利用定理;$会有怎么样的一个结果呢？这实在是一个有趣的课题%
下面我们要指出$不仅间断函数的介值定理有着潜在的应用$而且其证明思想也有着一定的适用
#%性$例如我们可以用这一思想方法来证明数论中的一个基本定理即1()(F:定理=%
设2!为自然数%$)$根据0随着(’G$我们定("!$;$(之中素数的个数$H)9O的研究$("2!’G%!"!"义为素数的*密度+$则有’"$当(’G时%所以人们称素数的渐近密度为零%
((
"!关于素数密度的一个有趣的问题(给定一个正整数$*%$是否存在一个(使得素数密度正好
("!等于%举例说明$当$@!$我们有(@!$使得2!当$@;$我们有(@!使得!"@%@,
$!!"",见表!!"而$@#时$!
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我们令-!显然对于不同的$#彼此不相交#即如果$@#$"@(s$*%%-!$"!!一般来说#
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下面#我们用证明定理%同样的思想来证明下面的定理&%
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定理$!"非空#也即有无穷多(满足2!能被(除尽%1()(F:-!$"("!对任意给定的$#
证!设$为一给定正整数#定义E!我们需要证明存在2#使得E!考虑集合("@$("B(%2"@"%2!%#因为素数的渐近密度为"#所以当(足够大时#设=@$(((*;#("("=非空%.","#E!E!
$#2@DIS=%于是E!"由于2"2B%%.",E!
"""2B%BE!2"@$!2B%B2"C%.%#2!2!E!
所以
""2B%B%.E!2"2B%%.",E!E!
因为E!是一个整数#必须有E!2"2"@"%
!"!h
#!结!!论
本文引进比连续函数更为广泛的上跳函数和下跳函数#并在此基础上证明了介值定理#即将这一微积分中的基本定理从连续推广到间断*由于文&利用了连续函数的介值定理#证明了混沌理论的基;#,’研究一下从间断函数的介值定理出发是否可以导出类似结果#就成为一个非础之一的7JOZ(XRZDD定理#常吸引人的课题*
我们还运用证明间断函数介值定理的思想证明了数论中有名的关于素数密度的1可()(F:定理#见从间断函数的介值定理出发确实是可以引出一些有意义的工作*
&参!考!文!献’
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从连续到间断--关于介值定理的推广
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱乐敏， 黄迅成， 王元明， ZHU Le-min， HUANG Xun-cheng， WANG Yuan-ming扬州职业大学,江苏,扬州,225002大学数学
COLLEGE MATHEMATICS2006，22(1)2次
参考文献(7条)
1.Li T.Yorke J A Period three implies chaos 1975
2.Stefen P A theorem of Sarkovskii on the existence of periodic orbits of coutinccousendomorphisms of the real line 1977
3.Jing Z From ordinary fact to surprising theorem 1985(07)4.华东师范大学数学系 数学分析 20015.Golomb S W 查看详情 1962
6.Huang X C Teaching Notes:Analysis 1988
7.Huang X C From intermediate value theorem to chaos 1992(02)
相似文献(10条)
1.会议论文 夏晓舟.章青 一类指数型间断函数的嵌入非连续等参有限元法 2006
在嵌入非连续有限元的基本思想下，提出一类附加位移形函数--指数型问断函数，来模拟由于非连续结构，如裂纹和节理,所导致的位移不连续规律，该附加函数是以到间断处的垂直距离为自变量。且随距离的增大而呈指数衰减的函数,指数型间断函数具有在教学上的便于积分和求导的优点，且比阶梯间断函数更能反映实际破裂后的变形情况.本文用弱解形式推导了嵌入非连续有限元格式，编制了二维4节点和三维8节点的嵌入非连续等参有限元程序，并分别给出了算例.算例表明在模拟裂纹追踪时，指数型间断函数的嵌入非连续等参有限元法可行且有效。
2.期刊论文 李丹丹.程智慧.张静.祁高展.LI Dan-dan.CHENG Zhi-hui.ZHANG Jing.QI Gao-zhan 短期UV-C间断和连续照射对辣椒幼苗生长及生理的影响 -西北农林科技大学学报（自然科学版）2007,35(9)
为了更好地利用紫外线C(UV-C)抑制幼苗生长的特性来培育壮苗,以普通日光灯照射作为对照,在UV-C总辐射剂量相同的情况下,设间断照射(8min×2)和连续照射(16 min×1) 2个处理,研究了短期UV-C间断照射和连续照射对辣椒幼苗生长及生理特性的影响.结果表明,UV-C间断照射处理辣椒幼苗的电导率、过氧化氢酶(CAT)和过氧化物酶(POD)活性、丙二醛(MDA)含量均比连续照射处理和对照高,株高、全株鲜重及根系活力比连续照射处理和对照低;间断照射和连续照射处理的可溶性蛋白质含量均表现为在2～22 d比对照高,22～42 d比对照低.UV-C照射对辣椒幼苗叶片叶绿素含量影响不大,超氧化物歧化酶(SOD)对辣椒在UV-C辐射反应中的保护作用也不大.说明UV-C间断照射对辣椒幼苗的影响大于连续照射.
3.学位论文 王雷 间断缝合与连续缝合对胆管愈合影响的实验研究 2008
目的：以实验动物兔为对象,将其胆管离断后分别行间断与连续缝合,从病理愈合过程角度,观察两种缝合方法对胆管愈合过程是否存在不同影响及存在什么影响。
方法：随机将家兔36只分为两组,每组18只,离断胆管后两组分别行胆管对端间断与连续缝合。分别于术后3天、7天、14天、30天、60天、90天共计6个时间点再行手术,量取胆管增厚程度,切取家兔胆管缝合段,做胆管的病理切片及免疫组化,检测胆管壁炎症水肿程度及转化生长因子β1(TGF-β1)在胆管缝合后不同时期的表达强度,并绘制两组胆管壁胆管增厚程度、炎症水肿程度、及TGF-β1表达量随时间变化的关系曲线。 结果：在两组分别行胆管对端连接与间断缝合后,两组胆管壁均从术后3天内发生炎症水肿。14天时炎症水肿均达到最高峰,以后逐渐减弱。30天时两组炎症水肿基本达到稳定水平,与术后3天时基本持平,之后炎症水肿渐下降,至60天时均以行间断缝合组炎症水肿较为明显。90天时两组炎症水肿无明显差异。随着时间的增加,胆管壁的TGF-β1表达量逐渐增加,在60天左右达到最高值,以后逐渐减少,此间以间断缝合组为明显,90天时接近正常水平,两组无明显差异。胆管壁增厚均以14天为最高,其后随时间下降,至60天时以间断缝合组增厚为明显,90天时两者增厚比较无明显差异,但仍厚于术前胆管。
结论：在胆管对端吻合、一期缝合的情况下,间断缝合的炎症反应与瘢痕增生在60天前及60天时较连续缝合为明显,90天时两者无明显差异。
4.期刊论文 左松.刘政.黄晓玲 正常犬肝脏声学造影的对比研究-间断谐波成像与连续谐波成像技术 -重庆医学2002,31(10)
目的评价间断二次谐波成像技术对正常肝脏声学造影的增强效果及其动态变化规律,并与常规连续二次谐波显像进行对比分析.方法健康犬6只经外周静脉注入氟碳声学造影剂,分别用连续二次谐波显像和间断二次谐波成像扫描肝脏.使用视觉评分和视频密度分析造影效果评价.结果连续二次谐波显像有4次1级增强、6次2级增强和2次3级增强;间断二次谐波成像则有1次2级增强和11次3级增强.连续和间断二次谐波显像产生的造影增强视频密度值分别为(129.06±17.36)和(161.24±12.80)(P
5.期刊论文 尹罗庚.汤安俊 硬膜外连续与间断注药治疗腰椎间盘突出症的比较 -右江医学2007,35(5)
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6.学位论文 伍明 可吸收线（快薇乔4/0）连续缝合家兔头皮与普通慕丝线（4/0）间断缝合的优劣对照研究 2007
实验目的：通过家兔动物实验，对照头皮双侧切口分别应用可吸收缝合线连续缝合与普通丝线间断缝合的优劣。对于临床上全面应用新的手术缝合方式提供参考和帮助。
材料与方法：强生公司产快薇乔缝线(4/0)产品类型W9918和强生公司产慕丝线4/0为主要实验材料，以成年家兔50只为实验动物，实验方法：备皮麻醉后，常规消毒于家兔头颅顶部正中纵行线在其两侧平行间隔1cm各选取一切口，切口长度3-4cm，同一家兔双侧切口等长。分别在严格无菌操作下全层对称切开，彻底止血后，左侧切口采用普通慕丝线(4/0)头皮全层间断缝合，右侧使用快薇乔缝线(4/0)皮下皮内分层连续缝合。术后进行同步观察，并分批做缝线区组织病理切片HE染色光镜下观察各项指标。统计学处理：统计学分析采用t检验。两独立样本比率的卡方检验，运用SPSS13.0统计软件进行分析。 结果：
一期观察指标(术后14天，第15天)：
1)统计结果显示2组感染率之间统计学上没有明显差异(x=1.963，P>0.05)。
2)两组炎症反应指标存在有统计学差异，薇乔线在皮层及皮下组织内造成的炎症反应要较慕丝线轻(P=0.02 0.01
=4.320.01
：4.32 P>0.05)。
5)统计学结果示在第15天时，慕丝线缝合切口平均瘢痕宽度明显大于快薇乔线缝合切口组，两者之间有显著差异(P=0.004 P
1)两组之间的皮下组织(包括帽状腱膜)裂开率没有统计学差异(x=1.033P>0.05)。
2)慕丝线缝合切口平均瘢痕宽度大于快薇乔线缝合切口组，两者之间有统计学差异(P=0.019 0.05>P>0.01)。 3)快薇乔线缝合切口组缝线的缝线吸收率方面明显高于慕丝线缝合切口组(x=22.82 P
4)慕丝线缝合切口组的皮层组织病理切片下良好愈合率显著低于快薇乔线缝合切口组(x=27.09 P
1.使用可吸收线(快薇乔4/0)缝合头皮相较于慕丝线可以减轻术后伤口的炎症反应。 2.在缝合切口感染率方面快薇乔线与慕丝线没有统计学的差异。
3.使用可吸收缝合线(快薇乔4/0)缝合头皮的1/甲愈合率要高于使用丝线(慕丝4/0)。
4.采用可吸收缝合线(快薇乔4/0)皮下，皮内连续缝合头皮在切口缝合牢固方面(包括表层和皮下层)，愈合情况与常用丝线(慕丝4/0)间断缝合没有区别。
5.采用可吸收缝合线(快薇乔4/0)皮下，皮内连续缝合头皮，可以减少缝线不良反应如异物肉芽肿，缝线瘘管的发生。 6.使用快薇乔线缝合头皮较之慕丝线，伤口瘢痕形成小，伤口更为美观.
7.使用可吸收线(快薇乔4/0)缝合头皮，其预计时间组织吸收，无须拆线的特点应用于临床有利于减少病人的住院时间。
7.期刊论文 张国栋.周昌玉.ZHANG Guo-dong.ZHOU Chang-yu 管道对接间断焊与连续焊的有限元分析 -焊接学报2006,27(12)
应用大型有限元分析软件ABAQUS,对工业管道间断焊与连续焊的温度场和残余应力场进行数值模拟.考虑材料的物理性能随温度的变化以及外界环境对焊接构件温度场的影响,采用热振幅曲线加载方法模拟焊接热源的移动,运用单元生死技术实现管道多道焊的模拟.将两种焊接工艺得到的温度场和残余应力场进行比较.结果表明,间断焊可以降低焊接时的温度,而采用连续焊可以获得较小的轴向残余应力,间断焊和连续焊的环向应力对管道的影响不大.另外对起焊点处的温度场和残余应力场也做了详细的分析,起焊点内壁处的轴向残余应力较大.
8.期刊论文 D·G·苏布米克 露天矿间断-连续运输方案的选择 -国外金属矿山2001,26(1)
在露天矿长距离运输方面,当胶带输送机工艺与汽车运输工艺相比时,胶带输送机工艺具有明显优势.合理地设计露天坑内破碎-输送系统尤为重要.介绍了间断、间断-连续运输以及连续运输工艺的设备组成、适用条件和应用情况.
9.学位论文 肖捷 一种求解间断系数椭圆型问题的连续—间断有限元方法及其自适应研究 2006
本文的内容分为以下两个部分：
第一部分提出了一种综合了普通间断有限元方法和区域分解方法优点的连续一间断有限元方法。本文考虑这样一个间断系数椭圆型问题：方程的求解区域内包含一个子区域，该子区域的尺度与整个求解区域的尺度相差很大(如104)，方程的系数在子区域的边界上是间断的。针对问题的特殊性，本文在子区域内用连续有限元函数逼近，而在区域的交界面处采用间断有限元的方法引进数值流，这样做很好地解决了网格的非匹配问题，而且比在整个区域上用间断有限元方法离散，自由度少了很多。本文提出的连续一间断有限元方法与Mortar元方法有些类似，只是Mortar元方法是通过弱匹配条件来建立子区域间的联系。本文通过定义数值流中的网格函数，得到了与Mortar元方法类似的最优误差阶，而且该方法在程序实现上较Mortar元方法简单得多。本文通过数值实验验证了先验误差理论，还对该方法进行了后验误差估计，利用该方法与Mortar元方法的相似性，得到了与普通间断有限元方法一致的残量型后验误差估计子，并通过大量的数值实验验证了它的有效性。
第二部分是对与时间无关的对流扩散问题的自适应方法的研究。本文中提出了能量范数下的一个后验误差估计，虽然其上、下界估计的常数相差O(ε-1/2)，但是通过进行大量的数值实验，与Verfurth[29]文中的误差估计子相比较后，表明了该误差估计子的效果更好，而且从数值结果来看该误差估计子的收敛阶是最优的。
关键词：间断有限元，Mortar元，连续一间断有限元方法，残量型后验误差估计子，对流-扩散问题
10.会议论文 邢志利.孙捷.吴春.谢玲丽.王相.黄斌.金鑫 连续缝合间断打结法吻合血管在断指再植中的应用 2006
目的:探讨连续缝合间断打结法吻合血管在断指再植中的应用.方法:应用垂直两定点连续缝合间断打结法吻合血管,完成断指再植术1112例,共1588指.结果:再植成活率95％以上.结论:整个吻合过程中,吻合口始终较大限度地敞开,避免缝到对侧血管壁,在显微技术上较大程度地保证了吻合口的通畅,从而提高手术成功率.
引证文献(2条)
1.郭计敏 介值性定理的证明及应用[期刊论文]-科技信息 2009(23)
2.邓朝阳.吴泽民 非连续函数的介值定理[期刊论文]-泉州师范学院学报 2007(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200601024.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7d6ed034-d29c-408c-a4d6-9dcf008d1428
下载时间：2010年8月11日
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从连续到间断$$$关于介值定理的推广
朱乐敏#!黄迅成#!王元明
%扬州职业大学#江苏扬州!&!=""!
摘!要"单变量连续函数已经被研究了近;很难想象其中还有未被开恳的处女地*本文将连续函""年#!!!
文中的思想方法在其他领域如数论中也是有用的*数的介值定理推广到间断的情况#
!关键词"连续’间断’介值定理’混沌
!中图分类号".文献标识码"-!!!文章编号"%%&%
!!前!!言
单变量的连续函数已经被研究了近;伟大的数学家如牛顿%#莱布尼兹%""年#%,#!B%
!"
美国数学月刊发表了/)周期三则乱七八糟*%%&
&#从单变量连续函数的区间迭代的研究中揭示了上一世纪科学的重大发现之一#混沌现象的数-TJ(R学规律*这篇文献在文献中首先引进了混沌%&这一专用名词#开创了混沌研究的新局面#引起了数LTJ(R
学界+物理界等多方面的广泛注意*不多久#一位前苏联数学家宣称/D和a(OZ9发现不过是他在%!年前所发表的一个定理的特例*一查还果真如此#这位当时名不见经传的数学家叫7#他的文章JOZ(XRZDD发表在更加名不见经传的乌克兰一家杂志上#而且他的证明十分复杂#很难让人看懂*/D和a(OZ9的文章将7后来有人对7并给出了较为JOZ(XRZDD的工作重新展现在人们面前#JOZ(XRZDD的原文进行了研究#
!#
混沌现象在数学上引起注意是从单变量连续函数的迭代开始的#一个微积分中的简单函数#能产生如此极端复杂的混沌现象#不能不让人吃惊*而且#更令人惊奇的是#$$混沌理论的基7JOZ(XRZDD定理$
;#,"石定理之一#竟然也能用微积分中简单的)介值定理*来加以证明!#可见许多深奥的理论都是由简单
的事实迭加而成*
关于介值定理#一般微积分教程都有列举%例如文!"&#它说的是(#
介值定理!设函数E在区间!上连续#且E%#若0为介于E%与E%之间的任何实9#6"9&6&9&6&2E%数#则至少存在一个:#使得E%9#6&:@")%"&0%
这一定理虽然简单#但应用却异常广泛#微积分中不少重要定理的证明要用到介值定理#同时各种有关微积分课程的考试中也经常会遇到与它有关的题目#例如(
推论!%连续函数的不动点定理&上连续#且E的值域包含于!#即9#6"9#6"!设函数E在区间!#则方程E%上至少有一解%
收稿日期"!""#$%!$!
在介值定理中!要求函数E必须连续!但是!在实际问题中会经常碰到E不连续的情况!例如电流或信号的脉冲!我们是否也有类似的定理？简单的连续函数的迭代可以产生复杂的混沌现象%那么不连续函数的迭代能不能产生相应的现象呢？这显然是个值得研究一番的有趣问题%
本文将传统的连续函数的介值定理推广到不连续的情况!并初步讨论了它的一些应用%有关不连续函数的迭代!我们还需要进一步的研究和探讨%
"!主要定理和证明
按通常的微积分教科书!函数在区间"连续的定义是指对于区间中任意一点:)"都有9!6#9!6#%有时我们会碰到这样的情况)%的极限不存在!或者存在但不等于E$!这时我们)DF!@E$:%%DF!:%E$E$
!’:
!’:
称函数在:点不连续或函数E在:处有间断点%为了下面的讨论!我们引进有关间断函数的上跳函数和下跳函数的概念%
定义!!设E在"有定义!如果对任何:)"9!6#9!6#
!’:
%%!)DFE$!:%DFE$!.E$.)BC
!’:
$%!h%
则称E为"上的上跳函数%9!6#
定义"!设E在"有定义!如果对任何:)"!9!6#9!6#
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%%!)DFE$!:%DFE$!%E$%)BC
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$%!h!
则称E为"上的下跳函数%9!6#
例如!为上跳函数&为下跳函数%:%@":#:%@:B":#E$E$几点说明’
$%上跳函数在图象上的意思为’若点:为不连续点!则该点的左极限不大于右极限!而该点的函D
数值则在两者之间&下跳函数则反之%由上述第二个例子可以知道上跳函数和下跳函数不一定是单调函数%
$%连续函数是上跳和下跳函数的特例!如果一个函数既是上跳又是下跳则必是连续函数%DD
$%上跳函数可以表示为一个连续函数和一个不减函数之和!下跳函数可以表示为一个连续函数DDD
和一个不增函数之和%
下面我们来推广连续函数的介值定理%
定理!!设E在"上有定义!当E为上跳函数且满足E$!$或E为下跳函数且满足9!6#9%6%*"*E$%!则至少存在一个:!使得E$9%6%9!6%:@"%,",E$E$")$"%证!设E为上跳函数!满足E$!令集合9%6%*"*E$
’%)=@(!9.!6!!%.."E$由于E$所以=非空!下确界存在!设"@显然9,6%DIS=%6%,"!",$%设E$根据上跳函数的定义!有D,"!"%
%!)DF!.E$E$"%B
!’"
存在一"使得E$这与"的下确界定义矛盾%,"!%,"!"%$%假设E$则"2即",根据上跳函数定义的另一部分DD6!6!*"!"%
%!DF!.)E$E$"%C
!’"
存在"使得E$%当!这说明"这与"的下确界定义矛盾%!%*"!)$!*!%!已是=的一个下界!"!"!"于是E$@"!"%"就是定理中所需求的:"%
同理可证明有关下跳函数的情况!定理%证完%
注意!若将条件E$改成E$或E为下跳函数且满足E$%!定9%6%9%6%$9%6%*"*E$%"%E$.".E$理也成立%
由定理%可以直接导出
定理"!间断函数的介值定理"上有定义$若E为上跳函数!或下跳函数"$且9$6%!设E在#或!"$则对任何介于E!和E!之间的实数0$则至少存在一点:$使9"6"9"6"9"6"9$6"*E!,E!E!E!")!得E!:@""0%
注意$若将条件E!改成E!或E为下跳函数且满足E!"$定理也成立%9"6"9"6"!9"6"*E!%E!.E!
推论"!关于上跳或下跳函数的不动点定理"上的上跳!或下跳"函数$9$6%!若E是在#E的值域包含于#$!或6B"$则方程E!上至少有一解%9$6%6B9*E!6"BE!9"9,E!6"BE!9":"@:在#9$6%证!令,!在#上对,!运用定理!即可以%:"@E!:"B:$9$6%:"
同样将条件6B!或6B9,E!"改成6B9%E!!或6B9.E!9*E!6"BE!9"6"BE!9"6"BE!9"6""$定理同样成立%BE!9"
同样的讨论对下跳函数也成立$推论!证完%
在讨论下一个定理之前$我们先讨论有关上跳或下跳函数的复合问题%显然$上跳函数的复合依然是上跳函数%若E!是上跳函数$我们证明E!"也是上跳函数%实际上$由于
$如果E在E!处连续$则E!"满足上跳函数的定义(如果E在E!:9$6%:9$6%%:::)#E!E!")#""""""""处不连续$则必有
B"!:’E!"
"""$)DFE!!:DFE!!.E!.)E!""C
"!:’E!"
!"!h;
!
所以E在E!处$在E在::"""处满足上跳函数的定义%
定理#!若E为定义在#上的上跳!或下跳"函数$设B)$的闭子区间%如9$6%BBB9$6%"$%$!$(B%为#果E!)$BB$@"$%$!$(B!$W$"$C%$
BBWE!(B%""$
并且
!"!h#
!!(B%(B%
!!$6B9%E!6"BE!9"6"BE9"6"BE9"%E!%)%E!
!!(B%(B%(
!或下跳的情况(!!"$则方程E!6B9.E!6"BE!9"6"BE9"6"BE9":"@:在B.E!.).E!"
$中至少有一解$并且E!)$:B$@"$%$!$(B%%)""$$
证!当(@%时$根据定理!$结论成立%BBWE!"""$
--当(@!时$条件变为E!从而必有一子区间B使得E!实际上$BBBBBB@BWWE!""%$%""$%W%$"""%--若B$"设B根据定理!$有E!从而"$&%"@:&"@:::BB@BWE!E!"@#%$!$%@#%$!%%$""%%
-"B@E!BBBWE!WE!E!""%"%""$
!"!h=
或者$
!
BBWE!"""%
类似地讨论可知对(B%的情况$也有
B@E!BBBWE!WE!""(B!"(B!""$
(B%
将推论!应用到函数E$定理;得证%
(B%
-
!"!h,
文#%利用了定理;在函数连续情况下的特例推导出著名的7那么如果我们直接;$,JOZ(XRZDD定理$利用定理;$会有怎么样的一个结果呢？这实在是一个有趣的课题%
下面我们要指出$不仅间断函数的介值定理有着潜在的应用$而且其证明思想也有着一定的适用
#%性$例如我们可以用这一思想方法来证明数论中的一个基本定理即1()(F:定理=%
设2!为自然数%$)$根据0随着(’G$我们定("!$;$(之中素数的个数$H)9O的研究$("2!’G%!"!"义为素数的*密度+$则有’"$当(’G时%所以人们称素数的渐近密度为零%
((
"!关于素数密度的一个有趣的问题(给定一个正整数$*%$是否存在一个(使得素数密度正好
("!等于%举例说明$当$@!$我们有(@!$使得2!当$@;$我们有(@!使得!"@%@,
$!!"",见表!!"而$@#时$!
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第%期!!!!!!!朱乐敏#等(从连续到间断!!!关于介值定理的推广
表%
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我们令-!显然对于不同的$#彼此不相交#即如果$@#$"@(s$*%%-!$"!!一般来说#
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$$-!$$@Y%F-!%2!#%"!"
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下面#我们用证明定理%同样的思想来证明下面的定理&%
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定理$!"非空#也即有无穷多(满足2!能被(除尽%1()(F:-!$"("!对任意给定的$#
证!设$为一给定正整数#定义E!我们需要证明存在2#使得E!考虑集合("@$("B(%2"@"%2!%#因为素数的渐近密度为"#所以当(足够大时#设=@$(((*;#("("=非空%.","#E!E!
$#2@DIS=%于是E!"由于2"2B%%.",E!
"""2B%BE!2"@$!2B%B2"C%.%#2!2!E!
所以
""2B%B%.E!2"2B%%.",E!E!
因为E!是一个整数#必须有E!2"2"@"%
!"!h
#!结!!论
本文引进比连续函数更为广泛的上跳函数和下跳函数#并在此基础上证明了介值定理#即将这一微积分中的基本定理从连续推广到间断*由于文&利用了连续函数的介值定理#证明了混沌理论的基;#,’研究一下从间断函数的介值定理出发是否可以导出类似结果#就成为一个非础之一的7JOZ(XRZDD定理#常吸引人的课题*
我们还运用证明间断函数介值定理的思想证明了数论中有名的关于素数密度的1可()(F:定理#见从间断函数的介值定理出发确实是可以引出一些有意义的工作*
&参!考!文!献’
&’&’#%D4JIAa(OZ9W3*]9OD(AKTO99DF)D9RLTJ(RW*3F9ODLJI2JKT*2(IKT)%&
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大!学!数!学!!!!!!!!!!!!!!第!!卷
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从连续到间断--关于介值定理的推广
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱乐敏， 黄迅成， 王元明， ZHU Le-min， HUANG Xun-cheng， WANG Yuan-ming扬州职业大学,江苏,扬州,225002大学数学
COLLEGE MATHEMATICS2006，22(1)2次
参考文献(7条)
1.Li T.Yorke J A Period three implies chaos 1975
2.Stefen P A theorem of Sarkovskii on the existence of periodic orbits of coutinccousendomorphisms of the real line 1977
3.Jing Z From ordinary fact to surprising theorem 1985(07)4.华东师范大学数学系 数学分析 20015.Golomb S W 查看详情 1962
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7.Huang X C From intermediate value theorem to chaos 1992(02)
相似文献(10条)
1.会议论文 夏晓舟.章青 一类指数型间断函数的嵌入非连续等参有限元法 2006
在嵌入非连续有限元的基本思想下，提出一类附加位移形函数--指数型问断函数，来模拟由于非连续结构，如裂纹和节理,所导致的位移不连续规律，该附加函数是以到间断处的垂直距离为自变量。且随距离的增大而呈指数衰减的函数,指数型间断函数具有在教学上的便于积分和求导的优点，且比阶梯间断函数更能反映实际破裂后的变形情况.本文用弱解形式推导了嵌入非连续有限元格式，编制了二维4节点和三维8节点的嵌入非连续等参有限元程序，并分别给出了算例.算例表明在模拟裂纹追踪时，指数型间断函数的嵌入非连续等参有限元法可行且有效。
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材料与方法：强生公司产快薇乔缝线(4/0)产品类型W9918和强生公司产慕丝线4/0为主要实验材料，以成年家兔50只为实验动物，实验方法：备皮麻醉后，常规消毒于家兔头颅顶部正中纵行线在其两侧平行间隔1cm各选取一切口，切口长度3-4cm，同一家兔双侧切口等长。分别在严格无菌操作下全层对称切开，彻底止血后，左侧切口采用普通慕丝线(4/0)头皮全层间断缝合，右侧使用快薇乔缝线(4/0)皮下皮内分层连续缝合。术后进行同步观察，并分批做缝线区组织病理切片HE染色光镜下观察各项指标。统计学处理：统计学分析采用t检验。两独立样本比率的卡方检验，运用SPSS13.0统计软件进行分析。 结果：
一期观察指标(术后14天，第15天)：
1)统计结果显示2组感染率之间统计学上没有明显差异(x=1.963，P>0.05)。
2)两组炎症反应指标存在有统计学差异，薇乔线在皮层及皮下组织内造成的炎症反应要较慕丝线轻(P=0.02 0.01
=4.320.01
：4.32 P>0.05)。
5)统计学结果示在第15天时，慕丝线缝合切口平均瘢痕宽度明显大于快薇乔线缝合切口组，两者之间有显著差异(P=0.004 P
1)两组之间的皮下组织(包括帽状腱膜)裂开率没有统计学差异(x=1.033P>0.05)。
2)慕丝线缝合切口平均瘢痕宽度大于快薇乔线缝合切口组，两者之间有统计学差异(P=0.019 0.05>P>0.01)。 3)快薇乔线缝合切口组缝线的缝线吸收率方面明显高于慕丝线缝合切口组(x=22.82 P
4)慕丝线缝合切口组的皮层组织病理切片下良好愈合率显著低于快薇乔线缝合切口组(x=27.09 P
1.使用可吸收线(快薇乔4/0)缝合头皮相较于慕丝线可以减轻术后伤口的炎症反应。 2.在缝合切口感染率方面快薇乔线与慕丝线没有统计学的差异。
3.使用可吸收缝合线(快薇乔4/0)缝合头皮的1/甲愈合率要高于使用丝线(慕丝4/0)。
4.采用可吸收缝合线(快薇乔4/0)皮下，皮内连续缝合头皮在切口缝合牢固方面(包括表层和皮下层)，愈合情况与常用丝线(慕丝4/0)间断缝合没有区别。
5.采用可吸收缝合线(快薇乔4/0)皮下，皮内连续缝合头皮，可以减少缝线不良反应如异物肉芽肿，缝线瘘管的发生。 6.使用快薇乔线缝合头皮较之慕丝线，伤口瘢痕形成小，伤口更为美观.
7.使用可吸收线(快薇乔4/0)缝合头皮，其预计时间组织吸收，无须拆线的特点应用于临床有利于减少病人的住院时间。
7.期刊论文 张国栋.周昌玉.ZHANG Guo-dong.ZHOU Chang-yu 管道对接间断焊与连续焊的有限元分析 -焊接学报2006,27(12)
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8.期刊论文 D·G·苏布米克 露天矿间断-连续运输方案的选择 -国外金属矿山2001,26(1)
在露天矿长距离运输方面,当胶带输送机工艺与汽车运输工艺相比时,胶带输送机工艺具有明显优势.合理地设计露天坑内破碎-输送系统尤为重要.介绍了间断、间断-连续运输以及连续运输工艺的设备组成、适用条件和应用情况.
9.学位论文 肖捷 一种求解间断系数椭圆型问题的连续—间断有限元方法及其自适应研究 2006
本文的内容分为以下两个部分：
第一部分提出了一种综合了普通间断有限元方法和区域分解方法优点的连续一间断有限元方法。本文考虑这样一个间断系数椭圆型问题：方程的求解区域内包含一个子区域，该子区域的尺度与整个求解区域的尺度相差很大(如104)，方程的系数在子区域的边界上是间断的。针对问题的特殊性，本文在子区域内用连续有限元函数逼近，而在区域的交界面处采用间断有限元的方法引进数值流，这样做很好地解决了网格的非匹配问题，而且比在整个区域上用间断有限元方法离散，自由度少了很多。本文提出的连续一间断有限元方法与Mortar元方法有些类似，只是Mortar元方法是通过弱匹配条件来建立子区域间的联系。本文通过定义数值流中的网格函数，得到了与Mortar元方法类似的最优误差阶，而且该方法在程序实现上较Mortar元方法简单得多。本文通过数值实验验证了先验误差理论，还对该方法进行了后验误差估计，利用该方法与Mortar元方法的相似性，得到了与普通间断有限元方法一致的残量型后验误差估计子，并通过大量的数值实验验证了它的有效性。
第二部分是对与时间无关的对流扩散问题的自适应方法的研究。本文中提出了能量范数下的一个后验误差估计，虽然其上、下界估计的常数相差O(ε-1/2)，但是通过进行大量的数值实验，与Verfurth[29]文中的误差估计子相比较后，表明了该误差估计子的效果更好，而且从数值结果来看该误差估计子的收敛阶是最优的。
关键词：间断有限元，Mortar元，连续一间断有限元方法，残量型后验误差估计子，对流-扩散问题
10.会议论文 邢志利.孙捷.吴春.谢玲丽.王相.黄斌.金鑫 连续缝合间断打结法吻合血管在断指再植中的应用 2006
目的:探讨连续缝合间断打结法吻合血管在断指再植中的应用.方法:应用垂直两定点连续缝合间断打结法吻合血管,完成断指再植术1112例,共1588指.结果:再植成活率95％以上.结论:整个吻合过程中,吻合口始终较大限度地敞开,避免缝到对侧血管壁,在显微技术上较大程度地保证了吻合口的通畅,从而提高手术成功率.
引证文献(2条)
1.郭计敏 介值性定理的证明及应用[期刊论文]-科技信息 2009(23)
2.邓朝阳.吴泽民 非连续函数的介值定理[期刊论文]-泉州师范学院学报 2007(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200601024.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7d6ed034-d29c-408c-a4d6-9dcf008d1428
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