几何初步及平行线、相交线
◆课前热身
1. （山东日照）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）
A. 70° B.65° C.50° D.25°
A
D ′E
D
B
C′第1题
2. （福建福州）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（ ）
A ．160° B．150° C．70° D．60°
∠1=55︒，∠2=45︒，3. （江西省）如图，直线m ∥n ，
则∠3的度数为（ ）
A ．80︒ B ．90︒
C．100︒ D ．110︒
4. （重庆）如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC =100°， 则∠D 等于（ ）
A ．70°
C
A
E D 第4题
【参考答案】
B．80° C．90° D．100°
B F
1. C 2. D 3. C 4. B ◆考点聚焦
〖知识点〗
两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理 〖大纲要求〗
1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；
2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行. 考点提炼：
1．运用两点确定一条直线解决实际问题．
2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算．
3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，•会进行有关线段的计算．
4．掌握角平分线的定义及性质．
5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法
1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、•外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题．
2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用.
〖考查重点与常见题型〗
1．求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如： 已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是_________. ◆考点链接
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等, 或______相等, 或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. ◆典例精析
例1 (湖北黄冈) 66°角的余角是_________． 【答案】24︒
【解析】如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余. 由此可以得出答案为24︒ 例2（湖北孝感）如图，a ∥b ，点M ，N 分别在a ，b 上，P 为两平行线间一点，•那么∠1+∠2+∠3=（ ）
A ．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C
【解析】 方法一：过点P 作PE ∥a （如图）． ∵a ∥b ，∴PE ∥b ．
∴∠1+∠MPE=180°，∠3+∠NPE=180°，
∴∠1+∠3+∠2=180°+180°=360°． 方法二：过点P 作PF ∥a （如图），
∵a ∥b ，∴PF ∥b ． ∴∠1=∠MPF ，∠3=∠NPF ．
∵∠2+∠MPF+∠NPF=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°．
方法三：连结MN （如图）． ∵a ∥b ，∴∠AMN+∠BNM=180°． 又∵△MPN 内角和为180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°． 方法四：延长MP 交直线b 于点D （如图）． ∵a ∥b ，∴∠1=∠4．
∵∠2，∠3，∠4是△DPN 的外角． ∴∠2+∠3+∠4=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°．
点评 在数学学习与复习过程中，通过一题多解，从不同侧面复习数学知识，•使大学开阔视野，拓展思路，提高解题能力．
例3 已知n （n ≥2）个点P 1，P 2，P 3，……，P n 在同一个平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上，设S n 表示过这n 个点中的任意两个点所作的直线条数，显然S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10，…，由此可推断S n =______． 【答案】S n =
1
n （n-1）． 2
【解析】 方法一：∵n 个点中任意三点不在同一直线上． ∴其中这一点分别与其他（n-1）个点可作（n-1）条直线．
这样共可作n （n-1）条直线，此时两点间的直线重复作了一次，故S n =
1
n （n-1）． 2
2
方法二：因要探究S n 与n 的关系，可设S n 关于n 的二次函数关系，即S n =an+bn+c（a ，•b，c 是常数），若是一次函数关系，则a=0，依题意，得
1⎧⎧4a +2b +c =1, a =, ⎪⎪2 ⎨9a +3b +c =3, 解得⎪
1⎪⎪16a +4b +c =6.
b =-, ⎩⎨
2⎪
⎪c =0. ⎪⎩121
即S n =
2
n -
2
n ．
121×5-×5=10． 22
121n (n -1)
∴S n =n -n=．
222
验证：当n=5时，S n =
方法三：∵S 2=1，S 3=1+2，S 4=1+2+3，S 5=1+2+3+4，…
∴Sn =1+2+3+…+n-1，
n (n -1)
． 2n (n -1)
答案
2
∴Sn =
点评 通过一题多解，让同学们从不同角度认识理解数学，拓展了解题思路，•提高了数学能力． ◆迎考精练 一、选择题
1. （重庆綦江）如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2= 90°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ．则∠3=（ ）
A ．60°
B．65°
C．70°
D．130°
E A 1 B C H 2 M D
F
2. （安徽）如图直线l 1∥l 2, 则∠α为（ ）.
A.150° B.140° C.130° D.120°
3. （辽宁朝阳）如图，已知AB ∥CD, 若∠A =20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）.
A.20° B. 35° C. 45° D.55°
4. （广东广州）如图，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若∠1=130°，则∠2=（A.40° B.50° C.130° D.140°
）
5. （山东临沂）下列图形中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是（ ） A 2 A ．
B D
A B
B D
C ． 1
2 D ．
F 6. （广东清远）如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=60°，则∠2=（ ）
C
D
A ．20° B．60° C．30°
D．
A E
7. （ 年广东佛山）30°角的余角是( ) A ．30°角 B．60°角 C．90°角 D．150°角
B
°，DE 过点C ，且DE ∥AB ，若8. (广东肇庆) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90
∠ACD =55°，则∠B 的度数是（ ）
A
A ．35° B．45° C．55° D．65°
B
E
9. （山东枣庄）如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列说法正确的是（ ） A ．当∠1=∠2时，a ∥b B ．当a ∥b 时，∠1=∠2 C ．当a ∥b 时，∠1+∠2=90 D ．当a ∥b 时，∠1+∠2=180
二、填空题
1. （河南）如图，AB //CD , CE 平分∠ACD ，
c 1
a b
2
若∠1=25，那么∠2的度数是 .
2. （浙江嘉兴）如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A =110︒，则∠D = ．
C
3. (陕西省) 如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠1＝47°，则∠2的大小是______ ．
4. （山东威海）如图，直线l 与直线a,b 相交．若a ∥b ，∠1=70°∠1=70，则∠2的度数是_________．
1
a
第4题图
b
，∠2=110°，5. （湖北黄石）如图，AB ∥CD ，∠1=50°则∠3= ．
A
B C
6. （吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC =________ 度． 三、解答题
1. （福建莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ．．①以已知线段AB （图1）为直径画半圆O ；
②在半圆O 上取不同于点A 、B 的一点C ，连接AC 、BC ； ③过点O 画OD ∥BC 交半圆O 于点D ．
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） ．．
已知：∠AOB （图2）． 求作：∠AOB 的平分线．
图1
图2
B
2. （山东淄博）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．
【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. B 8. A 9. D 填空题 1. 50°
B
D
2. 35° 3. 133° 4. 110° 5. 60° 6. 73 解答题
1. 解：（1）正确完成步骤①、②、③，各得1分，字母标注完整得1分，满分4分． （2）说明：①以点O 为圆心，以适当长为半径作弧交OA 、OB 于两点C 、D
②分别以点C 、D 为圆心，以大于
两弧相交于点E
A B
1
CD 长为半径作弧， 2
图1
图2
③作射线OE
2. 解： ∵AB ∥CD ， ∠A =37º，
∴∠ECD =∠A =37º． ∵DE ⊥AE ，
∴∠D =90º–∠ECD =90º–37º=53º．
几何初步及平行线、相交线
◆课前热身
1. （山东日照）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）
A. 70° B.65° C.50° D.25°
A
D ′E
D
B
C′第1题
2. （福建福州）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（ ）
A ．160° B．150° C．70° D．60°
∠1=55︒，∠2=45︒，3. （江西省）如图，直线m ∥n ，
则∠3的度数为（ ）
A ．80︒ B ．90︒
C．100︒ D ．110︒
4. （重庆）如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC =100°， 则∠D 等于（ ）
A ．70°
C
A
E D 第4题
【参考答案】
B．80° C．90° D．100°
B F
1. C 2. D 3. C 4. B ◆考点聚焦
〖知识点〗
两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理 〖大纲要求〗
1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；
2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行. 考点提炼：
1．运用两点确定一条直线解决实际问题．
2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算．
3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，•会进行有关线段的计算．
4．掌握角平分线的定义及性质．
5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法
1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、•外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题．
2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用.
〖考查重点与常见题型〗
1．求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如： 已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是_________. ◆考点链接
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等, 或______相等, 或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. ◆典例精析
例1 (湖北黄冈) 66°角的余角是_________． 【答案】24︒
【解析】如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余. 由此可以得出答案为24︒ 例2（湖北孝感）如图，a ∥b ，点M ，N 分别在a ，b 上，P 为两平行线间一点，•那么∠1+∠2+∠3=（ ）
A ．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C
【解析】 方法一：过点P 作PE ∥a （如图）． ∵a ∥b ，∴PE ∥b ．
∴∠1+∠MPE=180°，∠3+∠NPE=180°，
∴∠1+∠3+∠2=180°+180°=360°． 方法二：过点P 作PF ∥a （如图），
∵a ∥b ，∴PF ∥b ． ∴∠1=∠MPF ，∠3=∠NPF ．
∵∠2+∠MPF+∠NPF=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°．
方法三：连结MN （如图）． ∵a ∥b ，∴∠AMN+∠BNM=180°． 又∵△MPN 内角和为180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°． 方法四：延长MP 交直线b 于点D （如图）． ∵a ∥b ，∴∠1=∠4．
∵∠2，∠3，∠4是△DPN 的外角． ∴∠2+∠3+∠4=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°．
点评 在数学学习与复习过程中，通过一题多解，从不同侧面复习数学知识，•使大学开阔视野，拓展思路，提高解题能力．
例3 已知n （n ≥2）个点P 1，P 2，P 3，……，P n 在同一个平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上，设S n 表示过这n 个点中的任意两个点所作的直线条数，显然S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10，…，由此可推断S n =______． 【答案】S n =
1
n （n-1）． 2
【解析】 方法一：∵n 个点中任意三点不在同一直线上． ∴其中这一点分别与其他（n-1）个点可作（n-1）条直线．
这样共可作n （n-1）条直线，此时两点间的直线重复作了一次，故S n =
1
n （n-1）． 2
2
方法二：因要探究S n 与n 的关系，可设S n 关于n 的二次函数关系，即S n =an+bn+c（a ，•b，c 是常数），若是一次函数关系，则a=0，依题意，得
1⎧⎧4a +2b +c =1, a =, ⎪⎪2 ⎨9a +3b +c =3, 解得⎪
1⎪⎪16a +4b +c =6.
b =-, ⎩⎨
2⎪
⎪c =0. ⎪⎩121
即S n =
2
n -
2
n ．
121×5-×5=10． 22
121n (n -1)
∴S n =n -n=．
222
验证：当n=5时，S n =
方法三：∵S 2=1，S 3=1+2，S 4=1+2+3，S 5=1+2+3+4，…
∴Sn =1+2+3+…+n-1，
n (n -1)
． 2n (n -1)
答案
2
∴Sn =
点评 通过一题多解，让同学们从不同角度认识理解数学，拓展了解题思路，•提高了数学能力． ◆迎考精练 一、选择题
1. （重庆綦江）如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2= 90°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ．则∠3=（ ）
A ．60°
B．65°
C．70°
D．130°
E A 1 B C H 2 M D
F
2. （安徽）如图直线l 1∥l 2, 则∠α为（ ）.
A.150° B.140° C.130° D.120°
3. （辽宁朝阳）如图，已知AB ∥CD, 若∠A =20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）.
A.20° B. 35° C. 45° D.55°
4. （广东广州）如图，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若∠1=130°，则∠2=（A.40° B.50° C.130° D.140°
）
5. （山东临沂）下列图形中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是（ ） A 2 A ．
B D
A B
B D
C ． 1
2 D ．
F 6. （广东清远）如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=60°，则∠2=（ ）
C
D
A ．20° B．60° C．30°
D．
A E
7. （ 年广东佛山）30°角的余角是( ) A ．30°角 B．60°角 C．90°角 D．150°角
B
°，DE 过点C ，且DE ∥AB ，若8. (广东肇庆) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90
∠ACD =55°，则∠B 的度数是（ ）
A
A ．35° B．45° C．55° D．65°
B
E
9. （山东枣庄）如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列说法正确的是（ ） A ．当∠1=∠2时，a ∥b B ．当a ∥b 时，∠1=∠2 C ．当a ∥b 时，∠1+∠2=90 D ．当a ∥b 时，∠1+∠2=180
二、填空题
1. （河南）如图，AB //CD , CE 平分∠ACD ，
c 1
a b
2
若∠1=25，那么∠2的度数是 .
2. （浙江嘉兴）如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A =110︒，则∠D = ．
C
3. (陕西省) 如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠1＝47°，则∠2的大小是______ ．
4. （山东威海）如图，直线l 与直线a,b 相交．若a ∥b ，∠1=70°∠1=70，则∠2的度数是_________．
1
a
第4题图
b
，∠2=110°，5. （湖北黄石）如图，AB ∥CD ，∠1=50°则∠3= ．
A
B C
6. （吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC =________ 度． 三、解答题
1. （福建莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ．．①以已知线段AB （图1）为直径画半圆O ；
②在半圆O 上取不同于点A 、B 的一点C ，连接AC 、BC ； ③过点O 画OD ∥BC 交半圆O 于点D ．
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） ．．
已知：∠AOB （图2）． 求作：∠AOB 的平分线．
图1
图2
B
2. （山东淄博）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．
【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. B 8. A 9. D 填空题 1. 50°
B
D
2. 35° 3. 133° 4. 110° 5. 60° 6. 73 解答题
1. 解：（1）正确完成步骤①、②、③，各得1分，字母标注完整得1分，满分4分． （2）说明：①以点O 为圆心，以适当长为半径作弧交OA 、OB 于两点C 、D
②分别以点C 、D 为圆心，以大于
两弧相交于点E
A B
1
CD 长为半径作弧， 2
图1
图2
③作射线OE
2. 解： ∵AB ∥CD ， ∠A =37º，
∴∠ECD =∠A =37º． ∵DE ⊥AE ，
∴∠D =90º–∠ECD =90º–37º=53º．