§6 平面直角坐标变换
一 平移坐标变换
定义：若二平面直角坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}满足i=i′，j=j′，则坐标
系{O′；i ′，j ′}可看成是由{O；i ，j }经过平移得到的，称由坐标系{O；i ，j}到坐标系{O′；i ′，j ′}的变换为平移坐标变换。
平移变换公式
设平面上一点M 在新系{O′；i ′，j ′}与旧系{O；i ，j}下的坐标分别为 （x ′，y ′），（x,y ），而O ′在旧系下的坐标为（a,b ），则 xi+yj= OP = O O +O 'P =ai+bj+x′i ′+y′j ′
=ai+bj+x′i+y′j=（a+x′）i+（b+y′）j
⎧x =x '+a ∴⎨ ——平移坐标变换公式 'y =y +b ⎩
二 旋转坐标变换：
定义：若二坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}满足O ≡O ′，另∠（i ，j ′）=θ 则坐标系{O′；i ′，j ′}可看成是由坐标系{O；i ，j}绕O 旋转θ角得到
的，称由{O；i ，j}到{O′；i ′，j ′}的变换为旋转坐标变换。
旋转变换公式
π+θ 2
ππ ∴i ′=cosθi+sinθj ，j ′=cos（+θ）i+sin（+θ）j=-sinθi+cosθj 22由于∠（i ，i ′）=0，∴∠（i ，j ′）=
∴xi+yj=OP =O 'P =x′i ′+y′j ′=x′（cos θi+sinθj ）+y′（-sin θi+cos
θj ）
=（x ′cos θ-y ′sin θ）i+（x ′sin θ+y′cos θ）j
⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ 即⎨ ''⎩y =x sin θ+y cos θ
用x,y 表示x ′，y ′，有
⎧x '=x cos θ+y sin θ ⎨ 'y =-x sin θ+y cos θ⎩
三 一般坐标变换：
称由坐标系{O；i ，j}得坐标系{O′；i ′，j ′}的变换为一般坐标变换。 注： 一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系{O；i ，j}平移成 {O′；i ′，j ′}，再将此坐标系绕O ′旋转θ=∠（i ，i ′）角，即得 {O′；i ′，j ′}。
一般变换公式：
设平面上任一点关于旧系{O；i ，j}与新系{O′；i ′，j ′}的坐标分别为（x,y ） （x ′，y ′），关于{O′；i ，j}的坐标为（x ″，y ″），而O ′在{O；i ，j}下的坐标为（a,b ），则
⎧x =x ''+a ⎨ 而
⎩y =y ''+b
⎧x ''=x 'cos θ-y 'sin θ ⎨ ''''⎩y =x sin θ+y cos θ
⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ+a ∴⎨ ''y =x sin θ+y cos θ+b ⎩
用x,y 表示x ′，y ′，有
⎧x '=(x -a ) cos θ+(y -b ) sin θ=x cos θ+y sin θ-a cos θ-b sin θ ⎨ 'y =-(x -a ) sin θ+(y -b ) cos θ=-x sin θ+y cos θ+a sin θ-b cos θ⎩
注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。
例：设有二坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}，且知i ′，j ′所在直线在坐标系{O；i ，j}下的方程为A 1x+B 1y+C 1=0，A 2x+B 2y+C 2=0，试求坐标变换公式。
解:设平面上任一点P 在旧系与新系下的坐标分别为（x,y ）（x ′，y ′）
则P 到i ′所在直线的距离用新坐标表示为
∣y ′∣=A 1x +B 1y +C 1
A 1+B 122
从而 y′=±A 1x +B 1y +C 1
A 1+B 122
同理 x′=±A 2x +B 2y +C 2
A 2+B 222
A 2x +B 2y +C 2⎧'x =±⎪22A 2+B 2⎪ 即 ⎨ A x +B y +C 11⎪y '=±1
22⎪A +B 11⎩
注：上式±号的选取应注意到
±A 2
A 2+B 222=±B 1A 1+B 122
如i ′所在直线为2x-y+3=0，j ′所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为 x +2y -3⎧'x +2y -2⎧'x =x =-⎪⎪5⎪⎪ ⎨ 或 ⎨
⎪y '=-2x -y +3⎪y '=2x -y +3
⎪⎪⎩⎩
四 坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律：
1 在平移下
设将坐标原点平移O ′（x 0，y 0），则平移公式为
⎨⎧x =x 0+x ' 'y =y +y 0⎩
则在新系{O′；i ，j}≡a 11（x +x 0）²+2a 12（x 0+x ′）（y 0+y ′）+a 22（y 0+y ′）² +2a 13（x ′+x 0）+2a 23（y ′+y 0）+a 33=0
若记F '（x ′，y ′）≡F （x ′+x 0，y ′+y 0）
=a 11′x ′²+2a 12′x ′y ′+a 22y ′²+2a 13′x ′+2a 23′+a 33′，
则 a 11′=a 11 a 13′=a 11x 0+a 12y 0+a 13=F1（x 0，y 0）
a 12′=a 12 a 23′=a21x 0+a 22y 0+a 23=F2（x 0，y 0）
a 22′= a 22 a 33′=a 11x 0²+2a 12x 0y 0+a 22a 33²+2a 13x 0+2y 0a 23+a 33 =F（x 0，y 0）
可见：在平移变换下，二次曲线方程的
（1）二次项系数不变；
（2）一次项系数变为F 1（x 0，y 0），F 2（x 0，y 0）；
（3）常数项变为F （x 0，y 0）。
从而若取O '（x 0，y 0）为二次曲线F （x ，y ）=0的中心，则在新系下，方程中将无一
次项。
2 在旋转变换下，设旋转角为θ，则平面上一点在旧系与新系下的坐标（x,y ）（x ′，y ′）
间满足
⎨⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ
⎩y =x 'sin θ+y 'cos θ
∴二次曲线在新系下的方程为
F′（x ′，y ′）=F（x ′cos θ-y ′sin θ，+x′sin θ+y′cos θ）
=a 11（x ′cos θ-y ′sin θ）²+2a 12（x ′cos θ-y ′sin θ）（+x′sin θ+y′cos θ）+ a 22（+x′sin θ+y′cos θ）²+2a 13（x ′cos θ-y ′sin θ）
+2a 23（+x′sin θ+y′cos θ）+a 33 =0
若记F ′（x ′，y ′）≡a 11′x ′²+2a 12′x ′y ′+a 22′y ′²+2a 13′x ′+2a 23′y ′+a 33′ ⎧a '=a cos 2θ+2a sin cos θ+a sin 2θ111222⎪11
⎪a '=(a +a ) sin cos θ+a (cos2θ-sin 2θ) 221112⎪12
⎪a '=a sin 2θ-2a sin cos θ+a cos 2θ⎪22111212则⎨ '⎪a 13=a 13cos θ+a 23sin θ⎪⎪a 23'=-a 13sin θ+a 23cos θ⎪'⎪a =a 3333⎩
可见，在旋转变换下，二次曲线方程
1）二次项系数一般可变，但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋
转角θ有关；
2）一次项系数一般也可边，但新方程中有一次项〈═〉旧方程有一次项；
3）常数项不变。
从a 12的公式表达式可见，若选取α角，使
（a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos2θ-sin 2θ) =0
即 ceg2θ='a 11-a 22 2a 12
作旋转变换，则新方程中将不会交叉乘积项。
§6 平面直角坐标变换
一 平移坐标变换
定义：若二平面直角坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}满足i=i′，j=j′，则坐标
系{O′；i ′，j ′}可看成是由{O；i ，j }经过平移得到的，称由坐标系{O；i ，j}到坐标系{O′；i ′，j ′}的变换为平移坐标变换。
平移变换公式
设平面上一点M 在新系{O′；i ′，j ′}与旧系{O；i ，j}下的坐标分别为 （x ′，y ′），（x,y ），而O ′在旧系下的坐标为（a,b ），则 xi+yj= OP = O O +O 'P =ai+bj+x′i ′+y′j ′
=ai+bj+x′i+y′j=（a+x′）i+（b+y′）j
⎧x =x '+a ∴⎨ ——平移坐标变换公式 'y =y +b ⎩
二 旋转坐标变换：
定义：若二坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}满足O ≡O ′，另∠（i ，j ′）=θ 则坐标系{O′；i ′，j ′}可看成是由坐标系{O；i ，j}绕O 旋转θ角得到
的，称由{O；i ，j}到{O′；i ′，j ′}的变换为旋转坐标变换。
旋转变换公式
π+θ 2
ππ ∴i ′=cosθi+sinθj ，j ′=cos（+θ）i+sin（+θ）j=-sinθi+cosθj 22由于∠（i ，i ′）=0，∴∠（i ，j ′）=
∴xi+yj=OP =O 'P =x′i ′+y′j ′=x′（cos θi+sinθj ）+y′（-sin θi+cos
θj ）
=（x ′cos θ-y ′sin θ）i+（x ′sin θ+y′cos θ）j
⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ 即⎨ ''⎩y =x sin θ+y cos θ
用x,y 表示x ′，y ′，有
⎧x '=x cos θ+y sin θ ⎨ 'y =-x sin θ+y cos θ⎩
三 一般坐标变换：
称由坐标系{O；i ，j}得坐标系{O′；i ′，j ′}的变换为一般坐标变换。 注： 一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系{O；i ，j}平移成 {O′；i ′，j ′}，再将此坐标系绕O ′旋转θ=∠（i ，i ′）角，即得 {O′；i ′，j ′}。
一般变换公式：
设平面上任一点关于旧系{O；i ，j}与新系{O′；i ′，j ′}的坐标分别为（x,y ） （x ′，y ′），关于{O′；i ，j}的坐标为（x ″，y ″），而O ′在{O；i ，j}下的坐标为（a,b ），则
⎧x =x ''+a ⎨ 而
⎩y =y ''+b
⎧x ''=x 'cos θ-y 'sin θ ⎨ ''''⎩y =x sin θ+y cos θ
⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ+a ∴⎨ ''y =x sin θ+y cos θ+b ⎩
用x,y 表示x ′，y ′，有
⎧x '=(x -a ) cos θ+(y -b ) sin θ=x cos θ+y sin θ-a cos θ-b sin θ ⎨ 'y =-(x -a ) sin θ+(y -b ) cos θ=-x sin θ+y cos θ+a sin θ-b cos θ⎩
注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。
例：设有二坐标系{O；i ，j}和{O′；i ′，j ′}，且知i ′，j ′所在直线在坐标系{O；i ，j}下的方程为A 1x+B 1y+C 1=0，A 2x+B 2y+C 2=0，试求坐标变换公式。
解:设平面上任一点P 在旧系与新系下的坐标分别为（x,y ）（x ′，y ′）
则P 到i ′所在直线的距离用新坐标表示为
∣y ′∣=A 1x +B 1y +C 1
A 1+B 122
从而 y′=±A 1x +B 1y +C 1
A 1+B 122
同理 x′=±A 2x +B 2y +C 2
A 2+B 222
A 2x +B 2y +C 2⎧'x =±⎪22A 2+B 2⎪ 即 ⎨ A x +B y +C 11⎪y '=±1
22⎪A +B 11⎩
注：上式±号的选取应注意到
±A 2
A 2+B 222=±B 1A 1+B 122
如i ′所在直线为2x-y+3=0，j ′所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为 x +2y -3⎧'x +2y -2⎧'x =x =-⎪⎪5⎪⎪ ⎨ 或 ⎨
⎪y '=-2x -y +3⎪y '=2x -y +3
⎪⎪⎩⎩
四 坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律：
1 在平移下
设将坐标原点平移O ′（x 0，y 0），则平移公式为
⎨⎧x =x 0+x ' 'y =y +y 0⎩
则在新系{O′；i ，j}≡a 11（x +x 0）²+2a 12（x 0+x ′）（y 0+y ′）+a 22（y 0+y ′）² +2a 13（x ′+x 0）+2a 23（y ′+y 0）+a 33=0
若记F '（x ′，y ′）≡F （x ′+x 0，y ′+y 0）
=a 11′x ′²+2a 12′x ′y ′+a 22y ′²+2a 13′x ′+2a 23′+a 33′，
则 a 11′=a 11 a 13′=a 11x 0+a 12y 0+a 13=F1（x 0，y 0）
a 12′=a 12 a 23′=a21x 0+a 22y 0+a 23=F2（x 0，y 0）
a 22′= a 22 a 33′=a 11x 0²+2a 12x 0y 0+a 22a 33²+2a 13x 0+2y 0a 23+a 33 =F（x 0，y 0）
可见：在平移变换下，二次曲线方程的
（1）二次项系数不变；
（2）一次项系数变为F 1（x 0，y 0），F 2（x 0，y 0）；
（3）常数项变为F （x 0，y 0）。
从而若取O '（x 0，y 0）为二次曲线F （x ，y ）=0的中心，则在新系下，方程中将无一
次项。
2 在旋转变换下，设旋转角为θ，则平面上一点在旧系与新系下的坐标（x,y ）（x ′，y ′）
间满足
⎨⎧x =x 'cos θ-y 'sin θ
⎩y =x 'sin θ+y 'cos θ
∴二次曲线在新系下的方程为
F′（x ′，y ′）=F（x ′cos θ-y ′sin θ，+x′sin θ+y′cos θ）
=a 11（x ′cos θ-y ′sin θ）²+2a 12（x ′cos θ-y ′sin θ）（+x′sin θ+y′cos θ）+ a 22（+x′sin θ+y′cos θ）²+2a 13（x ′cos θ-y ′sin θ）
+2a 23（+x′sin θ+y′cos θ）+a 33 =0
若记F ′（x ′，y ′）≡a 11′x ′²+2a 12′x ′y ′+a 22′y ′²+2a 13′x ′+2a 23′y ′+a 33′ ⎧a '=a cos 2θ+2a sin cos θ+a sin 2θ111222⎪11
⎪a '=(a +a ) sin cos θ+a (cos2θ-sin 2θ) 221112⎪12
⎪a '=a sin 2θ-2a sin cos θ+a cos 2θ⎪22111212则⎨ '⎪a 13=a 13cos θ+a 23sin θ⎪⎪a 23'=-a 13sin θ+a 23cos θ⎪'⎪a =a 3333⎩
可见，在旋转变换下，二次曲线方程
1）二次项系数一般可变，但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋
转角θ有关；
2）一次项系数一般也可边，但新方程中有一次项〈═〉旧方程有一次项；
3）常数项不变。
从a 12的公式表达式可见，若选取α角，使
（a 22-a 11) sin θcos θ+a 12(cos2θ-sin 2θ) =0
即 ceg2θ='a 11-a 22 2a 12
作旋转变换，则新方程中将不会交叉乘积项。