数列知识点体系及经典习题感悟1
一．数列的概念：
1数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，„，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）数列{a n }的通项为大小关系为___
2
{a }a =n +λn ，且{a n }是递增数列，求实数λ的取n n （2）已知数列中，
a n =
an
bn +1，其中a , b 均为正数，则a n 与a n +1的
值范围
（3）一给定函数y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0, 1) ，由
*
a =f (a ) {a }a >a (n ∈N ) ，则该函数的图n n +1n n +1n 关系式得到的数列满足
象是 （）
A B C D
⎧S 1
a n =⎨
2. 数列｛an ｝的前n 项的和Sn 与an 之间的关系：⎩S n -S n -1
(n =1), (n ≥2).
若a1适合an(n>2),则a n 不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
例题：已知数列{a n }的前n 项之和为①
求数列{a n }的通项公式。 二．等差数列的有关概念：
S n =2n 2-n ② S n =n 2+n +1
1．等差数列的判断方法：定义法
a n +1-a n =a n -a n -1(n ≥2) 。
a n +1-a n =d (d 为常数）或
a 1+a 2+ +a n
n 如设{a n } 是等差数列，求证：以bn= n ∈N *为通项公式
的数列{b n }为等差数列。
2．等差数列的通项：a n =a 1+(n -1) d 或a n =a m +(n -m ) d 。如 (1)等差数列{a n }中，a 10=30，a 20=50，则通项a n =
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 3．等差数列的前n 和：
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) S n =na 1+d
22，。如
3151
S n =-a n =a n -1+(n ≥2, n ∈N *) a n =
2，2，2（1）数列 {a n }中，，前n 项和
则a 1＝＿，n ＝＿ （2）已知数列
{a n }的前
2
S =12n -n n n 项和，求数列{|a n |}的前n 项和T n
4．等差中项：若a , A , b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
A =
a +b
2。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：
a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元
素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（公差为2d ）
三．等差数列的性质：
1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于
n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和
S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 222
是关于n 的二次函数且常数项为0.
2．若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
3．当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p . 如
（1）等差数列{a n }中，S n =18, a n +a n -1+a n -2=3, S 3=1，则n ＝____
10|，S n 是其前n 项和，（2）在等差数列{a n }中，a 100，且a 11>|a
则
A 、S 1, S 2 B 、S 1, S 2 C 、S 1, S 2 D 、S 1, S 2
S 10都小于0，S 11, S 12S 19都小于0，S 20, S 21S 5都小于0，S 6, S 7S 20都小于0，S 21, S 22
都大于0 都大于0 都大于0 都大于0
4．若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n }、{ka n +pb n } (k 、p 是非零常数) 、
{a p +nq }(p , q ∈N *)
a n
S , S -S , S -S {a n 2n n 3n 2n 、 ，„也成等差数列，而}成等比
数列；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lga n }是等差数列. 如
等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为
A n
=f (n )
{a }{b }A B B 6．若等差数列n 、n 的前n 和分别为n 、n ，且n ，则
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) n n 2n -1
.
如设{a n }与{b n }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，
a n S n 3n +1
==
若T n 4n -3，那么b n ___________
S n 7n +1=(n ∈N +),
{}{}a b T 4n +27练习：等差数列n 、n 的前n 项和为Sn 、Tn. 若n a 7
求b 7
7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
⎧a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫
或⎨⎪⎨ ⎪a ≤0a ≥0
法一：由不等式组⎩n +1⎝⎩n +1⎭确定出前多少项为非负（或非
正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二
*
n ∈N 次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
（1）等差数列{a n }中，a 1=25，S 9=S 17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a n =b m . 四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法
a n +1a
=n a n a n -1 (n ≥2) 。
a n +1
=q (q 为常数）a n
，其中q ≠0, a n ≠0或
如（1）一个等比数列{a n }共有2n +1项，奇数项之积为100，偶数项
之积为120，则a n +1为____
n -1n -m
a =a q a =a q n 1n m 2．等比数列的通项：或。如
设等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n ＝126，求n 和公比q .
3．等比数列的前n 和：当q =1时，S n =n 1a ；当q ≠1时，
a 1(1-q n ) a 1-a n q =S n =
1-q 。 1-q
如（1）等比数列中，q ＝2，S99=77，求a 3+a 6+ +a 99
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的
形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q =1和q ≠1两种情形讨论求解。
4．等比中项：若a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，
且有两个。提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设
a a 2
, , a , aq , aq 2
为„，q q „（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为„
a a
, , aq , aq 33
q q ，„，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，
2
q 且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比
数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和
为12，求此四个数。 5. 等比数列的性质：
（1）当m +n =p +q 时，则有a m a n =a p a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有
a m a n =a p 2
. 如
（1）在等比数列{a n }中，a 3+a 8=124, a 4a 7=-512，公比q 是整数，则
a 10=___
（2）各项均为正数的等比数列
l o 3g a 1+
l o a g +32
+
l a o g =31
{a n }
中，若
a 5⋅a 6=9
，则
*
{a }(p , q ∈N ) {ka n }{a }{|a |} (2) 若n 是等比数列，则n 、p +nq 、成等比数列；
a {n {b n }成等比数列，则{a n b n }、n 成等比数列； 若{a n }是等比数若{a n }、
列，且公比q ≠-1，则数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也是等比数列。当
q =-1，且n 为偶数时，数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„是常数数列0，它
不是等比数列. 如
（1）已知a >0且a ≠1，设数列{x n }满足log a x n +1=1+
x 1+x 2+
+x 100=100，则x 101+x 102+
+x 200=
log a x n (n ∈N *)，且
.
（2）在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若
S 30=13S 10, S 10+S 30=140，则S 20的值为______
(3)若a 1>0, q >1，则{a n }为递增数列；若a 11, 则{a n }为递减数列；若a 1>0,0
S n =
-a 1n a
q +1=aq n +b 1-q 1-q ，这里a +b =0，但a ≠0, b ≠0，
这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据S n ，判断数
n
{a }{a }S =3+r ，则r ＝ n n n 列是否为等比数列。如若是等比数列，且
(7)如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列，故常数数列{a n }仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
n ∈N ）n 如设数列{a n }的前n 项和为S （， 关于数列{a n }有下列三个命题：
①若a n =a n +1
(n ∈N )
，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若
n
S n =a n 2+b n (a 、b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n =1-(-1)，则{a n }是
等比数列。这些命题中，真命题的序号是 五. 数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
1111
3, 5, 7, 9,
如已知数列481632试写出其一个通项公式：__________
⑵已知S n （即a 1+a 2++a n =f (n ) ）求a n ，用作差法：
a n =
{
S 1,(n =1)
S n -S n -1,(n ≥2)
。
如①已知{a n }的前n 项和满足log 2(S n +1) =n +1，求a n
11
a 1+2a 2+
2②数列{a n }满足2
+
1
a n =2n +52n ，求a n
⑶已知a 1a 2
f (1),(n =1) ⎧⎪f (n )
a n =⎨
,(n ≥2)
⎪a n =f (n ) 求a n ，用作商法：⎩。
2
{a }a a a a =n a =1, n ≥2n 123n 如数列中，1对所有的都有，则
a 3+a 5=______
⑷若a n +1-a n =f (n ) 求a n 用累加法：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) ++(a 2-a 1)
+a 1(n ≥2) 。如已知数列{a n }满足a 1=1，a n =________
a n -a n -1=
1
n +1+n (n ≥2) ，则
a n +1a a
=f (n ) a n =n ⋅n -1⋅
a n -1a n -2
⑸已知a n 求a n ，用累乘法：
⋅
a 2
⋅a 1a 1(n ≥2) 。
2
{a }S S =n a n ，求a n a =2n n n n 1如已知数列中，，前项和，若
⑹已知递推关系求a n ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）
n
a =ka +b a =ka +b n n -1n n -1形如、（k , b 为常数）的递推数列都可以用待定
系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n 。 如①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n
n
a =1, a =3a +21n n -1；②已知，求a n
（2）形如如①已知
a n =
a n -1
ka n -1+b 的递推数列都可以用倒数法求通项。 a n
-1
3a n -1+1，求a n 、
a 1=1, a
n =
②已知数列满足a 1=1=a n
注意：（1）用a n =S n -S n -1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n ≥2，当n =1时，a 1=S 1）；（2）一般地当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需运用关系式a n =S n -S n -1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解。
5
a 1=4, S n +S n +1=a n +1
3如数列{a n }满足，求a n
六. 数列求和的常用方法：
1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类
讨论. ；③常用公式：
12+22+
+n 2=n (n +1)(2n +1) 13+23+33+
，
1+2+3+
+n =1n (n +1)
2
，
+n 3=[
n (n +1) 2
]2
. 如（1）等比数列{a n }的前n 项和＝_____
2222a +a +a + +a 123n S ｎ＝2ｎ－１，则
2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：S n =-1+3-5+7-
+(-1) n (2n -1)
3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
012
C +3C +5C +n n n 如①求证：
n
+(2n +1) C n =(n +1) 2n ；
111x 2
f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f () +f () +f () f (x ) =2
2341+x ②已知，则＝______
4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n 和公式的推导方法）.
如（1）设{a n }为等比数列，T n =na 1+(n -1) a 2+
+2a n -1+a n ，已知T 1=1，
T 2=4，①求数列{a n }的首项和公比；②求数列{T n }的通项公式.
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：
=-=(-)
①； ②；
[1**********]1-=
=-=[-]
④n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) ；⑤(n +1)! n ! (n +1)! ；
⑥
=
+
=.
如（1）求和：
11++1⨯44⨯71
=
(3n -2) ⨯(3n +1)
（2）在数列{a n }中，
a n =
1
n ++1，且S ｎ＝９，则n ＝_____
6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如
①求数列1×4，2×5，3×6，„，n ⨯(n +3) ，„前n 项和S n = ②求和：
1+
11++1+21+2+3
+
11+2+3+
+n
=
数列知识点体系及经典习题感悟1
一．数列的概念：
1数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，„，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）数列{a n }的通项为大小关系为___
2
{a }a =n +λn ，且{a n }是递增数列，求实数λ的取n n （2）已知数列中，
a n =
an
bn +1，其中a , b 均为正数，则a n 与a n +1的
值范围
（3）一给定函数y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0, 1) ，由
*
a =f (a ) {a }a >a (n ∈N ) ，则该函数的图n n +1n n +1n 关系式得到的数列满足
象是 （）
A B C D
⎧S 1
a n =⎨
2. 数列｛an ｝的前n 项的和Sn 与an 之间的关系：⎩S n -S n -1
(n =1), (n ≥2).
若a1适合an(n>2),则a n 不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
例题：已知数列{a n }的前n 项之和为①
求数列{a n }的通项公式。 二．等差数列的有关概念：
S n =2n 2-n ② S n =n 2+n +1
1．等差数列的判断方法：定义法
a n +1-a n =a n -a n -1(n ≥2) 。
a n +1-a n =d (d 为常数）或
a 1+a 2+ +a n
n 如设{a n } 是等差数列，求证：以bn= n ∈N *为通项公式
的数列{b n }为等差数列。
2．等差数列的通项：a n =a 1+(n -1) d 或a n =a m +(n -m ) d 。如 (1)等差数列{a n }中，a 10=30，a 20=50，则通项a n =
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 3．等差数列的前n 和：
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) S n =na 1+d
22，。如
3151
S n =-a n =a n -1+(n ≥2, n ∈N *) a n =
2，2，2（1）数列 {a n }中，，前n 项和
则a 1＝＿，n ＝＿ （2）已知数列
{a n }的前
2
S =12n -n n n 项和，求数列{|a n |}的前n 项和T n
4．等差中项：若a , A , b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
A =
a +b
2。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：
a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元
素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（公差为2d ）
三．等差数列的性质：
1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于
n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和
S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 222
是关于n 的二次函数且常数项为0.
2．若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
3．当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p . 如
（1）等差数列{a n }中，S n =18, a n +a n -1+a n -2=3, S 3=1，则n ＝____
10|，S n 是其前n 项和，（2）在等差数列{a n }中，a 100，且a 11>|a
则
A 、S 1, S 2 B 、S 1, S 2 C 、S 1, S 2 D 、S 1, S 2
S 10都小于0，S 11, S 12S 19都小于0，S 20, S 21S 5都小于0，S 6, S 7S 20都小于0，S 21, S 22
都大于0 都大于0 都大于0 都大于0
4．若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n }、{ka n +pb n } (k 、p 是非零常数) 、
{a p +nq }(p , q ∈N *)
a n
S , S -S , S -S {a n 2n n 3n 2n 、 ，„也成等差数列，而}成等比
数列；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lga n }是等差数列. 如
等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为
A n
=f (n )
{a }{b }A B B 6．若等差数列n 、n 的前n 和分别为n 、n ，且n ，则
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) n n 2n -1
.
如设{a n }与{b n }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，
a n S n 3n +1
==
若T n 4n -3，那么b n ___________
S n 7n +1=(n ∈N +),
{}{}a b T 4n +27练习：等差数列n 、n 的前n 项和为Sn 、Tn. 若n a 7
求b 7
7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
⎧a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫
或⎨⎪⎨ ⎪a ≤0a ≥0
法一：由不等式组⎩n +1⎝⎩n +1⎭确定出前多少项为非负（或非
正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二
*
n ∈N 次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
（1）等差数列{a n }中，a 1=25，S 9=S 17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a n =b m . 四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法
a n +1a
=n a n a n -1 (n ≥2) 。
a n +1
=q (q 为常数）a n
，其中q ≠0, a n ≠0或
如（1）一个等比数列{a n }共有2n +1项，奇数项之积为100，偶数项
之积为120，则a n +1为____
n -1n -m
a =a q a =a q n 1n m 2．等比数列的通项：或。如
设等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n ＝126，求n 和公比q .
3．等比数列的前n 和：当q =1时，S n =n 1a ；当q ≠1时，
a 1(1-q n ) a 1-a n q =S n =
1-q 。 1-q
如（1）等比数列中，q ＝2，S99=77，求a 3+a 6+ +a 99
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的
形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q =1和q ≠1两种情形讨论求解。
4．等比中项：若a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，
且有两个。提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设
a a 2
, , a , aq , aq 2
为„，q q „（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为„
a a
, , aq , aq 33
q q ，„，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，
2
q 且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比
数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和
为12，求此四个数。 5. 等比数列的性质：
（1）当m +n =p +q 时，则有a m a n =a p a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有
a m a n =a p 2
. 如
（1）在等比数列{a n }中，a 3+a 8=124, a 4a 7=-512，公比q 是整数，则
a 10=___
（2）各项均为正数的等比数列
l o 3g a 1+
l o a g +32
+
l a o g =31
{a n }
中，若
a 5⋅a 6=9
，则
*
{a }(p , q ∈N ) {ka n }{a }{|a |} (2) 若n 是等比数列，则n 、p +nq 、成等比数列；
a {n {b n }成等比数列，则{a n b n }、n 成等比数列； 若{a n }是等比数若{a n }、
列，且公比q ≠-1，则数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也是等比数列。当
q =-1，且n 为偶数时，数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„是常数数列0，它
不是等比数列. 如
（1）已知a >0且a ≠1，设数列{x n }满足log a x n +1=1+
x 1+x 2+
+x 100=100，则x 101+x 102+
+x 200=
log a x n (n ∈N *)，且
.
（2）在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若
S 30=13S 10, S 10+S 30=140，则S 20的值为______
(3)若a 1>0, q >1，则{a n }为递增数列；若a 11, 则{a n }为递减数列；若a 1>0,0
S n =
-a 1n a
q +1=aq n +b 1-q 1-q ，这里a +b =0，但a ≠0, b ≠0，
这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据S n ，判断数
n
{a }{a }S =3+r ，则r ＝ n n n 列是否为等比数列。如若是等比数列，且
(7)如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列，故常数数列{a n }仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
n ∈N ）n 如设数列{a n }的前n 项和为S （， 关于数列{a n }有下列三个命题：
①若a n =a n +1
(n ∈N )
，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若
n
S n =a n 2+b n (a 、b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n =1-(-1)，则{a n }是
等比数列。这些命题中，真命题的序号是 五. 数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
1111
3, 5, 7, 9,
如已知数列481632试写出其一个通项公式：__________
⑵已知S n （即a 1+a 2++a n =f (n ) ）求a n ，用作差法：
a n =
{
S 1,(n =1)
S n -S n -1,(n ≥2)
。
如①已知{a n }的前n 项和满足log 2(S n +1) =n +1，求a n
11
a 1+2a 2+
2②数列{a n }满足2
+
1
a n =2n +52n ，求a n
⑶已知a 1a 2
f (1),(n =1) ⎧⎪f (n )
a n =⎨
,(n ≥2)
⎪a n =f (n ) 求a n ，用作商法：⎩。
2
{a }a a a a =n a =1, n ≥2n 123n 如数列中，1对所有的都有，则
a 3+a 5=______
⑷若a n +1-a n =f (n ) 求a n 用累加法：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) ++(a 2-a 1)
+a 1(n ≥2) 。如已知数列{a n }满足a 1=1，a n =________
a n -a n -1=
1
n +1+n (n ≥2) ，则
a n +1a a
=f (n ) a n =n ⋅n -1⋅
a n -1a n -2
⑸已知a n 求a n ，用累乘法：
⋅
a 2
⋅a 1a 1(n ≥2) 。
2
{a }S S =n a n ，求a n a =2n n n n 1如已知数列中，，前项和，若
⑹已知递推关系求a n ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）
n
a =ka +b a =ka +b n n -1n n -1形如、（k , b 为常数）的递推数列都可以用待定
系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n 。 如①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n
n
a =1, a =3a +21n n -1；②已知，求a n
（2）形如如①已知
a n =
a n -1
ka n -1+b 的递推数列都可以用倒数法求通项。 a n
-1
3a n -1+1，求a n 、
a 1=1, a
n =
②已知数列满足a 1=1=a n
注意：（1）用a n =S n -S n -1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n ≥2，当n =1时，a 1=S 1）；（2）一般地当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需运用关系式a n =S n -S n -1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解。
5
a 1=4, S n +S n +1=a n +1
3如数列{a n }满足，求a n
六. 数列求和的常用方法：
1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类
讨论. ；③常用公式：
12+22+
+n 2=n (n +1)(2n +1) 13+23+33+
，
1+2+3+
+n =1n (n +1)
2
，
+n 3=[
n (n +1) 2
]2
. 如（1）等比数列{a n }的前n 项和＝_____
2222a +a +a + +a 123n S ｎ＝2ｎ－１，则
2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：S n =-1+3-5+7-
+(-1) n (2n -1)
3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
012
C +3C +5C +n n n 如①求证：
n
+(2n +1) C n =(n +1) 2n ；
111x 2
f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f () +f () +f () f (x ) =2
2341+x ②已知，则＝______
4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n 和公式的推导方法）.
如（1）设{a n }为等比数列，T n =na 1+(n -1) a 2+
+2a n -1+a n ，已知T 1=1，
T 2=4，①求数列{a n }的首项和公比；②求数列{T n }的通项公式.
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：
=-=(-)
①； ②；
[1**********]1-=
=-=[-]
④n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) ；⑤(n +1)! n ! (n +1)! ；
⑥
=
+
=.
如（1）求和：
11++1⨯44⨯71
=
(3n -2) ⨯(3n +1)
（2）在数列{a n }中，
a n =
1
n ++1，且S ｎ＝９，则n ＝_____
6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如
①求数列1×4，2×5，3×6，„，n ⨯(n +3) ，„前n 项和S n = ②求和：
1+
11++1+21+2+3
+
11+2+3+
+n
=