厦门一中2015入学考试模拟数学试卷
一、选择题(每题3分,共21分)
1.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,
则这个不等式组可能是„„„„„„„„„„„. ( ) 第 1题图 A 、⎨
⎧x >4,
⎩x ≤-1
B 、⎨
⎧x
⎩x ≥-1
C 、⎨
⎧x >4,
⎩x >-1
D 、⎨
⎧x ≤4,
⎩x >-1
2、以方程组⎨
⎧y =-x +2
的解为坐标的点(x ,y ) 在平面直角坐标系中的位置是…( )
y =x -1⎩
B .第二象限
C .第三角限
D .第四象限
A .第一象限
3、为参加电脑汉字输入比赛,甲和乙两位同学进行了6次测试,成绩如下表:
甲和乙两位同学6次测试成绩(每分钟输入汉字个数) 及部分统计数据表
有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断,其中说法正确的 是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.( ) A、甲的方差大于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定; B、甲的方差小于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定; C、乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定;
D、乙的方差大于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定; 4、如图,∠1,∠2,∠3,∠4
是五边形ABCDE 的外角,
且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED 的度数是…………( ) A .110°
2
4 3
B .108° C .105° D.100°
x 2-x +23(x 2-x ) 2-1+3
B
A (第4题)
5、若x -x -2=0,则的值等于„„„„„„„„„„„„. ( ).
3
A、2
33
B 、
3
C 、
D 、或
33
6、2,33和4分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和, 63也能按此规律进行“分裂”,则63“分裂”出的奇数中最大的是„„„..( ) A、41 B、39 C、31 D、29
33
23
3 5
3317
7、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=90°,AD=1,AB=,BC=2,P BC 边上的
19 一个动点(点P 与点B 不重合),DE ⊥AP 于点E .设AP=x,DE=y.在下列图象中,能正确反映y 与
x 的函数关系的是( )
7 9 11
13 15
43
二、填空题(每空
4分,共40分)
8.分解因式:x -4x =__________________.
3
D
,∠C =40°, 9.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =70°
作
DE ∥AB 交BC 于点E ,若AD =3,BC =10,则CD 的长是 . (第9题) 10.要使式子
C
有意义,x 的取值范围是 x
11.已知函数f (x )
=f (2)= .
(第12题图)
12.如图,水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形, 它的左视图的面积为6,则长方体的体积等于______________.
13.如图, 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长等于
______________(结果保留根号) .
14.初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y =ax +bx +c 的图象时, 列了如下表格:
2
2
根据表格上的信息回答问题:该二次函数y =ax +bx +c 在x =3时,y =____________.
a +b
的值等于 . b -a
k
16、已知n 是正整数,P n (x n ,y n ) 是反比例函数y =图象上的一列点,其中x 1=1,
x
15、设a >b >0,a +b -6ab =0,则
2
2
x 2=2,„,x n =n ,记T 1=x 1y 2,T 2=x 2y 3,„,T 9=x 9y 10;若T 1=1,则T 1⋅T 2⋅⋅⋅⋅⋅T 9的值是;
17.如图, O 的半径为3cm ,B 为 O 外一点,OB 交 O 于点A ,AB =OA ,动点P 从点A 出发,以πcm/s的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止.当点P 运动的时间为 s时,BP 与 O 相切.
三、解答题 18、(7分)解方程:
19.(7分) 先化简,再求值:
20.(9分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点E 为AB 中点,连结CE ,过点E 作ED ⊥BC 于点D ,在DE 的延长线上取一点F ,
a 2+411
·(-1) ÷(-) ,其中4a 2a a -4
6x 5x +4+= x 2-1x -1x +1
第17题图
2
a =.
12
使AF =CE .求证:四边形ACEF 是平行四边形.
21. (10分) 如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米. 现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标;(2) 求出这条抛物线的函数解析式;(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
第21题图
22.(10分)如图,⊙O 的直径AB 为10 cm,弦AC 为6 cm, ∠ACB 的平分线交AB 于E ,交⊙O 于D .求弦AD 、CD 的长.
…密………………………………………………………. 封………………………………线……………………
23.(10分)在购买某场足球赛门票时,设购买门票数为x (张),总费用为y (元). 现有两种购买方案:
方案一:若单位赞助广告费10000元,则该单位所购门票的价格为每张60元; (总费用=广告赞助费+门票费)
方案二:购买门票方式如图所示. 解答下列问题:
(1)方案一中,y 与x 的函数关系式为 ; 方案二中,当0≤x ≤100时,y 与x 的函数关系式为 ; 当x 100时,y 与x 的函数关系式为 ;
(2)如果购买本场足球赛超过100张,你将选择哪一种方案,使总费用最省? 请说明理由;
(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张, 花去总费用计58000元,求甲、乙两单位各购买门票多少张.
第16题图
y
24.(13
分)如图,直线y =
x +
b 经过点B (2) ,且与x 轴交于点A ,将抛物线y =
12
x 沿x 轴作左右平移,记平移后的抛物线为C ,其顶点为P . 3
(1)求∠BAO 的度数;
(2)抛物线C 与y 轴交于点E ,与直线AB 交于两点,其中一个交点为F ,当线段
EF ∥x 轴时,求平移后的抛物线C 对应的函数关系式;
12
(3)在抛物线y =x 平移过程中,将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ,点D 能
3
否落在抛物线C 上?如能,求出此时抛物线C 顶点P 的坐标;如不能,说明理由.
25.(13分)如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF .
解答下列问题:(1)如果AB =AC ,∠BAC =90,
第18题图
1
x 2
3
备用图
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF ,
BD 之间的位置关系
为 ,数量关系为 .
②当点D 在线段BC 的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? E
图甲
C
图乙 图丙
(2)如果AB ≠AC ,∠BAC ≠90 ,点D 在线段BC 上运动.
试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C ,F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法) (3)
若AC =BC =3,在(2)的条件下,设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ,求线段CP 长的最大值.
26、(10分) 已知实数a ,b ,c 满足a ≥b ≥c ,a +b +c =0且a ≠0.
……线……………………
设x 1,x 2是方程ax +bx +c =0的两个实数根,则平面直角
2
,B (x 2,x 1)之间的距离的最大值为多少? 坐标系内两点A (x 1,x 2)
参考答案:
1、B ; 2、A ; 3、C; 4、D ; 5、A; 6、A ; 7、B; 8、x(x+2)(x-2); 9、7; 10、x ≥-1且x ≠0; 11
12、24; 13、1+16、51.2; 17、1或5 18、(7分)解:去分母,得
6x +5(x +1) =(x +4)(x -1) .„„„„„„„„„„(2分) 整理,得x -8x -9=0.„„„„„„„„„„„„„(4分)
2
2
; 14、-4; 15、
∴x 1=-1,x 2=9.„„„„„„„„„„„„„„.. (6分)
经检验,x 1=-1是增根,x 2=9是原方程的根.„„„„(7分) 所以,原方程的根是x =9. 19、(7分)解:原式=
1
2
1a +2
……………………..5分
B
当a =时,原式=.…………………7分 20.(9分) 证明:∵∠ACB=90°,AE=EB,
∴CB=AE=EB,又∵AF=CE,
∴AF=CE=AE=EB,又E D ⊥BC ,ED=EC, ∴∠1=∠2,„„„5′
又∠2=∠3由AE=AF,∠1=∠F ,C E ∥AF , ∴四边形ACEF 是平行四边形„„„„„9′
21、(10分)(1) M (12,0) ,P (6,6). „„„„„„„„„„„„„2分
A
3
E
21
2
5
D
C
(2) 设此函数关系式为:y =a (x -6) 2+6. „„„„„„„„„„„„„„„3分
2
∵函数y =a (x -6) +6经过点(0,3) , ∴3=a (0-6) 2+6,即a =- ∴此函数解析式为
1
. „„„„„„4分 12
11
y =-(x -6) 2+6=-x 2+x +3.„„„5分
1212
(3) 设A (m ,0) ,则
第24题图
B (12-m ,0) ,C (12-m , -
121
m +m +3) ,D (m , -m 2+m +3) . „„„„6分 1212
121
m +m +3) +(12-2m ) +(-m 2+m +3) 1212
∴“支撑架”总长AD+DC+CB = (-= -
12
m +18. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 6
∵ 此二次函数的图象开口向下. ∴ 当m = 0时,AD+DC+CB有最大值为18. „„9分
22、(10分)∵ AB 是直径,∴ ∠ACB = 90°. 在Rt△ABC 中,BC =
. AB 2-AC 2=2-62= 8(cm )
∵ CD 平分∠ACB , ∴ ⌒AD =⌒BD ,进而AD = BD .
于是在Rt△ABD 中,得 AD = BD =
2
AB = 52(cm ).„„„„3分 2
过E 作EF ⊥AC 于F ,EG ⊥BC 于G ,F 、G 是垂足,则四边形CFEG 是正方形.
111
AC · x +BC · x =AC · BC , 222
124即 ×6 · x + 12×8×x = 12×6×8,解得 x =.
27
设EF = EG = x ,由三角形面积公式,得 ∴ CE = 2x =
242
.„„„„„„„„. „.6分 7
由 △ADE ∽△CBE ,得 DE : BE = AE : CE = AD : BC ,
即 DE : BE = AE :
2
= 52: 8,
7
G
解得 AE =
3030402,BE = AB -AE = 10-=, ∴ DE =.„„9分 7777
因此 CD = CE + DE =
22
+= 72(cm ).„„„..10分 77
答:AD 、CD 的长依次为52cm ,72cm .
说明:另法一 求CD 时还可以作CG ⊥AE ,垂足为G ,连接OD .
另法二 过A 作AF ⊥CD 于F ,则△ACF 是等腰直角三角形.
23、(满分10分)解:(1) 方案一;
当0≤x ≤100时,y=100x ;
当x >100时,y=80x+2000 ;……………………………………3分
(2)因为方案一y 与x 的函数关系式为y=60x+10000,
∵x >100,方案二的y 与x 的函数关系式为y=80x+2000;
当60x+10000>80x+2000时,即x <400时,选方案二进行购买,
当60x+10000=80x+2000时,即x=400时,两种方案都可以,
当60x+10000<80x+2000时,即x >400时,选方案一进行购买; ……..6分
(3) 设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a 张、b 张;
∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票,
∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况:b ≤100或b >100.
① 当b ≤100时,乙公司购买本次足球赛门票费为100b ,
a +b =700, ⎧⎨
a =550,
解得⎧不符合题意,舍去; …….8分 ⎨
⎩b =150,
⎩60a +10000+100b =58000,
② 当b >100时,乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000,
a +b =700,
⎧⎨
⎩60a +10000+80b +2000=58000,
解得⎧⎨
a =500,
⎩b =200,
符合题意………10分
答:甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张.
24、(满分13分)解:(1)∵点B 在直线AB 上, 求得b=3,
x +3, ∴A
(-0),即
OA=
∴直线AB
:y =
作BH ⊥x 轴,垂足为H .则BH=2,
AH=
∴tan ∠BAO =BH =∴∠BAO =30︒. „„„„„„„„„„„„„„3分
AH (2)设抛物线C 顶点P (t ,0),则抛物线C :y =1(x -t ) 2,
3
∴E (0,1t 2)
3∵EF ∥x 轴,∴点E 、F 关于抛物线C 的对称轴对称, ∴F (2t ,1t 2).
3
∵点F 在直线AB 上
, ∴1t 2=2t +3, ∴t =t =
12
3∴抛物线C
为y =1(x 2或y =1(x -2„„„„„„„„„.. 7分
33
(3)假设点D 落在抛物线C 上,
不妨设此时抛物线顶点P(t,0) ,则抛物线C:y =1(x -t ) 2,
AP=,
3
连接DP ,作DM ⊥x 轴,垂足为M .由已知,得△PAB ≌△DAB , 又∠BAO =30°,∴△PAD 为等边三角形.PM=AM
=
1
∴∴tan ∠DAM =DM =
∴DM =(9).
AM
2
1
t ) ,
2
11
OM =OP +PM =-t +t ) =
t ),
22
1⎡1⎤⎡1⎤
∴M ⎢-t ), 0⎥, ∴D ⎢-t ), (9⎥. „„„„„„„„„„„„.10分
2⎣2⎦⎣2⎦
∵点D 落在抛物线C 上,
∴1(9) =1⎡-1t ) -t ⎤, 即t 2=27, ∴t =±„„„„„„„„„„„„„11分
⎥23⎢⎣2⎦
当t =-
P (-0) ,点P 与点A 重合,不能构成三角形,不符合题意,舍去.所以点P
为(0)
∴当点D 落在抛物线C 上顶点P
为(0). „„„„„„„. 13份
25、(13分)(1)①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;„„.2分 ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC , 又AB=AC ,∴△DAB ≌△FAC , ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD .
第11页 (共8页)
图丙
2
F
E
A
F C
∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD „„„„„„.5分 (2)画图正确
当∠BCA=45º时,CF ⊥BD (如图丁).
理由是:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ,∴AC=AG 可证:△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF ⊥BD „„„„„„.8分
(3)当具备∠BCA=45º时,
过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ,(如图戊) ∵DE 与CF 交于点P 时, ∴此时点D 位于线段CQ 上, ∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD=x ,∴ DQ=4—x , 容易说明△AQD ∽△DCP ,∴
CP CD
, ∴CP =x , =
DQ AQ 4-x 4
F
A
E
Q B D C
P
图戊
x 21
∴CP =-+x =-(x -2) 2+1.
44
∵0<x ≤3 ∴当x=2时,CP 有最大值1. „„„„.13分 26、(满分10分):
b 2-4ac c
AB =(x 1-x 2) +(x 2-x 1) =2x 1-x 2=2=2(1-)
a a
2
2
(a >0)
…………………………………………………………………………4分 a ≥b ≥c ∴a ≥-a -c ≥c
c
≤a ≤-2c 2
c 1
-2≤≤-…………………………………………..8分
a 2
-
AB max =2(1+2) =32…………………………..10分
第12页 (共8页)
厦门一中2015入学考试模拟数学试卷
一、选择题(每题3分,共21分)
1.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,
则这个不等式组可能是„„„„„„„„„„„. ( ) 第 1题图 A 、⎨
⎧x >4,
⎩x ≤-1
B 、⎨
⎧x
⎩x ≥-1
C 、⎨
⎧x >4,
⎩x >-1
D 、⎨
⎧x ≤4,
⎩x >-1
2、以方程组⎨
⎧y =-x +2
的解为坐标的点(x ,y ) 在平面直角坐标系中的位置是…( )
y =x -1⎩
B .第二象限
C .第三角限
D .第四象限
A .第一象限
3、为参加电脑汉字输入比赛,甲和乙两位同学进行了6次测试,成绩如下表:
甲和乙两位同学6次测试成绩(每分钟输入汉字个数) 及部分统计数据表
有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断,其中说法正确的 是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.( ) A、甲的方差大于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定; B、甲的方差小于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定; C、乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定;
D、乙的方差大于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定; 4、如图,∠1,∠2,∠3,∠4
是五边形ABCDE 的外角,
且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED 的度数是…………( ) A .110°
2
4 3
B .108° C .105° D.100°
x 2-x +23(x 2-x ) 2-1+3
B
A (第4题)
5、若x -x -2=0,则的值等于„„„„„„„„„„„„. ( ).
3
A、2
33
B 、
3
C 、
D 、或
33
6、2,33和4分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和, 63也能按此规律进行“分裂”,则63“分裂”出的奇数中最大的是„„„..( ) A、41 B、39 C、31 D、29
33
23
3 5
3317
7、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=90°,AD=1,AB=,BC=2,P BC 边上的
19 一个动点(点P 与点B 不重合),DE ⊥AP 于点E .设AP=x,DE=y.在下列图象中,能正确反映y 与
x 的函数关系的是( )
7 9 11
13 15
43
二、填空题(每空
4分,共40分)
8.分解因式:x -4x =__________________.
3
D
,∠C =40°, 9.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =70°
作
DE ∥AB 交BC 于点E ,若AD =3,BC =10,则CD 的长是 . (第9题) 10.要使式子
C
有意义,x 的取值范围是 x
11.已知函数f (x )
=f (2)= .
(第12题图)
12.如图,水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形, 它的左视图的面积为6,则长方体的体积等于______________.
13.如图, 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长等于
______________(结果保留根号) .
14.初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y =ax +bx +c 的图象时, 列了如下表格:
2
2
根据表格上的信息回答问题:该二次函数y =ax +bx +c 在x =3时,y =____________.
a +b
的值等于 . b -a
k
16、已知n 是正整数,P n (x n ,y n ) 是反比例函数y =图象上的一列点,其中x 1=1,
x
15、设a >b >0,a +b -6ab =0,则
2
2
x 2=2,„,x n =n ,记T 1=x 1y 2,T 2=x 2y 3,„,T 9=x 9y 10;若T 1=1,则T 1⋅T 2⋅⋅⋅⋅⋅T 9的值是;
17.如图, O 的半径为3cm ,B 为 O 外一点,OB 交 O 于点A ,AB =OA ,动点P 从点A 出发,以πcm/s的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止.当点P 运动的时间为 s时,BP 与 O 相切.
三、解答题 18、(7分)解方程:
19.(7分) 先化简,再求值:
20.(9分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点E 为AB 中点,连结CE ,过点E 作ED ⊥BC 于点D ,在DE 的延长线上取一点F ,
a 2+411
·(-1) ÷(-) ,其中4a 2a a -4
6x 5x +4+= x 2-1x -1x +1
第17题图
2
a =.
12
使AF =CE .求证:四边形ACEF 是平行四边形.
21. (10分) 如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米. 现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标;(2) 求出这条抛物线的函数解析式;(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
第21题图
22.(10分)如图,⊙O 的直径AB 为10 cm,弦AC 为6 cm, ∠ACB 的平分线交AB 于E ,交⊙O 于D .求弦AD 、CD 的长.
…密………………………………………………………. 封………………………………线……………………
23.(10分)在购买某场足球赛门票时,设购买门票数为x (张),总费用为y (元). 现有两种购买方案:
方案一:若单位赞助广告费10000元,则该单位所购门票的价格为每张60元; (总费用=广告赞助费+门票费)
方案二:购买门票方式如图所示. 解答下列问题:
(1)方案一中,y 与x 的函数关系式为 ; 方案二中,当0≤x ≤100时,y 与x 的函数关系式为 ; 当x 100时,y 与x 的函数关系式为 ;
(2)如果购买本场足球赛超过100张,你将选择哪一种方案,使总费用最省? 请说明理由;
(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张, 花去总费用计58000元,求甲、乙两单位各购买门票多少张.
第16题图
y
24.(13
分)如图,直线y =
x +
b 经过点B (2) ,且与x 轴交于点A ,将抛物线y =
12
x 沿x 轴作左右平移,记平移后的抛物线为C ,其顶点为P . 3
(1)求∠BAO 的度数;
(2)抛物线C 与y 轴交于点E ,与直线AB 交于两点,其中一个交点为F ,当线段
EF ∥x 轴时,求平移后的抛物线C 对应的函数关系式;
12
(3)在抛物线y =x 平移过程中,将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ,点D 能
3
否落在抛物线C 上?如能,求出此时抛物线C 顶点P 的坐标;如不能,说明理由.
25.(13分)如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF .
解答下列问题:(1)如果AB =AC ,∠BAC =90,
第18题图
1
x 2
3
备用图
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF ,
BD 之间的位置关系
为 ,数量关系为 .
②当点D 在线段BC 的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? E
图甲
C
图乙 图丙
(2)如果AB ≠AC ,∠BAC ≠90 ,点D 在线段BC 上运动.
试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C ,F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法) (3)
若AC =BC =3,在(2)的条件下,设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ,求线段CP 长的最大值.
26、(10分) 已知实数a ,b ,c 满足a ≥b ≥c ,a +b +c =0且a ≠0.
……线……………………
设x 1,x 2是方程ax +bx +c =0的两个实数根,则平面直角
2
,B (x 2,x 1)之间的距离的最大值为多少? 坐标系内两点A (x 1,x 2)
参考答案:
1、B ; 2、A ; 3、C; 4、D ; 5、A; 6、A ; 7、B; 8、x(x+2)(x-2); 9、7; 10、x ≥-1且x ≠0; 11
12、24; 13、1+16、51.2; 17、1或5 18、(7分)解:去分母,得
6x +5(x +1) =(x +4)(x -1) .„„„„„„„„„„(2分) 整理,得x -8x -9=0.„„„„„„„„„„„„„(4分)
2
2
; 14、-4; 15、
∴x 1=-1,x 2=9.„„„„„„„„„„„„„„.. (6分)
经检验,x 1=-1是增根,x 2=9是原方程的根.„„„„(7分) 所以,原方程的根是x =9. 19、(7分)解:原式=
1
2
1a +2
……………………..5分
B
当a =时,原式=.…………………7分 20.(9分) 证明:∵∠ACB=90°,AE=EB,
∴CB=AE=EB,又∵AF=CE,
∴AF=CE=AE=EB,又E D ⊥BC ,ED=EC, ∴∠1=∠2,„„„5′
又∠2=∠3由AE=AF,∠1=∠F ,C E ∥AF , ∴四边形ACEF 是平行四边形„„„„„9′
21、(10分)(1) M (12,0) ,P (6,6). „„„„„„„„„„„„„2分
A
3
E
21
2
5
D
C
(2) 设此函数关系式为:y =a (x -6) 2+6. „„„„„„„„„„„„„„„3分
2
∵函数y =a (x -6) +6经过点(0,3) , ∴3=a (0-6) 2+6,即a =- ∴此函数解析式为
1
. „„„„„„4分 12
11
y =-(x -6) 2+6=-x 2+x +3.„„„5分
1212
(3) 设A (m ,0) ,则
第24题图
B (12-m ,0) ,C (12-m , -
121
m +m +3) ,D (m , -m 2+m +3) . „„„„6分 1212
121
m +m +3) +(12-2m ) +(-m 2+m +3) 1212
∴“支撑架”总长AD+DC+CB = (-= -
12
m +18. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 6
∵ 此二次函数的图象开口向下. ∴ 当m = 0时,AD+DC+CB有最大值为18. „„9分
22、(10分)∵ AB 是直径,∴ ∠ACB = 90°. 在Rt△ABC 中,BC =
. AB 2-AC 2=2-62= 8(cm )
∵ CD 平分∠ACB , ∴ ⌒AD =⌒BD ,进而AD = BD .
于是在Rt△ABD 中,得 AD = BD =
2
AB = 52(cm ).„„„„3分 2
过E 作EF ⊥AC 于F ,EG ⊥BC 于G ,F 、G 是垂足,则四边形CFEG 是正方形.
111
AC · x +BC · x =AC · BC , 222
124即 ×6 · x + 12×8×x = 12×6×8,解得 x =.
27
设EF = EG = x ,由三角形面积公式,得 ∴ CE = 2x =
242
.„„„„„„„„. „.6分 7
由 △ADE ∽△CBE ,得 DE : BE = AE : CE = AD : BC ,
即 DE : BE = AE :
2
= 52: 8,
7
G
解得 AE =
3030402,BE = AB -AE = 10-=, ∴ DE =.„„9分 7777
因此 CD = CE + DE =
22
+= 72(cm ).„„„..10分 77
答:AD 、CD 的长依次为52cm ,72cm .
说明:另法一 求CD 时还可以作CG ⊥AE ,垂足为G ,连接OD .
另法二 过A 作AF ⊥CD 于F ,则△ACF 是等腰直角三角形.
23、(满分10分)解:(1) 方案一;
当0≤x ≤100时,y=100x ;
当x >100时,y=80x+2000 ;……………………………………3分
(2)因为方案一y 与x 的函数关系式为y=60x+10000,
∵x >100,方案二的y 与x 的函数关系式为y=80x+2000;
当60x+10000>80x+2000时,即x <400时,选方案二进行购买,
当60x+10000=80x+2000时,即x=400时,两种方案都可以,
当60x+10000<80x+2000时,即x >400时,选方案一进行购买; ……..6分
(3) 设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a 张、b 张;
∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票,
∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况:b ≤100或b >100.
① 当b ≤100时,乙公司购买本次足球赛门票费为100b ,
a +b =700, ⎧⎨
a =550,
解得⎧不符合题意,舍去; …….8分 ⎨
⎩b =150,
⎩60a +10000+100b =58000,
② 当b >100时,乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000,
a +b =700,
⎧⎨
⎩60a +10000+80b +2000=58000,
解得⎧⎨
a =500,
⎩b =200,
符合题意………10分
答:甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张.
24、(满分13分)解:(1)∵点B 在直线AB 上, 求得b=3,
x +3, ∴A
(-0),即
OA=
∴直线AB
:y =
作BH ⊥x 轴,垂足为H .则BH=2,
AH=
∴tan ∠BAO =BH =∴∠BAO =30︒. „„„„„„„„„„„„„„3分
AH (2)设抛物线C 顶点P (t ,0),则抛物线C :y =1(x -t ) 2,
3
∴E (0,1t 2)
3∵EF ∥x 轴,∴点E 、F 关于抛物线C 的对称轴对称, ∴F (2t ,1t 2).
3
∵点F 在直线AB 上
, ∴1t 2=2t +3, ∴t =t =
12
3∴抛物线C
为y =1(x 2或y =1(x -2„„„„„„„„„.. 7分
33
(3)假设点D 落在抛物线C 上,
不妨设此时抛物线顶点P(t,0) ,则抛物线C:y =1(x -t ) 2,
AP=,
3
连接DP ,作DM ⊥x 轴,垂足为M .由已知,得△PAB ≌△DAB , 又∠BAO =30°,∴△PAD 为等边三角形.PM=AM
=
1
∴∴tan ∠DAM =DM =
∴DM =(9).
AM
2
1
t ) ,
2
11
OM =OP +PM =-t +t ) =
t ),
22
1⎡1⎤⎡1⎤
∴M ⎢-t ), 0⎥, ∴D ⎢-t ), (9⎥. „„„„„„„„„„„„.10分
2⎣2⎦⎣2⎦
∵点D 落在抛物线C 上,
∴1(9) =1⎡-1t ) -t ⎤, 即t 2=27, ∴t =±„„„„„„„„„„„„„11分
⎥23⎢⎣2⎦
当t =-
P (-0) ,点P 与点A 重合,不能构成三角形,不符合题意,舍去.所以点P
为(0)
∴当点D 落在抛物线C 上顶点P
为(0). „„„„„„„. 13份
25、(13分)(1)①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;„„.2分 ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC , 又AB=AC ,∴△DAB ≌△FAC , ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD .
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图丙
2
F
E
A
F C
∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD „„„„„„.5分 (2)画图正确
当∠BCA=45º时,CF ⊥BD (如图丁).
理由是:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ,∴AC=AG 可证:△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF ⊥BD „„„„„„.8分
(3)当具备∠BCA=45º时,
过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ,(如图戊) ∵DE 与CF 交于点P 时, ∴此时点D 位于线段CQ 上, ∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD=x ,∴ DQ=4—x , 容易说明△AQD ∽△DCP ,∴
CP CD
, ∴CP =x , =
DQ AQ 4-x 4
F
A
E
Q B D C
P
图戊
x 21
∴CP =-+x =-(x -2) 2+1.
44
∵0<x ≤3 ∴当x=2时,CP 有最大值1. „„„„.13分 26、(满分10分):
b 2-4ac c
AB =(x 1-x 2) +(x 2-x 1) =2x 1-x 2=2=2(1-)
a a
2
2
(a >0)
…………………………………………………………………………4分 a ≥b ≥c ∴a ≥-a -c ≥c
c
≤a ≤-2c 2
c 1
-2≤≤-…………………………………………..8分
a 2
-
AB max =2(1+2) =32…………………………..10分
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