2.4.1正态分布
关于正态曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x 轴上方；
②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x ∈（-3σ，3σ）时才在x 轴上方； ③曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； ④曲线在x=
μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； ⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”； 上述说法正确的是
一、 知识梳理
1．正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 2．正态曲线及其性质
正态分布函数：f (x ) =
-
(x -μ) 22σ，x ∈（-∞，+∞）其中实数μ和σ(σ>0)
为参数，我们称ϕμ, σ(x ) 的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
3．标准正态曲线
标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，Φ(-x 0) =1-Φ(x 0) ，以及标准正态总体在任一区间(a，b) 内取值概率P =Φ(b ) -Φ(a ) 。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一般的正态总体N (μ, σ2) 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体其取值小于x 的概率F (x ) =Φ(N (μ, σ2) ，
个特定区间的概率即可。
一般地，如果对于任何实数a
b
x -μ
σ
) 。只要会用它求正态总体N (μ, σ2) 在某
P (a
a
则称X 的分布为正态分布，记作N ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为（μ，σ）
2
X
。 N （μ，σ2）
可以发现，正态曲线有以下特点：
（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x =μ对称；
（3） 曲线在x =
μ
（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；
（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；
（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若X
，则对于任何实数a >0, 概率 N （μ，σ2）
P (μ-a
μ+a
μ-a
ϕμ, σ(x ) dx
（μ-a , μ+a ]对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间
的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有
可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N 的随机变量X 只取(μ-3σ, μ+3σ) （μ，σ）之间的值，简称之为3σ原则
三、 典型例题
例1.
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ
2
N (90,100)。
（1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？
（2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大
约有多少人？
变式训练. 已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X 约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
N (110,25),据此估计，大
A .(90,110] B . (95, 1 2 5 C .(100,125] D .(105,115]
四、反馈测评
1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）f (x ) =
12π1
e
-
x 22
, x ∈(-∞, +∞)
（２）f (x ) =
22e
-
(x -1) 2
8
, x ∈(-∞, +∞)
（３）f (x ) =2. 若随机变量ξ
-2(x +1) 2
, x ∈(-∞, +∞) N (-2,4) , 则ξ在区间(-4, 2]上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取
值的概率（ ）
A .(2,4] B . (0, 2 ] C .(-2,0] D .(-4, 4]
3．若随机变量ξ服从正态分布ξ
N (0,1)，则ξ在区间(-3,3]上取值的概率等于（ ）
A.0.6826 B.0.9544 C.0.9974 D.0.3174
4. 若一个正态总体落在区间(0.2,+∞) 里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。
一、选择题
1. 下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(
)
A . f (x ) =
-
(x -1) 22
=
B . f (x )
-
e
(x -22)
2σ
C . f (x ) =
-
(x -μ) 22σ D . f (x ) =
1e 2π
-
x 24π
x
1-4
2．函数f (x ) =e π，(x ∈R ) 的奇偶性为（ ）
2π
2
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法判断
3．若随机变量满足正态分布N ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ） （μ，σ）A. σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”. B. σ越大，曲线越“瘦高”, σ越小，曲线越“矮胖” C. σ的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系 D. 曲线的“瘦高”，“矮胖”受到μ的影响 二、填空题 4. 随机变量X
，其密度函数f （x ）的最大值是N （μ，σ2）
2
5. 工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布X 零件约占总数的
1⎫⎛
9．设X ~N -2⎪，则X 落在(-∞，-3.5]
4⎭⎝Ａ．95.4%
Ｂ．99.7%
N （0，4），则不属于(-4, 4) 这个尺寸范围的
+∞)内的概率是（ [-0.5，
）
Ｃ．4.6% Ｄ．0.3%
10．正态分布N (μ，σ2) 在下面几个区间内的取值概率依次为（ ） ①(μ-3σ，μ+3σ]
②(μ-2σ，μ+2σ]
③(μ-σ，μ+σ]
Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3%
Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%
1) 内取值的概14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0) ．若ξ在(0，2) 内取值的概率为 0. 8率为0.4，则ξ在(0，
．
(11）若随机变量X ～(μ, σ2) ，则P (X ≤μ) =________.
5）已知随机变量ξ服从正态分布N (1, σ2) ，若P (ξ>2) =0. 023，则P (-2≤ξ≤2) = C
（A ）0.477
（B ）0.628
（C ）0.954
（D ）0.977
2.4.1正态分布
关于正态曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x 轴上方；
②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x ∈（-3σ，3σ）时才在x 轴上方； ③曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； ④曲线在x=
μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； ⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”； 上述说法正确的是
一、 知识梳理
1．正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 2．正态曲线及其性质
正态分布函数：f (x ) =
-
(x -μ) 22σ，x ∈（-∞，+∞）其中实数μ和σ(σ>0)
为参数，我们称ϕμ, σ(x ) 的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
3．标准正态曲线
标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，Φ(-x 0) =1-Φ(x 0) ，以及标准正态总体在任一区间(a，b) 内取值概率P =Φ(b ) -Φ(a ) 。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一般的正态总体N (μ, σ2) 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体其取值小于x 的概率F (x ) =Φ(N (μ, σ2) ，
个特定区间的概率即可。
一般地，如果对于任何实数a
b
x -μ
σ
) 。只要会用它求正态总体N (μ, σ2) 在某
P (a
a
则称X 的分布为正态分布，记作N ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为（μ，σ）
2
X
。 N （μ，σ2）
可以发现，正态曲线有以下特点：
（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x =μ对称；
（3） 曲线在x =
μ
（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；
（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；
（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若X
，则对于任何实数a >0, 概率 N （μ，σ2）
P (μ-a
μ+a
μ-a
ϕμ, σ(x ) dx
（μ-a , μ+a ]对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间
的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有
可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N 的随机变量X 只取(μ-3σ, μ+3σ) （μ，σ）之间的值，简称之为3σ原则
三、 典型例题
例1.
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ
2
N (90,100)。
（1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？
（2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大
约有多少人？
变式训练. 已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X 约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
N (110,25),据此估计，大
A .(90,110] B . (95, 1 2 5 C .(100,125] D .(105,115]
四、反馈测评
1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）f (x ) =
12π1
e
-
x 22
, x ∈(-∞, +∞)
（２）f (x ) =
22e
-
(x -1) 2
8
, x ∈(-∞, +∞)
（３）f (x ) =2. 若随机变量ξ
-2(x +1) 2
, x ∈(-∞, +∞) N (-2,4) , 则ξ在区间(-4, 2]上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取
值的概率（ ）
A .(2,4] B . (0, 2 ] C .(-2,0] D .(-4, 4]
3．若随机变量ξ服从正态分布ξ
N (0,1)，则ξ在区间(-3,3]上取值的概率等于（ ）
A.0.6826 B.0.9544 C.0.9974 D.0.3174
4. 若一个正态总体落在区间(0.2,+∞) 里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。
一、选择题
1. 下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(
)
A . f (x ) =
-
(x -1) 22
=
B . f (x )
-
e
(x -22)
2σ
C . f (x ) =
-
(x -μ) 22σ D . f (x ) =
1e 2π
-
x 24π
x
1-4
2．函数f (x ) =e π，(x ∈R ) 的奇偶性为（ ）
2π
2
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法判断
3．若随机变量满足正态分布N ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ） （μ，σ）A. σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”. B. σ越大，曲线越“瘦高”, σ越小，曲线越“矮胖” C. σ的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系 D. 曲线的“瘦高”，“矮胖”受到μ的影响 二、填空题 4. 随机变量X
，其密度函数f （x ）的最大值是N （μ，σ2）
2
5. 工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布X 零件约占总数的
1⎫⎛
9．设X ~N -2⎪，则X 落在(-∞，-3.5]
4⎭⎝Ａ．95.4%
Ｂ．99.7%
N （0，4），则不属于(-4, 4) 这个尺寸范围的
+∞)内的概率是（ [-0.5，
）
Ｃ．4.6% Ｄ．0.3%
10．正态分布N (μ，σ2) 在下面几个区间内的取值概率依次为（ ） ①(μ-3σ，μ+3σ]
②(μ-2σ，μ+2σ]
③(μ-σ，μ+σ]
Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3%
Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%
1) 内取值的概14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0) ．若ξ在(0，2) 内取值的概率为 0. 8率为0.4，则ξ在(0，
．
(11）若随机变量X ～(μ, σ2) ，则P (X ≤μ) =________.
5）已知随机变量ξ服从正态分布N (1, σ2) ，若P (ξ>2) =0. 023，则P (-2≤ξ≤2) = C
（A ）0.477
（B ）0.628
（C ）0.954
（D ）0.977