2011届高三数学一轮复习教案:第二章第九节对数函数及其性质

第9 课对数函数及其性质

【考点导读】

1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；

2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；

3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．

【基础练习】

1.函数f(x)x2lg4x的定义域是(2,3)(3,4)． x3

2.函数ylog0.1(6x2x2)的单调递增区间是[,2)．

3.已知0＜a＜1，logamlogan0，则 (A )

A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1

4.函数f(x)log22x1的单调减区间是(,)．

x12e,x2,5.设f(x)=  则不等式f(x)>2

2log3(x1),x2,16.若函数f(x)loga(2x2x) (a0,a1)在区间(0,)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为1

1(,)．【范例解析】

例1.比较下列各组的大小：

（1）0.3，log20.3，2

30.3，；

（2）log0.10.4，log10.4，log30.4，lg0.4．

解：（1

）log20.300.33120.32；

（2）log30.4lg0.40log0.10.4log10.4．

点评：比较大小：（1）化为同底利用单调性；（2）用0，1等数分类．

例2. （1）已知yloga(2ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是_________．

（2）设函数f(x)lg(xaxa)，给出下列命题：

①f(x)有最小值； ②当a0时，f(x)的值域为R；

③当4a0时，f(x)的定义域为R；

④若f(x)在区间[2,)上单调递增，则实数a的取值范围是a4．

则其中正确命题的序号是_____________．

分析：注意定义域，真数大于零．

解：（1）a0,a1，2ax在[0,1]上递减，要使yloga(2ax)在[0,1]是减函数，则a1；又2ax在[0,1]上要大于零，即2a0，即a2；综上，1a2．

（2）①f(x)有无最小值与a的取值有关；②当a0时，f(x)lgx2R，成立；

③当4a0时，若f(x)的定义域为R，则xaxa0恒成立，即a4a0，即4a0成22

a2,立；④若f(x)在区间[2,)上单调递增，则2解得a，不成立．

42aa0.

点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．

例3.已知函数f(x)11xlog2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. x1x

分析：利用定义证明复合函数的单调性．

x01x解：x须满足1x,由0得1x1, 1x01x

所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

f(x)11x11xlog2(log2)f(x)，所以f(x)是奇函数. x1xx1x

研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1

f(x1)f(x2)

(

由1x111x21log2log2x11x1x21x21122)[log2(1)log2(1)], x1x21x21x111220,log2(1)log2(1)0,x1x21x21x1

得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单调递减，

由于f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单调递减.

点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．

例4.设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点．

（1）写出函数y=g(x)的解析式；

（2）若当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．

分析：去绝对值，转化为求最值问题．（1）设点Q的坐标为(x′，y′)，则x′=x－2a,y′=－y．即x=x′+2a，y=－y′．

∵点P(x，y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，

∴－y′=loga(x′+2a－3a)，即y′=loga1，∴g(x)=log xa

（2）由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0；

又a>0且a≠1，∴0＜a＜1，

∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga11=>0， xa(a3)a1|=|loga(x2－4ax+3a2)|≤1， xa

∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1，

∵0＜a＜1，∴a+2>2a．又f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2，a+3］上为减函数，

∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2，a+3］上为减函数，

从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a)，［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a)，于是所求问题转化为求不等式组0a19574，由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤， loga(96a)1的解由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤125log(44a)1a

∴所求a的取值范围是0＜a≤9． 12

点评：根据定义域确定a的取值范围；含绝对值问题，一般是去绝对值求解．

【反馈演练】

1．给出下列四个数：①(ln

2)2；②ln(ln2)；③；④ln2.其中值最大的序号是

2．设函数f(x)loga(xb)(a0,a1)的图像过点(2,1)，(8,2)，则ab等于．

3．函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，则定点A的坐标是(2,1)．

4．函数f(x)aloga(x1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为x1． 4x4,x15．函数fx2的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数有个. x4x3,x1

6．下列四个函数：①yxlgx； ②yxlgx；③yxlgx；

④yxlgx.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.

第6题

，c均为正数，且2alog1a，7．设a，b

211，logb1log2c．则a，b，c的大小关系为222bc

abc．

8．设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是(,loga3)．

9．已知函数yf(x)的图象与函数yax（a0且a1）的图象关于直线yx对称，记

11g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是(0,]． 2x110．求函数f(x)log22xlog2,x[,4]的最大值和最小值． 42

x解：f(x)log22xlog2(log2x1)(log2x2)log22xlog2x2 4

1令tlog2x，x[,4]，则t[1,2]， 2

即求函数yt2t2在[1,2]上的最大值和最小值．

故函数f(x)的最大值为0，最小值为9． 4

211．已知函数f(x)logax(a0,a1)，x(0,)．若x1,x2(0,)，判断[f(x1)f(x2)]与

x1x2)的大小，并证明．

xx2xx1)loga12，

证明：因为[f(x1)f(x2)]logaf(1

222

xx2 又1

xx2xx11)；当0a1时，[f(x1)f(x2)]f(12)．所以当a1时，[f(x1)f(x2)]f(1

2222

xb(a0,a1,b0)． 12．已知函数f(x)logaxbf(

（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x)的单调性，并证明．

xb0，故的定义域为(b)(b,)． xb

xb)f(x)，故f(x)为奇函数．

（2）f(x)loga(xb解：（1）解：由

（3）证明：设bx1x2，则f(x1)f(x2)loga(x1b)(x2b)， (x2b)(x1b)

(x1b)(x2b)2b(x2x1)10． (x2b)(x1b)(x2b)(x1b)

当a1时，f(x1)f(x2)0，故f(x)在(b,)上为减函数；同理f(x)在(,b)上也为减函数；当0a1时，f(x1)f(x2)0，故f(x)在(b,)，(,b)上为增函数．