《线性代数》课程教学大纲
一、课程编码及课程名称 课程编码：3312000523
课程名称：线性代数 Linear Algebra 二、学时，学分，适用专业及开课时间 总学时数：45 学分：2 适用专业（本科）：通讯工程 开课时间：第一学年第一学期 三、课程教学目标
《线性代数》是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生初步掌握线性代数的基本理论与方法，获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及其有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 四、课程的性质和任务
《线性代数》是代数学的一门基础课程。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为经常遇到的课题，因此本课程的作用与地位显得格外重要。所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具有本课程的基本知识，并熟练地掌握它的方法。
五、课程教学的基本要求 （1）理解下列概念
n 阶行列式、 m×n 矩阵、矩阵的秩及初等变换 ，初等矩阵、n 维向量组的线性相关及线性无关，向量的线性组合，向量组的极大无关组与秩，n 维向量空间齐次线性方程组的基础解系，齐次与非齐次线性方程组的通解，矩阵的特征值与特征向量 ，相似矩阵与相似变换，正交矩阵与正交变换，二次型及标准形，合同变换与合同矩阵，二次型和对应矩阵的正定性。
（2）掌握下列基本计算
行列式的计算方法，矩阵的计算，逆矩阵的求法，线性方程组的解法，矩阵的特征值和特征向量的求法 ，用正交变换化二次型为标准形。
六、课程教学内容
第一章 行列式（ 共6学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章学习，使学生理解n 阶行列式的定义，掌握用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式的方法，了解克拉默法则求解线性方程组的方法。
1.1 二阶与三阶行列式
教学内容：二阶行列式的概念；二元线性方程组与二阶行列式；三阶行列式的概念；对角线法
1.2全排列及其逆序数
教学内容：全排列；逆序数的概念；奇排列；偶排列 1.3 n阶行列式的定义
教学内容：n 阶行列式的定义；对角行列式；上（下）三角行列式 1.4对换
教学内容：对换的概念；排列的奇偶性
1.5行列式的性质
教学内容：转置行列式；行列式的性质 1.6行列式按行（列）展开
教学内容：余子式；代数余子式；行列式按行（列）展开 1.7克莱默法则 教学内容：
（二）重点与难点
重点：二阶、三阶行列式、 n阶行列式定义、行列式性质 难点：按行(列) 展开法则、克拉默法则
第二章 矩阵与其运算（6学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章的学习，使学生理解矩阵的概念、掌握矩阵的运算、理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质。
教学内容： 2.1矩阵
教学内容：矩阵的概念；n 阶方阵 2.2矩阵的运算
教学内容：矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式；伴随矩阵；共轭矩阵
2.3逆矩阵
教学内容：逆矩阵的概念；用伴随矩阵求逆矩阵 2.4矩阵的分块法
教学内容：矩阵的子块；分块矩阵；矩阵的分块法 （二）重点与难点：
重点：矩阵运算、逆矩阵 难点：逆矩阵、分块矩阵
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（8学时）
（一）本章教学基本要求
掌握矩阵的初等变换、能用初等变换化简矩阵、理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵秩的方法。
3.1矩阵的初等变换
教学内容：线性方程组的同解变换；增广矩阵；矩阵的初等行变换；矩阵的列初等变换；矩阵的初等变换；矩阵的等价；阶梯形矩阵；矩阵的标准形 3.2初等矩阵
教学内容：初等矩阵；初等变换与初等矩阵 3.3矩阵的秩
教学内容：矩阵的k 阶子式；矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩 3.4线性方程组的解
教学内容：线性方程组解的判别定理；线性方程组的通解；求解线性方程组的方法
（二）重点与难点：
重点：矩阵的初等变换, 矩阵的秩 难点：线性方程组的消元解法
第四章 向量组的线性相关性（12学时）
（一）本章教学基本要求
向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容，在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本章重点让学生掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4.1向量组及其线性组合
教学内容：n 维向量；向量组；线性组合；线性表示 4.2向量组的线性相关性
教学内容：向量组的线性相关与线性无关的定义；向量组的线性相关与线性无关的充分与必要条件；向量组的部分组 4.3向量组的秩
教学内容：最大线性无关向量组；向量组秩的概念；最大线性无关向量组的等价 4.4线性方程组的解的结构
教学内容：解向量；齐次线性方程组的基础解系；齐次线性方程组的通解；非齐次线性方程组解的结构及通解 4.5向量空间
教学内容：向量空间；线性方程组的解空间；向量空间的基；向量空间的维数；基变换公式；坐标变换公式
（二）重点与难点：
重点：n 维向量空间，向量间的线性关系 难点：线性方程组解的结构。
第五章 相似矩阵及其二次型（11学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章学习，使学生理解方阵特征值、特征向量、向量内积的概念，掌握特征值与特征向量的求法及Schmidt 正交化方法，理解相似矩阵的概念和性质，掌握用正交变换化实对称阵为对角阵及二次型化标准型的方法及将矩阵化为相似对角矩阵的方法。了解二次型与对称矩阵的正定性。
5.1向量的内积、长度及正交性
教学内容：向量的内积；向量的长度；向量的夹角；向量的正交性；正交向量组；规范正交基；规范正交化；Schmidt 正交化方法；正交矩阵；正交变换
5.2方阵的特征值与特征向量
教学内容：方阵的特征值与特征向量的概念；特征方程；特征多项式；求方阵的特征值与特征向量的方法
5.3相似矩阵
教学内容：相似矩阵与相似变换的概念；相似矩阵的性质；把矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.4对称矩阵的对角化
教学内容：对称矩阵的特征值与特征向量的性质；把对称矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.5二次型及其标准形
教学内容：二次型的概念；二次型的标准形；二次型的规范形；二次型的矩阵；矩阵的二次型；二次型的秩；矩阵的合同；二次型化标准型的方法
5.6用配方法化二次型成标准形
教学内容：拉格朗日配方法；用拉格朗日配方法化二次型成标准形 5.7正定二次形
教学内容：惯性定理；惯性指数；正定二次形；正定矩阵；二次形的正定充分与必要条件；负定二次形；负定矩阵；矩阵正定及负定充分与必要条件
（二）重点与难点：
重点：向量的内积、长度及正交性、相似矩阵、对称矩阵的对角化 难点：二次型及其标准形、用配方法化二次型成标准形、正定二次形
*第六章 线性空间与线性变换（2学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章的学习，使学生明白线性空间及其相关概念是向量空间的概念进一步推广，这种推广以后的概念就更具有一般性，因而也就更加抽象化。
6.1线性空间的定义与性质
教学内容：线性空间的定义；线性空间的例子；线性空间的性质 6.2维数、基与坐标
教学内容：线性空间的维数与基的定义；线性空间中向量的坐标 6.3基变换与坐标变换
教学内容：基变换公式；坐标变换公式 6.4线性变换
教学内容：线性变换的定义；线性变换的性质 6.5线性变换的矩阵表示式
教学内容：线性变换的矩阵的定义；过渡矩阵；线性变换的矩阵的性质 （二）重点与难点：
重点：维数、基与坐标线性变换、线性变换
难点：线性变换的矩阵表示式 七、本课程与其它课程的关系
本课程是理、工等相关专业的第一基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。
本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。
课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。
八、教学时数分配
《线性代数》课程教学时数分配表
九、教材及参考书
教材：同济大学应用数学系，《线性代数》（第四版），高等教育出版社，2006年7月。 参考书：①同济大学应用数学系，《线性代数附册》（第四版），高等教育出版社，2006年7月。
②陈卫星 ，崔书英，《线性代数》（第三版），清华大学出版社，2007年8月。
十、主要教学方法与教学条件要求
在具体了解学生数学知识基础状况后，可灵活采用重点知识回顾、例题剖析、一题多解等形式进行教学，围绕求解线性方程组的理论将所学知识进行总结和提高。在每一章结束教学内容后，通过习题课和补充学习指导，使学生不断巩固所学知识。教学中将以课堂教学为主，采用课堂讲授、讨论、问题分析等方法， 注重讲解知识背景、结构与应用，抓紧课下辅导答疑，采用多媒体教学手段，调动学生学习的积极性、主动性和创造性，不断提高其分析问题和解决问题的能力。
本课程主要采取借助于多媒体的讲练结合教学方法，在教学过程中需要多媒体演示模型、多媒体教室等基本教学辅助设施。
十一、推荐的教学网站和相关专业文献网站
http://www.math.pku.edu.cn:8000/ 北京大学数学科学学院
http://www.math.zju.edu.cn/webpagenew/homepage.asp 浙江大学数学系 http://202.113.29.3/ 南开大学数学科学学院 http://dx1.cqvip.com 中国科技期刊数据库 十二、其他
考核方式为考查课考试成绩占80％，考勤与作业占20％。 注：*号标示内容为选讲内容
制 订：数学科学系 教研室:公共数学教研室
执笔人：张俊艺 审定人: 周厚勇
《线性代数》课程教学大纲
一、课程编码及课程名称 课程编码：3312000523
课程名称：线性代数 Linear Algebra 二、学时，学分，适用专业及开课时间 总学时数：45 学分：2 适用专业（本科）：通讯工程 开课时间：第一学年第一学期 三、课程教学目标
《线性代数》是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生初步掌握线性代数的基本理论与方法，获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及其有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 四、课程的性质和任务
《线性代数》是代数学的一门基础课程。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为经常遇到的课题，因此本课程的作用与地位显得格外重要。所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具有本课程的基本知识，并熟练地掌握它的方法。
五、课程教学的基本要求 （1）理解下列概念
n 阶行列式、 m×n 矩阵、矩阵的秩及初等变换 ，初等矩阵、n 维向量组的线性相关及线性无关，向量的线性组合，向量组的极大无关组与秩，n 维向量空间齐次线性方程组的基础解系，齐次与非齐次线性方程组的通解，矩阵的特征值与特征向量 ，相似矩阵与相似变换，正交矩阵与正交变换，二次型及标准形，合同变换与合同矩阵，二次型和对应矩阵的正定性。
（2）掌握下列基本计算
行列式的计算方法，矩阵的计算，逆矩阵的求法，线性方程组的解法，矩阵的特征值和特征向量的求法 ，用正交变换化二次型为标准形。
六、课程教学内容
第一章 行列式（ 共6学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章学习，使学生理解n 阶行列式的定义，掌握用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式的方法，了解克拉默法则求解线性方程组的方法。
1.1 二阶与三阶行列式
教学内容：二阶行列式的概念；二元线性方程组与二阶行列式；三阶行列式的概念；对角线法
1.2全排列及其逆序数
教学内容：全排列；逆序数的概念；奇排列；偶排列 1.3 n阶行列式的定义
教学内容：n 阶行列式的定义；对角行列式；上（下）三角行列式 1.4对换
教学内容：对换的概念；排列的奇偶性
1.5行列式的性质
教学内容：转置行列式；行列式的性质 1.6行列式按行（列）展开
教学内容：余子式；代数余子式；行列式按行（列）展开 1.7克莱默法则 教学内容：
（二）重点与难点
重点：二阶、三阶行列式、 n阶行列式定义、行列式性质 难点：按行(列) 展开法则、克拉默法则
第二章 矩阵与其运算（6学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章的学习，使学生理解矩阵的概念、掌握矩阵的运算、理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质。
教学内容： 2.1矩阵
教学内容：矩阵的概念；n 阶方阵 2.2矩阵的运算
教学内容：矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式；伴随矩阵；共轭矩阵
2.3逆矩阵
教学内容：逆矩阵的概念；用伴随矩阵求逆矩阵 2.4矩阵的分块法
教学内容：矩阵的子块；分块矩阵；矩阵的分块法 （二）重点与难点：
重点：矩阵运算、逆矩阵 难点：逆矩阵、分块矩阵
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（8学时）
（一）本章教学基本要求
掌握矩阵的初等变换、能用初等变换化简矩阵、理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵秩的方法。
3.1矩阵的初等变换
教学内容：线性方程组的同解变换；增广矩阵；矩阵的初等行变换；矩阵的列初等变换；矩阵的初等变换；矩阵的等价；阶梯形矩阵；矩阵的标准形 3.2初等矩阵
教学内容：初等矩阵；初等变换与初等矩阵 3.3矩阵的秩
教学内容：矩阵的k 阶子式；矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩 3.4线性方程组的解
教学内容：线性方程组解的判别定理；线性方程组的通解；求解线性方程组的方法
（二）重点与难点：
重点：矩阵的初等变换, 矩阵的秩 难点：线性方程组的消元解法
第四章 向量组的线性相关性（12学时）
（一）本章教学基本要求
向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容，在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本章重点让学生掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4.1向量组及其线性组合
教学内容：n 维向量；向量组；线性组合；线性表示 4.2向量组的线性相关性
教学内容：向量组的线性相关与线性无关的定义；向量组的线性相关与线性无关的充分与必要条件；向量组的部分组 4.3向量组的秩
教学内容：最大线性无关向量组；向量组秩的概念；最大线性无关向量组的等价 4.4线性方程组的解的结构
教学内容：解向量；齐次线性方程组的基础解系；齐次线性方程组的通解；非齐次线性方程组解的结构及通解 4.5向量空间
教学内容：向量空间；线性方程组的解空间；向量空间的基；向量空间的维数；基变换公式；坐标变换公式
（二）重点与难点：
重点：n 维向量空间，向量间的线性关系 难点：线性方程组解的结构。
第五章 相似矩阵及其二次型（11学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章学习，使学生理解方阵特征值、特征向量、向量内积的概念，掌握特征值与特征向量的求法及Schmidt 正交化方法，理解相似矩阵的概念和性质，掌握用正交变换化实对称阵为对角阵及二次型化标准型的方法及将矩阵化为相似对角矩阵的方法。了解二次型与对称矩阵的正定性。
5.1向量的内积、长度及正交性
教学内容：向量的内积；向量的长度；向量的夹角；向量的正交性；正交向量组；规范正交基；规范正交化；Schmidt 正交化方法；正交矩阵；正交变换
5.2方阵的特征值与特征向量
教学内容：方阵的特征值与特征向量的概念；特征方程；特征多项式；求方阵的特征值与特征向量的方法
5.3相似矩阵
教学内容：相似矩阵与相似变换的概念；相似矩阵的性质；把矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.4对称矩阵的对角化
教学内容：对称矩阵的特征值与特征向量的性质；把对称矩阵化为相似对角矩阵的方法 5.5二次型及其标准形
教学内容：二次型的概念；二次型的标准形；二次型的规范形；二次型的矩阵；矩阵的二次型；二次型的秩；矩阵的合同；二次型化标准型的方法
5.6用配方法化二次型成标准形
教学内容：拉格朗日配方法；用拉格朗日配方法化二次型成标准形 5.7正定二次形
教学内容：惯性定理；惯性指数；正定二次形；正定矩阵；二次形的正定充分与必要条件；负定二次形；负定矩阵；矩阵正定及负定充分与必要条件
（二）重点与难点：
重点：向量的内积、长度及正交性、相似矩阵、对称矩阵的对角化 难点：二次型及其标准形、用配方法化二次型成标准形、正定二次形
*第六章 线性空间与线性变换（2学时）
（一）本章教学基本要求
通过本章的学习，使学生明白线性空间及其相关概念是向量空间的概念进一步推广，这种推广以后的概念就更具有一般性，因而也就更加抽象化。
6.1线性空间的定义与性质
教学内容：线性空间的定义；线性空间的例子；线性空间的性质 6.2维数、基与坐标
教学内容：线性空间的维数与基的定义；线性空间中向量的坐标 6.3基变换与坐标变换
教学内容：基变换公式；坐标变换公式 6.4线性变换
教学内容：线性变换的定义；线性变换的性质 6.5线性变换的矩阵表示式
教学内容：线性变换的矩阵的定义；过渡矩阵；线性变换的矩阵的性质 （二）重点与难点：
重点：维数、基与坐标线性变换、线性变换
难点：线性变换的矩阵表示式 七、本课程与其它课程的关系
本课程是理、工等相关专业的第一基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。
本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。
课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。
八、教学时数分配
《线性代数》课程教学时数分配表
九、教材及参考书
教材：同济大学应用数学系，《线性代数》（第四版），高等教育出版社，2006年7月。 参考书：①同济大学应用数学系，《线性代数附册》（第四版），高等教育出版社，2006年7月。
②陈卫星 ，崔书英，《线性代数》（第三版），清华大学出版社，2007年8月。
十、主要教学方法与教学条件要求
在具体了解学生数学知识基础状况后，可灵活采用重点知识回顾、例题剖析、一题多解等形式进行教学，围绕求解线性方程组的理论将所学知识进行总结和提高。在每一章结束教学内容后，通过习题课和补充学习指导，使学生不断巩固所学知识。教学中将以课堂教学为主，采用课堂讲授、讨论、问题分析等方法， 注重讲解知识背景、结构与应用，抓紧课下辅导答疑，采用多媒体教学手段，调动学生学习的积极性、主动性和创造性，不断提高其分析问题和解决问题的能力。
本课程主要采取借助于多媒体的讲练结合教学方法，在教学过程中需要多媒体演示模型、多媒体教室等基本教学辅助设施。
十一、推荐的教学网站和相关专业文献网站
http://www.math.pku.edu.cn:8000/ 北京大学数学科学学院
http://www.math.zju.edu.cn/webpagenew/homepage.asp 浙江大学数学系 http://202.113.29.3/ 南开大学数学科学学院 http://dx1.cqvip.com 中国科技期刊数据库 十二、其他
考核方式为考查课考试成绩占80％，考勤与作业占20％。 注：*号标示内容为选讲内容
制 订：数学科学系 教研室:公共数学教研室
执笔人：张俊艺 审定人: 周厚勇